2024屆遼寧省葫蘆島市普通高中高三下學期第二次模擬考試數(shù)學試卷（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE3遼寧省葫蘆島市普通高中2024屆高三下學期第二次模擬考試數(shù)學試卷第Ⅰ卷（選擇題）一、選擇題1.已知集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗根據(jù)集合交集的定義立得.故選：A.2.設(shè)A，B是兩個隨機事件，且，，則下列正確的是（）A.若，則A與B相互獨立 B.C. D.A與B有可能是對立事件〖答案〗A〖解析〗對A：由，故，則有，故與相互獨立，故與相互獨立，故A正確；對B：，故B錯誤；對C：，由未定，故C錯誤；對D：，故與不是對立事件，故D錯誤.故選：A.3.某校要派4名教師到甲、乙兩個社區(qū)開展志愿者服務(wù)，若每個教師只去一個社區(qū)，且兩個社區(qū)都有教師去，則不同的安排方法有（）A.20種 B.14種 C.10種 D.7種〖答案〗B〖解析〗第一步：將4名教師分成兩組，有兩種情況：一種情況是1組1人、1組3人，一種情況是每組2人，共有種分法；第二步：將第一步得到的兩個不同組分給兩個不同社區(qū)，有種分法，則不同的安排方法有（種）.故選：B.4.等差數(shù)列中，，，則使得前n項的和最大的n值為（）A.7 B.8 C.9 D.10〖答案〗B〖解析〗在等差數(shù)列中，，由，可得，，，且數(shù)列為遞減數(shù)列，所以使得前n項的和最大的n值為8.故選：B.5.某地為了了解學生的睡眠時間，根據(jù)初中和高中學生的人數(shù)比例采用分層抽樣，抽取了40名初中生和20名高中生，調(diào)查發(fā)現(xiàn)初中生每天的平均睡眠時間為8小時，方差為2，高中生每天的平均睡眠時間為7小時，方差為1.根據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)，估計該地區(qū)中學生睡眠時間的總體方差約為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗該地區(qū)中學生每天睡眠時間的平均數(shù)為：（小時），該地區(qū)中學生每天睡眠時間方差為：.故選：D.6.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，若，，則正整數(shù)的取值為（）A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗C〖解析〗方法一：因為，所以，，所以，即，而，所以是非負整數(shù)，又由圖象可得，所以，綜上，只能，所以的最小正周期為，而由，可知，即正整數(shù)是的周期，所以，即，對比選項可知只有C選項符合題意.方法二：設(shè)函數(shù)的最小正周期為，由于，故據(jù)圖象可知，從而.從而由表明，比對選項知C正確，A，B，D錯誤.故選：C.7.直線l與平面成角為，點P為平面外的一點，過點P與平面成角為，且與直線l所成角為的直線有（）A.0條 B.1條 C.2條 D.4條〖答案〗C〖解析〗如圖所示，設(shè)直線與平面相交于，直線在平面的射影為直線.且直線與平面所成角為，即.設(shè)圓錐的頂點為點，圓錐的軸平面，即圓錐的任意一條母線與平面所成角都等于.當過點的母線為直線時，直線與平面所成角為，直線與直線所成角為，即,當過點的母線沿逆時針旋轉(zhuǎn)到直線時，直線與直線所成角為，即，所以過點的直線從沿逆時針旋轉(zhuǎn)到直線時，與直線所成角的范圍為，故存在一條過點的直線與直線所成角為，同理可得，過點的直線從沿順時針旋轉(zhuǎn)到直線時，也存在一條過點的直線與直線所成角為，所以過點的直線與平面所成角為，與直線所成角為的直線有2條.故選：C.8.已知函數(shù)，，若關(guān)于x的方程有三個不同實數(shù)根，則實數(shù)t的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗如圖，作出函數(shù)的圖象，令，由圖可知，當時，關(guān)于的方程有個不同的實數(shù)根，當或時，關(guān)于的方程只有個實數(shù)根，因為關(guān)于x的方程有三個不同實數(shù)根，所以關(guān)于的方程的一個根在上，另一個根在上，或方程的兩個根一個為，另一個在上，若為方程的根時，則，當時，方程的另一個根為，不符題意，當時，方程的另一個根為，不符題意，若為方程的根時，則或，當時，方程的另一個根為，不符題意，當時，方程只有一個根為，不符題意，若關(guān)于的方程的一個根在上，另一個在上時，令，則，即，解得，綜上所述，實數(shù)t的取值范圍是.故選：B.二、選擇題9.已知向量，，為非零向量，下列說法正確的有（）A.若，，則B.已知向量，，則C.若，則和在上的投影向量相等D.已知，，，則點A，B，D一定共線〖答案〗CD〖解析〗對于A，若，，則與可能平行，故A錯誤；對于B，設(shè)，則，解得，所以，故B錯誤；對于C，若，則，所以，所以和在上的投影向量相等，故C正確；對于D，因為，，所以,所以點A，B，D一定共線，故D正確.故選：CD.10.集合的整數(shù)元素的個數(shù)為，數(shù)列的前n項和為，滿足，，且，都有成立，下列選項正確的是（）A.數(shù)列的通項公式為B.C.實數(shù)的取值范圍是D.數(shù)列中的每一項都不能夠被5整除〖答案〗D〖解析〗解，所以，即B錯誤；所以，則，兩式相減得：，當時，，所以，不滿足上式，所以A錯誤；由上，當時，由恒成立，則，等價變形得：，化簡得：，當為偶數(shù)得：，則，所以，當為奇數(shù)得：，由，所以，但是當時，，而，由得：，解得，綜上可得：，所以C錯誤；當時，，因為和都能被5整除，而一定不能被5整除，此時一定不能被5整除，而當時，，顯然不能被5整除，所以D正確；故選：D．11.已知橢圓：與雙曲線：有公共焦點，，它們的離心率分別為，，P是它們在第一象限的交點，的內(nèi)切圓圓心為Q，，O為坐標原點，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，則B.若，則的最小值為C.過作直線的垂線，垂足為H，點H的軌跡是雙曲線D.兩個曲線在P點處的切線互相垂直〖答案〗ABD〖解析〗A選項，因為，所以，又，故，則⊥，由橢圓定義可得，由雙曲線定義可得，解得，由勾股定理得，即，化簡得，即，又，所以，A正確；B選項，若，由余弦定理得，即，由（1）得，代入上式得，即，即，因為又，所以，由基本不等式得，即，解得，當且僅當時，等號成立，則的最小值為，B正確；C選項，過作直線的垂線，垂足為H，延長交于點，因為平分，由三線合一得，為的中點，則，連接，由中位線性質(zhì)得，故點H的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，C錯誤；D選項，下面證明橢圓在處的切線方程為，理由如下：當時，故切線的斜率存在，設(shè)切線方程為，代入橢圓方程得：，由，化簡得：，所以，把代入，得：，于是，則橢圓的切線斜率為，切線方程為，整理得到，其中，故，即，當時，此時或，當時，切線方程為，滿足，當時，切線方程為，滿足，綜上：橢圓在處的切線方程為；下面證明：上一點的切線方程為，理由如下：設(shè)過點的切線方程為，與聯(lián)立得，，由化簡得，因為，代入上式得，整理得，同除以得，，即，因為，，所以，聯(lián)立，兩式相乘得，，從而，故，即，令，則，即，解得，即，故橢圓：在點處的切線斜率為，雙曲線在點處切線斜率為，又，故，化簡得，又，所以，故則斜率乘積為，故兩曲線在點處的切線互相垂直，D正確.故選：ABD第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題12.已知復數(shù)z滿足，則的值為______.〖答案〗〖解析〗由題意可得，則，所以.故〖答案〗為：.13.在中，，，M是的中點，，則______，______.〖答案〗〖解析〗依題作出圖像，如圖：在中，，，，由余弦定理：，解得：，則，所以，解得：，故.故〖答案〗為：；14.已知實數(shù)，，則的最大值為______.〖答案〗2〖解析〗因為，又因為，，所以可由平方均值不等式得：，取等號條件是，即，所以上式可變?yōu)椋海〉忍枟l件是：，即，結(jié)合，可得取到最大值的條件是：.故〖答案〗為：2四、解答題15.設(shè)函數(shù).（1）若，求曲線在點處的切線方程；（2）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，求k的取值范圍.解：（1）當，，，，又.所以，整理得：.（2）由題意，在內(nèi)導數(shù)非負，即在上恒成立，令，從而需滿足：且，所以且，經(jīng)檢驗符合題意，所以k的取值范圍是.16.某商場為調(diào)查手機賣場各品牌手機在晚上19：30到21：00時段的銷售情況，隨機抽取了某一周該時段的銷售數(shù)據(jù)，并要求每個品牌只抽取一個款式的手機，且不考慮價格波動.手機品牌步步高三星華為蘋果vivo銷售總額（萬元）1.921.84.84.82.52銷售量431067銷售利潤率0.10.070.060.050.08銷售利潤率是指：一部手機銷售價格減去出廠價格得到的利潤與該手機銷售價格的比值.（1）從該公司本周該時段賣出的手機中隨機選一部，求這部手機利潤率高于0.07的概率；（2）從該公司本周該時段賣出的銷售單價為4800元的手機中隨機選取2部，求這兩部手機的利潤率不同的概率；（3）銷售一部步步高手機獲利元，銷售一部三星手機獲利元，…，銷售一部vivo手機獲利元，依據(jù)上表統(tǒng)計數(shù)據(jù)，隨機銷售一部手機獲利的期望為，設(shè)，試判斷與的大小.解：（1）由題意知，本周該時段共賣出30部手機，利潤率高于0.07的是步步高4部和vivo7部，共有11部.設(shè)“這部手機利潤率高于0.07”為事件A，則.（2）用銷售總額除以銷售量得到手機的銷售單價，可知步步高手機和華為手機銷售單價為4800元，有步步高手機4部，華為手機10部，共有14部，隨機選取2部有種不同方法，由于兩部手機的利潤率不同，則每類各取一部有種不同方法，設(shè)兩部手機的利潤率不同為事件B，則.（3）由題意可知利潤等于價格乘以利潤率，于是，，，，所以，x可能取的值為288，400，420，480.，，，因此，又所以.17.如圖，在五面體中，底面是菱形，，.（1）求證：；（2），M是的中點，O為的中點，且，.①求證：平面；②求直線與平面所成角的正弦值.（1）證明：因為底面是菱形，所以.又面，面.面，又因為面，面面，所以.（2）①證明：取的中點G連結(jié)，.由已知，所以有.又因為O為中點，所以，又，，所以.又，面.且，所以面，又因為面，所以，又，且，相交.又因為，面，所以面；②解：以O(shè)為原點.以所在直線為z軸.以所確線為y軸.過O作平行線為x軸，建立空間直角坐標系.如圖，，，，，，，，設(shè)面的法向量，，，，設(shè)所求線面角為，.18.已知拋物線的焦點為，拋物線的焦點為，，A，B，C為上不同的三點.（1）求的標準方程；（2）若直線過點，且斜率，求面積的最小值；（3）若直線，與相切，求證：直線也與相切.（1）解：根據(jù)題意得，，，，解得，所以，拋物線的標準方程為.（2）解：設(shè)直線為代入得，，設(shè)，，，則有，.點到直線的距離為，，，設(shè)，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，所以的最小值為.（3）證明：直線的方程為，，，，即，代入到得：，，即，①同理直線的方程為即，代入到得：，，即，②由①②，顯然，滿足方程，再將直線代入到得：，，所以直線也與相切.19.設(shè)數(shù)陣，其中.設(shè)，其中，且.定義變換為“對于數(shù)陣的每一列，若其中有t或，則將這一列中所有數(shù)均保持不變；若其中沒有t且沒有，則這一列中每個數(shù)都乘以”（），表示“將經(jīng)過變換得到，再將經(jīng)過變換得到，…，以此類推，最后將經(jīng)過變換得到.記數(shù)陣中四個數(shù)的和為.（1）若，，寫出經(jīng)過變換后得到的數(shù)陣，并求的值；（2）若，，求的所有可能取值的和；（3）對任意確定的一個數(shù)陣，證明：的所有可能取值的和不大于.（1）解：因為，，經(jīng)過變換得到的數(shù)陣，經(jīng)過變換得到的數(shù)陣，所以.（2）解：若，則或，可得，4種情況；若或，，則，可得，4種情況；若，從和中各取出一個元素a，b，，，，則，可得，8種；若，，則或，可得，4種情況；綜上，的所有可能取值的和；（3）證明：若，在的所有非空子集中，①含有且不含的子集共個，其中含有奇數(shù)個元素的集合有8個，經(jīng)過變換后第一列均仍為，；其中含有偶數(shù)個元素的集合有8個，經(jīng)過變換后第一列均變?yōu)?，；②含有且不含的子集共個，其中含有奇數(shù)個元素的集合有8個，經(jīng)過變換后第一列均仍為，；其中含有偶數(shù)個元素的集合有8個，經(jīng)過變換后第一列均變?yōu)?，；③同時含有和的子集共個，其中含有奇數(shù)個元素的集合有8個，經(jīng)過變換后第一列均變?yōu)?，；其中含有偶?shù)個元素的集合有8個，經(jīng)過變換后第一列均仍為，；④不含也不含的子集共個，其中含有奇數(shù)個元素的集合有8個，經(jīng)過變換后第一列均變?yōu)?，；其中含有偶?shù)個元素的集合有7個，經(jīng)過變換后第一列均變?yōu)?，；若，在的所有非空子集中，①含有的子集共個，其中含有奇數(shù)個元素的集合有16個，經(jīng)過變換后第一列均變?yōu)?，；其中含有偶?shù)個元素的集合有16個，經(jīng)過變換后第一列均仍為，；②不含的子集共個，其中含有奇數(shù)個元素的集合有16個，經(jīng)過變換后第一列均變?yōu)?，；其中含有偶?shù)個元素的集合有15個，經(jīng)過變換后第一列均仍為，；綜上，經(jīng)過變換后，所有的第一列數(shù)的和為同理，經(jīng)過變換后所有的第二列數(shù)的和為.所以所有可能取值的和為，又因為，所以所有可能取值的和不超過.遼寧省葫蘆島市普通高中2024屆高三下學期第二次模擬考試數(shù)學試卷第Ⅰ卷（選擇題）一、選擇題1.已知集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗根據(jù)集合交集的定義立得.故選：A.2.設(shè)A，B是兩個隨機事件，且，，則下列正確的是（）A.若，則A與B相互獨立 B.C. D.A與B有可能是對立事件〖答案〗A〖解析〗對A：由，故，則有，故與相互獨立，故與相互獨立，故A正確；對B：，故B錯誤；對C：，由未定，故C錯誤；對D：，故與不是對立事件，故D錯誤.故選：A.3.某校要派4名教師到甲、乙兩個社區(qū)開展志愿者服務(wù)，若每個教師只去一個社區(qū)，且兩個社區(qū)都有教師去，則不同的安排方法有（）A.20種 B.14種 C.10種 D.7種〖答案〗B〖解析〗第一步：將4名教師分成兩組，有兩種情況：一種情況是1組1人、1組3人，一種情況是每組2人，共有種分法；第二步：將第一步得到的兩個不同組分給兩個不同社區(qū)，有種分法，則不同的安排方法有（種）.故選：B.4.等差數(shù)列中，，，則使得前n項的和最大的n值為（）A.7 B.8 C.9 D.10〖答案〗B〖解析〗在等差數(shù)列中，，由，可得，，，且數(shù)列為遞減數(shù)列，所以使得前n項的和最大的n值為8.故選：B.5.某地為了了解學生的睡眠時間，根據(jù)初中和高中學生的人數(shù)比例采用分層抽樣，抽取了40名初中生和20名高中生，調(diào)查發(fā)現(xiàn)初中生每天的平均睡眠時間為8小時，方差為2，高中生每天的平均睡眠時間為7小時，方差為1.根據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)，估計該地區(qū)中學生睡眠時間的總體方差約為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗該地區(qū)中學生每天睡眠時間的平均數(shù)為：（小時），該地區(qū)中學生每天睡眠時間方差為：.故選：D.6.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，若，，則正整數(shù)的取值為（）A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗C〖解析〗方法一：因為，所以，，所以，即，而，所以是非負整數(shù)，又由圖象可得，所以，綜上，只能，所以的最小正周期為，而由，可知，即正整數(shù)是的周期，所以，即，對比選項可知只有C選項符合題意.方法二：設(shè)函數(shù)的最小正周期為，由于，故據(jù)圖象可知，從而.從而由表明，比對選項知C正確，A，B，D錯誤.故選：C.7.直線l與平面成角為，點P為平面外的一點，過點P與平面成角為，且與直線l所成角為的直線有（）A.0條 B.1條 C.2條 D.4條〖答案〗C〖解析〗如圖所示，設(shè)直線與平面相交于，直線在平面的射影為直線.且直線與平面所成角為，即.設(shè)圓錐的頂點為點，圓錐的軸平面，即圓錐的任意一條母線與平面所成角都等于.當過點的母線為直線時，直線與平面所成角為，直線與直線所成角為，即,當過點的母線沿逆時針旋轉(zhuǎn)到直線時，直線與直線所成角為，即，所以過點的直線從沿逆時針旋轉(zhuǎn)到直線時，與直線所成角的范圍為，故存在一條過點的直線與直線所成角為，同理可得，過點的直線從沿順時針旋轉(zhuǎn)到直線時，也存在一條過點的直線與直線所成角為，所以過點的直線與平面所成角為，與直線所成角為的直線有2條.故選：C.8.已知函數(shù)，，若關(guān)于x的方程有三個不同實數(shù)根，則實數(shù)t的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗如圖，作出函數(shù)的圖象，令，由圖可知，當時，關(guān)于的方程有個不同的實數(shù)根，當或時，關(guān)于的方程只有個實數(shù)根，因為關(guān)于x的方程有三個不同實數(shù)根，所以關(guān)于的方程的一個根在上，另一個根在上，或方程的兩個根一個為，另一個在上，若為方程的根時，則，當時，方程的另一個根為，不符題意，當時，方程的另一個根為，不符題意，若為方程的根時，則或，當時，方程的另一個根為，不符題意，當時，方程只有一個根為，不符題意，若關(guān)于的方程的一個根在上，另一個在上時，令，則，即，解得，綜上所述，實數(shù)t的取值范圍是.故選：B.二、選擇題9.已知向量，，為非零向量，下列說法正確的有（）A.若，，則B.已知向量，，則C.若，則和在上的投影向量相等D.已知，，，則點A，B，D一定共線〖答案〗CD〖解析〗對于A，若，，則與可能平行，故A錯誤；對于B，設(shè)，則，解得，所以，故B錯誤；對于C，若，則，所以，所以和在上的投影向量相等，故C正確；對于D，因為，，所以,所以點A，B，D一定共線，故D正確.故選：CD.10.集合的整數(shù)元素的個數(shù)為，數(shù)列的前n項和為，滿足，，且，都有成立，下列選項正確的是（）A.數(shù)列的通項公式為B.C.實數(shù)的取值范圍是D.數(shù)列中的每一項都不能夠被5整除〖答案〗D〖解析〗解，所以，即B錯誤；所以，則，兩式相減得：，當時，，所以，不滿足上式，所以A錯誤；由上，當時，由恒成立，則，等價變形得：，化簡得：，當為偶數(shù)得：，則，所以，當為奇數(shù)得：，由，所以，但是當時，，而，由得：，解得，綜上可得：，所以C錯誤；當時，，因為和都能被5整除，而一定不能被5整除，此時一定不能被5整除，而當時，，顯然不能被5整除，所以D正確；故選：D．11.已知橢圓：與雙曲線：有公共焦點，，它們的離心率分別為，，P是它們在第一象限的交點，的內(nèi)切圓圓心為Q，，O為坐標原點，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，則B.若，則的最小值為C.過作直線的垂線，垂足為H，點H的軌跡是雙曲線D.兩個曲線在P點處的切線互相垂直〖答案〗ABD〖解析〗A選項，因為，所以，又，故，則⊥，由橢圓定義可得，由雙曲線定義可得，解得，由勾股定理得，即，化簡得，即，又，所以，A正確；B選項，若，由余弦定理得，即，由（1）得，代入上式得，即，即，因為又，所以，由基本不等式得，即，解得，當且僅當時，等號成立，則的最小值為，B正確；C選項，過作直線的垂線，垂足為H，延長交于點，因為平分，由三線合一得，為的中點，則，連接，由中位線性質(zhì)得，故點H的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，C錯誤；D選項，下面證明橢圓在處的切線方程為，理由如下：當時，故切線的斜率存在，設(shè)切線方程為，代入橢圓方程得：，由，化簡得：，所以，把代入，得：，于是，則橢圓的切線斜率為，切線方程為，整理得到，其中，故，即，當時，此時或，當時，切線方程為，滿足，當時，切線方程為，滿足，綜上：橢圓在處的切線方程為；下面證明：上一點的切線方程為，理由如下：設(shè)過點的切線方程為，與聯(lián)立得，，由化簡得，因為，代入上式得，整理得，同除以得，，即，因為，，所以，聯(lián)立，兩式相乘得，，從而，故，即，令，則，即，解得，即，故橢圓：在點處的切線斜率為，雙曲線在點處切線斜率為，又，故，化簡得，又，所以，故則斜率乘積為，故兩曲線在點處的切線互相垂直，D正確.故選：ABD第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題12.已知復數(shù)z滿足，則的值為______.〖答案〗〖解析〗由題意可得，則，所以.故〖答案〗為：.13.在中，，，M是的中點，，則______，______.〖答案〗〖解析〗依題作出圖像，如圖：在中，，，，由余弦定理：，解得：，則，所以，解得：，故.故〖答案〗為：；14.已知實數(shù)，，則的最大值為______.〖答案〗2〖解析〗因為，又因為，，所以可由平方均值不等式得：，取等號條件是，即，所以上式可變?yōu)椋?，取等號條件是：，即，結(jié)合，可得取到最大值的條件是：.故〖答案〗為：2四、解答題15.設(shè)函數(shù).（1）若，求曲線在點處的切線方程；（2）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，求k的取值范圍.解：（1）當，，，，又.所以，整理得：.（2）由題意，在內(nèi)導數(shù)非負，即在上恒成立，令，從而需滿足：且，所以且，經(jīng)檢驗符合題意，所以k的取值范圍是.16.某商場為調(diào)查手機賣場各品牌手機在晚上19：30到21：00時段的銷售情況，隨機抽取了某一周該時段的銷售數(shù)據(jù)，并要求每個品牌只抽取一個款式的手機，且不考慮價格波動.手機品牌步步高三星華為蘋果vivo銷售總額（萬元）1.921.84.84.82.52銷售量431067銷售利潤率0.10.070.060.050.08銷售利潤率是指：一部手機銷售價格減去出廠價格得到的利潤與該手機銷售價格的比值.（1）從該公司本周該時段賣出的手機中隨機選一部，求這部手機利潤率高于0.07的概率；（2）從該公司本周該時段賣出的銷售單價為4800元的手機中隨機選取2部，求這兩部手機的利潤率不同的概率；（3）銷售一部步步高手機獲利元，銷售一部三星手機獲利元，…，銷售一部vivo手機獲利元，依據(jù)上表統(tǒng)計數(shù)據(jù)，隨機銷售一部手機獲利的期望為，設(shè)，試判斷與的大小.解：（1）由題意知，本周該時段共賣出30部手機，利潤率高于0.07的是步步高4部和vivo7部，共有11部.設(shè)“這部手機利潤率高于0.07”為事件A，則.（2）用銷售總額除以銷售量得到手機的銷售單價，可知步步高手機和華為手機銷售單價為4800元，有步步高手機4部，華為手機10部，共有14部，隨機選取2部有種不同方法，由于兩部手機的利潤率不同，則每類各取一部有種不同方法，設(shè)兩部手機的利潤率不同為事件B，則.（3）由題意可知利潤等于價格乘以利潤率，于是，，，，所以，x可能取的值為288，400，420，480.，，，因此，又所以.17.如圖，在五面體中，底面是菱形，，.（1）求證：；（2），M是的中點，O為的中點，且，.①求證：平面；②求直線與平面所成角的正弦值.（1）證明：因為底面是菱形，所以.又面，面.面，又因為面，面面，所以.（2）①證明：取的中點G連結(jié)，.由已知，所以有.又因為O為中點，所以，又，，所以.又，面.且，所以面，又因為面，所以，又，且，相交.又因為，面，所以面；②解：以O(shè)為原點.以所在直線為z軸.以所確線為y軸.過O作平行線為x軸，建立空間直角坐標系.如圖，，，，，，，，設(shè)面的法向量，，，，設(shè)所求線面角為，.18.已知拋物線的焦點為，拋物線的焦點為，，A，B，C為上不同的三點.（1）求的標準方程；（2）若直線過點，且