2024屆遼寧省葫蘆島市普通高中高三下學(xué)期第二次模擬考試數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE3遼寧省葫蘆島市普通高中2024屆高三下學(xué)期第二次模擬考試數(shù)學(xué)試卷第Ⅰ卷（選擇題）一、選擇題1.已知集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗根據(jù)集合交集的定義立得.故選：A.2.設(shè)A，B是兩個(gè)隨機(jī)事件，且，，則下列正確的是（）A.若，則A與B相互獨(dú)立 B.C. D.A與B有可能是對立事件〖答案〗A〖解析〗對A：由，故，則有，故與相互獨(dú)立，故與相互獨(dú)立，故A正確；對B：，故B錯誤；對C：，由未定，故C錯誤；對D：，故與不是對立事件，故D錯誤.故選：A.3.某校要派4名教師到甲、乙兩個(gè)社區(qū)開展志愿者服務(wù)，若每個(gè)教師只去一個(gè)社區(qū)，且兩個(gè)社區(qū)都有教師去，則不同的安排方法有（）A.20種 B.14種 C.10種 D.7種〖答案〗B〖解析〗第一步：將4名教師分成兩組，有兩種情況：一種情況是1組1人、1組3人，一種情況是每組2人，共有種分法；第二步：將第一步得到的兩個(gè)不同組分給兩個(gè)不同社區(qū)，有種分法，則不同的安排方法有（種）.故選：B.4.等差數(shù)列中，，，則使得前n項(xiàng)的和最大的n值為（）A.7 B.8 C.9 D.10〖答案〗B〖解析〗在等差數(shù)列中，，由，可得，，，且數(shù)列為遞減數(shù)列，所以使得前n項(xiàng)的和最大的n值為8.故選：B.5.某地為了了解學(xué)生的睡眠時(shí)間，根據(jù)初中和高中學(xué)生的人數(shù)比例采用分層抽樣，抽取了40名初中生和20名高中生，調(diào)查發(fā)現(xiàn)初中生每天的平均睡眠時(shí)間為8小時(shí)，方差為2，高中生每天的平均睡眠時(shí)間為7小時(shí)，方差為1.根據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)，估計(jì)該地區(qū)中學(xué)生睡眠時(shí)間的總體方差約為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗該地區(qū)中學(xué)生每天睡眠時(shí)間的平均數(shù)為：（小時(shí)），該地區(qū)中學(xué)生每天睡眠時(shí)間方差為：.故選：D.6.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，若，，則正整數(shù)的取值為（）A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗C〖解析〗方法一：因?yàn)椋?，，所以，即，而，所以是非?fù)整數(shù)，又由圖象可得，所以，綜上，只能，所以的最小正周期為，而由，可知，即正整數(shù)是的周期，所以，即，對比選項(xiàng)可知只有C選項(xiàng)符合題意.方法二：設(shè)函數(shù)的最小正周期為，由于，故據(jù)圖象可知，從而.從而由表明，比對選項(xiàng)知C正確，A，B，D錯誤.故選：C.7.直線l與平面成角為，點(diǎn)P為平面外的一點(diǎn)，過點(diǎn)P與平面成角為，且與直線l所成角為的直線有（）A.0條 B.1條 C.2條 D.4條〖答案〗C〖解析〗如圖所示，設(shè)直線與平面相交于，直線在平面的射影為直線.且直線與平面所成角為，即.設(shè)圓錐的頂點(diǎn)為點(diǎn)，圓錐的軸平面，即圓錐的任意一條母線與平面所成角都等于.當(dāng)過點(diǎn)的母線為直線時(shí)，直線與平面所成角為，直線與直線所成角為，即,當(dāng)過點(diǎn)的母線沿逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到直線時(shí)，直線與直線所成角為，即，所以過點(diǎn)的直線從沿逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到直線時(shí)，與直線所成角的范圍為，故存在一條過點(diǎn)的直線與直線所成角為，同理可得，過點(diǎn)的直線從沿順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到直線時(shí)，也存在一條過點(diǎn)的直線與直線所成角為，所以過點(diǎn)的直線與平面所成角為，與直線所成角為的直線有2條.故選：C.8.已知函數(shù)，，若關(guān)于x的方程有三個(gè)不同實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗如圖，作出函數(shù)的圖象，令，由圖可知，當(dāng)時(shí)，關(guān)于的方程有個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，當(dāng)或時(shí)，關(guān)于的方程只有個(gè)實(shí)數(shù)根，因?yàn)殛P(guān)于x的方程有三個(gè)不同實(shí)數(shù)根，所以關(guān)于的方程的一個(gè)根在上，另一個(gè)根在上，或方程的兩個(gè)根一個(gè)為，另一個(gè)在上，若為方程的根時(shí)，則，當(dāng)時(shí)，方程的另一個(gè)根為，不符題意，當(dāng)時(shí)，方程的另一個(gè)根為，不符題意，若為方程的根時(shí)，則或，當(dāng)時(shí)，方程的另一個(gè)根為，不符題意，當(dāng)時(shí)，方程只有一個(gè)根為，不符題意，若關(guān)于的方程的一個(gè)根在上，另一個(gè)在上時(shí)，令，則，即，解得，綜上所述，實(shí)數(shù)t的取值范圍是.故選：B.二、選擇題9.已知向量，，為非零向量，下列說法正確的有（）A.若，，則B.已知向量，，則C.若，則和在上的投影向量相等D.已知，，，則點(diǎn)A，B，D一定共線〖答案〗CD〖解析〗對于A，若，，則與可能平行，故A錯誤；對于B，設(shè)，則，解得，所以，故B錯誤；對于C，若，則，所以，所以和在上的投影向量相等，故C正確；對于D，因?yàn)椋?，所?所以點(diǎn)A，B，D一定共線，故D正確.故選：CD.10.集合的整數(shù)元素的個(gè)數(shù)為，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，滿足，，且，都有成立，下列選項(xiàng)正確的是（）A.數(shù)列的通項(xiàng)公式為B.C.實(shí)數(shù)的取值范圍是D.數(shù)列中的每一項(xiàng)都不能夠被5整除〖答案〗D〖解析〗解，所以，即B錯誤；所以，則，兩式相減得：，當(dāng)時(shí)，，所以，不滿足上式，所以A錯誤；由上，當(dāng)時(shí)，由恒成立，則，等價(jià)變形得：，化簡得：，當(dāng)為偶數(shù)得：，則，所以，當(dāng)為奇數(shù)得：，由，所以，但是當(dāng)時(shí)，，而，由得：，解得，綜上可得：，所以C錯誤；當(dāng)時(shí)，，因?yàn)楹投寄鼙?整除，而一定不能被5整除，此時(shí)一定不能被5整除，而當(dāng)時(shí)，，顯然不能被5整除，所以D正確；故選：D．11.已知橢圓：與雙曲線：有公共焦點(diǎn)，，它們的離心率分別為，，P是它們在第一象限的交點(diǎn)，的內(nèi)切圓圓心為Q，，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，則B.若，則的最小值為C.過作直線的垂線，垂足為H，點(diǎn)H的軌跡是雙曲線D.兩個(gè)曲線在P點(diǎn)處的切線互相垂直〖答案〗ABD〖解析〗A選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，又，故，則⊥，由橢圓定義可得，由雙曲線定義可得，解得，由勾股定理得，即，化簡得，即，又，所以，A正確；B選項(xiàng)，若，由余弦定理得，即，由（1）得，代入上式得，即，即，因?yàn)橛?，所以，由基本不等式得，即，解得，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，則的最小值為，B正確；C選項(xiàng)，過作直線的垂線，垂足為H，延長交于點(diǎn)，因?yàn)槠椒?，由三線合一得，為的中點(diǎn)，則，連接，由中位線性質(zhì)得，故點(diǎn)H的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，C錯誤；D選項(xiàng)，下面證明橢圓在處的切線方程為，理由如下：當(dāng)時(shí)，故切線的斜率存在，設(shè)切線方程為，代入橢圓方程得：，由，化簡得：，所以，把代入，得：，于是，則橢圓的切線斜率為，切線方程為，整理得到，其中，故，即，當(dāng)時(shí)，此時(shí)或，當(dāng)時(shí)，切線方程為，滿足，當(dāng)時(shí)，切線方程為，滿足，綜上：橢圓在處的切線方程為；下面證明：上一點(diǎn)的切線方程為，理由如下：設(shè)過點(diǎn)的切線方程為，與聯(lián)立得，，由化簡得，因?yàn)?，代入上式得，整理得，同除以得，，即，因?yàn)?，，所以，?lián)立，兩式相乘得，，從而，故，即，令，則，即，解得，即，故橢圓：在點(diǎn)處的切線斜率為，雙曲線在點(diǎn)處切線斜率為，又，故，化簡得，又，所以，故則斜率乘積為，故兩曲線在點(diǎn)處的切線互相垂直，D正確.故選：ABD第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題12.已知復(fù)數(shù)z滿足，則的值為______.〖答案〗〖解析〗由題意可得，則，所以.故〖答案〗為：.13.在中，，，M是的中點(diǎn)，，則______，______.〖答案〗〖解析〗依題作出圖像，如圖：在中，，，，由余弦定理：，解得：，則，所以，解得：，故.故〖答案〗為：；14.已知實(shí)數(shù)，，則的最大值為______.〖答案〗2〖解析〗因?yàn)?，又因?yàn)?，，所以可由平方均值不等式得：，取等號條件是，即，所以上式可變?yōu)椋海〉忍枟l件是：，即，結(jié)合，可得取到最大值的條件是：.故〖答案〗為：2四、解答題15.設(shè)函數(shù).（1）若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，求k的取值范圍.解：（1）當(dāng)，，，，又.所以，整理得：.（2）由題意，在內(nèi)導(dǎo)數(shù)非負(fù)，即在上恒成立，令，從而需滿足：且，所以且，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意，所以k的取值范圍是.16.某商場為調(diào)查手機(jī)賣場各品牌手機(jī)在晚上19：30到21：00時(shí)段的銷售情況，隨機(jī)抽取了某一周該時(shí)段的銷售數(shù)據(jù)，并要求每個(gè)品牌只抽取一個(gè)款式的手機(jī)，且不考慮價(jià)格波動.手機(jī)品牌步步高三星華為蘋果vivo銷售總額（萬元）1.921.84.84.82.52銷售量431067銷售利潤率0.10.070.060.050.08銷售利潤率是指：一部手機(jī)銷售價(jià)格減去出廠價(jià)格得到的利潤與該手機(jī)銷售價(jià)格的比值.（1）從該公司本周該時(shí)段賣出的手機(jī)中隨機(jī)選一部，求這部手機(jī)利潤率高于0.07的概率；（2）從該公司本周該時(shí)段賣出的銷售單價(jià)為4800元的手機(jī)中隨機(jī)選取2部，求這兩部手機(jī)的利潤率不同的概率；（3）銷售一部步步高手機(jī)獲利元，銷售一部三星手機(jī)獲利元，…，銷售一部vivo手機(jī)獲利元，依據(jù)上表統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，隨機(jī)銷售一部手機(jī)獲利的期望為，設(shè)，試判斷與的大小.解：（1）由題意知，本周該時(shí)段共賣出30部手機(jī)，利潤率高于0.07的是步步高4部和vivo7部，共有11部.設(shè)“這部手機(jī)利潤率高于0.07”為事件A，則.（2）用銷售總額除以銷售量得到手機(jī)的銷售單價(jià)，可知步步高手機(jī)和華為手機(jī)銷售單價(jià)為4800元，有步步高手機(jī)4部，華為手機(jī)10部，共有14部，隨機(jī)選取2部有種不同方法，由于兩部手機(jī)的利潤率不同，則每類各取一部有種不同方法，設(shè)兩部手機(jī)的利潤率不同為事件B，則.（3）由題意可知利潤等于價(jià)格乘以利潤率，于是，，，，所以，x可能取的值為288，400，420，480.，，，因此，又所以.17.如圖，在五面體中，底面是菱形，，.（1）求證：；（2），M是的中點(diǎn)，O為的中點(diǎn)，且，.①求證：平面；②求直線與平面所成角的正弦值.（1）證明：因?yàn)榈酌媸橇庑?，所?又面，面.面，又因?yàn)槊?，面面，所?（2）①證明：取的中點(diǎn)G連結(jié)，.由已知，所以有.又因?yàn)镺為中點(diǎn)，所以，又，，所以.又，面.且，所以面，又因?yàn)槊?，所以，又，且，相?又因?yàn)?，面，所以面；②解：以O(shè)為原點(diǎn).以所在直線為z軸.以所確線為y軸.過O作平行線為x軸，建立空間直角坐標(biāo)系.如圖，，，，，，，，設(shè)面的法向量，，，，設(shè)所求線面角為，.18.已知拋物線的焦點(diǎn)為，拋物線的焦點(diǎn)為，，A，B，C為上不同的三點(diǎn).（1）求的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線過點(diǎn)，且斜率，求面積的最小值；（3）若直線，與相切，求證：直線也與相切.（1）解：根據(jù)題意得，，，，解得，所以，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）解：設(shè)直線為代入得，，設(shè)，，，則有，.點(diǎn)到直線的距離為，，，設(shè)，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，所以的最小值為.（3）證明：直線的方程為，，，，即，代入到得：，，即，①同理直線的方程為即，代入到得：，，即，②由①②，顯然，滿足方程，再將直線代入到得：，，所以直線也與相切.19.設(shè)數(shù)陣，其中.設(shè)，其中，且.定義變換為“對于數(shù)陣的每一列，若其中有t或，則將這一列中所有數(shù)均保持不變；若其中沒有t且沒有，則這一列中每個(gè)數(shù)都乘以”（），表示“將經(jīng)過變換得到，再將經(jīng)過變換得到，…，以此類推，最后將經(jīng)過變換得到.記數(shù)陣中四個(gè)數(shù)的和為.（1）若，，寫出經(jīng)過變換后得到的數(shù)陣，并求的值；（2）若，，求的所有可能取值的和；（3）對任意確定的一個(gè)數(shù)陣，證明：的所有可能取值的和不大于.（1）解：因?yàn)?，，?jīng)過變換得到的數(shù)陣，經(jīng)過變換得到的數(shù)陣，所以.（2）解：若，則或，可得，4種情況；若或，，則，可得，4種情況；若，從和中各取出一個(gè)元素a，b，，，，則，可得，8種；若，，則或，可得，4種情況；綜上，的所有可能取值的和；（3）證明：若，在的所有非空子集中，①含有且不含的子集共個(gè)，其中含有奇數(shù)個(gè)元素的集合有8個(gè)，經(jīng)過變換后第一列均仍為，；其中含有偶數(shù)個(gè)元素的集合有8個(gè)，經(jīng)過變換后第一列均變?yōu)?，；②含有且不含的子集共個(gè)，其中含有奇數(shù)個(gè)元素的集合有8個(gè)，經(jīng)過變換后第一列均仍為，；其中含有偶數(shù)個(gè)元素的集合有8個(gè)，經(jīng)過變換后第一列均變?yōu)椋?；③同時(shí)含有和的子集共個(gè)，其中含有奇數(shù)個(gè)元素的集合有8個(gè)，經(jīng)過變換后第一列均變?yōu)?，；其中含有偶?shù)個(gè)元素的集合有8個(gè)，經(jīng)過變換后第一列均仍為，；④不含也不含的子集共個(gè)，其中含有奇數(shù)個(gè)元素的集合有8個(gè)，經(jīng)過變換后第一列均變?yōu)椋?；其中含有偶?shù)個(gè)元素的集合有7個(gè)，經(jīng)過變換后第一列均變?yōu)?，；若，在的所有非空子集中，①含有的子集共個(gè)，其中含有奇數(shù)個(gè)元素的集合有16個(gè)，經(jīng)過變換后第一列均變?yōu)?，；其中含有偶?shù)個(gè)元素的集合有16個(gè)，經(jīng)過變換后第一列均仍為，；②不含的子集共個(gè)，其中含有奇數(shù)個(gè)元素的集合有16個(gè)，經(jīng)過變換后第一列均變?yōu)?，；其中含有偶?shù)個(gè)元素的集合有15個(gè)，經(jīng)過變換后第一列均仍為，；綜上，經(jīng)過變換后，所有的第一列數(shù)的和為同理，經(jīng)過變換后所有的第二列數(shù)的和為.所以所有可能取值的和為，又因?yàn)?，所以所有可能取值的和不超過.遼寧省葫蘆島市普通高中2024屆高三下學(xué)期第二次模擬考試數(shù)學(xué)試卷第Ⅰ卷（選擇題）一、選擇題1.已知集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗根據(jù)集合交集的定義立得.故選：A.2.設(shè)A，B是兩個(gè)隨機(jī)事件，且，，則下列正確的是（）A.若，則A與B相互獨(dú)立 B.C. D.A與B有可能是對立事件〖答案〗A〖解析〗對A：由，故，則有，故與相互獨(dú)立，故與相互獨(dú)立，故A正確；對B：，故B錯誤；對C：，由未定，故C錯誤；對D：，故與不是對立事件，故D錯誤.故選：A.3.某校要派4名教師到甲、乙兩個(gè)社區(qū)開展志愿者服務(wù)，若每個(gè)教師只去一個(gè)社區(qū)，且兩個(gè)社區(qū)都有教師去，則不同的安排方法有（）A.20種 B.14種 C.10種 D.7種〖答案〗B〖解析〗第一步：將4名教師分成兩組，有兩種情況：一種情況是1組1人、1組3人，一種情況是每組2人，共有種分法；第二步：將第一步得到的兩個(gè)不同組分給兩個(gè)不同社區(qū)，有種分法，則不同的安排方法有（種）.故選：B.4.等差數(shù)列中，，，則使得前n項(xiàng)的和最大的n值為（）A.7 B.8 C.9 D.10〖答案〗B〖解析〗在等差數(shù)列中，，由，可得，，，且數(shù)列為遞減數(shù)列，所以使得前n項(xiàng)的和最大的n值為8.故選：B.5.某地為了了解學(xué)生的睡眠時(shí)間，根據(jù)初中和高中學(xué)生的人數(shù)比例采用分層抽樣，抽取了40名初中生和20名高中生，調(diào)查發(fā)現(xiàn)初中生每天的平均睡眠時(shí)間為8小時(shí)，方差為2，高中生每天的平均睡眠時(shí)間為7小時(shí)，方差為1.根據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)，估計(jì)該地區(qū)中學(xué)生睡眠時(shí)間的總體方差約為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗該地區(qū)中學(xué)生每天睡眠時(shí)間的平均數(shù)為：（小時(shí)），該地區(qū)中學(xué)生每天睡眠時(shí)間方差為：.故選：D.6.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，若，，則正整數(shù)的取值為（）A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗C〖解析〗方法一：因?yàn)?，所以，，所以，即，而，所以是非?fù)整數(shù)，又由圖象可得，所以，綜上，只能，所以的最小正周期為，而由，可知，即正整數(shù)是的周期，所以，即，對比選項(xiàng)可知只有C選項(xiàng)符合題意.方法二：設(shè)函數(shù)的最小正周期為，由于，故據(jù)圖象可知，從而.從而由表明，比對選項(xiàng)知C正確，A，B，D錯誤.故選：C.7.直線l與平面成角為，點(diǎn)P為平面外的一點(diǎn)，過點(diǎn)P與平面成角為，且與直線l所成角為的直線有（）A.0條 B.1條 C.2條 D.4條〖答案〗C〖解析〗如圖所示，設(shè)直線與平面相交于，直線在平面的射影為直線.且直線與平面所成角為，即.設(shè)圓錐的頂點(diǎn)為點(diǎn)，圓錐的軸平面，即圓錐的任意一條母線與平面所成角都等于.當(dāng)過點(diǎn)的母線為直線時(shí)，直線與平面所成角為，直線與直線所成角為，即,當(dāng)過點(diǎn)的母線沿逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到直線時(shí)，直線與直線所成角為，即，所以過點(diǎn)的直線從沿逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到直線時(shí)，與直線所成角的范圍為，故存在一條過點(diǎn)的直線與直線所成角為，同理可得，過點(diǎn)的直線從沿順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到直線時(shí)，也存在一條過點(diǎn)的直線與直線所成角為，所以過點(diǎn)的直線與平面所成角為，與直線所成角為的直線有2條.故選：C.8.已知函數(shù)，，若關(guān)于x的方程有三個(gè)不同實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗如圖，作出函數(shù)的圖象，令，由圖可知，當(dāng)時(shí)，關(guān)于的方程有個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，當(dāng)或時(shí)，關(guān)于的方程只有個(gè)實(shí)數(shù)根，因?yàn)殛P(guān)于x的方程有三個(gè)不同實(shí)數(shù)根，所以關(guān)于的方程的一個(gè)根在上，另一個(gè)根在上，或方程的兩個(gè)根一個(gè)為，另一個(gè)在上，若為方程的根時(shí)，則，當(dāng)時(shí)，方程的另一個(gè)根為，不符題意，當(dāng)時(shí)，方程的另一個(gè)根為，不符題意，若為方程的根時(shí)，則或，當(dāng)時(shí)，方程的另一個(gè)根為，不符題意，當(dāng)時(shí)，方程只有一個(gè)根為，不符題意，若關(guān)于的方程的一個(gè)根在上，另一個(gè)在上時(shí)，令，則，即，解得，綜上所述，實(shí)數(shù)t的取值范圍是.故選：B.二、選擇題9.已知向量，，為非零向量，下列說法正確的有（）A.若，，則B.已知向量，，則C.若，則和在上的投影向量相等D.已知，，，則點(diǎn)A，B，D一定共線〖答案〗CD〖解析〗對于A，若，，則與可能平行，故A錯誤；對于B，設(shè)，則，解得，所以，故B錯誤；對于C，若，則，所以，所以和在上的投影向量相等，故C正確；對于D，因?yàn)?，，所?所以點(diǎn)A，B，D一定共線，故D正確.故選：CD.10.集合的整數(shù)元素的個(gè)數(shù)為，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，滿足，，且，都有成立，下列選項(xiàng)正確的是（）A.數(shù)列的通項(xiàng)公式為B.C.實(shí)數(shù)的取值范圍是D.數(shù)列中的每一項(xiàng)都不能夠被5整除〖答案〗D〖解析〗解，所以，即B錯誤；所以，則，兩式相減得：，當(dāng)時(shí)，，所以，不滿足上式，所以A錯誤；由上，當(dāng)時(shí)，由恒成立，則，等價(jià)變形得：，化簡得：，當(dāng)為偶數(shù)得：，則，所以，當(dāng)為奇數(shù)得：，由，所以，但是當(dāng)時(shí)，，而，由得：，解得，綜上可得：，所以C錯誤；當(dāng)時(shí)，，因?yàn)楹投寄鼙?整除，而一定不能被5整除，此時(shí)一定不能被5整除，而當(dāng)時(shí)，，顯然不能被5整除，所以D正確；故選：D．11.已知橢圓：與雙曲線：有公共焦點(diǎn)，，它們的離心率分別為，，P是它們在第一象限的交點(diǎn)，的內(nèi)切圓圓心為Q，，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，則B.若，則的最小值為C.過作直線的垂線，垂足為H，點(diǎn)H的軌跡是雙曲線D.兩個(gè)曲線在P點(diǎn)處的切線互相垂直〖答案〗ABD〖解析〗A選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，又，故，則⊥，由橢圓定義可得，由雙曲線定義可得，解得，由勾股定理得，即，化簡得，即，又，所以，A正確；B選項(xiàng)，若，由余弦定理得，即，由（1）得，代入上式得，即，即，因?yàn)橛?，所以，由基本不等式得，即，解得，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，則的最小值為，B正確；C選項(xiàng)，過作直線的垂線，垂足為H，延長交于點(diǎn)，因?yàn)槠椒郑扇€合一得，為的中點(diǎn)，則，連接，由中位線性質(zhì)得，故點(diǎn)H的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，C錯誤；D選項(xiàng)，下面證明橢圓在處的切線方程為，理由如下：當(dāng)時(shí)，故切線的斜率存在，設(shè)切線方程為，代入橢圓方程得：，由，化簡得：，所以，把代入，得：，于是，則橢圓的切線斜率為，切線方程為，整理得到，其中，故，即，當(dāng)時(shí)，此時(shí)或，當(dāng)時(shí)，切線方程為，滿足，當(dāng)時(shí)，切線方程為，滿足，綜上：橢圓在處的切線方程為；下面證明：上一點(diǎn)的切線方程為，理由如下：設(shè)過點(diǎn)的切線方程為，與聯(lián)立得，，由化簡得，因?yàn)椋肷鲜降?，整理得，同除以得，，即，因?yàn)?，，所以，?lián)立，兩式相乘得，，從而，故，即，令，則，即，解得，即，故橢圓：在點(diǎn)處的切線斜率為，雙曲線在點(diǎn)處切線斜率為，又，故，化簡得，又，所以，故則斜率乘積為，故兩曲線在點(diǎn)處的切線互相垂直，D正確.故選：ABD第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題12.已知復(fù)數(shù)z滿足，則的值為______.〖答案〗〖解析〗由題意可得，則，所以.故〖答案〗為：.13.在中，，，M是的中點(diǎn)，，則______，______.〖答案〗〖解析〗依題作出圖像，如圖：在中，，，，由余弦定理：，解得：，則，所以，解得：，故.故〖答案〗為：；14.已知實(shí)數(shù)，，則的最大值為______.〖答案〗2〖解析〗因?yàn)?，又因?yàn)椋?，所以可由平方均值不等式得：，取等號條件是，即，所以上式可變?yōu)椋?，取等號條件是：，即，結(jié)合，可得取到最大值的條件是：.故〖答案〗為：2四、解答題15.設(shè)函數(shù).（1）若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，求k的取值范圍.解：（1）當(dāng)，，，，又.所以，整理得：.（2）由題意，在內(nèi)導(dǎo)數(shù)非負(fù)，即在上恒成立，令，從而需滿足：且，所以且，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意，所以k的取值范圍是.16.某商場為調(diào)查手機(jī)賣場各品牌手機(jī)在晚上19：30到21：00時(shí)段的銷售情況，隨機(jī)抽取了某一周該時(shí)段的銷售數(shù)據(jù)，并要求每個(gè)品牌只抽取一個(gè)款式的手機(jī)，且不考慮價(jià)格波動.手機(jī)品牌步步高三星華為蘋果vivo銷售總額（萬元）1.921.84.84.82.52銷售量431067銷售利潤率0.10.070.060.050.08銷售利潤率是指：一部手機(jī)銷售價(jià)格減去出廠價(jià)格得到的利潤與該手機(jī)銷售價(jià)格的比值.（1）從該公司本周該時(shí)段賣出的手機(jī)中隨機(jī)選一部，求這部手機(jī)利潤率高于0.07的概率；（2）從該公司本周該時(shí)段賣出的銷售單價(jià)為4800元的手機(jī)中隨機(jī)選取2部，求這兩部手機(jī)的利潤率不同的概率；（3）銷售一部步步高手機(jī)獲利元，銷售一部三星手機(jī)獲利元，…，銷售一部vivo手機(jī)獲利元，依據(jù)上表統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，隨機(jī)銷售一部手機(jī)獲利的期望為，設(shè)，試判斷與的大小.解：（1）由題意知，本周該時(shí)段共賣出30部手機(jī)，利潤率高于0.07的是步步高4部和vivo7部，共有11部.設(shè)“這部手機(jī)利潤率高于0.07”為事件A，則.（2）用銷售總額除以銷售量得到手機(jī)的銷售單價(jià)，可知步步高手機(jī)和華為手機(jī)銷售單價(jià)為4800元，有步步高手機(jī)4部，華為手機(jī)10部，共有14部，隨機(jī)選取2部有種不同方法，由于兩部手機(jī)的利潤率不同，則每類各取一部有種不同方法，設(shè)兩部手機(jī)的利潤率不同為事件B，則.（3）由題意可知利潤等于價(jià)格乘以利潤率，于是，，，，所以，x可能取的值為288，400，420，480.，，，因此，又所以.17.如圖，在五面體中，底面是菱形，，.（1）求證：；（2），M是的中點(diǎn)，O為的中點(diǎn)，且，.①求證：平面；②求直線與平面所成角的正弦值.（1）證明：因?yàn)榈酌媸橇庑?，所?又面，面.面，又因?yàn)槊?，面面，所?（2）①證明：取的中點(diǎn)G連結(jié)，.由已知，所以有.又因?yàn)镺為中點(diǎn)，所以，又，，所以.又，面.且，所以面，又因?yàn)槊?，所以，又，且，相?又因?yàn)?，面，所以面；②解：以O(shè)為原點(diǎn).以所在直線為z軸.以所確線為y軸.過O作平行線為x軸，建立空間直角坐標(biāo)系.如圖，，，，，，，，設(shè)面的法向量，，，，設(shè)所求線面角為，.18.已知拋物線的焦點(diǎn)為，拋物線的焦點(diǎn)為，，A，B，C為上不同的三點(diǎn).（1）求的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線過點(diǎn)，且