專題11圓與圓的對稱性（4個知識點7種題1個易錯點）（原卷版）-初中數(shù)學北師大版9年級上冊

專題11圓與圓的對稱性（4個知識點7種題1個易錯點）【目錄】倍速學習四種方法【方法一】脈絡梳理法知識點1.圓的相關定義（重點）知識點2.點與圓的位置關系（難點）知識點3.圓的對稱性（重點）知識點4.圓心角、弧、弦之間的關系（難點）【方法二】實例探索法題型1.圓的相關概念的考查題型2.點與圓的位置關系判斷題型3.分類討論思想的應用題型4.點與圓的位置關系的實際應用題型5.圓與三角形題型6.優(yōu)弧、劣弧的判斷題型7.輔助線的添加方法【方法三】差異對比法易錯點1：在解題中忽略了點與圓的多種位置關系【方法四】成果評定法【學習目標】理解圓、等圓、等弧等概念，深刻認識圓中的基本概念。掌握點與圓的三種位置關系。3.了解圓是中心對稱圖形和軸對稱圖形，并能確定圓的對稱軸。4.能運用圓的對稱性推出在同一個圓中，圓心角、弧、弦之間的關系，能運用這些關系解決問題?！局R導圖】【倍速學習五種方法】【方法一】脈絡梳理法知識點1.圓的相關定義（重點）1.圓的定義(1)動態(tài)：如圖，在一個平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個端點O旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點A隨之旋轉(zhuǎn)所形成的圖形叫做圓，固定的端點O叫做圓心，線段OA叫做半徑.以點O為圓心的圓，記作“⊙O”，讀作“圓O”．

要點詮釋：

①圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小；確定一個圓應先確定圓心，再確定半徑，二者缺一不可；

②圓是一條封閉曲線.(2)靜態(tài)：圓心為O，半徑為r的圓是平面內(nèi)到定點O的距離等于定長r的點的集合.

要點詮釋：

①定點為圓心，定長為半徑；

②圓指的是圓周，而不是圓面；

③強調(diào)“在一個平面內(nèi)”是非常必要的，事實上，在空間中，到定點的距離等于定長的點的集合是球面，一個閉合的曲面.2.弦弦：連結圓上任意兩點的線段叫做弦.

直徑：經(jīng)過圓心的弦叫做直徑.弦心距：圓心到弦的距離叫做弦心距.

要點詮釋：

直徑是圓中通過圓心的特殊弦，也是圓中最長的弦，即直徑是弦，但弦不一定是直徑.

為什么直徑是圓中最長的弦？如圖，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O中任意一條弦，求證：AB≥CD.

證明：連結OC、OD

∵AB=AO+OB=CO+OD≥CD(當且僅當CD過圓心O時，取“=”號)

∴直徑AB是⊙O中最長的弦.

【例1】（2022秋·江蘇淮安·九年級?？茧A段練習）如圖，圖中⊙O的弦共有（

）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條3.弧

?。簣A上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧.以A、B為端點的弧記作，讀作“圓弧AB”或“弧AB”.

半圓：圓的任意一條直徑的兩個端點把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓；

優(yōu)?。捍笥诎雸A的弧叫做優(yōu)弧；

劣?。盒∮诎雸A的弧叫做劣弧.

要點詮釋：

①半圓是弧，而弧不一定是半圓；

②無特殊說明時，弧指的是劣弧.【例2】（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）（1）圖①中有條弧，分別為；（2）寫出圖②中的一個半圓；劣弧：；優(yōu)弧：．5.同心圓與等圓

圓心相同，半徑不等的兩個圓叫做同心圓.

圓心不同，半徑相等的兩個圓叫做等圓.同圓或等圓的半徑相等.6.等弧

在同圓或等圓中，能夠完全重合的弧叫做等弧.

要點詮釋：

①等弧成立的前提條件是在同圓或等圓中，不能忽視；

②圓中兩平行弦所夾的弧相等.【例3】下列說法中，結論錯誤的是（）A．直徑相等的兩個圓是等圓B．長度相等的兩條弧是等弧C．圓中最長的弦是直徑D．一條弦把圓分成兩條弧，這兩條弧可能是等弧知識點2.點與圓的位置關系（難點）（1）點與圓的位置關系有3種．設⊙O的半徑為r，點P到圓心的距離OP＝d，則有：①點P在圓外?d＞r②點P在圓上?d＝r①點P在圓內(nèi)?d＜r（2）點的位置可以確定該點到圓心距離與半徑的關系，反過來已知點到圓心距離與半徑的關系可以確定該點與圓的位置關系．（3）符號“?”讀作“等價于”，它表示從符號“?”的左端可以得到右端，從右端也可以得到左端．【例4】（2023春·江蘇蘇州·九年級統(tǒng)考階段練習）已知的半徑為4，點A到圓心O的距離為4，則點A與的位置關系是（

）A．點A在圓內(nèi) B．點A在圓上 C．點A在圓外 D．無法確定知識點3.圓的對稱性（重點）（1）圓是中心對稱圖形，圓心是它的對稱中心（2）圓是軸對稱圖形，過圓心的任意一條直線都是它的對稱軸。【例5】下列關于圖形對稱性的命題，正確的是（）A．圓既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形 B．正三角形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形 C．線段是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形 D．菱形是中心對稱圖形，但不是軸對稱圖形知識點4.圓心角、弧、弦之間的關系（難點）（1）定理：在同圓和等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等．（2）推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量都分別相等．說明：同一條弦對應兩條弧，其中一條是優(yōu)弧，一條是劣弧，而在本定理和推論中的“弧”是指同為優(yōu)弧或劣弧．（3）圓心角的度數(shù)與它所對的弧的度數(shù)相等注意：（1）正確理解和使用圓心角、弧、弦三者的關系三者關系可理解為：在同圓或等圓中，①圓心角相等，②所對的弧相等，③所對的弦相等，三項“知一推二”，一項相等，其余二項皆相等．這源于圓的旋轉(zhuǎn)不變性，即：圓繞其圓心旋轉(zhuǎn)任意角度，所得圖形與原圖形完全重合．（2）在具體應用上述定理解決問題時，可根據(jù)需要，選擇其有關部分．【例6】（2022秋?溧水區(qū)期中）如圖，C是的中點，弦AB＝8，CD⊥AB，且CD＝2，則所在圓的半徑為（）A．4 B．5 C．6 D．10【方法二】實例探索法題型1.圓的相關概念的考查1.下列說法中，結論錯誤的是（）A．直徑相等的兩個圓是等圓B．長度相等的兩條弧是等弧C．圓中最長的弦是直徑D．一條弦把圓分成兩條弧，這兩條弧可能是等弧2．下列說法中，正確的是（）A．兩個半圓是等弧B．同圓中優(yōu)弧與半圓的差必是劣弧C．長度相等的弧是等弧D．同圓中優(yōu)弧與劣弧的差必是優(yōu)弧3.下列命題中，正確的個數(shù)是（）

⑴直徑是弦，但弦不一定是直徑；⑵半圓是弧，但弧不一定是半圓；

⑶半徑相等且圓心不同的兩個圓是等圓；⑷一條弦把圓分成的兩段弧中，至少有一段是優(yōu)弧.

A.1個B.2個C.3個D.4個題型2.點與圓的位置關系判斷4.已知圓的半徑等于5cm，根據(jù)下列點P到圓心的距離：(1)4cm；(2)5cm；(3)6cm，判定點P與圓的位置關系，并說明理由.題型3.分類討論思想的應用5.已知⊙O的半徑r＝5cm，圓心O到直線的距離d＝OD＝3cm，在直線上有P、Q、R三點，且有PD＝4cm，QD＞4cm，RD＜4cm，P、Q、R三點與⊙O位置關系各是怎樣的?題型4.點與圓的位置關系的實際應用6．如圖，⊙O的直徑為10，弦AB=8，P是弦AB上的一個動點，那么OP的長的取值范圍是.題型5.圓與三角形7．（2023·江蘇南京·統(tǒng)考二模）如圖，的半徑為2，是的一條弦，以為邊作一個等邊，則長的取值范圍是．題型6.優(yōu)弧、劣弧的判斷8．下列說法中，正確的是（）A．兩個半圓是等弧B．同圓中優(yōu)弧與半圓的差必是劣弧C．長度相等的弧是等弧D．同圓中優(yōu)弧與劣弧的差必是優(yōu)弧題型7.輔助線的添加方法9．（2021?南京）如圖，AB是⊙O的弦，C是的中點，OC交AB于點D．若AB＝8cm，CD＝2cm，則⊙O的半徑為cm．【方法三】差異對比法易錯點1：在解題中忽略了點與圓的多種位置關系10．圓O所在平面上的一點P到圓O上的點的最大距離是10，最小距離是2，求此圓的半徑是多少？11.已知：⊙O的半徑為10cm，弦AB∥CD，AB=12cm，CD=16cm，求AB、CD間的距離.【方法四】成果評定法一．選擇題（共7小題）1．（2023秋?天寧區(qū)校級期中）如圖，在中，，，以點為圓心，為半徑的圓分別交、于點、點，則弧的度數(shù)為A． B． C． D．2．（2023秋?沭陽縣月考）如圖，是的直徑，，若，則的度數(shù)是A． B． C． D．3．（2023?鼓樓區(qū)校級開學）下列說法：（1）長度相等的弧是等弧，（2）相等的圓心角所對的弧相等，（3）劣弧一定比優(yōu)弧短，（4）直徑是圓中最長的弦．其中正確的有A．1個 B．2個 C．3個 D．4個4．（2023春?沭陽縣月考）已知的半徑為．若點到圓心的距離為，則點A．在內(nèi) B．在上 C．在外 D．無法確定5．（2023秋?邗江區(qū)校級月考）如圖，，，是上三個點，，則下列說法中正確的是A． B．四邊形內(nèi)接于 C． D．6．（2023秋?沭陽縣期中）如圖，點，，在上，，，，則的半徑為A． B． C． D．7．（2023秋?梁溪區(qū)校級月考）如圖，在中，點在優(yōu)弧上，將弧沿折疊后剛好經(jīng)過的中點．若的半徑為，，則的面積是A．3 B．1.5 C． D．二．填空題（共7小題）8．（2023秋?興化市月考）一條弦把圓分成兩部分，則這條弦所對的圓周角的度數(shù)是．9．（2023秋?南京期中）在中，弦的長恰好等于半徑，弦所對的圓心角為．10．（2022秋?東臺市校級月考）已知中最長的弦為12厘米，則此圓半徑為厘米．11．（2022秋?南京月考）如圖，，，是上三點，，，則的大小為．12．（2023秋?溧陽市期中）如圖，中，四邊形內(nèi)接于圓，是直徑，，若，則．13．（2023秋?大豐區(qū)校級月考）如圖，是的直徑，是的中點，若，則的度數(shù)為．14．（2023秋?銅山區(qū)期中）如圖點、、、在上，且，是延長線上一點，且，是中點，若，則．三．解答題（共6小題）15．（2023秋?工業(yè)園區(qū)校級期中）已知點、、、在上，，判斷弦與是否相等，并說明理由．16．（2023秋?沭陽縣月考）如圖，在中，是直徑，是弦，延長，相交于點，且，，求的度數(shù)．17．（2023秋?相城區(qū)校級月考）如圖，在中，以點為圓心畫弧分別交，的延長線和于，，，連接并延長交于，．（1）求證：；（2）連接，判斷與的位置關系，并說明理由．18．（2023秋?通州區(qū)期中）如圖，中，弦