專題11圓與圓的對(duì)稱性（4個(gè)知識(shí)點(diǎn)7種題1個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)）（原卷版）-初中數(shù)學(xué)北師大版9年級(jí)上冊(cè)

專題11圓與圓的對(duì)稱性（4個(gè)知識(shí)點(diǎn)7種題1個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)）【目錄】倍速學(xué)習(xí)四種方法【方法一】脈絡(luò)梳理法知識(shí)點(diǎn)1.圓的相關(guān)定義（重點(diǎn)）知識(shí)點(diǎn)2.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系（難點(diǎn)）知識(shí)點(diǎn)3.圓的對(duì)稱性（重點(diǎn)）知識(shí)點(diǎn)4.圓心角、弧、弦之間的關(guān)系（難點(diǎn)）【方法二】實(shí)例探索法題型1.圓的相關(guān)概念的考查題型2.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系判斷題型3.分類討論思想的應(yīng)用題型4.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的實(shí)際應(yīng)用題型5.圓與三角形題型6.優(yōu)弧、劣弧的判斷題型7.輔助線的添加方法【方法三】差異對(duì)比法易錯(cuò)點(diǎn)1：在解題中忽略了點(diǎn)與圓的多種位置關(guān)系【方法四】成果評(píng)定法【學(xué)習(xí)目標(biāo)】理解圓、等圓、等弧等概念，深刻認(rèn)識(shí)圓中的基本概念。掌握點(diǎn)與圓的三種位置關(guān)系。3.了解圓是中心對(duì)稱圖形和軸對(duì)稱圖形，并能確定圓的對(duì)稱軸。4.能運(yùn)用圓的對(duì)稱性推出在同一個(gè)圓中，圓心角、弧、弦之間的關(guān)系，能運(yùn)用這些關(guān)系解決問(wèn)題?！局R(shí)導(dǎo)圖】【倍速學(xué)習(xí)五種方法】【方法一】脈絡(luò)梳理法知識(shí)點(diǎn)1.圓的相關(guān)定義（重點(diǎn)）1.圓的定義(1)動(dòng)態(tài)：如圖，在一個(gè)平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)A隨之旋轉(zhuǎn)所形成的圖形叫做圓，固定的端點(diǎn)O叫做圓心，線段OA叫做半徑.以點(diǎn)O為圓心的圓，記作“⊙O”，讀作“圓O”．

要點(diǎn)詮釋：

①圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大??；確定一個(gè)圓應(yīng)先確定圓心，再確定半徑，二者缺一不可；

②圓是一條封閉曲線.(2)靜態(tài)：圓心為O，半徑為r的圓是平面內(nèi)到定點(diǎn)O的距離等于定長(zhǎng)r的點(diǎn)的集合.

要點(diǎn)詮釋：

①定點(diǎn)為圓心，定長(zhǎng)為半徑；

②圓指的是圓周，而不是圓面；

③強(qiáng)調(diào)“在一個(gè)平面內(nèi)”是非常必要的，事實(shí)上，在空間中，到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合是球面，一個(gè)閉合的曲面.2.弦弦：連結(jié)圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦.

直徑：經(jīng)過(guò)圓心的弦叫做直徑.弦心距：圓心到弦的距離叫做弦心距.

要點(diǎn)詮釋：

直徑是圓中通過(guò)圓心的特殊弦，也是圓中最長(zhǎng)的弦，即直徑是弦，但弦不一定是直徑.

為什么直徑是圓中最長(zhǎng)的弦？如圖，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O中任意一條弦，求證：AB≥CD.

證明：連結(jié)OC、OD

∵AB=AO+OB=CO+OD≥CD(當(dāng)且僅當(dāng)CD過(guò)圓心O時(shí)，取“=”號(hào))

∴直徑AB是⊙O中最長(zhǎng)的弦.

【例1】（2022秋·江蘇淮安·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，圖中⊙O的弦共有（

）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條3.弧

弧：圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡(jiǎn)稱弧.以A、B為端點(diǎn)的弧記作，讀作“圓弧AB”或“弧AB”.

半圓：圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓；

優(yōu)?。捍笥诎雸A的弧叫做優(yōu)弧；

劣弧：小于半圓的弧叫做劣弧.

要點(diǎn)詮釋：

①半圓是弧，而弧不一定是半圓；

②無(wú)特殊說(shuō)明時(shí)，弧指的是劣弧.【例2】（2023·江蘇·九年級(jí)假期作業(yè)）（1）圖①中有條弧，分別為；（2）寫(xiě)出圖②中的一個(gè)半圓；劣?。海粌?yōu)?。海?.同心圓與等圓

圓心相同，半徑不等的兩個(gè)圓叫做同心圓.

圓心不同，半徑相等的兩個(gè)圓叫做等圓.同圓或等圓的半徑相等.6.等弧

在同圓或等圓中，能夠完全重合的弧叫做等弧.

要點(diǎn)詮釋：

①等弧成立的前提條件是在同圓或等圓中，不能忽視；

②圓中兩平行弦所夾的弧相等.【例3】下列說(shuō)法中，結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．直徑相等的兩個(gè)圓是等圓B．長(zhǎng)度相等的兩條弧是等弧C．圓中最長(zhǎng)的弦是直徑D．一條弦把圓分成兩條弧，這兩條弧可能是等弧知識(shí)點(diǎn)2.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系（難點(diǎn)）（1）點(diǎn)與圓的位置關(guān)系有3種．設(shè)⊙O的半徑為r，點(diǎn)P到圓心的距離OP＝d，則有：①點(diǎn)P在圓外?d＞r②點(diǎn)P在圓上?d＝r①點(diǎn)P在圓內(nèi)?d＜r（2）點(diǎn)的位置可以確定該點(diǎn)到圓心距離與半徑的關(guān)系，反過(guò)來(lái)已知點(diǎn)到圓心距離與半徑的關(guān)系可以確定該點(diǎn)與圓的位置關(guān)系．（3）符號(hào)“?”讀作“等價(jià)于”，它表示從符號(hào)“?”的左端可以得到右端，從右端也可以得到左端．【例4】（2023春·江蘇蘇州·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）已知的半徑為4，點(diǎn)A到圓心O的距離為4，則點(diǎn)A與的位置關(guān)系是（

）A．點(diǎn)A在圓內(nèi) B．點(diǎn)A在圓上 C．點(diǎn)A在圓外 D．無(wú)法確定知識(shí)點(diǎn)3.圓的對(duì)稱性（重點(diǎn)）（1）圓是中心對(duì)稱圖形，圓心是它的對(duì)稱中心（2）圓是軸對(duì)稱圖形，過(guò)圓心的任意一條直線都是它的對(duì)稱軸?！纠?】下列關(guān)于圖形對(duì)稱性的命題，正確的是（）A．圓既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形 B．正三角形既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形 C．線段是軸對(duì)稱圖形，但不是中心對(duì)稱圖形 D．菱形是中心對(duì)稱圖形，但不是軸對(duì)稱圖形知識(shí)點(diǎn)4.圓心角、弧、弦之間的關(guān)系（難點(diǎn)）（1）定理：在同圓和等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦也相等．（2）推論：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等．說(shuō)明：同一條弦對(duì)應(yīng)兩條弧，其中一條是優(yōu)弧，一條是劣弧，而在本定理和推論中的“弧”是指同為優(yōu)弧或劣?。?）圓心角的度數(shù)與它所對(duì)的弧的度數(shù)相等注意：（1）正確理解和使用圓心角、弧、弦三者的關(guān)系三者關(guān)系可理解為：在同圓或等圓中，①圓心角相等，②所對(duì)的弧相等，③所對(duì)的弦相等，三項(xiàng)“知一推二”，一項(xiàng)相等，其余二項(xiàng)皆相等．這源于圓的旋轉(zhuǎn)不變性，即：圓繞其圓心旋轉(zhuǎn)任意角度，所得圖形與原圖形完全重合．（2）在具體應(yīng)用上述定理解決問(wèn)題時(shí)，可根據(jù)需要，選擇其有關(guān)部分．【例6】（2022秋?溧水區(qū)期中）如圖，C是的中點(diǎn)，弦AB＝8，CD⊥AB，且CD＝2，則所在圓的半徑為（）A．4 B．5 C．6 D．10【方法二】實(shí)例探索法題型1.圓的相關(guān)概念的考查1.下列說(shuō)法中，結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．直徑相等的兩個(gè)圓是等圓B．長(zhǎng)度相等的兩條弧是等弧C．圓中最長(zhǎng)的弦是直徑D．一條弦把圓分成兩條弧，這兩條弧可能是等弧2．下列說(shuō)法中，正確的是（）A．兩個(gè)半圓是等弧B．同圓中優(yōu)弧與半圓的差必是劣弧C．長(zhǎng)度相等的弧是等弧D．同圓中優(yōu)弧與劣弧的差必是優(yōu)弧3.下列命題中，正確的個(gè)數(shù)是（）

⑴直徑是弦，但弦不一定是直徑；⑵半圓是弧，但弧不一定是半圓；

⑶半徑相等且圓心不同的兩個(gè)圓是等圓；⑷一條弦把圓分成的兩段弧中，至少有一段是優(yōu)弧.

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)題型2.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系判斷4.已知圓的半徑等于5cm，根據(jù)下列點(diǎn)P到圓心的距離：(1)4cm；(2)5cm；(3)6cm，判定點(diǎn)P與圓的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.題型3.分類討論思想的應(yīng)用5.已知⊙O的半徑r＝5cm，圓心O到直線的距離d＝OD＝3cm，在直線上有P、Q、R三點(diǎn)，且有PD＝4cm，QD＞4cm，RD＜4cm，P、Q、R三點(diǎn)與⊙O位置關(guān)系各是怎樣的?題型4.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的實(shí)際應(yīng)用6．如圖，⊙O的直徑為10，弦AB=8，P是弦AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，那么OP的長(zhǎng)的取值范圍是.題型5.圓與三角形7．（2023·江蘇南京·統(tǒng)考二模）如圖，的半徑為2，是的一條弦，以為邊作一個(gè)等邊，則長(zhǎng)的取值范圍是．題型6.優(yōu)弧、劣弧的判斷8．下列說(shuō)法中，正確的是（）A．兩個(gè)半圓是等弧B．同圓中優(yōu)弧與半圓的差必是劣弧C．長(zhǎng)度相等的弧是等弧D．同圓中優(yōu)弧與劣弧的差必是優(yōu)弧題型7.輔助線的添加方法9．（2021?南京）如圖，AB是⊙O的弦，C是的中點(diǎn)，OC交AB于點(diǎn)D．若AB＝8cm，CD＝2cm，則⊙O的半徑為cm．【方法三】差異對(duì)比法易錯(cuò)點(diǎn)1：在解題中忽略了點(diǎn)與圓的多種位置關(guān)系10．圓O所在平面上的一點(diǎn)P到圓O上的點(diǎn)的最大距離是10，最小距離是2，求此圓的半徑是多少？11.已知：⊙O的半徑為10cm，弦AB∥CD，AB=12cm，CD=16cm，求AB、CD間的距離.【方法四】成果評(píng)定法一．選擇題（共7小題）1．（2023秋?天寧區(qū)校級(jí)期中）如圖，在中，，，以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓分別交、于點(diǎn)、點(diǎn)，則弧的度數(shù)為A． B． C． D．2．（2023秋?沭陽(yáng)縣月考）如圖，是的直徑，，若，則的度數(shù)是A． B． C． D．3．（2023?鼓樓區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)）下列說(shuō)法：（1）長(zhǎng)度相等的弧是等弧，（2）相等的圓心角所對(duì)的弧相等，（3）劣弧一定比優(yōu)弧短，（4）直徑是圓中最長(zhǎng)的弦．其中正確的有A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)4．（2023春?沭陽(yáng)縣月考）已知的半徑為．若點(diǎn)到圓心的距離為，則點(diǎn)A．在內(nèi) B．在上 C．在外 D．無(wú)法確定5．（2023秋?邗江區(qū)校級(jí)月考）如圖，，，是上三個(gè)點(diǎn)，，則下列說(shuō)法中正確的是A． B．四邊形內(nèi)接于 C． D．6．（2023秋?沭陽(yáng)縣期中）如圖，點(diǎn)，，在上，，，，則的半徑為A． B． C． D．7．（2023秋?梁溪區(qū)校級(jí)月考）如圖，在中，點(diǎn)在優(yōu)弧上，將弧沿折疊后剛好經(jīng)過(guò)的中點(diǎn)．若的半徑為，，則的面積是A．3 B．1.5 C． D．二．填空題（共7小題）8．（2023秋?興化市月考）一條弦把圓分成兩部分，則這條弦所對(duì)的圓周角的度數(shù)是．9．（2023秋?南京期中）在中，弦的長(zhǎng)恰好等于半徑，弦所對(duì)的圓心角為．10．（2022秋?東臺(tái)市校級(jí)月考）已知中最長(zhǎng)的弦為12厘米，則此圓半徑為厘米．11．（2022秋?南京月考）如圖，，，是上三點(diǎn)，，，則的大小為．12．（2023秋?溧陽(yáng)市期中）如圖，中，四邊形內(nèi)接于圓，是直徑，，若，則．13．（2023秋?大豐區(qū)校級(jí)月考）如圖，是的直徑，是的中點(diǎn)，若，則的度數(shù)為．14．（2023秋?銅山區(qū)期中）如圖點(diǎn)、、、在上，且，是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且，是中點(diǎn)，若，則．三．解答題（共6小題）15．（2023秋?工業(yè)園區(qū)校級(jí)期中）已知點(diǎn)、、、在上，，判斷弦與是否相等，并說(shuō)明理由．16．（2023秋?沭陽(yáng)縣月考）如圖，在中，是直徑，是弦，延長(zhǎng)，相交于點(diǎn)，且，，求的度數(shù)．17．（2023秋?相城區(qū)校級(jí)月考）如圖，在中，以點(diǎn)為圓心畫(huà)弧分別交，的延長(zhǎng)線和于，，，連接并延長(zhǎng)交于，．（1）求證：；（2）連接，判斷與的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．18．（2023秋?通州區(qū)期中）如圖，中，弦