專題02 30°45°60°角的三角函數(shù)值（1個(gè)知識(shí)點(diǎn)5種題型1個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)1中中考考法）（原卷版）-初中數(shù)學(xué)北師大版9年級(jí)上冊(cè)

專題0230°45°60°角的三角函數(shù)值（1個(gè)知識(shí)點(diǎn)5種題型1個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)1中中考考法）【目錄】倍速學(xué)習(xí)五種方法【方法一】脈絡(luò)梳理法知識(shí)點(diǎn)1.特殊角的三角函數(shù)值（重點(diǎn)、難點(diǎn)）【方法二】實(shí)例探索法題型1.已知三角函數(shù)值求角的度數(shù)題型2.直接利用特殊角的三角函數(shù)值計(jì)算題型3.利用特殊角的三角函數(shù)值判定三角形的形狀題型4.特殊三角函數(shù)值與平面直角坐標(biāo)系題型5.特殊三角函數(shù)值的應(yīng)用【方法三】差異對(duì)比法易錯(cuò)點(diǎn)：將特殊角的三角函數(shù)值記混【方法四】仿真實(shí)戰(zhàn)法考法.特殊角的三角函數(shù)值【方法五】成果評(píng)定法【學(xué)習(xí)目標(biāo)】知道30°45°60°角的三角函數(shù)值熟記特殊角的三角函數(shù)值，并會(huì)進(jìn)行相關(guān)的計(jì)算。重點(diǎn)：30°45°60°角的三角函數(shù)值難點(diǎn)：利用特殊角的三角函數(shù)值進(jìn)行相關(guān)的計(jì)算?！颈端賹W(xué)習(xí)五種方法】【方法一】脈絡(luò)梳理法知識(shí)點(diǎn)1.特殊角的三角函數(shù)值（重點(diǎn)、難點(diǎn)）（1）特指30°、45°、60°角的各種三角函數(shù)值．sin30°＝；cos30°＝；tan30°＝；sin45°＝；cos45°＝；tan45°＝1；sin60°＝；cos60°＝；tan60°＝；（2）應(yīng)用中要熟記特殊角的三角函數(shù)值，一是按值的變化規(guī)律去記，正弦逐漸增大，余弦逐漸減小，正切逐漸增大；二是按特殊直角三角形中各邊特殊值規(guī)律去記．（3）特殊角的三角函數(shù)值應(yīng)用廣泛，一是它可以當(dāng)作數(shù)進(jìn)行運(yùn)算，二是具有三角函數(shù)的特點(diǎn)，在解直角三角形中應(yīng)用較多．【例】．（2023秋?張店區(qū)期中）計(jì)算：（1）2sin30°﹣sin45°?cos45°；（2）（﹣1）2023+2sin45°﹣cos30°+sin60°+tan260°．【變式】．（2023秋?任城區(qū)期中）計(jì)算：2sin30°﹣cos245°+cos60°．【方法二】實(shí)例探索法題型1.已知三角函數(shù)值求角的度數(shù)1．（2023秋?沙河口區(qū)期中）已知tanA＝，∠A是銳角，則∠A的度數(shù)為（）A．30° B．45° C．60° D．90°2．（2023秋?廣饒縣期中）在△ABC中，若|sinA﹣|+（﹣cosB）2＝0，則∠C的度數(shù)是（）A．45° B．75° C．105° D．120°3．（2023秋?樂亭縣期中）在△ABC中，若，則∠C的度數(shù)是（）A．45° B．60° C．75° D．105°4．（2023春?拱墅區(qū)校級(jí)期中）若cosA＝，則銳角∠A＝．題型2.直接利用特殊角的三角函數(shù)值計(jì)算5．（2023秋?槐蔭區(qū)期中）2cos45°的值等于（）A． B． C．1 D．26．（2023秋?蘇州期中）cos60°的值等于（）A． B． C． D．7．（2023秋?昌黎縣期中）計(jì)算：tan60°﹣sin245°+tan45°﹣2cos30°＝．8．（2023秋?槐蔭區(qū)期中）計(jì)算：2cos30°﹣tan60°+sin45°cos45°．題型3.利用特殊角的三角函數(shù)值判定三角形的形狀9.若△ABC中，銳角A、B滿足，則△ABC是（）A．鈍角三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等邊三角形10．（2023春·安徽滁州·九年級(jí)校考階段練習(xí)）在中，都是銳角，，則是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．銳角三角形11．（2023秋?惠山區(qū)校級(jí)月考）在△ABC中，已知∠A＝60°，∠B為銳角，且tanA，cosB恰為一元二次方程2x2﹣3mx+3＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根．求m的值并判斷△ABC的形狀．題型4.特殊三角函數(shù)值與平面直角坐標(biāo)系12．（2022秋·安徽滁州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B，C在y軸上，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．13．（2023秋·重慶巴南·九年級(jí)?？奸_學(xué)考試）如圖，在等腰中，，，點(diǎn)D為中點(diǎn)，點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，沿方向以每秒的速度勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x秒，的面積為．根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，對(duì)函數(shù)y隨自變量x的變化規(guī)律進(jìn)行探究．

(1)直接寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式，注明x的取值范圍，并畫出y的函數(shù)圖像；(2)觀察y的函數(shù)圖像，寫出一條該函數(shù)的性質(zhì)；(3)觀察圖像，直接寫出當(dāng)時(shí)，x的值______．（保留1位小數(shù)，誤差不超過）14．（2023秋·浙江金華·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖1，在菱形中，，，點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)以每秒1個(gè)單位長度沿運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B，然后以同樣速度沿運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C停止．設(shè)當(dāng)點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x秒時(shí)，長為y．下面是小聰?shù)奶骄窟^程，請(qǐng)補(bǔ)充完整．(1)根據(jù)三角函數(shù)值小聰想到連接交于點(diǎn)O（如圖2），請(qǐng)同學(xué)們幫忙求的長．(2)小聰學(xué)習(xí)了函數(shù)知識(shí)后，運(yùn)用函數(shù)的研究經(jīng)驗(yàn)，對(duì)y與x的變化規(guī)律進(jìn)行了下列探究，根據(jù)點(diǎn)E在上運(yùn)動(dòng)到不同位置進(jìn)行畫圖、測量，分別得到了y與x的幾組對(duì)應(yīng)值，并畫出了函數(shù)圖象（如圖3）：x012345y54．824．845．065．466請(qǐng)同學(xué)們繼續(xù)探究點(diǎn)E在上的運(yùn)動(dòng)情況，在同一坐標(biāo)系中補(bǔ)全圖象，并寫出這個(gè)函數(shù)的兩條性質(zhì)．(3)結(jié)合圖象探究發(fā)現(xiàn)時(shí)，x有四個(gè)不同的值．求y取何值時(shí)，x有且僅有兩個(gè)不同的值．題型5.特殊三角函數(shù)值的應(yīng)用15．（2023春·陜西銅川·九年級(jí)銅川市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，四邊形ABCD是矩形，以點(diǎn)A為圓心、AD為半徑畫弧交BC于點(diǎn)E．DF⊥AE于F．若E恰好為BC的中點(diǎn).⑴∠BAE＝°；⑵DF平分AE嗎？證明你的結(jié)論.

16．（2022秋·四川達(dá)州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）在一次課題學(xué)習(xí)中，老師讓同學(xué)們合作編題，某學(xué)習(xí)小組受趙爽弦圖的啟發(fā)，編寫了下面這道題，請(qǐng)你來解一解：如圖，將矩形ABCD的四邊BA，CB，DC，AD分別延長至E，F(xiàn)，G，H，使得，，連接EF，F(xiàn)G，GH，HE．（1）判斷四邊形EFGH的形狀，并證明；（2）若矩形ABCD是邊長為1的正方形，且，，求AE的長．17．（2023春·浙江杭州·九年級(jí)校考期中）如圖，矩形的對(duì)角線交于點(diǎn)O，點(diǎn)P在上，其中．

(1)證明：．(2)若，求的值．(3)設(shè)，和的面積分別為，求證：．【方法三】差異對(duì)比法易錯(cuò)點(diǎn)：將特殊角的三角函數(shù)值記混1.求下列各式的值：(1)6tan230°﹣sin60°﹣2sin45°；(2)sin60°﹣4cos230°+sin45°?tan60°；(3)+cot30°﹣．【方法四】仿真實(shí)戰(zhàn)法考法.特殊角的三角函數(shù)值1．（2022?天津）tan45°的值等于（）A．2 B．1 C． D．2．（2022?綏化）定義一種運(yùn)算：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ，sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ．例如：當(dāng)α＝45°，β＝30°時(shí)，sin（45°+30°）＝×+×＝，則sin15°的值為．3．（2022?金華）計(jì)算：（﹣2022）0﹣2tan45°+|﹣2|+．4．（2022?牡丹江）先化簡，再求值．（x﹣）÷，其中x＝cos30°．【方法五】成果評(píng)定法一、單選題1．（23·24九年級(jí)上·河北邢臺(tái)·階段練習(xí)）下列三角函數(shù)的值是的是（

）A． B． C． D．2．（2023·北京海淀·模擬預(yù)測）在銳角中，若，則等于（）A． B． C． D．3．（22·23九年級(jí)上·黑龍江大慶·開學(xué)考試）設(shè)，則下列式子成立的是（

）A． B．C． D．4．（2022·廣東深圳·模擬預(yù)測）計(jì)算的值為（

）A． B． C． D．5．（22·23九年級(jí)上·安徽滁州·階段練習(xí)）正方形網(wǎng)格中，如圖放置，則的值為(

)

A． B． C．1 D．6．（22·23九年級(jí)上·江蘇蘇州·階段練習(xí)）在中，，，則（

）A． B． C． D．7．（22·23九年級(jí)上·福建泉州·期中）三角板是我們數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中必不可少的工具，利用三角板可以拼出很多角，現(xiàn)將一副含45°角和30°角的三角板按如圖所示的方式放置，則的值為（

）

A． B． C． D．無法確定8．（23·24九年級(jí)上·山東濟(jì)南·期中）的值等于（

）A．1 B． C． D．29．（2023·吉林長春·模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，邊在軸正半軸上，，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A，且交菱形對(duì)角線于點(diǎn)D，軸于點(diǎn)，則長為（

）

A．1 B．3 C． D．10．（22·23九年級(jí)上·陜西西安·期中）如圖，在正方形中，是等邊三角形，的延長線分別交于點(diǎn)、，連接，與相交于點(diǎn)．給出下列結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的為（

）

A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．①②④二、填空題11．（22·23九年級(jí)下·山東臨沂·期末）在中，，，則的值為．12．（22·23九年級(jí)下·黑龍江綏化·階段練習(xí)）銳角滿足，則度．13．（23·24九年級(jí)上·重慶·階段練習(xí)）計(jì)算：．14．（2022·湖北宜昌·模擬預(yù)測）．15．（23·24九年級(jí)上·山東淄博·階段練習(xí)）若的余角是，則的值是．16．（2023·陜西榆林·三模）如圖，在菱形中，．點(diǎn)分別為四邊的中點(diǎn)，連接，則．

17．（22·23九年級(jí)上·山東東營·期末）如圖，一塊含有的直角三角板的直角頂點(diǎn)和坐標(biāo)原點(diǎn)O重合，角的頂點(diǎn)A在反比例函數(shù)的圖象上，頂點(diǎn)B在反比例函數(shù)的圖象上，則k的值為．

18．（23·24九年級(jí)上·黑龍江哈爾濱·開學(xué)考試）如圖，等邊中，點(diǎn)D在上，點(diǎn)E在上，，連接、交于點(diǎn)F，，，則的長為．

三、解答題19．（23·24九年級(jí)上·福建泉州·期中）計(jì)算：20．（23·24九年級(jí)上·遼寧沈陽·階段練習(xí)）計(jì)算：21．（2022·廣東廣州·模擬預(yù)測）計(jì)算：．22．（21·22九年級(jí)下·黑龍江哈爾濱·開學(xué)考試）先化簡，再求代數(shù)式的值，其中．23．（23·24九年級(jí)上·黑龍江哈爾濱·期中）先化簡，再求代數(shù)式的值，其中．24．（23·24九年級(jí)上·山東濟(jì)南·階段練習(xí)）如圖，已知，．

(1)求證：；(2)若，，求．25．（23·24九年級(jí)上·河南鄭州·階段練習(xí)）（1）【問題探究】如圖1，在正方形中，對(duì)角線、相交于點(diǎn)．在線段上任取一點(diǎn)（端點(diǎn)除外），連接、．

①證明：：②將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)落在的延長線上的點(diǎn)處．當(dāng)點(diǎn)在線段上的位置發(fā)生變化時(shí)，的大小是否發(fā)生變化？請(qǐng)說明理由；③探究與