湖北省武漢市馬房山中學2024屆高三上學期期末綜合測評數(shù)學試題含答案解析

武漢市馬房山中學2024屆高三上學期1月期末綜合測評數(shù)學本試卷滿分150分.考試用時120分鐘.注意事項：1.答題前，先將自己的姓名、準考證號、考場號、座位號填寫在試卷和答題卡上，并認真核準準考證號條形碼上的以上信息，將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.請按題號順序在答題卡上各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.3.選擇題用2B鉛筆在答題卡上把所選答案的標號涂黑；非選擇題用黑色簽字筆在答題卡上作答；字體工整，筆跡清楚.4.考試結(jié)束后，請將試卷和答題卡一并上交.一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.2.若z=3-i，z'=，則（）A.z'=z B.z'+z=2 C.z'= D.z'+z=43.已知向量，，則與的夾角為（）A. B. C. D.4.已知正三棱錐中，側(cè)面與底面所成角的正切值為，，這個三棱錐的內(nèi)切球和外接球的半徑之比為（）A. B. C. D.5.設(shè)是等差數(shù)列的前項和，且，，則使得取最小值時的為（）A.6 B.7 C.6或7 D.86.某校高三年級有8名同學計劃高考后前往武當山?黃山?廬山三個景點旅游.已知8名同學中有4名男生，4名女生.每個景點至少有2名同學前往，每名同學僅選一處景點游玩，其中男生甲與女生不去同一處景點游玩，女生與女生去同一處景點游玩，則這8名同學游玩行程的方法數(shù)為（）A.564 B.484 C.386 D.6407.已知中，，且為外心．若在上的投影向量為，且，則的取值范圍為（）A. B. C. D.8.已知，，若不等式的解集中只含有個正整數(shù)，則的取值范圍為（）A. B.C. D.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知正數(shù)x，y滿足，則（）A.的最大值為1 B.的最大值為2C.的最小值為2 D.的最小值為10.袋子中有1個紅球，1個黃球，1個藍球，1個黑球，從中取三次球，每次取一個球，取球后不放回，設(shè)事件，，，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C.A與B相互獨立 D.11.已知等比數(shù)列{an}滿足，，設(shè)其公比為q，前n項和為，則（）A. B.C. D.12.已知，，則（）A.當時，為奇函數(shù)B.當時，存在直線與有6個交點C.當時，在上單調(diào)遞減D.當時，上有且僅有一個零點三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.的展開式中的系數(shù)為__________．（用數(shù)字作答）14.已知橢圓的左右焦點為．直線與橢圓相交于兩點，若，且，則橢圓的離心率為__________．15.若，，則______________．16.函數(shù)與函數(shù)的圖象所有交點的橫坐標之和為______．四、解答題：本小題共6小題，共70分，其中第17題10分，18～22題12分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.在銳角中，的對應邊分別是，且．（1）求的取值范圍；（2）求的取值范圍．18.已知首項為正數(shù)等差數(shù)列的公差為2，前項和為，滿足．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）令，求數(shù)列的前項和．19.籃球是一項風靡世界的運動，是深受大眾喜歡的一項運動.喜愛籃球運動不喜愛籃球運動合計男性6040100女性2080100合計80120200（1）為了解喜愛籃球運動是否與性別有關(guān)，隨機抽取了男性和女性各100名觀眾進行調(diào)查，得到如上列聯(lián)表，判斷是否有99.9%的把握認為喜愛籃球運動與性別有關(guān)；（2）校籃球隊中的甲、乙、丙三名球員將進行傳球訓練，第1次由甲將球傳出，每次傳球時，傳球者都等可能的將球傳給另外兩個人中的任何一人，如此不停地傳下去，且假定每次傳球都能被接到.記開始傳球的人為第1次觸球者，第次觸球者是甲的概率記為，即.①求（直接寫出結(jié)果即可）；②證明：數(shù)列為等比數(shù)列，并比較第9次與第10次觸球者是甲的概率的大小.0.1000.0500.0250.0100.00127063.84150246.63510.828附：，.20.如圖，在四棱錐中，平面，，底面為直角梯形，，，，是的中點，點，分別在線段與上，且，．（1）當時，求平面與平面的夾角大??；（2）若平面，求的最小值．21.已知函數(shù)．（1）若時，，求實數(shù)的取值范圍；（2）設(shè)，證明：．22.已知點F是拋物線的焦點，直線l與拋物線C相切于點，連接PF交拋物線于另一點A，過點P作l的垂線交拋物線于另一點B．（1）若，求直線l的方程；（2）求三角形PAB面積S的最小值．武漢市馬房山中學2024屆高三上學期1月期末綜合測評數(shù)學本試卷滿分150分.考試用時120分鐘.注意事項：1.答題前，先將自己的姓名、準考證號、考場號、座位號填寫在試卷和答題卡上，并認真核準準考證號條形碼上的以上信息，將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.請按題號順序在答題卡上各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.3.選擇題用2B鉛筆在答題卡上把所選答案的標號涂黑；非選擇題用黑色簽字筆在答題卡上作答；字體工整，筆跡清楚.4.考試結(jié)束后，請將試卷和答題卡一并上交.一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求得集合，再根據(jù)交集定義得解.【詳解】∵，，∴，故選：D.2.若z=3-i，z'=，則（）A.z'=z B.z'+z=2 C.z'= D.z'+z=4【答案】C【解析】【分析】利用復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡，再結(jié)合復數(shù)的相關(guān)定義判斷選項即可．【詳解】因為；故；；故選：．【點睛】本題考查復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查復數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題．3.已知向量，，則與的夾角為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用和平面向量的數(shù)量積和模的坐標表示計算，然后求得.【詳解】,所以，故選：B.4.已知正三棱錐中，側(cè)面與底面所成角的正切值為，，這個三棱錐的內(nèi)切球和外接球的半徑之比為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)正三棱錐底面邊長為6，且側(cè)面與底面所成角的正切值為，求出三棱錐的高和側(cè)高，利用勾股定理求出外接球半徑，再利用等體積法求出內(nèi)切圓半徑即可.【詳解】因為三棱錐為正三棱錐，底面邊長為6，且側(cè)面與底面所成角的正切值為，所以可得正三棱錐的高，側(cè)面的高；設(shè)正三棱錐底面中心為，其外接球的半徑為，內(nèi)切球半徑為，則有，也即，解得：，正三棱錐的體積，也即，解得：，所以，故選：B【點睛】內(nèi)切球的球心到各面的距離是相等的，球心和各面可以組成四個等高的三棱錐，那么內(nèi)切球的半徑乘以正三棱錐的表面積再乘以三分之一就等于體積，通常用等體積法求解內(nèi)切球的半徑.5.設(shè)是等差數(shù)列的前項和，且，，則使得取最小值時的為（）A.6 B.7 C.6或7 D.8【答案】A【解析】【分析】根據(jù)條件得，從而得出，即可求出結(jié)果.【詳解】因為數(shù)列為等差數(shù)列，設(shè)數(shù)列的公差為，又，，則①，②，由①②解得，所以，當時，取最小值，故選：A.6.某校高三年級有8名同學計劃高考后前往武當山?黃山?廬山三個景點旅游.已知8名同學中有4名男生，4名女生.每個景點至少有2名同學前往，每名同學僅選一處景點游玩，其中男生甲與女生不去同一處景點游玩，女生與女生去同一處景點游玩，則這8名同學游玩行程的方法數(shù)為（）A.564 B.484 C.386 D.640【答案】A【解析】【分析】先將不平均分組問題分成兩大類，然后由排列組合知識結(jié)合加法、乘法計數(shù)原理即可得解.【詳解】8人分三組可分為2人，2人，4人和2人，3人，3人，共兩種情況.第一種情況分成2人，2人，4人：女生去同一處景點，當成2人組時，其他6人分成2人，4人兩組且男生甲與女生不同組，有種方法；當在4人組時，有種方法.第二種情況分成2人，3人，3人：當成2人組時，有種方法；當在3人組時，有種方法.故這8名同學游玩行程的方法數(shù)為.故選：A.7.已知中，，且為的外心．若在上的投影向量為，且，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意B，O，C三點共線．因為為的外心，即有，所以為直角三角形，利用向量得投影結(jié)合圖形即可得解.【詳解】因為，則，所以，即B，O，C三點共線．因為為的外心，即有，所以為直角三角形，因此，為斜邊的中點．因為，所以為銳角．如圖，過點作，垂足為．因為在上的投影向量為，所以，所以在上的投影向量為．又因為，所以．因，所以，故的取值范圍為．故選：A．8.已知，，若不等式的解集中只含有個正整數(shù)，則的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由已知，二次求導，可得當時，，由有且只有個正整數(shù)解，即有且只有個正整數(shù)解，求導可知至多有一個解，則需滿足，，，再根據(jù)導數(shù)可得在上單調(diào)遞減，即可證當時，，即可得參數(shù)范圍.【詳解】由，可得，設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞增，又，所以當時，，即當時，，單調(diào)遞增，所以當時，，所以若不等式的解集中只含有個正整數(shù)，即不等式的解集中只含有個正整數(shù)，又的定義域為，且，則，設(shè)，則，當時，，所以在上單調(diào)遞減，且至多有一個解，所以若有且只有個正整數(shù)解則需滿足，解得，現(xiàn)證當時，在上恒成立，由時，，即當時，，單調(diào)遞減，所以當時，，綜上所述，故選：C.【點睛】導函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，常化為不等式恒成立問題．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應用；二是函數(shù)的零點、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理．二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知正數(shù)x，y滿足，則（）A.的最大值為1 B.的最大值為2C.的最小值為2 D.的最小值為【答案】AD【解析】【分析】A選項，由基本不等式求出；B選項，求出；C選項，在A選項基礎(chǔ)上得到；D選項，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.【詳解】A選項，正數(shù)x，y滿足，由基本不等式得，解得，當且僅當時，等號成立，A正確；B選項，，故，當且僅當時，等號成立，故的最小值為2，B錯誤；C選項，由A選項知，，故，當且僅當時，等號成立，所以，故的最大值為2，C錯誤；D選項，由于正數(shù)x，y滿足，故，當且僅當，即時，等號成立，D正確故選：AD10.袋子中有1個紅球，1個黃球，1個藍球，1個黑球，從中取三次球，每次取一個球，取球后不放回，設(shè)事件，，，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C.A與B相互獨立 D.【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用列舉法，結(jié)合古典概率逐項計算判斷即得.【詳解】紅球，黃球，藍球，黑球分別記為，不放回取球三次的試驗的樣本空間：，共24個，它們等可能，，共6個，，共6個，，共6個，，共2個，，共10個，，AB正確；，A與B相互不獨立，C錯誤；，D正確，故選：ABD11.已知等比數(shù)列{an}滿足，，設(shè)其公比為q，前n項和為，則（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】由已知條件可求出，，進而可得通項公式和前n項和，進而可判斷A，B，C，再由作差法判斷D.【詳解】對于A，由，得，所以，A正確；對于B，又因為，所以，故，所以，B正確；對于C，，所以，C錯誤；對于D，因為，因為且，所以，即，D正確.故選：ABD12.已知，，則（）A.當時，為奇函數(shù)B.當時，存在直線與有6個交點C.當時，在上單調(diào)遞減D.當時，在上有且僅有一個零點【答案】ACD【解析】【分析】AB兩個選項比較好判斷；對C，可以利用函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性，分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為恒成立問題求參數(shù)的取值范圍；對D，分析函數(shù)的單調(diào)性和一些特殊點的函數(shù)值符號，判斷零點個數(shù).【詳解】當時，，可以說是奇函數(shù)，故A正確；當時，在上單調(diào)遞增，與最多一個交點，故B錯誤；因為，所以.對C：在上遞減，需有（）恒成立.當時，，又，且當時，，所以.當時，.設(shè)，則，由，所以在上遞減，在上遞增，所以的最小值為，所以.所以且，即.故C正確；對D：設(shè)，則.因為，所以當時，；當時，.所以在上遞增，在上遞減，所以的最大值為，又，所以只在有一解，設(shè)為即，所以在上遞增，在上遞減.且，且當時，，所以在上有且僅有一個零點.故D正確.故選：ACD【點睛】關(guān)鍵點點睛：已知函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求參數(shù)的取值范圍問題，常常要分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為恒成立或存在性問題，進而求函數(shù)的最大或最小值來解決.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.的展開式中的系數(shù)為__________．（用數(shù)字作答）【答案】【解析】【分析】由二項式定理得到的通項公式，結(jié)合，得到，得到的系數(shù).【詳解】的通項公式為，令得，，此時，令得，，此時，故的系數(shù)為故答案為：14.已知橢圓的左右焦點為．直線與橢圓相交于兩點，若，且，則橢圓的離心率為__________．【答案】【解析】【分析】由橢圓的對稱性可得四邊形為平行四邊形，再根據(jù)橢圓的定義求出，再在中，利用余弦定理求出的關(guān)系即可得解.【詳解】由橢圓的對稱性可得四邊形為平行四邊形，則，由，得，因為，所以，又，所以，在中，由余弦定理得，即，所以，即橢圓的離心率.故答案為：.15.若，，則______________．【答案】0或【解析】【分析】根據(jù)，代入整理求解得出的值，進而得出的值，即可得出答案.【詳解】由已知可得，，所以，，整理可得，，解得或.當時，，，；當時，，，.綜上所述，或.故答案為：0或.16.函數(shù)與函數(shù)的圖象所有交點的橫坐標之和為______．【答案】10【解析】【分析】判斷函數(shù)的性質(zhì)與最小值，判斷函數(shù)的性質(zhì)，作出函數(shù)與的大致圖象，判斷兩個圖象在上的交點情況，根據(jù)對稱性得結(jié)果.【詳解】因為，所以函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，且在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以的最小值為．所以函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，且的最大值為2．由于的圖象和的圖象都關(guān)于直線對稱，所以先考慮兩個圖象在上的情形，易知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．易知，，所以可作出函數(shù)與的大致圖象如圖所示，所以的圖象和的圖象在上有5個交點．根據(jù)對稱性可知兩函數(shù)圖象共有10個交點，且兩兩關(guān)于直線對稱，因此所有交點的橫坐標之和為．故答案為:.四、解答題：本小題共6小題，共70分，其中第17題10分，18～22題12分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.在銳角中，的對應邊分別是，且．（1）求的取值范圍；（2）求的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）借助余弦定理、正弦定理與兩角差的正弦公式可得，結(jié)合為銳角三角形即可得的取值范圍，即可得的取值范圍；（2）借助正弦定理將邊的比例式轉(zhuǎn)化為角的三角函數(shù)的比例式后，結(jié)合三角恒等變換公式可得，結(jié)合的取值范圍計算即可得.【小問1詳解】，由，故，由，故，則，由為銳角三角形，故，即，則有，，，可得，故，即；【小問2詳解】由，，則，由（1）知，故，故，即.18.已知首項為正數(shù)的等差數(shù)列的公差為2，前項和為，滿足．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）令，求數(shù)列的前項和．【答案】（1）（2）當為偶數(shù)時，，當為奇數(shù)時，.【解析】【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列前和公式即可求出，則得到其通項公式；（2）分為奇數(shù)和偶數(shù)討論并結(jié)合裂項求和即可.【小問1詳解】由題意得是公差為2的等差數(shù)列，且，即，又因為，所以，所以數(shù)列的通項公式.【小問2詳解】由（1）知，當為偶數(shù)時，，當為奇數(shù)時，，經(jīng)檢驗，時，滿足，綜上，當為偶數(shù)時，，當為奇數(shù)時，.19.籃球是一項風靡世界的運動，是深受大眾喜歡的一項運動.喜愛籃球運動不喜愛籃球運動合計男性6040100女性2080100合計80120200（1）為了解喜愛籃球運動是否與性別有關(guān)，隨機抽取了男性和女性各100名觀眾進行調(diào)查，得到如上列聯(lián)表，判斷是否有99.9%的把握認為喜愛籃球運動與性別有關(guān)；（2）?；@球隊中的甲、乙、丙三名球員將進行傳球訓練，第1次由甲將球傳出，每次傳球時，傳球者都等可能的將球傳給另外兩個人中的任何一人，如此不停地傳下去，且假定每次傳球都能被接到.記開始傳球的人為第1次觸球者，第次觸球者是甲的概率記為，即.①求（直接寫出結(jié)果即可）；②證明：數(shù)列為等比數(shù)列，并比較第9次與第10次觸球者是甲的概率的大小.0.1000.0500.0250.0100.0012.7063.8415.0246.63510.828附：，.【答案】（1）有99.9%的把握認為喜愛籃球運動與性別有關(guān).（2）①；②證明見解析，第次觸球者是甲的概率大.【解析】【分析】（1）直接帶公式即可.（2）①根據(jù)題義寫即可；通過分析與的概率關(guān)系式，再利用數(shù)列知識計算結(jié)果.【小問1詳解】（1）根據(jù)列聯(lián)表數(shù)據(jù)，經(jīng)計算得,根據(jù)獨立性檢驗：即有的把握認為喜愛籃球運動與性別有關(guān).【小問2詳解】①由題意得：第二次觸球者為乙，丙中的一個，第二次觸球者傳給包括甲的二人中的一人，故傳給甲的概率為，故.②第次觸球者是甲的概率記為，則當時，第次觸球者是甲的概率為，第次觸球者不是甲的概率為，則從而，又，所以是以為首項，公比為的等比數(shù)列，故第次觸球者是甲的概率大.20.如圖，在四棱錐中，平面，，底面為直角梯形，，，，是的中點，點，分別在線段與上，且，．（1）當時，求平面與平面的夾角大小；（2）若平面，求的最小值．【答案】（1）（2）8【解析】【分析】（1）建立空間直角坐標系，利用空間向量法可求得平面MDN與平面DNC的夾角；（2）利用空間向量法把線面平行轉(zhuǎn)化為得向量垂直，從而利用數(shù)量積的運算化簡即可得與的關(guān)系，再結(jié)合基本不等式可得的最小值；【小問1詳解】因為，底面，如圖，以為原點，、、所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標系，當時，、、、、、、，則，，，設(shè)平面MDN的法向量為，則，取，可得，設(shè)平面DNC的法向量為，則，取，可得，所以，設(shè)平面MDN與平面DNC的夾角為，所以，所以，故平面MDN與平面DNC的夾角為.【小問2詳解】，，設(shè)平面PBC的法向量為，則，取，可得，因為，，所以，，則，因為平面PBC，所以，即，所以，即，所以，所以，所以，當且僅當，即時取等號，所以的最小值為8.21.已知函數(shù)．（1）若時，，求實數(shù)取值范圍；（2）設(shè)，證明：．【答案】（1）（2）證明見解析；【解析】【分析】（1）由題意求得函數(shù)定義域，并對參數(shù)進行分類討論，構(gòu)造函