第 4 講：平行四邊形 中考數(shù)學(xué)解答題專項(xiàng)復(fù)習(xí)講義

第4講：平行四邊形2023年中考數(shù)學(xué)解答題專項(xiàng)復(fù)習(xí)講義（人教版）第一部分：中考真題1、如圖，在四邊形ABCD中，∠B=∠D=90°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，AD上，AE=AF，CE=CF，求證：CB=CD．【答案】證明：連接AC，在△AEC與△AFC中AC=ACCE=CF∴△AEC≌△AFC（SSS），∴∠CAE=∠CAF，∵∠B=∠D=90°，∴CB=CD．【解析】先證明△AEC≌△AFC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出∠CAE=∠CAF，利用角平分線的性質(zhì)解答即可．本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)，屬于中考?？碱}型．2、如圖，在?ABCD中，G為BC邊上一點(diǎn)，DG=DC，延長(zhǎng)DG交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)A作AF∥ED交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．求證：四邊形AEDF是菱形．【答案】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠BAD=∠C，AD∥BC，AB∥CD，∵AF∥ED，∴四邊形AEDF是平行四邊形，∵AD∥BC，∴∠DGC=∠ADE，∵DG=DC，∴∠DGC=∠C，∴∠BAD=∠ADE，∴AE=DE，∴平行四邊形AEDF是菱形．【解析】先證四邊形AEDF是平行四邊形，再證∠BAD=∠ADE，則AE=DE，即可得出結(jié)論．本題了菱形的判定、平行四邊形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)，證出AE=DE是解題的關(guān)鍵．第二部分：考點(diǎn)解讀1、平行四邊形(1)定義兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。平行四邊形用符號(hào)“□ABCD”表示，如平行四邊形ABCD記作“□ABCD”，讀作“平行四邊形ABCD”。(2)平行四邊形的性質(zhì)平行四邊形的對(duì)邊平行且相等；平行四邊形的對(duì)角相等；平行四邊形的對(duì)角線互相平分。平行四邊形的判定兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形；兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形；對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形；一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。（4）兩條平行線的距離兩條平行線中，一條直線上的任意一點(diǎn)到另一條直線的距離，叫做這兩條平行線的距離。平行線間的距離處處相等。（5）平行四邊形的面積S平行四邊形=底×高(6)中位線定義：連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線。中位線定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的一半。2、平行四邊形中的幾個(gè)解題模型（1）如圖①，AE平分∠BAD，則可利用平行線的性質(zhì)結(jié)合等角對(duì)等邊得到△ABE為等腰三角形，即AB=BE．（2）平行四邊形的一條對(duì)角線把其分為兩個(gè)全等的三角形，如圖②中△ABD≌△CDB；兩條對(duì)角線把平行四邊形分為兩組全等的三角形，如圖②中△AOD≌△COB,△AOB≌△COD；根據(jù)平行四邊形的中心對(duì)稱性，可得經(jīng)過(guò)對(duì)稱中心O的線段與對(duì)角線所組成的居于中心對(duì)稱位置的三角形全等，如圖②△AOE≌△COF.圖②中陰影部分的面積為平行四邊形面積的一半．（3）如圖③，已知點(diǎn)E為AD上一點(diǎn)，根據(jù)平行線間的距離處處相等，可得S△BEC=S△ABE+S△CDE.（4）如圖④，根據(jù)平行四邊形的面積的求法，可得AE·BC=AF·CD．第三部分：自主練習(xí)1、如圖，在中，于點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是的中點(diǎn)，O是的中點(diǎn)，的延長(zhǎng)線交線段于點(diǎn)G，連結(jié)，，．(1)求證：四邊形是平行四邊形．(2)當(dāng)，時(shí)，求的長(zhǎng)．2、如圖，在平行四邊形ABCD中，連接BD，E為線段AD的中點(diǎn)，延長(zhǎng)BE與CD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，連接AF，∠BDF=90°。(1)求證：四邊形ABDF是矩形；(2)若AD=5，DF=3，求四邊形ABCF的面積S．3、在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中點(diǎn)，E是AD的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作AF∥BC交CE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．(1)求證：四邊形ADBF是菱形；(2)若AB＝8，菱形ADBF的面積為40，求AC的長(zhǎng)．4、如圖，用四根木條釘成矩形框，把邊固定在地面上，向右推動(dòng)矩形框，矩形框的形狀會(huì)發(fā)生改變（四邊形具有不穩(wěn)定性）．(1)通過(guò)觀察分析，我們發(fā)現(xiàn)圖中線段存在等量關(guān)系，如線段由旋轉(zhuǎn)得到，所以．我們還可以得到＝，＝；(2)進(jìn)一步觀察，我們還會(huì)發(fā)現(xiàn)∥，請(qǐng)證明這一結(jié)論；(3)已知，若恰好經(jīng)過(guò)原矩形邊的中點(diǎn)，求與之間的距離．5、如圖，在平行四邊形中，點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)．求證：．6、如圖，已知點(diǎn)E、F分別在?ABCD的邊AB、CD上，且AE=CF．求證：DE=BF．7、如圖，在中，分別平分，交于點(diǎn)．(1)求證：；(2)過(guò)點(diǎn)作，垂足為．若的周長(zhǎng)為56，，求的面積．8、在中，點(diǎn)D，F(xiàn)分別為邊AC，AB的中點(diǎn)．延長(zhǎng)DF到點(diǎn)E，使，連接BE．(1)求證：；(2)求證：四邊形BCDE是平行四邊形．9、如圖，點(diǎn)，分別在的邊，上，，連接，．請(qǐng)從以下三個(gè)條件：①；②；③中，選擇一個(gè)合適的作為已知條件，使為菱形．(1)你添加的條件是_____（填序號(hào)）；(2)添加了條件后，請(qǐng)證明為菱形．10、如圖，中，，相交于點(diǎn)，，分別是，的中點(diǎn)．(1)求證：；(2)設(shè)，當(dāng)為何值時(shí)，四邊形是矩形？請(qǐng)說(shuō)明理由．11、如圖所示，點(diǎn)在四邊形的邊上，連接，并延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，已知，．(1)求證：；(2)若，求證：四邊形為平行四邊形．12、如圖，四邊形為平行四邊形，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，且．(1)求證：四邊形