專題01 一元二次方程（解析版）

專題一一元二次方程【專題導航】目錄【考點一一元二次方程的定義】【考點二一元二次方程的一般形式】【考點三一元二次方程的解】【考點四一元二次方程的解法】【考點五適當方法解一元二次方程】【聚焦考點1】一元一次方程的概念一元二次方程：只含有一個未知數(shù)（一元），且未知數(shù)的最高次數(shù)為2（二次）的整式方程。一元二次方程滿足條件（1）只含一個未知數(shù)，（2）未知數(shù)的最高次數(shù)為2（3）整式方程【典例剖析1】【典例1-1】關(guān)于x的方程（m+1）x|m|+1﹣mx+6＝0是一元二次方程，則m的值是（）A．﹣1 B．3 C．1 D．1或﹣1【分析】根據(jù)一元二次方程的定義，即可求解．【解答】解：∵關(guān)于x的方程（m+1）x|m|+1﹣mx+6＝0是一元二次方程，∴|m|+1＝2且m+1≠0，解得m＝1．故選：C．【點評】本題主要考查了一元二次方程的定義，熟練掌握含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)為2的整式方程是一元二次方程是解題的關(guān)鍵．【典例1-2】若方程kx2﹣2x+1＝0是關(guān)于x的一元二次方程，則k的取值范圍是（）A．k＞0 B．k≠0 C．k＜0 D．k為實數(shù)【分析】根據(jù)是一元二次方程的條件：二次項系數(shù)不為0，即可確定k的取值范圍．【解答】解：根據(jù)題意得：k≠0．故選：B．【點評】本題考查了一元二次方程的概念．只有一個未知數(shù)且未知數(shù)最高次數(shù)為2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c＝0（a≠0）．特別要注意a≠0的條件．這是在做題過程中容易忽視的知識點．針對訓練1【變式1-1】若是關(guān)于x的一元二次方程，則m的值是（）A．2 B．﹣2 C．0 D．2或﹣2【分析】根據(jù)一元二次方程的定義可得m2﹣2＝2，進一步求解即可．【解答】解：∵是關(guān)于x的一元二次方程，∴m2﹣2＝2，∴m＝2或m＝﹣2，故選：D．【點評】本題考查了一元二次方程的定義，熟練掌握一元二次方程的定義是解題的關(guān)鍵【變式1-2】若方程xm+1﹣（m+1）x﹣2＝0是關(guān)于x的一元二次方程，則m的值為（）A．0 B．±1 C．1 D．﹣1【分析】根據(jù)一元二次方程的定義，x的最高次數(shù)是2，且二次項系數(shù)不等于0，從而得出答案．【解答】解：根據(jù)題意得m+1＝2，∴m＝1，故選：C．【點評】本題利用了一元二次方程的概念．只有一個未知數(shù)且未知數(shù)最高次數(shù)為2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c＝0（a≠0）．特別要注意a≠0的條件．【變式1-3】已知關(guān)于x的方程（m2﹣1）x2+x﹣2＝0．（1）m為何值時，此方程是一元一次方程？（2）m為何值時，此方程是一元二次方程？【分析】（1）由一元一次方程的定義得到：m2﹣1＝0，由此可求得m的值；（2）根據(jù)一元二次方程的定義得到：m2﹣1≠0，由此可求得m的值．【解答】解：（1）∵關(guān)于x的方程（m2﹣1）x2+x﹣2＝0是一元一次方程，∴m2﹣1＝0，解得m＝±1；（2）∵關(guān)于x的方程（m2﹣1）x2+x﹣2＝0是一元二次方程，∴m2﹣1≠0，解得m≠±1．【點評】本題考查了一元二次方程、一元一次方程的定義，熟知一元一次方程的未知數(shù)的系數(shù)不等于零，一元二次方程的二次項系數(shù)不等于零是解題的關(guān)鍵．【能力提升1】【提升1-1】.已知關(guān)于x的一元二次方程（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0，其中a、b、c分別為△ABC三邊的長．（1）如果x＝1是方程的根，試判斷△ABC的形狀，并說明理由；（2）如果△ABC是等邊三角形，試求這個一元二次方程的根．【分析】（1）把x＝1代入方程（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0得ca+c﹣2b+a﹣c＝0，整理后根據(jù)等腰三角形的判定判斷即可；（2）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出a＝b＝c，代入方程，即可得出x2﹣x＝0，再解方程即可．【解答】解：（1）△ABC是等腰三角形，理由是：∵把x＝1代入方程（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0得：a+c﹣2b+a﹣c＝0，∴2a＝2b，∴a＝b，∴△ABC的形狀是等腰三角形；（2）∵△ABC是等邊三角形，∴a＝b＝c，∵（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0，∴（a+a）x2﹣2ax+a﹣a＝0，即x2﹣x＝0，解得：x1＝0，x2＝1，即這個一元二次方程的根是x1＝0，x2＝1．【點評】本題考查了一元二次方程的解，解一元二次方程，等腰三角形的判定，等邊三角形的性質(zhì)等知識點，能理解一元二方程的解的定義是解（1）的關(guān)鍵，能根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出a＝b＝c是解（2）的關(guān)鍵．【提升1-2】已知ax2+bx+c是關(guān)于x的多項式，記為P（x）．我們規(guī)定：P（x）的導出多項式為2ax+b，記為Q（x）．例如：若P（x）＝3x2﹣2x+1，則P（x）的導出多項式Q（x）＝2?3x﹣2＝6x﹣2．根據(jù)以上信息，解答下列問題：（1）若P（x）＝x2﹣2x，則Q（x）＝；（2）若P（x）＝2x2+4（2x﹣1），求關(guān)于x的方程Q（x）＝2x的解；（3）已知P（x）＝（a﹣2）x2﹣6x+2是關(guān)于x的二次多項式，Q（x）為P（x）的導出多項式，若關(guān)于x的方程Q（x）＝﹣x的解為整數(shù)，求正整數(shù)a的值．【分析】（1）利用題目已知的規(guī)定：P（x）的導出多項式為2ax+b，記為Q（x），即可解答；（2）根據(jù)題目已知的規(guī)定，求出P（x）＝2x2+4（2x﹣1）導出的多項式Q（x），進行計算即可；（3）根據(jù)題目已知的規(guī)定，求出P（x）＝（a﹣2）x2﹣6x+2導出的多項式Q（x），再根據(jù)關(guān)于x的方程Q（x）＝﹣x的解為整數(shù)，進行計算即可．【解答】解：（1）∵P（x）＝x2﹣2x，∴它的導出多項式Q（x）＝2?x+（﹣2）＝2x﹣2，故答案為：2x﹣2；（2）∵P（x）＝2x2+4（2x﹣1）＝2x2+8x﹣4，∴它的導出多項式Q（x）＝2?2x+8＝4x+8，∵Q（x）＝2x，∴4x+8＝2x，∴x＝﹣4，∴關(guān)于x的方程Q（x）＝2x的解為：x＝﹣4；（3）∵P（x）＝（a﹣2）x2﹣6x+2，∴它的導出多項式Q（x）＝2?（a﹣2）x+（﹣6）＝2x（a﹣2）﹣6，∵Q（x）＝﹣x，∴2x（a﹣2）﹣6＝﹣x，∴（2a﹣3）x＝6，∵關(guān)于x的方程Q（x）＝﹣x的解為整數(shù)，∴2a﹣3≠0，∴x＝，∴2a﹣3的值為：±1，±2，±3，±6，∴a的值為：2，1，，，0，3，，，∴正整數(shù)a的值為：2，1，3，又∵a﹣2≠0，∴a≠2，∴正整數(shù)a的值為：1，3．【點評】本題考查了一元二次方程的定義，一元一次方程的解，根據(jù)題目的已知理解P（x），Q（x）是解題的關(guān)鍵．【提升1-3】閱讀與理解已知ax2+bx+c是關(guān)于x的多項式，記為P（x）．我們規(guī)定：P（x）的導出多項式為2ax+b，記為Q（x）．例如：若P（x）＝3x2﹣2x+1，則P（x）的導出多項式Q（x）＝2?3x﹣2＝6x﹣2．根據(jù)以上信息，回答問題：（1）若P（x）＝x2﹣2x，則它的導出多項式Q（x）＝；（2）設(shè)Q（x）是P（x）的導出多項式．①若P（x）＝2x2+4（2x﹣1），求關(guān)于x的方程Q（x）＝0的解；②已知P（x）＝（a﹣2）x2﹣6x+2是關(guān)于x的二次多項式，且關(guān)于x的方程Q（x）＝﹣x的解為整數(shù)，求正整數(shù)a的值．【分析】（1）利用題目已知的規(guī)定：P（x）的導出多項式為2ax+b，記為Q（x），即可解答；（2）①根據(jù)題目已知的規(guī)定，求出P（x）＝2x2+4（2x﹣1）導出的多項式Q（x），進行計算即可；②根據(jù)題目已知的規(guī)定，求出P（x）＝（a﹣2）x2﹣6x+2導出的多項式Q（x），再根據(jù)關(guān)于x的方程Q（x）＝﹣x的解為整數(shù)，進行計算即可．【解答】解：（1）∵P（x）＝x2﹣2x，∴它的導出多項式Q（x）＝2?x+（﹣2）＝2x﹣2，故答案為：2x﹣2，（2）①∵P（x）＝2x2+4（2x﹣1）＝2x2+8x﹣4，∴它的導出多項式Q（x）＝2?2x+8＝4x+8，∵Q（x）＝0，∴4x+8＝0，∴x＝﹣2，∴關(guān)于x的方程Q（x）＝0的解為：x＝﹣2；②∵P（x）＝（a﹣2）x2﹣6x+2，∴它的導出多項式Q（x）＝2?（a﹣2）x+（﹣6）＝2x（a﹣2）﹣6，∵Q（x）＝﹣x，∴2x（a﹣2）﹣6＝﹣x，∴（2a﹣3）x＝6，∵關(guān)于x的方程Q（x）＝﹣x的解為整數(shù)，∴2a﹣3≠0，∴x＝，∴2a﹣3的值為：±1，±2，±3，±6，∴a的值為：2，1，，，0，3，，，∴正整數(shù)a的值為：2，1，3，又∵a﹣2≠0，∴a≠2，∴正整數(shù)a的值為：1，3，【點評】本題考查了一元二次方程的定義，一元一次方程的解，根據(jù)題目的已知理解P（x），Q（x）是解題的關(guān)鍵．【聚焦考點2】一元二次方程的一般形式：a叫做二次項系數(shù)，b叫做一次項系數(shù)，c叫做常數(shù)項注意：a≠0【典例剖析2】一元二次方程的一般形式【典例2-1】把下列方程化成一般形式，并寫出它的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)以及常數(shù)項．（1）（2x﹣1）（3x+2）＝x2+2；（2）．【分析】各方程整理為一般形式，找出二次項系數(shù)，一次項系數(shù)，以及常數(shù)項即可．【解答】解：（1）化簡后為5x2+x﹣4＝0，因此二次項系數(shù)為5；一次項系數(shù)為1；常數(shù)項為﹣4；（2）化簡后為2x2+6x+1＝0，二次項系數(shù)為2；一次項系數(shù)為6；常數(shù)項為1．【點評】此題考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常數(shù)且a≠0）特別要注意a≠0的條件．這是在做題過程中容易忽視的知識點．在一般形式中ax2叫二次項，bx叫一次項，c是常數(shù)項．其中a，b，c分別叫二次項系數(shù)，一次項系數(shù)，常數(shù)項．【典例2-2】關(guān)于x的一元二次方程2（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＝0化為一般形式后為2x2﹣3x﹣1＝0，試求b，c的值．【分析】先利用乘法公式展開，再合并得到一般式為2x2+（b﹣4）x+2﹣b+c＝0，于是得到b﹣4＝﹣3，2﹣b+c＝﹣1，然后解方程得到b、c的值．【解答】解：2（x2﹣2x+1）+bx﹣b+c＝0，2x2+（b﹣4）x+2﹣b+c＝0，所以b﹣4＝﹣3，2﹣b+c＝﹣1，解得b＝1，c＝﹣2．【點評】本題考查了一元二次方程的一般形式：任何一個關(guān)于x的一元二次方程經(jīng)過整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．這種形式叫一元二次方程的一般形式．針對訓練2【變式2-1】若關(guān)于x的一元二次方程（m+1）x2+5x+m2﹣3m﹣4＝0的常數(shù)項為0．求m的值．【分析】一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c＝0（a，b，c是常數(shù)且a≠0），a、b、c分別是二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項．【解答】解：由題意，得：m2﹣3m﹣4＝0，且m+1≠0，解得m＝4．【點評】本題考查了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常數(shù)且a≠0）特別要注意a≠0的條件．這是在做題過程中容易忽視的知識點．在一般形式中ax2叫二次項，bx叫一次項，c是常數(shù)項．其中a，b，c分別叫二次項系數(shù)，一次項系數(shù)，常數(shù)項．【變式2-2】閱讀理解：定義：如果關(guān)于x的方程（a1≠0，a1、b1、c1是常數(shù)）與（a2≠0，a2、b2、c2是常數(shù)），其中方程中的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項分別滿足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，則這兩個方程互為“對稱方程”．比如：求方程2x2﹣3x+1＝0的“對稱方程”，這樣思考：由方程2x2﹣3x+1＝0可知，a1＝2，b1＝﹣3，c1＝1，根據(jù)a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，求出a2，b2，c2就能確定這個方程的“對稱方程”．請用以上方法解決下面問題：（1）填空：寫出方程x2﹣4x+3＝0的“對稱方程”是﹣x2﹣4x﹣3＝0．（2）若關(guān)于x的方程5x2+（m﹣1）x﹣n＝0與﹣5x2﹣x＝1互為“對稱方程”，求（m+n）2的值．【分析】（1）根據(jù)對稱方程的定義可得答案；（2）由題意得m﹣1＝﹣1，﹣n+（﹣1）＝0，再解即可．【解答】解：（1）由題意得：方程x2﹣4x+3＝0的“對稱方程”是﹣x2﹣4x﹣3＝0，故答案為：﹣x2﹣4x﹣3＝0；（2）由﹣5x2﹣x＝1，移項可得：﹣5x2﹣x﹣1＝0，∵方程5x2+（m﹣1）x﹣n＝0與﹣5x2﹣x﹣1＝0為對稱方程，∴m﹣1＝﹣1，﹣n+（﹣1）＝0，解得：m＝0，n＝﹣1，∴（m+n）2＝（0﹣1）2＝1，答：（m+n）2的值是1．【點評】此題主要考查了一元二次方程的一般形式，關(guān)鍵是正確理解題意，理解對稱方程的定義．【能力提升2】【提升2-1】將4個數(shù)a，b，c，d排成2行2列，兩邊各加一條豎線，記成，定義＝ad﹣bc．上述記法就叫做二階行列式．那么＝22表示的方程是一元二次方程嗎？請寫出它的一般形式．【分析】根據(jù)二階行列式計算方法列出方程．【解答】解：根據(jù)題意，得：（x+1）?2x﹣（x+2）（x﹣2）＝22，整理，得2x2+2x﹣x2+4＝22，即：x2+2x﹣18＝0，它符合一元二次方程的定義．【點評】考查了一元二次方程的定義和一元二次方程的一般形式，有理數(shù)的混合運算，掌握新定義運算法則是解題的關(guān)鍵．【提升2-2】請寫出一個你喜歡的，僅含有二次項、一次項的一元二次方程，并求出它的解．【分析】直接利用一元二次方程的定義結(jié)合其解法得出答案．【解答】解：x2﹣3x＝0，x（x﹣3）＝0，x＝0或x﹣3＝0，解得：x1＝0，x2＝3．【點評】此題主要考查了一元二次方程的一般形式，正確解方程是解題關(guān)鍵.【聚焦考點3】一元二次方程的解：能使方程成立的未知數(shù)的值?！镜淅饰?】一元二次方程的解【典例3-1】已知a是方程x2﹣2020x+4＝0的一個解，則的值為（）A．2023 B．2022 C．2021 D．2020【分析】先根據(jù)一元二次方程的解的定義得到a2﹣2020a+4＝0，變形得到a2＝2020a﹣4，a2+4＝2020a，然后利用整體代入的方法進行計算．【解答】解：由題意得：a2﹣2020a+4＝0，∴a2＝2020a﹣4，a2+4＝2020a，∴原式＝2020a﹣4﹣2019a++7＝a﹣4++7＝+3＝+3＝2023．故選：A．【點評】本題考查了一元二次方程的解，掌握能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解是關(guān)鍵．【典例3-2】已知m是方程3x2﹣x﹣1＝0的一個根，則代數(shù)式的值應（）A．1和2之間 B．2和3之間 C．3和4之間 D．4和5之間【分析】根據(jù)一元二次方程解的意義可得3m2﹣m﹣1＝0，從而可得3m2﹣m＝1，然后把3m2﹣m＝1代入式子中進行計算，即可解答．【解答】解：由題意得：3m2﹣m﹣1＝0，∴3m2﹣m＝1，∴＝2（3m2﹣m）+＝2×1+＝2+，∵1＜3＜4，∴1＜＜2，∴3＜2+＜4，∴代數(shù)式的值應在3和4之間，故選：C．【點評】本題考查了一元二次方程的解，估算無理數(shù)的大小，準確熟練地進行計算是解題的關(guān)鍵．針對訓練3【變式3-1】若關(guān)于x的一元二次方程（k﹣3）x2+6x+k2﹣k＝0有一個根為﹣1，則k的值為（）A．﹣3 B．3 C．±3 D．9【分析】根據(jù)一元二次方程根的定義，將﹣1代入關(guān)于x的一元二次方程（k﹣3）x2+6x+k2﹣k＝0得到關(guān)于k的方程求解，再根據(jù)一元二次方程定義確定k值即可得到答案．【解答】解：由題意得：把x＝﹣1代入方程（k﹣3）x2+6x+k2﹣k＝0，得：（k﹣3）﹣6+k2﹣k＝0，解得：k＝±3，∵k﹣3≠0，∴k≠3，∴k＝﹣3，故選：A．【點評】本題考查一元二次方程的定義及一元二次方程根的定義，熟練掌握相關(guān)概念是解決問題的關(guān)鍵．【變式3-2】已知t為一元二次方程x2﹣1011x+3＝0的一個解，則2t2﹣2022t值為（）A．﹣3 B．﹣2 C．﹣6 D．﹣4【分析】利用一元二次方程的解，可得出t2﹣1011t＝﹣3，再將其代入2t2﹣2022t＝2（t2﹣1011t）中，即可求出結(jié)論．【解答】解：∵t為一元二次方程x2﹣1011x+3＝0的一個解，∴t2﹣1011t+3＝0，∴t2﹣1011t＝﹣3，∴2t2﹣2022t＝2（t2﹣1011t）＝2×（﹣3）＝﹣6．故選：C．【點評】本題考查了一元二次方程的解，牢記“能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解”是解題的關(guān)鍵．【能力提升3】一元二次方程的解【提升3-1】若a是關(guān)于一元二次方程3x2﹣x﹣2023＝0的一個實數(shù)根，則2023+2a﹣6a2的值是（）A．4046 B．﹣4046 C．﹣2023 D．0【分析】先根據(jù)一元二次方程的定義得到3a2﹣a＝2023，再把2023+2a﹣6a2變形為2023﹣2（3a2﹣a），然后利用整體代入的方法計算．【解答】解：∵a是關(guān)于一元二次方程3x2﹣x﹣2023＝0的一個實數(shù)根，∴3a2﹣a﹣2023＝0，∴3a2﹣a＝2023，∴2023+2a﹣6a2＝2023﹣2（3a2﹣a）＝2023﹣2×2023＝﹣2023．故選：C．【點評】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．【提升3-2】若a是方程x2﹣2x﹣5＝0的一個根，則2a2﹣4a＝10．【分析】根據(jù)一元二次方程根的概念直接代入進行求解即可．【解答】解：由a是方程x2﹣2x﹣5＝0的一個根，則有a2﹣2a﹣5＝0，∴a2﹣2a＝5，∴2a2﹣4a＝10．故答案為：10．【點評】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．也考查了整體代入的計算方法?！揪劢箍键c4】1.直接開平方法解一元二次方程：若，則叫做a的平方根，表示為，這種解一元二次方程的方法叫做直接開平方法。（1）的解是；（2）的解是；（3）的解是。2.配方法解一元二次方程時，在方程的左邊加上一次項系數(shù)一半的平方，再減去這個數(shù)，使得含未知數(shù)的項在一個完全平方式里，這種方法叫做配方，配方后就可以用因式分解法或直接開平方法了，這樣解一元二次方程的方法叫做配方法。注意：用配方法解一元二次方程，當對方程的左邊配方時，一定記住在方程的左邊加上一次項系數(shù)的一半的平方后，還要再減去這個數(shù)。3.因式分解法如果兩個因式的積等于0，那么這兩個方程中至少有一個等于0，即若pq=0時，則p=0或q=0。用因式分解法解一元二次方程的一般步驟：（1）將方程的右邊化為0；（2）將方程左邊分解成兩個一次因式的乘積。（3）令每個因式分別為0，得兩個一元一次方程。（4）解這兩個一元一次方程，它們的解就是原方程的解。關(guān)鍵點：（1）要將方程右邊化為0；（2）熟練掌握多項式因式分解的方法，常用方法有：提公式法，公式法（平方差公式，完全平方公式）等。4.公式法一元二次方程的求根公式是：用求根公式法解一元二次方程的步驟是：（1）把方程化為的形式，確定的值（注意符號）；（2）求出的值；（3）若，則把及的值代人求根公式，求出?！镜淅饰?】一元二次方程的解法【典例4-1】若一元二次方程ax2＝b（ab＞0）的兩個根分別是m+1與2m﹣4，求的值．【分析】由ax2＝b利用直接開平方法得x＝±，又方程的兩個根互為相反數(shù)，所以m+1+2m﹣4＝0，解得m＝1，則方程的兩個根分別是2與﹣2，據(jù)此求的值即可．【解答】解：∵ab＞0，a≠0，∴b≠0．給方程ax2＝b兩邊同時除以a得x2＝，∴x＝±．∵方程的兩個根互為相反數(shù)，∴m+1+2m﹣4＝0，∴m＝1．∴一元二次方程ax2＝b（ab＞0）的兩個根分別是2與﹣2．又∵x＝±，∴＝2，∴＝4．【點評】本題考查代數(shù)式求值，熟練運用直接開方法解一元二次方程是解答關(guān)鍵；【典例4-2】以下是圓圓在用配方法解一元二次方程x2﹣2x﹣4＝0的過程：解：移項得：x2﹣2x＝4配方：x2﹣2x+1＝4（x﹣1）2＝4開平方得：x﹣1＝±2移項：x＝±2+1所以：x1＝3，x2＝3圓圓的解答過程是否有錯誤？如果有錯誤，請寫出正確的解答過程．【分析】直接利用配方法解一元二次方程的方法進而分析得出答案．【解答】解：圓圓的解答過程有錯誤，正確的解答過程如下：移項得：x2﹣2x＝4，配方：x2﹣2x+1＝4+1，（x﹣1）2＝5，開平方得：x﹣1＝±，移項：x＝±+1，所以：x1＝+1，x2＝﹣+1．【點評】此題主要考查了解一元二次方程，正確掌握配方法解方程的步驟是解題關(guān)鍵．【典例4-3】解方程：（x﹣3）2﹣2x（3﹣x）＝0．【分析】利用因式分解法求解即可．【解答】解：（x﹣3）2﹣2x（3﹣x）＝0，（x﹣3）2+2x（x﹣3）＝0，（x﹣3）（x﹣3+2x）＝0，（x﹣3）（3x﹣3）＝0，∴x﹣3＝0或3x﹣3＝0，∴x1＝3，x2＝1．【點評】本題考查了因式分解法解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是熟練掌握解一元二次方程的方法．【典例4-4】解方程：（x﹣3）2＝3x2﹣9x．【分析】移項后分解因式，即可得出兩個一元一次方程，再求出方程的解即可．【解答】解：（x﹣3）2＝3x2﹣9x，（x﹣3）2﹣（3x2﹣9x）＝0，（x﹣3）2﹣3x（x﹣3）＝0，（x﹣3）（x﹣3﹣3x）＝0，x﹣3＝0或x﹣3﹣3x＝0，解得：x1＝3，x2＝﹣．【點評】本題考查了解一元二次方程，能把一元二次方程轉(zhuǎn)化成一元一次方程是解此題的關(guān)鍵．針對訓練4【變式4-1】解方程：（x﹣5）2﹣36＝0．【分析】利用直接開方法解一元二次方程．【解答】解：∵（x﹣5）2﹣36＝0，∴（x﹣5）2＝36，∴x﹣5＝±6，∴x1＝11，x2＝﹣1．【點評】本題考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接開平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根據(jù)方程的特點靈活選用合適的方法．【變式4-2】用配方法解方程：x2﹣4x﹣2＝0．【分析】解題時要注意解題步驟的準確應用，把左邊配成完全平方式，右邊化為常數(shù)．【解答】解：x2﹣4x﹣2＝0，x2﹣4x＝2，x2﹣4x+8＝2+8，（x﹣2）2＝10，x﹣2＝±，解得x1＝2+，x2＝2﹣．【點評】本題考查了配方法解一元二次方程．配方法的一般步驟：（1）把常數(shù)項移到等號的右邊；（2）把二次項的系數(shù)化為1；（3）等式兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方．選擇用配方法解一元二次方程時，最好使方程的二次項的系數(shù)為1，一次項的系數(shù)是2的倍數(shù)．【變式4-3】解方程：x（2x﹣1）＝4x﹣2．【分析】根據(jù)因式分解法解一元二次方程即可求解．【解答】解：x（2x﹣1）＝4x﹣2，即x（2x﹣1）﹣2（2x﹣1）＝0，∴（x﹣2）（2x﹣1）＝0，解得：．【點評】本題考查了解一元二次方程，熟練掌握解一元二次方程的方法是解題的關(guān)鍵．【變式4-4】解方程：2x2﹣5x﹣1＝0．【分析】求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出即可．【解答】解：2x2﹣5x﹣1＝0，∵b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×2×（﹣1）＝33＞0，∴x＝，即x1＝，x2＝．【點評】本題考查了用公式法解一元二次方程的應用，能熟記公式是解此題的關(guān)鍵．【能力提升4】一元二次方程的解法【提升4-1】已知關(guān)于x的方程（a2﹣4a+5）x2+2ax+4＝0，（1）證明：當a取任何實數(shù)時，方程都是一元二次方程：（2）當a＝2時，解這個方程．【分析】（1）要證明無論a取何實數(shù)這個方程都是一元二次方程，只要說明無論a為什么值時a2﹣4a+5的值都不是0，可以利用配方法來證明；（2）當a＝2時，就可以求出方程的具體形式，解方程就可求出方程的解．【解答】（1）證明：a2﹣4a+5＝（a2﹣4a+4）+1＝（a﹣2）2+1，∵（a﹣2）2≥0，∴（a﹣2）2+1≠0，∴無論a取何實數(shù)關(guān)于x的方程（a2﹣4a+5）x2+2ax+4＝0都是一元二次方程；（2）解：當a＝2時，原方程變?yōu)閤2+4x+4＝0，解得x1＝x2＝﹣2．【點評】本題主要理解配方法，證明一個二次三項式大于或小于0的方法．【提升4-2】解下列方程：（1）（x﹣1）2＝2（x﹣1）；（2）x2+3＝2（x+2）．【分析】（1）首先把方程化成一般形式，然后把方程的左邊分解因式，即可化成兩個一元一次方程，即可求解．（2）先進行整理，求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出即可．【解答】解：（1）（x﹣1）2＝2（x﹣1），整理得：x2﹣4x+3＝0，（x﹣3）（x﹣1）＝0，x﹣3＝0，x﹣1＝0，解方程得：x1＝3，x2＝1，故原方程的解是x1＝3，x2＝1．（2）x2+3＝2（x+2），整理得：x2﹣2x﹣1＝0，這里a＝1，b＝﹣2，c＝﹣1，b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）＝8，x＝，x1＝1+，x2＝1﹣．故原方程的解是x1＝1+，x2＝1﹣．【點評】本題主要考查對解一元一次方程，解一元二次方程﹣因式分解法、公式法等知識點的理解和掌握，能選擇適當?shù)姆椒ń庖辉畏匠淌墙獯祟}的關(guān)鍵【聚焦考點5】選擇適當方法解一元二次方程1.在解一元二次方程時，配方法不常用，直接開平方法與因式分解法適用于特殊的—元二次方程，公式法適用于任意的一元二次方程，是解一元二次方程的通用方法。2.選擇解法的順序：首先考慮用直接開平方法或因式分解法求解，如不便求解，再考慮用公式法或配方法求解。1）若給定的方程為（x—a）２＝b（b≠０）的形式（或經(jīng)過簡單變形可轉(zhuǎn)化為這種形式），可采用直接開平方法；２）若給定的一元二次方程可化為一邊是零，另一邊是易于分解成兩個一次因式的積的形式，可采用因式分解法；若方程兩邊都是整式的乘積形式，且有公因式也可采用因式分解法.３）不是特殊形式的方程，可在化為一般形式后，采用配方法或