生物統(tǒng)計(jì)學(xué)與試驗(yàn)設(shè)計(jì)：第七章 簡(jiǎn)單相關(guān)與回歸

第七章簡(jiǎn)單相關(guān)與回歸

直線回歸

直線相關(guān)

基本概念

注意事項(xiàng)變量間的關(guān)系一般可以分為兩類：第一節(jié)基本概念

變量間存在完全確定性的關(guān)系可以用精確的數(shù)學(xué)表達(dá)式（即函數(shù)）來(lái)表示這種變量之間的關(guān)系是確定性的，只要知道了其中1個(gè)或2個(gè)變量的值就可以精確地計(jì)算出另一個(gè)變量的值，這類變量間的關(guān)系稱為函數(shù)關(guān)系

變量間存在非確定性的關(guān)系不能用精確的數(shù)學(xué)表達(dá)式來(lái)表示人的身高與體重的關(guān)系

仔豬初生重與斷奶重的關(guān)系

豬瘦肉率與背膘厚、眼肌面積、胴體長(zhǎng)等的關(guān)系

這些變量間都存在著十分密切的關(guān)系，但不能由一個(gè)或幾個(gè)變量的值精確地求出另一個(gè)變量的值變量間的這種不確定的關(guān)系稱為相關(guān)關(guān)系

存在相關(guān)關(guān)系的變量稱為相關(guān)變量

相關(guān)關(guān)系一般又可以分為兩種：平行關(guān)系

兩個(gè)或兩個(gè)以上變量之間共同受到另外因素的影響因果關(guān)系

一個(gè)變量的變化受另一個(gè)或幾個(gè)變量的影響人的身高和體重之間的關(guān)系兄弟身高之間的關(guān)系營(yíng)養(yǎng)因素遺傳因素

仔豬的生長(zhǎng)速度遺傳、營(yíng)養(yǎng)、飼養(yǎng)管理等因素子女的身高父親身高、母親身高等因素采用相關(guān)分析（correlationanalysis）研究呈平行關(guān)系的相關(guān)變量之間的關(guān)系對(duì)兩個(gè)變量間的直線關(guān)系進(jìn)行相關(guān)分析稱為簡(jiǎn)單相關(guān)分析（直線相關(guān)分析）

研究一個(gè)變量與多個(gè)變量間的線性相關(guān)稱為復(fù)相關(guān)分析、多元相關(guān)分析

研究在其余變量保持不變的情況下兩個(gè)變量間的線性相關(guān)稱為偏相關(guān)分析

相關(guān)分析只能研究?jī)蓚€(gè)變量之間相關(guān)的程度和性質(zhì)或一個(gè)變量與多個(gè)變量之間相關(guān)的程度和性質(zhì)

采用回歸分析（regressionanalysis）研究呈因果關(guān)系的相關(guān)變量間的關(guān)系研究“一因一果”，即一個(gè)自變量與一個(gè)依變量的回歸分析稱為一元回歸分析

研究“多因一果”，即多個(gè)自變量與一個(gè)依變量的回歸分析稱為多元回歸分析

回歸分析的任務(wù)是揭示出呈因果關(guān)系的相關(guān)變量間的聯(lián)系形式，建立它們之間的回歸方程利用所建立的回歸方程，由自變量（原因）來(lái)預(yù)測(cè)、控制依變量（結(jié)果）第二節(jié)直線相關(guān)1.相關(guān)系數(shù)的確定對(duì)于某一個(gè)體來(lái)說(shuō)，如果我們同時(shí)觀測(cè)兩個(gè)性狀，那么就可以得到兩個(gè)變量，其中一個(gè)變量記作x，另一個(gè)變量記作y觀測(cè)n個(gè)個(gè)體，就得到n對(duì)（x，y）在一個(gè)平面直角坐標(biāo)系中，將每對(duì)（x，y）描點(diǎn)，作出散點(diǎn)圖，觀察這些點(diǎn)的位置、排列和趨向如果這些點(diǎn)排列越有規(guī)律

則說(shuō)明這兩個(gè)變量的關(guān)系越緊密，即兩個(gè)性狀的關(guān)系越密切

這種關(guān)系的密切程度和性質(zhì)可以用一個(gè)數(shù)值來(lái)表示，這個(gè)數(shù)值就是統(tǒng)計(jì)學(xué)上的“相關(guān)系數(shù)”如果這些點(diǎn)排列越散亂

則說(shuō)明這兩個(gè)變量的關(guān)系越不緊密，即兩個(gè)性狀的關(guān)系越不密切

在平面直角坐標(biāo)系中，描上n個(gè)（x，y）點(diǎn)，并找出這些點(diǎn)的中心位置（，），將坐標(biāo)系平移到以（，）為新原點(diǎn)的位置上

分布在1、3象限內(nèi)的點(diǎn)的坐標(biāo)乘積分布在2、4象限內(nèi)的點(diǎn)的坐標(biāo)乘積有3種情況：表示1、3象限內(nèi)的點(diǎn)多，2、4象限內(nèi)的點(diǎn)少

表示2、4象限內(nèi)的點(diǎn)多，1、3象限內(nèi)的點(diǎn)少

表示這些點(diǎn)均勻地分布在四個(gè)象限內(nèi)

稱為離均差乘積和，簡(jiǎn)稱乘積和，用SPxy表示乘積和的絕對(duì)值越大，說(shuō)明兩個(gè)變量間的關(guān)系越密切，因此我們可以用乘積和的大小來(lái)表示兩變量關(guān)系的密切程度

可以用乘積和的正負(fù)來(lái)表示兩變量關(guān)系的性質(zhì)：乘積和為正說(shuō)明兩變量呈正相關(guān)，乘積和為負(fù)說(shuō)明兩變量間呈負(fù)相關(guān)

用乘積和來(lái)衡量?jī)蓚€(gè)變量之間的關(guān)系不是很理想對(duì)于總體來(lái)說(shuō)：對(duì)于個(gè)體來(lái)說(shuō)：如果我們先將每個(gè)變量進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化，轉(zhuǎn)化成沒(méi)有單位的相對(duì)數(shù)，同時(shí)進(jìn)行相乘求和再平均就比較合理了2.相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)（1）當(dāng)r＞0時(shí)表示兩個(gè)變量呈正相關(guān)，r=1時(shí)表示兩個(gè)變量呈完全正相關(guān)

當(dāng)r＜0時(shí)表示兩個(gè)變量呈負(fù)相關(guān)，r=-1時(shí)表示兩個(gè)變量呈完全負(fù)相關(guān)當(dāng)r=0或趨近于0時(shí)，表示兩變量不相關(guān)，又稱為零相關(guān)

（2）r的取值范圍在[-1，1]r的絕對(duì)值越大，表示x、y兩變量的相關(guān)性越強(qiáng)r的絕對(duì)值越小，表示x、y兩變量的相關(guān)性越弱

3.相關(guān)系數(shù)的計(jì)算相關(guān)系數(shù)的公式：但在具體計(jì)算時(shí)，一般將其轉(zhuǎn)化為：例1：試計(jì)算豬宰活重與屠宰率的相關(guān)系數(shù)宰前活重x（kg）808582909510087屠宰率y（%）697068727378704.相關(guān)系數(shù)的顯著性檢驗(yàn)（1）提出假設(shè)（2）計(jì)算t值H0：ρ=0（兩變量不相關(guān)）HA：ρ≠0（兩變量相關(guān)）相關(guān)系數(shù)標(biāo)準(zhǔn)誤（3）查表，推斷r2為決定系數(shù)例2：對(duì)例1中的相關(guān)系數(shù)進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)（1）提出假設(shè)（2）計(jì)算t值（3）查表，推斷根據(jù)df=n－2=5，查表：

豬宰前活重與屠宰率存在極顯著的正相關(guān)關(guān)系相關(guān)系數(shù)的顯著性檢驗(yàn)還有一種更簡(jiǎn)單的方法，即查表法

例1中，我們根據(jù)df=n-2=5查r的臨界值表：

r0.05=0.754，r0.01=0.874r=0.9502＞r0.01

r達(dá)極顯著水平

與t-檢驗(yàn)法結(jié)果相同

一般可將r值分為以下幾個(gè)等級(jí)

完全負(fù)相關(guān)負(fù)強(qiáng)相關(guān)負(fù)中等相關(guān)負(fù)弱相關(guān)零相關(guān)完全正相關(guān)正強(qiáng)相關(guān)正中等相關(guān)正弱相關(guān)5.相關(guān)系數(shù)的置信區(qū)間求總體相關(guān)系數(shù)ρ的置信區(qū)間，必須了解r的分布

當(dāng)ρ=0時(shí)，r近似地服從正態(tài)分布在ρ≠0的總體中，r的抽樣分布并不一定服從t分布或正態(tài)分布因此在估計(jì)ρ的置信區(qū)間時(shí)，應(yīng)對(duì)r進(jìn)行z轉(zhuǎn)換，則z服從正態(tài)分布

根據(jù)計(jì)算μZ的置信區(qū)間：[LZ1,LZ2]然后將這一置信區(qū)間反轉(zhuǎn)換成ρ的置信區(qū)間[L1,L2]具體步驟如下：（1）將r轉(zhuǎn)換成z（2）計(jì)算z的標(biāo)準(zhǔn)誤（3）計(jì)算z的置信區(qū)間

（4）將z的置信區(qū)間轉(zhuǎn)換成ρ的置信區(qū)間

例3：求例1中相關(guān)系數(shù)的置信區(qū)間（1）將r轉(zhuǎn)換成z（2）計(jì)算z的標(biāo)準(zhǔn)誤（3）計(jì)算z的置信區(qū)間

95%：[0.854，2.814]0.9599%：[0.544，3.214]0.99（4）將z的置信區(qū)間轉(zhuǎn)換成ρ的置信區(qū)間

95%：99%：相關(guān)系數(shù)的置信區(qū)間是偏態(tài)的6.等級(jí)相關(guān)在實(shí)踐中，有時(shí)我們會(huì)遇到等級(jí)或名次的資料，這類資料就只能用等級(jí)相關(guān)法來(lái)求相關(guān)系數(shù)（1）將x和y排成相應(yīng)的名次或等級(jí)，當(dāng)兩個(gè)x或兩個(gè)y的名次相同時(shí)，求平均名次或平均等級(jí)（2）求x與y差（d）（3）求x與y的等級(jí)相關(guān)系數(shù)，查r臨界值表檢驗(yàn)其是否顯著等級(jí)相關(guān)系數(shù)計(jì)算步驟：例3：經(jīng)調(diào)查，獲得一個(gè)村的養(yǎng)殖戶所生產(chǎn)的雞蛋量與所獲純利的名次資料如下，試計(jì)算相關(guān)系數(shù)。戶號(hào)123456789101112蛋產(chǎn)量12.52.54567.57.5910.510.512純利1.51.5435.575.5108.512118.5差-0.51-1.51-0.5-12-2.50.5-1.5-0.53.5解：（1）計(jì)算相關(guān)系數(shù)：（2）相關(guān)系數(shù)的顯著性檢驗(yàn)：根據(jù)df

=n-2=10查得：

雞蛋產(chǎn)量與利潤(rùn)之間存在極顯著的相關(guān)關(guān)系第三節(jié)直線回歸一個(gè)變量（或性狀）是因，用x表示，另一變量是果，用y表示，可以采用回歸分析來(lái)研究2個(gè)變量間的關(guān)系兩變量間雖然沒(méi)有因果關(guān)系，但一個(gè)性狀容易測(cè)定，用x表示，另一性狀難以測(cè)定或測(cè)定具有破壞性，用y表示，且兩變量有較好的相關(guān)性

我們希望通過(guò)易測(cè)性狀（x）來(lái)間接測(cè)定難測(cè)性狀（y），此時(shí)也可以采用回歸分析來(lái)進(jìn)行研究研究x、y變量間因果依存關(guān)系的統(tǒng)計(jì)分析方法就稱為回歸分析

回歸分析表現(xiàn)的是兩變量間比較嚴(yán)格的從屬關(guān)系，是把非確定性的關(guān)系用嚴(yán)格的函數(shù)關(guān)系來(lái)進(jìn)行研究1.直線回歸方程的配合x(chóng)與y的直線回歸方程一般表示為：y的估計(jì)值

直線在y軸上的截距

回歸系數(shù)把（x，y）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作散點(diǎn)圖，如果這些散點(diǎn)越趨向一條直線，就說(shuō)明直線回歸方程越理想選取什么樣的a和b才能最好地反映x和y之間的關(guān)系呢？根據(jù)最小二乘法，選取的a、b值應(yīng)使觀測(cè)值y與回歸估計(jì)值的偏差平方和最小，即：最小根據(jù)微積分學(xué)中的極值原理，令Q對(duì)a、b的一階偏導(dǎo)數(shù)等于0，即：整理可得關(guān)于a、b的正規(guī)方程組：解方程，得：將所求得的a，b直接代入，就可得到回歸方程將a式代入，得：說(shuō)明回歸直線必經(jīng)過(guò)其中心點(diǎn)2.直線回歸方程的計(jì)算和作圖2.1回歸方程的計(jì)算例1現(xiàn)有7頭長(zhǎng)白豬宰前活重與屠宰率的數(shù)據(jù)，試建立屠宰率對(duì)宰前活重的回歸方程宰前體重x（kg）808582909510087屠宰率y（%）69706872737870計(jì)算一級(jí)數(shù)據(jù)將一級(jí)數(shù)據(jù)代入計(jì)算公式，得：屠宰率對(duì)宰前活重的回歸方程為：回歸直線必定經(jīng)過(guò)中心點(diǎn)，即（88.4，71.4）回歸方程表示每增加1㎏宰前活重，屠宰率平均可增加0.4472%2.2直線的作圖兩點(diǎn)決定一條直線，因此我們只要知道回歸方程的任意2個(gè)點(diǎn)值，就可以在平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出相應(yīng)的回歸直線將最小的x=80和最大的x=100代入回歸方程，得到兩個(gè)點(diǎn)：（80，67.66），（100，76.60）回歸直線僅僅是有兩個(gè)端點(diǎn)的實(shí)線段，而不是可以無(wú)限延長(zhǎng)的直線

對(duì)直線適度作一些外延是可以的，但不能外延得太長(zhǎng)3.直線回歸方程的估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤3.1總平方和的剖分變量y的變異程度的大小可用y的離均差平方和來(lái)表示：又稱為總平方和，即：總平方和剖分為2個(gè)部分：其中：離回歸平方和用Q表示，是建立直線回歸方程的依據(jù)反映了總變異中由x與y線性關(guān)系以外的一切因素所引起的y的變異部分

回歸平方和用U表示，是由x所引起的y的變化反映了總變異中由x與y線性關(guān)系（直線相關(guān)）所引起y的變異部分可以根據(jù)回歸平方和U與離回歸平方和Q兩者的大小來(lái)檢驗(yàn)回歸方程配合效果的好壞

回歸平方和U在總平方和SSy中的比例（稱為決定系數(shù)）越大，說(shuō)明由自變量x

估計(jì)、預(yù)測(cè)依變量y的準(zhǔn)確性越高3.2估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤離回歸平方和的大小反映了實(shí)際觀測(cè)值y與估計(jì)值之間的偏離程度

在直線回歸分析中離回歸平方和的自由度df

=n-2離回歸平方和除以離回歸自由度就可以得到離回歸均方，即：離回歸均方的平方根叫離回歸標(biāo)準(zhǔn)誤，即：在統(tǒng)計(jì)學(xué)中采用離回歸標(biāo)準(zhǔn)誤用來(lái)表示回歸方程的偏離程度，估計(jì)直線回歸的標(biāo)準(zhǔn)誤例2計(jì)算例1中的直線回歸的標(biāo)準(zhǔn)誤。回歸直線的估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤即離回歸標(biāo)準(zhǔn)誤為：4.回歸系數(shù)的顯著性檢驗(yàn)（1）提出假設(shè)（2）計(jì)算t值H0：β=0（總體回歸不存在）HA：ρ≠0（總體回歸存在）回歸系數(shù)標(biāo)準(zhǔn)誤（3）查表，推斷例3對(duì)例1中的回歸系數(shù)進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)。t0.05，5=2.571，t0.01，5=4.032b值極顯著說(shuō)明我們有99%的把握認(rèn)為總體回歸是存在的，表示宰前活重與屠宰率之間存在極顯著的直線關(guān)系5.回歸系數(shù)的置信區(qū)間回歸系數(shù)b的抽樣分布服從的t分布，因此在估計(jì)總體回歸系數(shù)β的置信區(qū)間時(shí)可直接用臨界t值進(jìn)行計(jì)算：95%置信區(qū)間為：99%置信區(qū)間為：例4計(jì)算例1中回歸系數(shù)的置信區(qū)間。95%置信區(qū)間為：99%置信區(qū)間為：6.回歸系數(shù)與相關(guān)系數(shù)的關(guān)系（1）回歸系數(shù)b和相關(guān)系數(shù)r的符號(hào)相一致當(dāng)b>0時(shí)，y隨x增大而增大，表示x，y兩變量呈正相關(guān)（r>0）當(dāng)b<0時(shí)，y隨x增大而減小，表示x，y兩變量呈負(fù)相關(guān)（r<0）（2）相關(guān)系數(shù)是標(biāo)準(zhǔn)化了的回歸系數(shù)（3）相關(guān)系數(shù)是兩個(gè)方向相反的回歸系數(shù)的幾何均數(shù)兩者相乘，可得：6.回歸關(guān)系的F檢驗(yàn)總平方和可剖分成2