2023-2024學年九年級數(shù)學下冊常見幾何模型全歸納之模型解讀與提分精練（浙教版）專題05 圓中的重要模型之圓中的外接圓和內(nèi)切圓模型（解析版）

專題05圓中的重要模型之圓中的外接圓和內(nèi)切圓模型模型1、內(nèi)切圓模型【模型解讀】內(nèi)切圓：平面上的多邊形的每條邊都能與其內(nèi)部的一個圓形相切，該圓就是該多邊形的內(nèi)切圓，這時稱這個多邊形為圓外切多邊形。它亦是該多邊形內(nèi)部最大的圓形。內(nèi)切圓的圓心被稱為該多邊形的內(nèi)心。三角形內(nèi)切圓圓心：在三角形中，三個角的角平分線的交點是內(nèi)切圓的圓心，圓心到三角形各個邊的垂線段相等。正多邊形必然有內(nèi)切圓，而且其內(nèi)切圓的圓心和外接圓的圓心重合，都在正多邊形的中心?！境Ｒ娔Ｐ图敖Y論】1）三角形的內(nèi)切圓模型條件：如圖1，⊙O為三角形ABC的內(nèi)切圓（即O為三角形ABC的內(nèi)心），⊙O的半徑為r。結論：①點O到三角形ABC的三邊距離相等；②；③r=。圖1圖2圖32）直角三角形的內(nèi)切圓模型條件：如圖2，⊙O為Rt的內(nèi)切圓（即O為三角形ABC的內(nèi)心），⊙O的半徑為r。結論：①點O到三角形ABC的三邊距離相等；②；③r=；3）四邊形的內(nèi)切圓模型條件：如圖3，⊙O是四邊形ABCD的內(nèi)切圓。結論：。例1．（2022秋·天津河西·九年級?？计谀┤鐖D，是的內(nèi)切圓，若，則．【答案】【分析】根據(jù)是的內(nèi)切圓，得出，，進而得出，即可得出答案．【詳解】解：∵是的內(nèi)切圓，∴，，∵，∴，∴故答案為：．【點睛】本題考查三角形的內(nèi)切圓的性質與三角形內(nèi)角和定理，此題難度不大．例2．（2023·浙江金華·九年級統(tǒng)考期中）如圖，截三邊所得的弦長相等，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用截的三條邊所得的弦長相等，得出即是的內(nèi)心，由三角形內(nèi)角和定理可得出答案．【詳解】解：截的三條邊所得的弦長相等，到三角形三條邊的距離相等，即是的內(nèi)心，，，，，，故選：C．【點睛】本題考查的是內(nèi)心的性質，圓心角、弧、弦的關系，熟練掌握垂徑定理是解題的關鍵．例3．（2023·四川宜賓·統(tǒng)考一模）《九章算術》卷九中記載：“今有勾三步，股四步，問勾中容圓徑幾何？”其大意是：“今有直角三角形勾（短直角邊）長為3步，股（長直角邊）長為4步，問該直角三角形能容納的圓（內(nèi)切圓）的半徑是多少步？”如圖是示意圖，根據(jù)題意，該內(nèi)切圓的半徑為．【答案】【分析】連接，可知四邊形為正方形，設半徑為，根據(jù)切線長定理列方程求解即可．【詳解】解：連接，如下圖：由題意可得：，∵，∴四邊形為矩形，又∵∴矩形為正方形；設半徑為，則∴，∴解得故答案為：【點睛】此題考查了勾股定理，切線長定理，正方形的判定與性質，解題的關鍵是熟練掌握相關基本性質．例4．（2023秋·浙江九年級課時練習）已知三角形的周長為12，面積為6，則該三角形內(nèi)切圓的半徑為（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】D【分析】設內(nèi)切圓的半徑為r，根據(jù)公式：，列出方程即可求出該三角形內(nèi)切圓的半徑．【詳解】解：設內(nèi)切圓的半徑為r解得：r=1故選D．【點睛】此題考查的是根據(jù)三角形的周長和面積，求內(nèi)切圓的半徑，掌握公式：是解決此題的關鍵．例5．（2023·江蘇南京·九年級?？茧A段練習）如圖，AB、BC、CD、DA都是⊙O的切線，已知AD＝2，BC＝5，則AB＋CD的值是A．14 B．12 C．9 D．7【答案】D【分析】根據(jù)切線長定理，可以證明圓的外切四邊形的對邊和相等，由此即可解決問題．【詳解】∵AB、BC、CD、DA都是⊙O的切線，∴可以假設切點分別為E、H、G、F，∴AF＝AE，BE＝BH，CH＝CG，DG＝DF，∴AD＋BC＝AF＋DF＋BH＋CH＝AE＋BE＋DG＋CG＝AB＋CD，∵AD＝2，BC＝5，∴AB＋CD＝AD＋BC＝7，故選D.【點睛】本題考查切線的性質、切線長定理等知識，解題的關鍵是證明圓的外切四邊形的對邊和相等，屬于中考常考題型．例6．（2023·福建福州·九年級?？计谀┤鐖D，的內(nèi)切圓與兩直角邊、分別相切于點D、E，過劣弧（不包括端點D、E）上任一點P作的切線，與、分別交于點M、N，，，則的周長為．【答案】4【分析】首先利用勾股定理求出斜邊的長度，再判斷四邊形為正方形，然后利用切線長定理求出內(nèi)切圓半徑，進而求出周長．【詳解】如圖，連接、，在中，，設內(nèi)切圓半徑為r，、為的切線，∴，，∵，，∴四邊形為正方形，∴，由切線長定理得，，，，，∴，解得，則的周長為．故答案為：4．【點睛】本題考查了三角形的內(nèi)切圓，切線的性質定理，切線長定理，解題關鍵是判斷四邊形為正方形，再依據(jù)切線長定理把三角形的周長化為兩條切線長，再轉化為半徑進行求解．例7．（2023·湖南常德·統(tǒng)考模擬預測）如圖，是邊長為的正三角形的內(nèi)切圓，與邊、均相切，且與外切，則的半徑為．

【答案】【分析】由切線的性質得到，，又，得到平分，因此得到，同理得到，故，推出，由銳角的正切即可求出的長．【詳解】解：設與切于，與相切于，連接，連接，，，

，，，平分，，是等邊三角形，，，同理：，，，，∵，．故答案為：．【點睛】本題考查切線的性質，等邊三角形的性質，解直角三角形，三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，等腰三角形的性質，關鍵是由以上知識點推出，得到是中點，應用銳角的正切即可求解．例8．（2023·江蘇宿遷·九年級?？茧A段練習）如圖，的內(nèi)切圓與，，相切于點，，，已知，，，，則的長是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】連接，，，，，．根據(jù)題意可知，且，，，再根據(jù)求出，接下來設，根據(jù)切線長定理得出，，，求出，再根據(jù)勾股定理求出，結合，可知是的垂直平分線，然后根據(jù)求出，進而得出答案．【詳解】連接，，，，，．根據(jù)題意可知，且，，，∵，即，解得．設，則，，，得，解得，∴．在中，，∵，∴是的垂直平分線，∴．∵，即，解得，∴．故選：A．【點睛】本題主要考查了圓內(nèi)切三角形的性質，切線的性質，勾股定理，線段垂直平分線的判定，切線長定理等，根據(jù)面積相等求出半徑是解題的關鍵．模型2、多邊形的外接圓模型【模型解讀】外接圓：與多邊形各頂點都相交的圓叫做多邊形的外接圓，通常是針對一個凸多邊形來說的，如三角形，若一個圓恰好過三個頂點，這個圓就叫作三角形的外接圓，此時圓正好把三角形包圍。三角形外接圓圓心：即做三角形三條邊的垂直平分線（兩條也可，兩線相交確定一點）?！境Ｒ娔Ｐ图敖Y論】1）三角形的外接圓模型條件：如圖1，⊙O為三角形ABC的外接圓（即O為三角形ABC的外心）。結論：①OA=OB=OC；②。圖1圖2圖32）等邊三角形的外接圓模型條件：如圖2，點P為等邊三角形ABC外接圓劣弧BC上一點。結論：①，PM平分；②PA=PB+PC；③；3）四邊形的外接圓模型條件：如圖3，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形。結論：①；；②。例1．（2022春·浙江·九年級專題練習）如圖，點O是△ABC的內(nèi)心，也是△DBC的外心．若∠A＝80°，則∠D的度數(shù)是（

）A．60° B．65 C．70° D．75°【答案】B【分析】利用三角形內(nèi)心的性質得OB，OC分別是角平分線，進而求出的大小，再利用三角形外心的性質得出等于的一半，即可得出答案．【詳解】解：連接OB，OC，如圖，點O是△ABC的內(nèi)心，，，，，點O是△DBC的外心，，故選：B．【點睛】本題主要考查了三角形的內(nèi)心和三角形外心的性質，牢記以上知識點得出各角之間的關系是做出本題的關鍵．例2．（2023·山東聊城·統(tǒng)考中考真題）如圖，點O是外接圓的圓心，點I是的內(nèi)心，連接，．若，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)三角形內(nèi)心的定義可得的度數(shù)，然后由圓周角定理求出，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理以及等腰三角形的性質得出答案．【詳解】解：連接，∵點I是的內(nèi)心，，∴，∴，∵，∴，故選：C．

【點睛】本題主要考查了三角形內(nèi)心的定義和圓周角定理，熟知三角形的內(nèi)心是三角形三個內(nèi)角平分線的交點是解題的關鍵．例3．（2023·湖北武漢·九年級階段練習）如圖，等腰△ABC內(nèi)接于⊙O，AB=AC=4，BC=8，則⊙O的半徑為.【答案】5cm【分析】作AD⊥BC于D，根據(jù)等腰三角形的性質得BD=CD=BC=4，再利用三角形外心的定義得到△ABC的外接圓的圓心在AD上，連結OB，設⊙O的半徑為r，利用勾股定理，在Rt△ABD中計算出AD=8，然后在Rt△OBD中得到42+（8-r）2=r2，再解關于r的方程即可；【詳解】解：如圖1，作AD⊥BC于D，∵AB=AC，∴BD=CD=BC=4，∴△ABC的外接圓的圓心在AD上，連結OB，設⊙O的半徑為r，在Rt△ABD中，∵AB=4，BD=4，∴AD==8，在Rt△OBD中，OD=AD-OA=8-r，OB=r，BD=4，∴42+（8-r）2=r2，解得r=5，即△ABC的外接圓的半徑為5；【點睛】本題考查三角形的外接圓和外心，解題關鍵證明等腰三角形底邊上的高經(jīng)過三角形外接圓的圓心.例4．（2023·廣東廣州·九年級?？计谀┤鐖D，在中，，．，I是的內(nèi)心，則線段的值為（

）A．1 B． C． D．【答案】D【分析】如圖，連接，延長交于H，連接．在中，根據(jù)勾股定理求出，再根據(jù)面積相等，求出即可解決問題．【詳解】解：如圖，連接，延長交于H，連接，作出的內(nèi)接圓，確定圓心I，連接，∵，∴，∴，∵，∴，設，在中，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，故選D．【點睛】本題考查的是三角形的內(nèi)心和外心、勾股定理等知識，掌握本題的輔助線的作法是解題的關鍵．例5．（2022秋·浙江衢州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，以為直徑的半圓分別交，于點，，連結，，．(1)求證：．(2)若，，求的長．【答案】(1)見解析(2)8【分析】（1）由等腰三角形的性質得出，，進而得出，可證明，由圓周角定理得出，則，根據(jù)平行線的性質可得；（2）由，是的中點，得出是的中點，由圓周角定理，直角三角形的性質結合，得出，繼而證明，由相似三角形性質得出，進而得出的長度．【詳解】（1）證明：∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵為直徑，∴，∴，∴，∴；（2）如圖，∵，是的中點，∴，即，∴是的中點，∵為直徑，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，即，∴，∴．【點睛】本題考查圓周角定理，平行線的性質、等腰三角形的性質，相似三角形的判定與性質，掌握相似三角形的判定與性質是解題的關鍵．例6．（2023安徽中考數(shù)學一模卷）如圖，A，P，B，C是⊙O上的四個點，∠APB=∠CPB=60°．(1)判斷△ABC的形狀，并證明你的結論．(2)證明：PA+PC=PB．【答案】(1)等邊三角形，證明見解析(2)見解析【分析】（1）根據(jù)圓周角定理得到∠ABC=∠CPB=60°，∠BAC=∠CPB=60°，根據(jù)等邊三角形的判定定理證明；（2）在PB上截取PH=PA，得到△APH為等邊三角形，證明△AHB≌△APC，根據(jù)全等三角形的性質，結合圖形證明即可．（1）解：△ABC是等邊三角形，理由如下：由圓周角定理得，∠BCA=∠APB=60°，∠BAC=∠CPB=60°，∴∠ABC=60°，∴∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，∴△ABC是等邊三角形；（2）證明：在PB上截取PH=PA，∵∠APB=60°，∴△APH為等邊三角形，∴AP=AH，∠PAH=60°，∴∠BAH+∠CAH=∠PAC+∠CAH，即∠BAH=∠PAC，在△AHB和△APC中，，∴△AHB≌△APC（AAS）,∴BH=PC，∴PB=PH+BH=PA+PC．【點睛】本題考查的是圓周角定理，全等三角形的判定和性質，掌握在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半是解題的關鍵．例7．（2023廣東中考模擬）如圖，點P為等邊△ABC外接圓劣弧BC上一點．（1）求∠BPC的度數(shù)；（2）求證：PA=PB+PC；（3）設PA，BC交于點M，若AB=4，PC=2，求CM的長度．【答案】（1）∠BPC=120°，（2）證明見解析；（3）CM=．【分析】（1）由圓周角定理得∠BPC與∠BAC互補；（2）在PA上截取PD=PC，可證明△ACD≌△BCP，則AD=PB，從而得出PA=PB+PC；（3）容易得到△CDM∽△ACM，所以CM：AM=DM：MC=DC：AC=2：4=1：2，設DM=x，則CM=2x，BM=4-2x，PM=2-x，AM=4x，AD=AM-DM=4x-x=3x，△BPM∽△ACM，所以BP：AC=PM：CM，即3x：4=（2-x）：2x，解此分式方程求出x．【詳解】解：（1）∵△ABC為等邊三角形，∴∠BAC=60°，∵點P為等邊△ABC外接圓劣弧BC上一點，∴四邊形ABPC是圓的內(nèi)接四邊形∴∠BPC+∠BAC=180°，∴∠BPC=120°，（2）證明：連結CD．在PA上截取PD=PC，∵∠ABC=∠APC=60°，∴△PCD為等邊三角形，∴∠PCD=∠ACB=60°，CP=CD，∴∠PCD-∠DCM=∠ACB-∠DCM，即∠ACD=∠BCP，在△ACD和△BCP中，，∴△ACD≌△BCP，∴AD=PB，∵PA=AD+DP，DP=PC，∴PA=PB+PC；（3）∵△PCD和△ABC都為等邊三角形，∴∠MDC=∠ACM=60°，CD=PC，又∵∠DMC=∠CMA，∴△CDM∽△ACM，AB=4，PC=2，∴CM：AM=DM：MC=DC：AC=PC：AC=2：4=1：2，設DM=x，則CM=2x，BM=4-2x，PM=2-x，AM=4x，AD=AM-DM=4x-x=3x∵∠BMP=∠CMA，∠PBM=∠CAM，∴△BPM∽△ACM，∴BP：AC=PM：CM，即3x：4=（2-x）：2x，解得x=（舍去負值），∴CM=．【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質、全等三角形的判定和性質、圓周角定理以及等邊三角形的性質，是一個綜合題，難度較大．課后專項訓練1．（2023·山東煙臺·統(tǒng)考中考模擬）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，點I是△ABC的內(nèi)心，∠AIC=124°，點E在AD的延長線上，則∠CDE的度數(shù)為（）A．56° B．62° C．68° D．78°【答案】C【分析】由點I是△ABC的內(nèi)心知∠BAC=2∠IAC、∠ACB=2∠ICA，從而求得∠B=180°﹣（∠BAC+∠ACB）=180°﹣2（180°﹣∠AIC），再利用圓內(nèi)接四邊形的外角等于內(nèi)對角可得答案．【詳解】解：∵點I是△ABC的內(nèi)心，∴∠BAC=2∠IAC、∠ACB=2∠ICA，∵∠AIC=124°，∴∠B=180°﹣（∠BAC+∠ACB）=180°﹣2（∠IAC+∠ICA）=180°﹣2（180°﹣∠AIC）=68°，又四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∴∠CDE=∠B=68°，故選：C．【點睛】本題考查三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，解題的關鍵是掌握三角形的內(nèi)心的性質及圓內(nèi)接四邊形的性質．2．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考一模）如圖，AC是矩形ABCD的對角線，⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，點E是邊AD上一點，連結CE，將△CDE繞點C旋轉，當CD落到對角線AC上時，點E恰與圓心O重合，已知AE＝6，則下列結論不正確的是（）A．BC+DE＝ACB．⊙O的半徑是2C．∠ACB＝2∠DCED．AE＝CE【答案】D【分析】⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，設半徑為r，切點分別為F、G、H，連接OG、OH，則四邊形BGOH是正方形，得出OG＝OG＝BG＝BH＝r，由旋轉的性質得：OF＝DE＝r，CF＝CD，∠FCO＝∠DCE，得出∠ACB＝2∠DCE，在Rt△ABC中，由勾股定理得出方程，解方程得出r＝2，BC＝8，AC＝10，選項A、B、C正確；由勾股定理得：CE＝，選項D不正確．【詳解】解：⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，設半徑為r，切點分別為F、G、H，連接OG、OH，如圖：則四邊形BGOH是正方形，∴OG＝OG＝BG＝BH＝r，由旋轉的性質得：OF＝DE＝r，CF＝CD，∠FCO＝∠DCE，∴∠ACB＝2∠DCE，∵BC＝AD，∴AB＝CD＝CF＝AE＝6，由切線長定理得：CH＝CF＝CD＝6，∠ACO＝∠BCO，AF＝AG＝6﹣r，∴AC＝AF+CF＝12﹣r，在Rt△ABC中，由勾股定理得：62+（6+r）2＝（12﹣r）2，解得：r＝2，∴BC＝8，AC＝10，∴BC+DE＝AC，⊙O的半徑是2，所以選項A、B、C正確；由勾股定理得：，選項D不正確；故選D．【點睛】本題考查三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心、矩形的性質、旋轉的性質、切線長定理、勾股定理等知識；熟練掌握切線長定理和旋轉的性質，由勾股定理得出方程是解題的關鍵．3．（2023·浙江·九年級統(tǒng)考階段練習）如圖，正六邊形ABCDEF中，P、Q兩點分別為△ACF、△CEF的內(nèi)心．若AF=2，則PQ的長度為何？（）A．1 B．2 C．2﹣2 D．4﹣2【答案】C【分析】先判斷出PQ⊥CF，再求出AC=2，AF=2，CF=2AF=4，利用△ACF的面積的兩種算法即可求出PG，然后計算出PQ即可.【詳解】解：如圖，連接PF，QF，PC，QC∵P、Q兩點分別為△ACF、△CEF的內(nèi)心，∴PF是∠AFC的角平分線，F(xiàn)Q是∠CFE的角平分線，∴∠PFC=∠AFC=30°，∠QFC=∠CFE=30°，∴∠PFC=∠QFC=30°，同理，∠PCF=∠QCF∴PQ⊥CF，∴△PQF是等邊三角形，∴PQ=2PG；易得△ACF≌△ECF，且內(nèi)角是30o，60o，90o的三角形，∴AC=2，AF=2，CF=2AF=4，∴S△ACF=AF×AC=×2×2=2，過點P作PM⊥AF，PN⊥AC，PQ交CF于G，∵點P是△ACF的內(nèi)心，∴PM=PN=PG，∴S△ACF=S△PAF+S△PAC+S△PCF=AF×PM+AC×PN+CF×PG=×2×PG+×2×PG+×4×PG=（1++2）PG=（3+）PG=2，∴PG==，∴PQ=2PG=2()=2-2.故選C.【點睛】本題是三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，主要考查了三角形的內(nèi)心的特點，三角形的全等，解本題的關鍵是知道三角形的內(nèi)心的意義.4．（2023·河北張家口·統(tǒng)考一模）如圖，點點為的內(nèi)心，且于點，若，，則的度數(shù)為（

）A．163 B．164 C．165 D．166【答案】C【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠C=86°，過點E作ED⊥AC于D，得到∠CDE=∠CFE=90°，由此求出∠AED=90°-19°=71°，∠DEF=180°-∠C=94°，即可求出答案.【詳解】∵，，∴∠C=180°-∠BAC-∠B=86°，過點E作ED⊥AC于D，∵，∴∠CDE=∠CFE=90°，∵點點為的內(nèi)心，∴∠CAE=∠BAC=19°，∴∠AED=90°-19°=71°，∠DEF=180°-∠C=94°，∴∠AEF=∠AED+∠DEF=165°，故選：C.【點睛】此題考查三角形的內(nèi)角和定理，三角形內(nèi)心定義，熟記三角形的內(nèi)心定義是解題的關鍵.5．（2023秋·天津河北·九年級?？计谀┤糁苯侨切蔚膬芍苯沁叿謩e為6和8，則這個直角三角形內(nèi)切圓的半徑是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】首先根據(jù)勾股定理求得該直角三角形的斜邊是，等面積法即可求解．【詳解】解：直角三角形的兩直角邊分別為6和8，根據(jù)勾股定理，得該直角三角形的斜邊是，設直角三角形內(nèi)切圓半徑為r，則，解得．故選：B．【點睛】本題考查的知識點是勾股定理以及三角形內(nèi)切圓與內(nèi)心，牢記直角三角形內(nèi)切圓的半徑等于兩條直角邊的和與斜邊的差的一半是解此題的關鍵．6．（2023春·浙江九年級課時練習）如圖，在△ABC中，∠BOC＝140°，I是內(nèi)心，O是外心，則∠BIC＝（

）度A．70 B．135 C．55 D．125【答案】D【分析】根據(jù)圓周角定理求出，求出度數(shù)，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出，根據(jù)三角形的內(nèi)心得出，，求出的度數(shù)，再求出答案即可．【詳解】解：在中，，是外心，，，，為的內(nèi)心，，，，，故選：D．【點睛】本題考查了三角形的內(nèi)切圓和三角形的外接圓，圓周角定理，三角形的內(nèi)角和定理等知識點，能綜合運用定理進行推理是解此題的關鍵．7．（2034·浙江杭州·三模）如圖，△ABC的內(nèi)切圓與三邊分別切于點D，E，F(xiàn)，下列結論正確的是（）A．∠EDF＝∠B B．2∠EDF＝∠A+∠CC．2∠A＝∠FED+∠EDF D．∠AED+∠BFE+∠CDF＞180°【答案】B【分析】不妨設∠B=80°，∠A=40°，∠C=60°．求出各個角，首先判定出A、C錯誤，再證明B、D兩項的正誤．【詳解】解：不妨設∠B＝80°，∠A＝40°，∠C＝60°．∵△ABC的內(nèi)切圓與三邊分別相切于點D、E、F，∴BE＝BF，AE＝AD，CF＝CD，∴∠BEF＝∠BFE＝∠EDF＝50°，∠CFD＝∠CDF＝∠FED＝60°，∠AED＝∠ADE＝∠EFD＝70°，∴∠EDF≠∠B，2∠A≠∠FED+∠EDF，故A、C不正確，∵∠B+∠BEF+∠EFB＝180°，∠B+∠A+∠C＝180°，∴∠BEF+∠BFE＝∠A+∠C，∴2∠EDF＝∠A+∠C，故B正確，∵∠AED＝∠EFD，∠BFE＝∠EDF，∠CDF＝∠FED，∴∠AED+∠BFE+∠CDF＝∠EFD+∠EDF+∠FED＝180°，故D不正確．故選B．【點睛】本題考查三角形的內(nèi)接圓與內(nèi)心，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，學會利用特殊值法解決問題，屬于中考?？碱}型．8．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預測）如圖，為直徑，C為圓上一點，I為內(nèi)心，交于D，于I，若，則為（

）

A． B． C． D．5【答案】A【分析】如圖，連接，，由題意知，平分，平分，則，，，，由，可得，由垂徑定理得，則，由勾股定理得，，如圖，連接交于，則，設，則，由勾股定理得，，即，解得，進而可得，，由勾股定理得，，計算求解即可．【詳解】解：如圖，連接，，

由題意知，平分，平分，∴，，∴，，∵，∴，∵，∴，由勾股定理得，，如圖，連接交于，則，設，則，由勾股定理得，，即，解得，∴，，由勾股定理得，，故選：A．【點睛】本題考查了內(nèi)心，勾股定理，垂徑定理，同弧或等弧所對的圓周角相等，等腰三角形的判定與性質．解題的關鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用．9．（2023春·廣東深圳·九年級?？计谥校┤鐖D，點是的內(nèi)心，的延長線和的外接圓相交于點，與相交于點，則下列結論：①；②若，則；③若點為的中點，則；④．其中一定正確的個數(shù)是（

）

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】利用三角形內(nèi)心的性質得到，則可對①進行判斷；直接利用三角形內(nèi)心的性質對②進行判斷；根據(jù)圓周角定理，等弧和等弦的關系及等腰三角形的性質可對③進行判斷；通過證明得到，則可對④進行判斷．【詳解】解：∵點是的內(nèi)心，∴平分，∴，故①正確；如圖，連接，，∵點是的內(nèi)心，∴，，∵，∴，∴，∴，故②不正確；

∵，∴，∴，∵點為的中點，∴，∴，故③正確；如圖，連接，∵點是的內(nèi)心，∴平分，∴，∵，∴，∴，∴，故④正確，∴一定正確的是①③④，共3個，故選：C．

【點睛】本題考查三角形內(nèi)心，圓周角定理，等弧與等弦的關系，等腰三角形的性質，三角形的內(nèi)角和定理與三角形外角的性質．掌握三角形的內(nèi)心是解題的關鍵．10．（2023秋·浙江·九年級專題練習）如圖，△ABC的內(nèi)切圓⊙O與AB，BC，AC相切于點D，E，F(xiàn)，已知AB＝6，AC＝5，BC＝7，則DE的長是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】連接、、，交于，作交BC于點G，利用，求出，進一步可得，求出，設⊙的半徑為，利用，求出，求出，進一求出，再證明OB垂直平分，利用面積法可得，求得HE長即可求得答案．【詳解】解：連接、、，交于，作交BC于點G，如圖，∵AB＝6，AC＝5，BC＝7，∴，即，解得：，∴，∴，設內(nèi)切圓的半徑為r，則，解得：，的內(nèi)切圓⊙與，，分別相切于點，，，∴∠ODB=∠OEB=90°，又∵OD=OE，OB=OB，∴，∴BD=BE，同理，CE=CF，AD=AF，∵BE+CE=BC=7，∴BD+BE+CE+CF=14，∴2AD=(6+5+7)-14=4，即AD=2，∴，∴，，，垂直平分，，，，，，故選：D．【點睛】本題考查了三角形的內(nèi)切圓性質，全等三角形的性質與判定，勾股定理，面積法等，正確添加輔助線，靈活運用相關知識是解題的關鍵．11．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）如圖，點E是的內(nèi)心，的延長線和的外接圓相交于點D，與相交于點G，則下列結論：①；②若，則；③若點G為的中點，則；④．其中，一定正確的是（）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④【答案】A【分析】根據(jù)點是的內(nèi)心，可得，可判斷①正確；連接，，可得，從而得到，進而得到，可判斷②錯誤；，得出，再由點為的中點，則成立，可判定③正確；根據(jù)點是的內(nèi)心和三角形的外角的性質，可得，再由圓周角定理可得，從而得到，得出，但可判斷④錯誤．【詳解】解：∵點是的內(nèi)心，∴，故①正確；如圖，連接，，∵點是的內(nèi)心，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，故②錯誤；∵點是的內(nèi)心，∴，∴,∵點為的中點，∴線段經(jīng)過圓心O，∴，∴成立，故③正確；∵點是的內(nèi)心，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵點E不一定是的中點，∴，∴，故④錯誤；綜上分析可知，①③正確，故A正確．故選：A．【點睛】本題主要考查了三角形的內(nèi)心問題，圓周角定理，三角形的內(nèi)角和定理，三角形外角的性質，熟練掌握三角形的內(nèi)心問題，圓周角定理，三角形的內(nèi)角和等知識是解題的關鍵．12．（2022秋·江蘇·九年級?？贾軠y）如圖，內(nèi)接于，若為的內(nèi)心，連結并延長交于點，為、交點，連結、，以下結論：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）若，則．以上結論正確的有（

）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】A【分析】根據(jù)內(nèi)心是三角形三條角平分線的交點，利用圓周角定理和外角的性質，得到，從而推出即可說明（1）的正誤；再證明，得到即可證得（2）的正誤；再證明，得到即可說明（3）；如圖，過點作的平行線與的延長線交于點，利用平行線分線段成比例定理即可證得（4）；如圖所示，在線段截取，過點作于點，連接，利用三角形全等、圓周角定理以及余弦函數(shù)即可求證（5）的正誤．【詳解】解：∵點是的內(nèi)心∴，∵，∴，∴∵，∴，∴，故（1）錯誤；∵∴，∵，∴，∴，∴，∴；故（2）正確；∵，∴，∴，∴；故（3）錯誤；如圖，過點作的平行線與的延長線交于點，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，故（4）正確；如圖所示，在線段截取，過點作于點，連接在和中，，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴在中，，∴，∴，故（5）錯誤，∴（2）（4）說法正確，故選：A【點睛】本題考查三角形的內(nèi)心，圓周角定理以及相似三角形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，平行線分線段成比例定理．熟練掌握三角形的內(nèi)心是三條角平分線的交點，以及等弧所對的圓周角相等，證明三角形相似是解題的關鍵．13．（2023春·四川南充·九年級統(tǒng)考期中）如圖，點是的內(nèi)心，的延長線和的外接圓相交于點，與相交于點，則下列結論：①；②若，則；③；④若點為的中點，則，其中一定正確的序號是．【答案】①②③④【分析】根據(jù)點是的內(nèi)心，可得，故①正確；連接，可得，從而得到，進而得到∠BEC=120°，故②正確；根據(jù)點是的內(nèi)心和三角形的外角的性質，可得，再由圓周角定理可得，從而得到，故③正確；，得出，再由點為的中點，則成立，故④正確．【詳解】解：∵點是的內(nèi)心，∴，故①正確；如圖，連接，∵點是的內(nèi)心，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，故②正確；∵點是的內(nèi)心，∴，∵，∴，

∵，∴，∴，∴，∴，故③正確；∵點是的內(nèi)心，∴，

∴，∵點為的中點，∴線段經(jīng)過圓心O，∴成立，故④正確；∴正確的有①②③④．故答案為：①②③④．【點睛】本題主要考查了三角形的內(nèi)心問題，圓周角定理，三角形的內(nèi)角和等知識，熟練掌握三角形的內(nèi)心的定義，圓周角定理，垂徑定理及其推論是解題的關鍵．14．（2023·湖南岳陽·?？寄M預測）如圖，為外接圓的直徑，點M為的內(nèi)心，連接并延長交于點D，①若，的直徑為4，則扇形的面積為；②若，，則．【答案】//【分析】①首先根據(jù)圓周角定理得到，然后利用扇形面積公式求解即可；②作交于點E，作交于點F，根據(jù)三角形內(nèi)心的性質求出，進而得到，然后利用勾股定理和等腰直角三角形的性質得到，進而求解即可．【詳解】①∵，，∴∵的直徑為4，∴的半徑為2，∴扇形的面積為；②如圖所示，作交于點E，作交于點F，∵，，∴∴∵點M為的內(nèi)心，∴是內(nèi)切圓的半徑，∴，∵點M為的內(nèi)心，∴是的角平分線，∴，，∵∴∴是等腰直角三角形∵∴∵∴∴∴∴∴∴．故答案為：，．【點睛】此題考查了圓周角定理，三角形內(nèi)心的性質，勾股定理，等腰直角三角形的性質等知識，解題的關鍵是熟練掌握以上知識點．15．（2023秋·山東泰安·九年級統(tǒng)考期末）如圖，中，點是內(nèi)心，若，則的度數(shù)為．【答案】/115度【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求得的度數(shù)，再根據(jù)內(nèi)心的定義即可求得，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求解．【詳解】解：∵，∴，∵點是的內(nèi)心，∴，∴，故．故答案是：．【點睛】本題主要考查了三角形的內(nèi)心以及三角形內(nèi)角和定理的知識，理解三角形內(nèi)心的定義是解題關鍵．16．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考一模）如圖，在△ABC中，∠A＝62°，⊙O截△ABC三邊所得的弦長相等，則∠BOC的度數(shù)是．【答案】121°【分析】先利用⊙O截△ABC的三條邊所得的弦長相等，得出即O是△ABC的內(nèi)心，從而，∠1=∠2，∠3=∠4，進一步求出∠BOC的度數(shù)．【詳解】∵△ABC中∠A=70°，⊙O截△ABC的三條邊所得的弦長相等，∴O到三角形三條邊的距離相等，即O是△ABC的內(nèi)心，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∠1+∠3=（180°-∠A）=（180°-62°）=59°，∴∠BOC=180°-（∠1+∠3）=180°-59°=121°．故答案是：121°．【點睛】此題考查三角形的內(nèi)心，三角形內(nèi)角和定理，解題關鍵在于掌握其性質定義．17．（2023·四川德陽·統(tǒng)考二模）如圖，是一個小型花園，陰影部分為一個圓形水池，且與的三邊相切，已知，，．若從天空飄落下一片樹葉恰好落入花園里，則落入水池的概率為（取3）【答案】/0.5【分析】利用勾股定理逆定理得出是直角三角形，再根據(jù)切線長定理求出圓的半徑，分別求出三角形和圓的面積即可．【詳解】解：∵，，，∴，，，∴，∴，如圖設三角形內(nèi)切圓為⊙O，與三邊分別相切于點E、F、G，連接，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴四邊形是矩形，∴，，圓的面積為，從天空飄落下一片樹葉恰好落入花園里，則落入水池的概率為，故答案為：．【點睛】本題考查了勾股定理逆定理和三角形內(nèi)切圓，簡單的概率公式，解題關鍵是利用切線長定理求出三角形內(nèi)切圓半徑．18．（2023廣東九年級上期中）已知中，，則它的外接圓半徑為，內(nèi)切圓半徑為．【答案】52【分析】由勾股定理的逆定理可得，為直角三角形，即可求得外接圓的半徑；設內(nèi)切圓半徑為，利用切線長定理求得內(nèi)切圓半徑．【詳解】解：∵，∴∴為直角三角形，，∴外接圓的圓心為斜邊的中點，半徑為設內(nèi)切圓的半徑為，如下圖，

由題意可得：∴四邊形為矩形，又∵∴矩形為正方形，∴∴，由切線長定理可得：，則：，解得故答案為：5，2【點睛】此題考查了圓的性質，正方形的判定與性質，勾股定理的逆定理，切線長定理等性質，解題的關鍵是熟練掌握相關基礎知識．19．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）如圖，中，是邊E上的高，分別是的內(nèi)切圓，則與的面積比為．【答案】【分析】根據(jù)勾股定理求出，再根據(jù)三角形面積公式求出，由三角形內(nèi)切圓圓心到三條邊的距離相等以及三角形的面積公式求出兩個圓的半徑，再求出面積比即可．【詳解】解：在中，，，，，，，在中，由勾股定理得，，，設的半徑為，的半徑為，則，即，，同理，與的面積比為，故答案為：．【點睛】本題考查三角形的內(nèi)切圓，掌握勾股定理以及三角形內(nèi)切圓的圓心到三角形三邊距離相等是正確解答的前提．20．（2023·山西·九年級專題練習）閱讀以下材料，并按要求完成相應地任務：萊昂哈德·歐拉(LeonhardEuler)是瑞士數(shù)學家，在數(shù)學上經(jīng)常見到以他的名字命名的重要常數(shù)，公式和定理，下面是歐拉發(fā)現(xiàn)的一個定理：在△ABC中，R和r分別為外接圓和內(nèi)切圓的半徑，O和I分別為其外心和內(nèi)心，則.如圖1，⊙O和⊙I分別是△ABC的外接圓和內(nèi)切圓，⊙I與AB相切分于點F，設⊙O的半徑為R，⊙I的半徑為r，外心O（三角形三邊垂直平分線的交點）與內(nèi)心I（三角形三條角平分線的交點）之間的距離OI＝d，則有d2＝R2﹣2Rr．下面是該定理的證明過程（部分）：延長AI交⊙O于點D，過點I作⊙O的直徑MN，連接DM，AN.∵∠D=∠N，∠DMI=∠NAI(同弧所對的圓周角相等)，∴△MDI∽△ANI，∴，∴①，如圖2，在圖1(隱去MD，AN)的基礎上作⊙O的直徑DE，連接BE，BD，BI，IF，∵DE是⊙O的直徑，∴∠DBE=90°，∵⊙I與AB相切于點F，∴∠AFI=90°，∴∠DBE=∠IFA，∵∠BAD=∠E(同弧所對圓周角相等)，∴△AIF∽△EDB，∴，∴②，任務：(1)觀察發(fā)現(xiàn)：，(用含R，d的代數(shù)式表示)；(2)請判斷BD和ID的數(shù)量關系，并說明理由；(3)請觀察式子①和式子②，并利用任務(1)，(2)的結論，按照上面的證明思路，完成該定理證明的剩余部分；(4)應用：若△ABC的外接圓的半徑為5cm，內(nèi)切圓的半徑為2cm，則△ABC的外心與內(nèi)心之間的距離為cm.

【答案】(1)R-d；(2)BD=ID，理由見解析；(3)見解析；(4).【分析】(1)直接觀察可得；(2)由三角形內(nèi)心的性質可得∠BAD=∠CAD，∠CBI=∠ABI，由圓周角定理可得∠DBC=∠CAD，再根據(jù)三角形外角的性質即可求得∠BID=∠DBI，繼而可證得BD=ID；(3)應用(1)(2)結論即可；(4)直接代入結論進行計算即可．【詳解】(1)∵O、I、N三點共線，∴OI+IN＝ON，∴IN＝ON﹣OI＝R﹣d，故答案為R﹣d；(2)BD=ID，理由如下：∵點I是△ABC的內(nèi)心，∴∠BAD=∠CAD，∠CBI=∠ABI，∵∠DBC=∠CAD，∠BID=∠BAD+∠ABI，∠DBI=∠DBC+∠CBI，∴∠BID=∠DBI，∴BD=ID；(3)由(2)知：BD=ID，又，，∴DE·IF=IM·IN，∴，∴∴；(4)由(3)知：，把R=5，r=2代入得：，∵d>0，∴，故答案為.【點睛】本題是圓綜合題，主要考查了三角形外接圓、外心和內(nèi)切圓、內(nèi)心，圓周角性質，角平分線定義，三角形外角性質等，綜合性較強，熟練掌握相關知識是解題的關鍵.21．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）已知，如圖，為⊙O的直徑，內(nèi)接于⊙O，，點P是的內(nèi)心，延長交⊙O于點D，連接．(1)求證：；(2)已知⊙O的半徑是3，，求的長．【答案】(1)見解析(2)4【分析】（1）由圓周角定理得出，由內(nèi)心得出，，，由三角形的外角性質得出，即可得出結論；（2）連接，由圓周角定理得出，證出是等腰直角三角形，得出，由勾股定理可求的長，即可得出結果．【詳解】（1）證明：∵為直徑，∴，∵點P是的內(nèi)心，∴，，∴，∵，，∴，∴；（2）解：連接，過點B作于H，如圖所示：∵是直徑，，∴，是等腰直角三角形，∴，∵，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴．【點睛】本題考查圓周角定理，等腰直角三形，勾股定理，內(nèi)心的定義；添加輔助線構造特殊角直角三角形是解題的關鍵．22．（2023山東德州九年級期中）如圖，等邊三角形ABC內(nèi)接于圓O，點P是劣弧BC上任意一點（不與C重合），連接，求證：．【初步探索】小明同學思考如下：如圖1，將繞點A順時針旋轉到，使點C與點B重合，可得P、B、Q三點在同一直線上，進而可以證明為等邊三角形，根據(jù)提示，解答下列問題：(1)根據(jù)小明的思路，請你完成證明；(2)若圓的半徑為4，則的最大值為__________；(3)【類比遷移】如圖2，等腰內(nèi)接于圓O，，點P是弧BC上任一點（不與B、C重合），連接，若圓的半徑為4，試求周長的最大值．【答案】(1)見解析(2)8(3)【分析】（1）可證得P、B、Q三點在同一條直線上，進而證得是等邊三角形，進一步得出結論；（2）當是的直徑時，的值最大，即最大，進而求得結果；（3）將繞點A順時針旋轉90°到，使點C與點B重合，P、B、Q三點在同一條直線上，進而證明是等腰直角三角形，類比（2）可得出結果．【詳解】（1）證明：由旋轉得，，，，，，、、三點在同一條直線上，，是等邊三角形，，，是等邊三角形，，；（2）解：是的弦，且的半徑為4，當經(jīng)過圓心，即是的直徑時，，此時的值最大，的最大值是8；（3）解：如圖2，，，∵BC是的直徑，且圓心在BC上，∴，，將繞點順時針旋轉到，使點與點重合，則，，，，，、、三點在同一條直線上，，，當經(jīng)過圓心，即是的直徑時，，此時的值最大，，的最大值是，，周長的最大值是．【點睛】本題考查了等邊三角形性質，旋轉性質，圓內(nèi)接四邊形性質等知識，解決問題的關鍵是類比證明和計算．23．（2023年廣東省深圳市寶安區(qū)中考三模數(shù)學試題）綜合與實踐數(shù)學活動課上，老師出示了一個問題：如圖，已知三只螞蟻A、、在半徑為的上靜止不動，第四只螞蟻在上的移動，并始終保持．(1)請判斷的形狀；“數(shù)學希望小組”很快得出結論，請你回答這個結論：是______三角形；(2)“數(shù)學智慧小組”繼續(xù)研究發(fā)現(xiàn)：當?shù)谒闹晃浵佋谏系囊苿訒r，線段、、三者之間存在一種數(shù)量關系：請你寫出這種數(shù)量關系：______，并加以證明；(3)“數(shù)學攀峰小組”突發(fā)奇想，深入探究發(fā)現(xiàn)：若第五只螞蟻同時隨著螞蟻的移動而移動，且始終位于線段的中點，在這個運動過程中，線段的長度一定存在最小值，請你求出線段的最小值是______（不寫解答過程，直接寫出結果）．【答案】(1)等邊(2)；證明見解析(3)【分析】（1）根據(jù)圓周角定理可得對應的圓周角為，即、，說明為等邊三角形即可；（2）如圖，在上截取，連接，先說明為等邊三角形可得，，，進而證明可得，最后根據(jù)等量代換即可解答；（3）如圖：的軌跡是以為直徑的圓，設圓心為，連接，過作于，過作，，根據(jù)題意可得，然后說明是三角形的中位線，進而得到；再根據(jù)中點的定義可得，利用勾股定理可得，最后根據(jù)線段的和差即可解答．【詳解】（1）解：，對應的圓周角為，，，，為等邊三角形．故答案為：等邊．（2）解：如圖，在上截取，連接，，為等邊三角形，，，，，，在和中，，，，，．故答案為：．（3）解：根據(jù)題意可知，如圖：的軌跡是以為直徑的圓，設圓心為，連接，過作于，過作，，，，，，是的中點，是三角形的中位線，為的中點，，又是的中點，，，，．故答案為：．【點睛】本題主要考查了圓周角定理、等邊三角形的判定與性質、勾股定理、三角形中位線等知識點，靈活運用相關知識成為解答本題的關鍵．24．（2023·天津北辰·九年級?？茧A段練習）（1）尺規(guī)作圖，如圖作出△ABC的外接圓⊙O；（2）若AB=AC=10,BC=12,則△ABC的外接圓半徑R=,△ABC的內(nèi)切圓半徑r=．【答案】（1）見詳解；（2）；3．【分析】（1）分別作BC和AC的垂直平分線，兩垂直平分線相交于點O，然后以點O為圓心，OC為半徑作圓即可；（2）過A作AD⊥BC于D，連接OB，可知O在直線AD上，然后在Rt△OBD中，利用勾股定理即可求出外接圓半徑R；過A作AM⊥BC于M，由條件可知內(nèi)心P在直線AM上，過P作PN⊥AB于N，利用△ANP∽△AMB，對應邊成比例即可求出△ABC的內(nèi)切圓半徑．【詳解】解：（1）如圖所示，⊙O為所作，（2）如圖，過A作AD⊥BC于D，由AB=AC=10可知，AD垂直平分BC，BD=CD=BC=6，又∵圓心O在BC的垂直平分線上，∴O在直線AD上，在Rt△ABD中，，連接OB，設OA=OB=R，則OD=8-R，在Rt△OBD中，∵OD2+BD2=OB2，∴（8-R）2+62=R2，解得，即△ABC外接圓的半徑為；如下圖，過A作AM⊥BC于M，由于AB=AC=10，BC=12，∴BM=CM=6，AM為∠BAC的角平分線上，∴△ABC的內(nèi)心在直線AM上，取點P為△ABC的內(nèi)心，過P作PN⊥AB于N，可知，PN=PM，在Rt△ABM中，，設PN=PM=r，則AP=8-r，∵∠AMB=∠ANP=90°，∠NAP=∠MAB，∴△ANP∽△AMB，∴，即，∴即△ABC內(nèi)切圓的半徑為3；答案為：；3．【點睛】本題考查了作圖-復雜作圖：復雜作圖是在五種基本作圖的基礎上進行作圖，一般是結合了幾何圖形的性質和基本作圖方法．也考查了三角形的外心和內(nèi)心，題目比較綜合．25．（2023秋·成都市九年級上期中）如圖，⊙O是GDP的內(nèi)切圓，切點分別為A、B、H，切線EF與⊙O相切于點C，分別交PA、PB于點E、F．（1）若△PEF的周長為12，求線段PA的長；（2）若∠G＝90°，GD=3，GP=4，求⊙O半徑．【答案】（1）6；（2）1【分析】（1）由切線長定理可得，，，再由△PEF的周長為12，即可得到，由此即可得到答案；（2）連接OA、OB、OH、OP、OD、OG，設圓的半徑為r，由，可以得到，再利