2023-2024學年九年級數(shù)學下冊常見幾何模型全歸納之模型解讀與提分精練（浙教版）專題10 解直角三角形之實際應用模型（解析版）

專題10解直角三角形之實際應用模型解直角三角形是中考的重要內(nèi)容之一，直角三角形邊、角關系的知識是解直角三角形的基礎。將實際問題轉化為數(shù)學問題是關鍵，通常是通過作高線或垂線轉化為解直角三角形問題，在解直角三角形時要注意三角函數(shù)的選取，避免計算復雜。在解題中，若求解的邊、角不在直角三角形中，應先添加輔助線,構造直角三角形。為了提高解題和得分能力，本專題重點講解解直角三角形的實際應用模型?！局匾Ｐ汀磕Ｐ?、背靠背模型圖1圖2圖3【模型解讀】若三角形中有已知角時，則通過在三角形內(nèi)作高CD，構造出兩個直角三角形求解，其中公共邊（高）CD是解題的關鍵.【重要關系】如圖1，CD為公共邊，AD+BD=AB；如圖2，CE=DA，CD=EA，CE+BD=AB；如圖3，CD=EF，CE=DF，AD+CE+BF=AB。例1．（2023年西藏自治區(qū)中考數(shù)學真題）如圖，輪船甲和輪船乙同時離開海港O，輪船甲沿北偏東的方向航行，輪船乙沿東南方向航行，2小時后，輪船甲到達A處，輪船乙到達B處，此時輪船甲正好在輪船乙的正北方向．已知輪船甲的速度為每小時25海里，求輪船乙的速度．（結果保留根號）【答案】海里小時．【分析】過作于，解直角三角形即可得到結論．【詳解】解：過作于，在中，，（海里），（海里），在中，，（海里），輪船乙的速度為海里小時．【點睛】本題考查了解直角三角形的應用方向角問題，作出輔助線是解題的關鍵．例2．（2023春·安徽淮南·九年級校聯(lián)考階段練習）如圖，甲乙兩樓相距30米，乙樓高度為36米，自甲樓樓頂A處看乙樓樓頂B處仰角為30°，則甲樓高度為米；

【答案】【分析】在中，由可求，再由，即可求解．【詳解】解：如圖，

由題意得：米，米，，在中，，，，甲樓的高為（）米；故答案：．【點睛】本題主要考查了解直角三角形的應用，掌握解法是解題的關鍵．例3．（2023年湖北中考數(shù)學真題）為了防洪需要，某地決定新建一座攔水壩，如圖，攔水壩的橫斷面為梯形，斜面坡度是指坡面的鉛直高度與水平寬度的比．已知斜坡長度為20米，，求斜坡的長．（結果精確到米）（參考數(shù)據(jù)：）

【答案】斜坡的長約為10米【分析】過點作于點，在中，利用正弦函數(shù)求得，在中，利用勾股定理即可求解．【詳解】解：過點作于點，則四邊形是矩形，在中，，．∴．∵，∴在中，（米）．答：斜坡的長約為10米．【點睛】此題考查的是解直角三角形的應用-坡度坡角問題，掌握坡度坡角的概念、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關鍵．例4．（2023年四川省達州市中考數(shù)學真題）蓮花湖濕地公園是當?shù)厝嗣裣矏鄣男蓍e景區(qū)之一，里面的秋千深受孩子們喜愛．如圖所示，秋千鏈子的長度為，當擺角恰為時，座板離地面的高度為，當擺動至最高位置時，擺角為，求座板距地面的最大高度為多少？（結果精確到；參考數(shù)據(jù)：，，，，，）

【答案】座板距地面的最大高度為．【分析】過點A作于點D，過點A作于點E，過點B作于點F，利用和的余弦值求出，，然后利用線段的和差和矩形的性質求解即可．【詳解】如圖所示，過點A作于點D，過點A作于點E，過點B作于點F，

由題意可得，四邊形和四邊形是矩形，∴，，∵秋千鏈子的長度為，∴，∵，，∴，∴，∵，，∴，∴，∴．∴座板距地面的最大高度為．【點睛】本題考查解直角三角形的應用，解題的關鍵是明確題意，利用數(shù)形結合的思想解答問題．模型2、母子模型圖1圖2圖3圖4【模型解讀】若三角形中有已知角，通過在三角形外作高BC，構造有公共直角的兩個三角形求解，其中公共邊BC是解題的關鍵?！局匾攘筷P系】如圖1，BC為公共邊，AD+DC=AC；如圖2，BC為公共邊，DC-BC=DB；如圖3，DF=EC，DE=FC，BF+DE=BC，AE+DF=AC；如圖4，AF=CE，AC=FE，BC+AF=BE。圖5圖6圖7圖8圖9如圖5，BE+EC=BC；如圖6，EC-BC=BE；如圖7，AC=FG，AF=CG，AD+DC=FG，BC+AF=BG；如圖8，BC=FG，BF=CG，AC+BF=AG，EF+BC=EG；如圖9，BC=FG，BF=CG，EF+BC=EG，BD+DF=BF，AC+BD+DF=AG。例1.（2023年山東省威海市中考數(shù)學真題）如圖，某育苗基地為了能夠最大限度地遮擋夏季炎熱的陽光和充分利用冬天的光照，計劃在苗圃正上方搭建一個平行于地面的遮陽蓬．已知苗圃的（南北）寬米，該地區(qū)一年中正午時刻太陽光與地平面的最大夾角是，最小夾角是．求遮陽蓬的寬和到地面的距離．參考數(shù)據(jù)：，，，，，．

【答案】米，米．【分析】過點D作于F，解，得，解，得，所以，解得米，從而得米，再由矩形的性質求解即可．【詳解】解：如圖，過點D作于F，

在中，，∴，在中，，∴，∴，解得：(米)，∴(米)，∴(米)，∵∴矩形，∴米，米．答：遮陽蓬的寬為7.5米，到地面的距離為4.2米．【點睛】本題考查解直角三角形的應用，通過作輔助線構造直角三角形是解題的關鍵．例2．（2023年內(nèi)蒙古數(shù)學真題）某數(shù)學興趣小組借助無人機測量一條河流的寬度．如圖所示，一架水平飛行的無人機在處測得河流左岸處的俯角為，無人機沿水平線方向繼續(xù)飛行12米至處，測得河流右岸處的俯角為，線段米為無人機距地面的鉛直高度，點，，在同一條直線上，其中．求河流的寬度（結果精確到1米，參考數(shù)據(jù)：）．

【答案】河流的寬度約為64米【分析】過點作于點，分別解、即可．【詳解】解：過點作于點．則四邊形是矩形．

∴，∵∴在中，∴，∴∴在中，，∴，∴，∴∴米答：河流的寬度約為64米．【點睛】本題考查了關于俯仰角的解直角三角形的問題．作垂線構造直角三角形是解題關鍵．例3．（2023春·浙江金華·九年級?？计谥校┐汗?jié)期間，小明發(fā)現(xiàn)遠處大樓的大屏幕時出現(xiàn)了“新年快樂”幾個大字，小明想利用剛學過的知識測量“新”字的高度：如圖，小明先在A處，測得“新”字底端D的仰角為，再沿著坡面向上走到B處，測得“新”字頂端C的仰角為，坡面的坡度，，(假設A、B、C、D、E在同一平面內(nèi))．

(1)求點B的高度；(2)求“新”字的高度．(長保留一位小數(shù)，參考數(shù)據(jù))【答案】(1)(2)米【分析】（1）根據(jù)坡面的坡度可得，再根據(jù)含角的直角三角形的性質即可求解；（2）過點B作于點G，可得四邊形是矩形，通過解直角三角形求出和，即可解決問題．【詳解】（1）解：坡面的坡度，，，，即點B的高度為；（2）解：如圖，過點B作于點G，

由題意得，，四邊形是矩形，在中，由勾股定理得，，在中，，，，是等腰直角三角形，，，，即“新”字的高度約為米．【點睛】本題考查解直角三角形的實際應用，矩形的判定與性質，勾股定理等，解題的關鍵是正確作出輔助線構造直角三角形．例4．（2023年遼寧中考數(shù)學真題）暑假期間，小明與小亮相約到某旅游風景區(qū)登山，需要登頂高的山峰，由山底A處先步行到達處，再由處乘坐登山纜車到達山頂處．已知點A，B．D，E，F(xiàn)在同一平面內(nèi)，山坡的坡角為，纜車行駛路線與水平面的夾角為（換乘登山纜車的時間忽略不計）

(1)求登山纜車上升的高度；(2)若步行速度為，登山纜車的速度為，求從山底A處到達山頂處大約需要多少分鐘（結果精確到）（參考數(shù)據(jù)：）【答案】(1)登山纜車上升的高度；(2)從山底A處到達山頂處大約需要.【分析】（1）過B點作于C，于E，則四邊形是矩形，在中，利用含30度的直角三角形的性質求得的長，據(jù)此求解即可；（2）在中，求得的長，再計算得出答案．【詳解】（1）解：如圖，過B點作于C，于E，則四邊形是矩形，在中，，，∴，∴，答：登山纜車上升的高度；（2）解：在中，，，∴，∴從山底A處到達山頂處大約需要：，答：從山底A處到達山頂處大約需要.【點睛】此題主要考查了解直角三角形的應用，正確掌握直角三角形的邊角關系是解題關鍵．模型3、擁抱模型圖1圖2圖3圖4【模型解讀】分別解兩個直角三角形，其中公共邊BC是解題的關鍵。【重要等量關系】如圖1，BC為公共邊；如圖2，BF+FC+CE=BE；如圖3，BC+CE=BE；如圖4，AB=GE，AG=BE，BC+CE=AG,DG+AB=DE。例1．（2022?淮濱縣三模）由綠地集團耗資22億建設的“大玉米”位于河南省省會鄭州市鄭東新區(qū)，因為其是圓柱塔式建筑，夜晚其布景燈采用黃色設計，因此得名，如今已經(jīng)成為CBD的一座新地標建筑．某數(shù)學興趣小組為測量其高度，一人先在附近一樓房的底端A點處觀測“大玉米”頂端C處的仰角是45°，然后爬到該樓房頂端B點處觀測“大玉米”底部D處的俯角是30°．已知樓房AB高約是162m，根據(jù)以上觀測數(shù)據(jù)求“大玉米”的高．（結果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：≈1.41，≈1.73）【解答】解：由題意可知，∠CAD＝45°，∠EBD＝30°＝∠ADB，AB＝DE＝162米，在Rt△ABD中，∵tan30°＝，∴AD＝＝162（米），在Rt△ACD中，∠CAD＝45°，∴CD＝AD＝162≈280（米），答：“大玉米”的高約為280米．例2．（2022?巴中模擬）如圖，小明和小亮周末到巴人廣場測量兩棟樓AB和CD的高度，小明將木桿EF放在樓AB和CD之間（垂直于水平面），小亮將測角儀放在G處（A、F、G三點在一條直線上），測得樓AB頂部的仰角∠AGB＝30°，再將測角儀放在H處（D、F、H三點在一條直線上），測得樓CD頂部的仰角∠DHC＝60°，同時測得BE＝15m，CE＝14m，EG＝6m．（點A、B、C、D、E、F、G、H均在同一平面內(nèi)，結果精確到0.1米，≈1.732）（1）求樓AB的高度；（2）求樓CD的高度．【解答】解：（1）∵BE＝15m，EG＝6m，∴BG＝BE+EG＝21m，在Rt△ABG中，∠ABG＝90°，∠AGB＝30°，∴AB＝BG?tan30°＝21×＝7≈12.1（m），∴樓AB的高度約為12.1m；（2）在Rt△FEG中，∠FEG＝90°，∠FGE＝30°，∴EF＝EG?tan30°＝6×＝2（m），在Rt△FEH中，∠FEH＝90°，∠FHE＝60°，∴HE＝＝＝2（m），∴HC＝HE+EC＝2+14＝16（m），在Rt△DCH中，∠DCH＝90°，∠DHC＝60°，∴DC＝HC?tan60°＝16≈27.7（m）．∴樓CD的高度約為27.7m．例3．（2023·江蘇蘇州·?？级＃┤鐖D，某中學數(shù)學課題學習小組在“測量物體高度”的活動中，欲測量一棵古樹的高度，他們在這棵古樹的正前方一平房頂點處測得古樹頂端的仰角為，在這棵古樹的正前方處，測得古樹頂端的仰角為，在點處測得點的俯角為，已知為米，且、、三點在同一條直線上．(1)求平房的高度；(2)請求出古樹的高度．（根據(jù)以上條件求解時測角器的高度忽略不計）

【答案】(1)(2)【分析】（）在中，已知，，利用角的正切可得出結果（）在中，由正切函數(shù)的定義求出的長，最后解，即可求出的長，即古樹的高度．【詳解】（1）由題意知，，，（2），，∴，，，，，，，在中，．【點睛】本題考查的是解直角三角形的應用仰角、俯角問題，熟記銳角三角函數(shù)的定義是解答此題的關鍵．例4．（2023年天津市中考數(shù)學真題）綜合與實踐活動中，要利用測角儀測量塔的高度．如圖，塔前有一座高為的觀景臺，已知，點E，C，A在同一條水平直線上．某學習小組在觀景臺C處測得塔頂部B的仰角為，在觀景臺D處測得塔頂部B的仰角為．(1)求的長；(2)設塔的高度為h（單位：m）．①用含有h的式子表示線段的長（結果保留根號）；②求塔的高度（取0.5，取1.7，結果取整數(shù)）．

【答案】(1)(2)①；②【分析】（1）根據(jù)含30度角的直角三角形的性質求解即可；（2）①分別在和中，利用銳角三角函數(shù)定義求得，，進而可求解；②過點作，垂足為．可證明四邊形是矩形，得到，．在中，利用銳角三角函數(shù)定義得到，然后求解即可．【詳解】（1）解：在中，，∴．即的長為．（2）解：①在中，，∴．在中，由，，，則.∴．即的長為．②如圖，過點作，垂足為．根據(jù)題意，，∴四邊形是矩形．∴，．可得．在中，，，∴．即．∴．答：塔的高度約為．【點睛】本題考查解直角三角形的應用，涉及含30度角的直角三角形的性質、矩形判定與性質、銳角三角函數(shù)，理解題意，掌握作輔助線構造直角三角形解決問題是解答的關鍵．課后專項訓練1．（2023·山東泰安·模擬預測）為測量此塔頂?shù)母叨?，在地面選取了與塔底共線的兩點、，、在的同側，在處測量塔頂?shù)难鼋菫?，在處測量塔頂?shù)难鼋菫?，到的距離是米．設的長為米，則下列關系式正確的是(

)A．B．C．D．【答案】A【分析】先解求出米，則米，再解即可得到．【詳解】解：由題意得，，在中，米，∴米，在中，，∴，故選A．【點睛】本題主要考查解直角三角形的實際應用，正確求出米是解題的關鍵．2．（2022·湖北十堰·中考真題）如圖，坡角為α的斜坡上有一棵垂直于水平地面的大樹AB，當太陽光線與水平線成45°角沿斜坡照下，在斜坡上的樹影BC長為m，則大樹AB的高為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】應充分利用所給的α和45°在樹的位置構造直角三角形，進而利用三角函數(shù)求解．【詳解】解：如圖，過點C作水平線與AB的延長線交于點D，則AD⊥CD，∴∠BCD=α，∠ACD=45°．在Rt△CDB中，CD=mcosα，BD=msinα，在Rt△CDA中，AD=CD×tan45°=m×cosα×tan45°=mcosα，∴AB=AD-BD=（mcosα-msinα）=m（cosα-sinα）．故選：A．【點睛】本題考查銳角三角函數(shù)的應用．需注意構造直角三角形是常用的輔助線方法，另外，利用三角函數(shù)時要注意各邊相對．3．（2023·山東濟南·一模）如圖，為了測量某建筑物的高度，小穎采用了如下的方法：先從與建筑物底端B在同一水平線上的A點出發(fā)，沿斜坡行走100米至坡頂D處，再從D處沿水平方向繼續(xù)前行若干米到點E處，在E點測得該建筑物頂端C的仰角為59°，建筑物底端B的俯角為，點A、B、C、D、E在同一平面內(nèi)，斜坡的坡度．根據(jù)以上數(shù)據(jù)，計算出建筑物BC的高度約為（結果精確到1．參考數(shù)據(jù)：，，）（）A．158米 B．161米 C．159米 D．160米【答案】D【分析】先利用斜坡的坡度求出，再利用矩形的性質和等腰三角形的性質求出，之后利用正切求出的值，最后通過求和即可得到建筑物BC的高度．【詳解】解：如圖：過點D作于點F，過點E作于點G，過點E作于點H∵斜坡的坡度∴可設，∵在中，，∴∵在中，∵在中，故選：D．【點睛】本題考查坡度的意義，等腰直角三角形的性質和解直角三角形，選取恰當?shù)姆椒ㄕ_求出線段長度是解題關鍵．4．（2023·廣東廣州·?？寄M預測）如圖，某人在山坡坡腳C處測得一座建筑物頂點A的仰角為，沿山坡向上走到P處再測得該建筑物頂點A的仰角為．已知BC=90米，且B、C、D在同一條直線上，山坡坡度i=5：12，求此人從所在位置點P走到建筑物底部B點的路程（）米.（結果精確到0.1米）（測傾器的高度忽略不計，參考數(shù)據(jù)：，）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先過點P作PE⊥AB于E，PH⊥BD于H，由題意可知i=PH：CH=5：12，然后設PH=5x米，CH=12x米，在Rt△ABC中，，BC=90米，則可得，利用正切函數(shù)的知識可求AB，在Rt△AEP中，，利用正切函數(shù)可得關于x的方程，從而得出PH，在Rt△PHC中，利用勾股定理可求CP的長度，進一步可求此人從所在位置點P走到建筑物底部B點的路程．【詳解】解：如圖：過點P作PE⊥AB于E，PH⊥BD于H，設PH=BE=5x米，CH=12x米，在Rt△ABC中，，BC=90米，則，即，∴AB=180(米)，在Rt△AEP中，，AE=AB-BE=180-5x，BH=EP=BC+CH=90+12x，∴，解得，經(jīng)檢驗是原方程的解，且符合題意，∴(米)，在Rt△PHC中，(米)，故此人從所在位置點P走到建筑物底部B點的路程是：(米)，故選：D．【點睛】本題考查了仰角的定義，以及解直角三角形的實際應用問題，解題的關鍵是要能借助仰角構造直角三角形并解直角三角形，注意數(shù)形結合思想的應用，注意輔助線的作法．5．（2022·廣西貴港·中考真題）如圖，某數(shù)學興趣小組測量一棵樹的高度，在點A處測得樹頂C的仰角為，在點B處測得樹頂C的仰角為，且A，B，D三點在同一直線上，若，則這棵樹的高度是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設CD=x，在Rt△ADC中，∠A=45°，可得CD=AD=x，BD=16-x，在Rt△BCD中，用∠B的正切函數(shù)值即可求解．【詳解】設CD=x，在Rt△ADC中，∠A=45°，∴CD=AD=x，∴BD=16-x，在Rt△BCD中，∠B=60°，∴，即：，解得，故選A．【點睛】本題考查三角函數(shù)，根據(jù)直角三角形的邊的關系，建立三角函數(shù)模型是解題的關鍵．6．（2022·湖北黃岡·中考真題）如圖，有甲乙兩座建筑物，從甲建筑物點處測得乙建筑物點的俯角為，點的俯角為，為兩座建筑物的水平距離．已知乙建筑物的高度為，則甲建筑物的高度為________．（，，，結果保留整數(shù)）．【答案】【分析】過點作于點，則，，，在中，，設，則，，，在中，，解得，進而可得出答案．【詳解】解：如圖，過點作于點，設，根據(jù)題意可得：，，∴，∴四邊形是矩形，∵從甲建筑物點處測得乙建筑物點的俯角為，點的俯角為，為兩座建筑物的水平距離，乙建筑物的高度為，∴，，，在中，，∴，∴，∴，∴，∴，在中，即，∴解得，經(jīng)檢驗是原分式方程的解且符合題意，∴．故答案為：．【點睛】本題考查解直角三角形的應用一仰角俯角問題，涉及到銳角三角函數(shù)，矩形的判定和性質，等腰三角形的性質，直角三角形兩銳角互余，分式方程等知識．熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解答本題關鍵．7．（2023年湖北省荊州市中考數(shù)學真題）如圖，無人機在空中處測得某校旗桿頂部的仰角為，底部的俯角為，無人機與旗桿的水平距離為，則該校的旗桿高約為．（，結果精確到0.1）

【答案】13.8//【分析】解直角三角形，求得和的長，即可解答．【詳解】解：根據(jù)題意可得，在中，，，在中，，，，故答案為：．【點睛】本題考查了解直角三角形的實際應用-俯角仰角，含有30度角的直角三角形的邊長特征，熟練解直角三角形是解題的關鍵．8．（2023年山東省棗莊市中考數(shù)學真題）如圖所示，桔棒是一種原始的汲水工具，它是在一根豎立的架子上加上一根細長的杠桿，末端懸掛一重物，前端懸掛水桶．當人把水桶放入水中打滿水以后，由于杠桿末端的重力作用，便能輕易把水提升至所需處，若已知：杠桿米，，支架米，可以繞著點O自由旋轉，當點A旋轉到如圖所示位置時，此時點B到水平地面的距離為米．（結果保留根號）

【答案】/【分析】過點作于點，過點作交于點，交于點，易得四邊形為矩形，分別解，，求出的長，利用進行求解即可．【詳解】解：過點作于點，過點作交于點，交于點，

∵，∴，∴，∴四邊形為矩形，∴，∵，，∴，在中，，，∴；∴，在中，，，∴；∴（米）；故答案為：．【點睛】本題考查解直角三角形實際應用，矩形的性質與判定．解題關鍵是添加輔助線，構造直角三角形．9．（2022·四川達州·中考真題）某老年活動中心欲在一房前3m高的前墻（）上安裝一遮陽篷，使正午時刻房前能有2m寬的陰影處（）以供納涼，假設此地某日正午時刻太陽光與水平地面的夾角為63.4°，遮陽篷與水平面的夾角為10°，如圖為側面示意圖，請你求出此遮陽篷的長度（結果精確到0.1m）．（參考數(shù)據(jù)：，，；，，）【答案】遮陽篷的長度約為3.4米【分析】過點作于點，則四邊形是矩形，則，設，則，，解直角三角形求得，進而求得，解，求得，進而求得的長，根據(jù)即可求解．【詳解】如圖，過點作于點，則四邊形是矩形，設，則，，在中，，，在中，，，解得：，經(jīng)檢驗，x是方程的解，且符合題意，，，．答：遮陽篷的長度約為3.4米．【點睛】本題考查了解直角三角形的應用，掌握三角形的三邊關系是解題的關鍵．10．（2022·貴州遵義·中考真題）如圖1所示是一種太陽能路燈，它由燈桿和燈管支架兩部分構成如圖2，是燈桿，是燈管支架，燈管支架與燈桿間的夾角．綜合實踐小組的同學想知道燈管支架的長度，他們在地面的點處測得燈管支架底部的仰角為60°，在點處測得燈管支架頂部的仰角為30°，測得m，m（，，在同一條直線上）．根據(jù)以上數(shù)據(jù)，解答下列問題：(1)求燈管支架底部距地面高度的長（結果保留根號）；(2)求燈管支架的長度（結果精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)：）．【答案】(1)(2)【分析】（1）解即可求解；（2）延長交于點，證明是等邊三角形，解，根據(jù)即可求解．(1)在中，(2)如圖，延長交于點，中，是等邊三角形答：燈管支架的長度約為．【點睛】本題考查了解直角三角形的應用，等邊三角形的性質與判定，掌握以上知識是解題的關鍵．11．（2022·山西·中考真題）隨著科技的發(fā)展，無人機已廣泛應用于生產(chǎn)和生活，如代替人們在高空測量距離和角度．某校“綜合與實踐”活動小組的同學要測星AB，CD兩座樓之間的距離，他們借助無人機設計了如下測量方案：無人機在AB，CD兩樓之間上方的點O處，點O距地面AC的高度為60m，此時觀測到樓AB底部點A處的俯角為70°，樓CD上點E處的俯角為30°，沿水平方向由點O飛行24到達點F，測得點E處俯角為60°，其中點A，B，C，D，E，F(xiàn)，O均在同一豎直平面內(nèi)．請根據(jù)以上數(shù)據(jù)求樓AB與CD之間的距離AC的長（結果精確到1m．參考數(shù)據(jù)：）．【答案】58m【分析】延長AB和CD分別與直線OF交于點G和點H，則，再根據(jù)圖形應用三角函數(shù)即可求解．【詳解】解：延長AB和CD分別與直線OF交于點G和點H，則．又∵，∴四邊形ACHG是矩形．∴．由題意，得．在中，，∴﹒∵是的外角，∴．∴．∴．在中，∴．∴．答：樓AB與CD之間的距離AC的長約為58m．【點睛】本題主要考查三角函數(shù)的綜合應用，正確構造直角三角形并應用三角函數(shù)進行求解是解題的關鍵．12．（2022·四川宜賓·中考真題）宜賓東樓始建于唐代，重建于宜賓建城2200周年之際的2018年，新建成的東樓（如圖1）成為長江首城會客廳、旅游休閑目的地、文化地標打卡地．某數(shù)學小組為測量東樓的高度，在梯步A處（如圖2）測得樓頂D的仰角為45°，沿坡比為7：24的斜坡AB前行25米到達平臺B處，測得樓頂D的仰角為60°，求東樓的高度DE．（結果精確到1米．參考數(shù)據(jù)：，）【答案】【分析】根據(jù)，，設，則，根據(jù)勾股定理求得，又設，則，，求出DE，根據(jù)列出方程，解方程進而根據(jù)即可求解．【詳解】解：在中，，，設，則，由，得，解得：，∴，又設，則，在中，，則，∴，在中，，則，∴，∴，解得：，∴．∴東樓的高度約為40m．【點睛】本題考查了解直角三角形的實際應用，掌握三角形中的邊角關系是解題的關鍵．13．（2023·湖南衡陽·?？家荒＃┑?4屆冬季奧林匹克運動會于今年2月4日至20日在北京舉行，我國冬奧選手取得了9塊金牌、4塊銀牌、2塊銅牌，為祖國贏得了榮譽，激起了國人對冰雪運動的熱情．某地模仿北京首鋼大跳臺建了一個滑雪大跳臺（如圖），它由助滑坡道、弧形跳臺、著陸坡、終點區(qū)四部分組成．圖是其示意圖，已知：助滑坡道米，弧形跳臺的跨度米，頂端到的距離為40米，，，，．求此大跳臺最高點距地面的距離是多少米（結果保留整數(shù)）．（參考數(shù)據(jù)：，，，，，，，，）【答案】70【分析】過點作，交于點，則四邊形是矩形，可得，在中，求得，根據(jù)，，求得，進而求得，根據(jù)即可求解．【詳解】如圖，過點作，交于點，則四邊形是矩形，，，，在中，（米），，，，米，解得，頂端到的距離為40米，即米（米）．（米）．【點睛】本題考查了解直角三角形的應用，掌握直角三角形中的邊角關系是解題的關鍵．14．（2023年湖南省張家界市中考數(shù)學真題）“游張家界山水，逛七十二奇樓”成為今年旅游新特色．某數(shù)學興趣小組用無人機測量奇樓的高度，測量方案如圖：先將無人機垂直上升至距水平地面225m的P點，測得奇樓頂端A的俯角為，再將無人機沿水平方向飛行200m到達點Q，測得奇樓底端B的俯角為，求奇樓的高度．（結果精確到1m，參考數(shù)據(jù)：，，）

【答案】【分析】延長，交的延長線于點C，根據(jù)題意得出，，再由等腰直角三角形得出，然后解直角三角形即可．【詳解】解：延長，交的延長線于點C，則

由題意得，，，在中，，則∴，在中，，解得，∴奇樓的高度約為．【點睛】題目主要考查解三角形的應用，理解題意，作出輔助線是解題關鍵．15．（2023年湖北省隨州市中考數(shù)學真題）某校學生開展綜合實踐活動，測量某建筑物的高度，在建筑物附近有一斜坡，坡長米，坡角，小華在C處測得建筑物頂端A的仰角為，在D處測得建筑物頂端A的仰角為．（已知點A，B，C，D在同一平面內(nèi)，B，C在同一水平線上）

(1)求點D到地面的距離；(2)求該建筑物的高度．【答案】(1)5米(2)米【分析】（1）過點D作，根據(jù)坡角的概念及含直角三角形的性質分析求解；（2）通過證明，然后解直角三角形分析求解．【詳解】（1）解：過點D作，

由題意可得，∴在Rt中，，即點D到地面的距離為5米；（2）如圖，由題意可得，，∴，又∵，∴，∴∴在Rt中，，即，解得，在Rt中，，即，解得，答：該建筑物的高度為15米．【點睛】本題考查的是解直角三角形的應用-仰角俯角、坡度坡角問題，根據(jù)題意作出輔助線，構造出直角三角形是解答此題的關鍵．16．（2023年安徽中考數(shù)學真題）如圖，是同一水平線上的兩點，無人機從點豎直上升到點時，測得到點的距離為點的俯角為，無人機繼續(xù)豎直上升到點，測得點的俯角為．求無人機從點到點的上升高度（精確到）．參考數(shù)據(jù)：，．

【答案】無人機從點到點的上升高度約為米【分析】解，求得，，在中，求得，根據(jù)，即可求解．【詳解】解：依題意，，，，在中，，∴，，在中，，∴（米）答：無人機從點到點的上升高度約為米．【點睛】本題考查了解直角三角形的應用，熟練掌握三角函數(shù)的定義是解題的關鍵．17.（2023春·遼寧阜新·九年級校考階段練習）如圖，在南北方向的海岸線上，有A，B兩艘巡邏船，現(xiàn)均收到故障船C的求救信號，已知A，B兩船相距海里，船C在船A的北偏東方向上，船C在船B的東南方向上，上有一觀測點D，測得船C正好在觀測點D的南偏東方向上．(1)求出A與C之間的距離．(2)已知距觀測點D處100海里范圍內(nèi)有暗礁．若巡邏船A沿直線去營救船C，在去營救的途中有無觸暗礁危險？（參考數(shù)據(jù)：，）

【答案】(1)200海里(2)無觸暗礁危險【分析】（1）作于點E，設海里，則海里，根據(jù)可列出方程求得的值后即可求得的長；（2）根據(jù)（1）中結論得出的長，再與100比較即可得到答案．【詳解】（1）解：作于點E，由題意得：，，

設海里，在中，，在中，，，解得：，，與C之間的距離等于（海里）；（2）解：由（1）知，（海里），，所以巡邏船A沿直線去營救船C，在去營救的途中無觸暗礁危險．【點睛】本題考查的是解直角三角形的應用—方向角問題，根據(jù)題意作出輔助線，構造出直角三角形是解題關鍵．18．（2023春·海南·九年級統(tǒng)考期中）某校舉辦以“測量”為主題的數(shù)學實踐活動，該校數(shù)學興趣小組準備借助無人機來測量小區(qū)內(nèi)的一座大樓高度．如圖所示，無人機從地面點A處沿著與地面垂直的方向上升，至點B處時，測得大樓底部C的俯角為30°，E測得大樓頂部D的仰角為45°．無人機保持航向不變繼續(xù)上升50米到達點E處，此時測得大樓頂部D的俯角為60°．已知A、C兩點在同一水平線上．

(1)填空：＝_________度，＝_________度；(2)求A、C兩點間的距離：（結果保留根號）(3)求這座大樓的高度．（結果保留根號）【答案】(1)；(2)米(3)米【分析】（1）根據(jù)俯角和仰角的定義求解即可；（2）設，在中可得，在中可得，在中可得，最后由列方程求解即可；（3）由求解即可．【詳解】（1）如圖，

由題意可得，，，，，，，∴,，故答案為：；；（2）設，則，在中可得，在中可得，在中可得，∴解得：，∴；（3）由（2）可得，，∴【點睛】本題考查解直角三角形-仰角俯角問題，解題的關鍵是作輔助線，構造直角三角形解決問題．19．（2022·