2024年八年級(jí)數(shù)學(xué)寒假提升學(xué)與練（人教版）專題01 三角形（解析版）-【寒假自學(xué)課】2024年八年級(jí)數(shù)學(xué)寒假提升學(xué)與練（人教版）

專題01三角形思維導(dǎo)圖核心考點(diǎn)聚焦1、三角形的三邊關(guān)系的計(jì)算問題2、有關(guān)三角形高、角平分線的計(jì)算3、根據(jù)三角形的中線求長度問題（分類討論）4、利用三角形的中線求面積5、三角形內(nèi)角和的證明問題6、與平行線有關(guān)的三角形內(nèi)角和問題7、三角形折疊角度問題8、有關(guān)三角形外角的計(jì)算問題9、多邊形的內(nèi)角與外角10、復(fù)雜圖形的內(nèi)角和問題11、三角形中的內(nèi)角、外角平分線問題12、三角形中的幾何模型一、三角形的分類1．定義：由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形．組成三角形的線段叫做三角形的邊；相鄰兩邊所組成的角叫做三角形的內(nèi)角，簡(jiǎn)稱三角形的角；相鄰兩邊的公共端點(diǎn)叫做三角形的頂點(diǎn).2．三角形的分類（1）按角分類：從角的方面判斷一個(gè)三角形的形狀的方法：①若最大內(nèi)角為銳角，則該三角形是銳角三角形；②若最大內(nèi)角為直角，則該三角形是直角三角形；③若最大內(nèi)角為鈍角，則該三角形是鈍角三角形．（2）按邊分類：二、三角形的三邊關(guān)系三角形兩邊的和大于第三邊，三角形兩邊的差小于第三邊.判斷三條線段能否組成三角形，若兩條較短的線段長之和大于最長線段的長，則這三條線段可以組成三角形；反之，則不能組成三角形．當(dāng)已知三角形兩邊長，可求第三邊長的取值范圍．已知三角形的兩邊長，求第三邊長的取值范圍時(shí)，若三角形的已知兩邊長分別為，，則第三邊長的取值范圍是．三、三角形的高、中線和角平分線1．三角形的高：從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊所在直線作垂線，頂點(diǎn)和垂足之間的線段叫做三角形的高線，簡(jiǎn)稱三角形的高．注意：銳角三角形的三條高在三角形內(nèi)部，三條高的交點(diǎn)也在三角形內(nèi)部；鈍角三角形有兩條高在三角形的外部，且三條高的交點(diǎn)在三角形的外部；直角三角形三條高的交點(diǎn)是直角的頂點(diǎn).2．三角形的中線：三角形的一個(gè)頂點(diǎn)與它的對(duì)邊中點(diǎn)的連線叫三角形的中線．注意：①三角形三條中線交于三角形內(nèi)部一點(diǎn)，這一點(diǎn)叫三角形的重心；②中線把三角形分成面積相等的兩個(gè)三角形.3．三角形的角平分線：三角形一個(gè)內(nèi)角的平分線與它的對(duì)邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段叫做三角形的角平分線.注意：一個(gè)三角形有三條角平分線，并且都在三角形的內(nèi)部；四、三角形的穩(wěn)定性1．三角形的三條邊確定后，三角形的形狀和大小就不會(huì)改變了，這個(gè)性質(zhì)叫做三角形的穩(wěn)定性.三角形的穩(wěn)定性在實(shí)際生活中有很多用處．例如，橋鋼架、輸電線支架、索道支架等都采用三角形結(jié)構(gòu)，就是這個(gè)道理．2．四邊形沒有穩(wěn)定性.五、三角形的內(nèi)角和定理1．三角形三個(gè)內(nèi)角和等于180°．2．幾種常見的證明三角形內(nèi)角和為的方法：添加平行線：3．三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用主要用在求三角形中角的度數(shù)．①直接根據(jù)兩已知角求第三個(gè)角；②依據(jù)三角形中角的關(guān)系，用代數(shù)方法求三個(gè)角；③在直角三角形中，已知一銳角可利用兩銳角互余求另一銳角．六、直角三角形直角三角形：如果一個(gè)三角形是直角三角形，那么這個(gè)三角形有兩個(gè)角互余．反過來，有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形．?？贾R(shí)點(diǎn)：如果直角三角形中有一個(gè)銳角為45°，那么這個(gè)直角三角形的另一個(gè)銳角也是45°，且該三角形是等腰直角三角形．七、三角形的外角的性質(zhì)1．三角形的外角：三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角叫做三角形的外角．注意：三角形每個(gè)頂點(diǎn)處有兩個(gè)外角，它們是對(duì)頂角．所以三角形共有六個(gè)外角，通常每個(gè)頂點(diǎn)處取一個(gè)外角，因此，我們常說三角形有三個(gè)外角．2．三角形外角的性質(zhì)：①三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和．②三角形的一個(gè)外角大于任意一個(gè)與它不相鄰的內(nèi)角．③三角形的外角和等于360°．三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，主要有以下幾方面的應(yīng)用：①已知外角及與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角中的一個(gè)，求另一個(gè)；②可證一個(gè)角等于另兩個(gè)角的和；③經(jīng)常利用它證明兩個(gè)角相等．八、多邊形的對(duì)角線多邊形的定義：在平面內(nèi)，由一些線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形．如果多邊形的任何一邊所在直線能使余下的邊都在這條直線的同一側(cè)，這樣的多邊形叫做凸多邊形．①多邊形的邊：組成多邊形的各條線段叫做多邊形的邊．②多邊形的頂點(diǎn)：每相鄰兩邊的公共端點(diǎn)叫做多邊形的頂點(diǎn)．③正多邊形：各個(gè)角相等，且各條邊都相等的多邊形叫做正多邊形．（兩個(gè)條件缺一不可）④多邊形的對(duì)角線：在多邊形中，連接多邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段，叫做多邊形的對(duì)角線．邊形的對(duì)角線：一個(gè)頂點(diǎn)有條對(duì)角線，共有條對(duì)角線．九、多邊形的內(nèi)角和1．多邊形的內(nèi)角：多邊形相鄰兩邊組成的角叫做它的內(nèi)角．2．n邊形的內(nèi)角和為(n-2)·180°(n≥3)．3．正多邊形的每個(gè)內(nèi)角都相等，都等于．十、多邊形的外角和1．多邊形的外角和為360°．注意：在一個(gè)多邊形的每個(gè)頂點(diǎn)處各取一個(gè)外角，這些外角的和叫做多邊形的外角和．n邊形的外角和恒等于360°，它與邊數(shù)的多少無關(guān)．2．正n邊形的每個(gè)內(nèi)角都相等，所以它的每個(gè)外角都相等，都等于．三角形中內(nèi)角、外角平分線的夾角問題（1）如圖所示，在△中，分別是和的平分線，則．（2）如圖所示，△的外角平分線和相交于點(diǎn)D，則．（3）如圖所示，△的內(nèi)角平分線和外角平分線相交于點(diǎn)D，則．考點(diǎn)剖析考點(diǎn)一、三角形的三邊關(guān)系的計(jì)算問題例1．已知△的三邊長分別為，，．(1)化簡(jiǎn)式子________．(2)若，，．①的取值范圍是________；②當(dāng)△為等腰三角形時(shí)，求，，的值．【解析】（1）∵，，∴，，∴，故答案為：.（2）①由三邊關(guān)系可知：，解得：，∴不等式組的解集為：，∴的取值范圍是；②∵△為等腰三角形，∴當(dāng)時(shí)，即：，解得：，此時(shí)，；當(dāng)時(shí)，即：，不成立；當(dāng)時(shí)，即：，解得：，∵，∴不成立；∴當(dāng)△為等腰三角形時(shí)，，．考點(diǎn)二、有關(guān)三角形高、角平分線的計(jì)算例2．在△中，，平分，F(xiàn)為射線上一點(diǎn)（不與點(diǎn)E重合），且于點(diǎn)D．(1)如圖1，若點(diǎn)F與點(diǎn)A重合，且，，求的度數(shù)；(2)如圖2，若點(diǎn)F在線段上（不與點(diǎn)A重合），求證：；(3)如圖3，若點(diǎn)F在△外部，探究此時(shí)，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【解析】（1）解：∵，，∴．∵平分，∴，∴．∵，∴，∴．（2）證明：∵平分，∴．∵為的外角，∴．∵，∴，∴，即．（3）解：．理由：∵平分，∴．∵為的外角，∴．∵，∴，∴，即．考點(diǎn)三、根據(jù)三角形的中線求長度問題（分類討論）例3．如圖，在△中，，中線將這個(gè)三角形的周長分成15和12兩部分，求這個(gè)三角形三邊的長．

【解析】解：為中線，，，，設(shè)，，當(dāng)，即時(shí)，則，即，時(shí)，；當(dāng)，即時(shí)，則，即．時(shí)，．，，；或，，．，，則能構(gòu)成三角形；，，則能構(gòu)成三角形；所以這個(gè)三角形的三邊的長分別為：10、10、7或8、8、11．考點(diǎn)四、利用三角形的中線求面積例4．如圖所示，是△的中線，是的中線，是△的中線，是△的中線．(1)與的面積有何關(guān)系？請(qǐng)說明理由；(2)若，求的面積．【解析】（1）解：與的面積相等；∵是的中線，∴，∵和的底邊分別為時(shí)，它們的高相同，∴兩個(gè)三角形等底同高，∴它們的面積相等；（2）解：∵是的中線，∴，∵是的中線，∴，∵是的中線，∴，∵是的中線，∴，∴，∴．考點(diǎn)五、三角形內(nèi)角和的證明問題例5．探究三角形的內(nèi)角和(1)下面是證明三角形內(nèi)角和定理的一種添加輔助線的方法，請(qǐng)完成證明．三角形的內(nèi)角和定理：三角形的內(nèi)角和等于．已知：如圖，△．求證：．證明：在上任取一點(diǎn)，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)．(2)請(qǐng)?jiān)儆靡环N不同的方法證明三角形內(nèi)角和定理．【解析】（1）證明：在上任取一點(diǎn)，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)．

，，，，，，.（2）證明：如圖，過點(diǎn)A作，

則，．(兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）∵點(diǎn)，，在同一條直線上，∴．（平角的定義），即三角形的內(nèi)角和為．考點(diǎn)六、與平行線有關(guān)的三角形內(nèi)角和問題例6．如圖，，平分，平分，，求的度數(shù)．

【解析】解：如圖，連接，

∵，∴．∵，∴，∴．∵平分，平分，∴，，∴，∴，∴．考點(diǎn)七、三角形折疊角度問題例7．如圖，△是一個(gè)三角形的紙片，點(diǎn)D，E分別是△邊，上的兩點(diǎn)．(1)如圖（1），如果沿直線折疊，且，則與的關(guān)系是_________．(2)如圖（2），如果沿直線折疊后點(diǎn)A落在四邊形內(nèi)部，探究，和的關(guān)系，并說明理由．(3)如果折成圖（3）的形狀，探究，和的關(guān)系，并說明理由．【解析】（1）解：.理由：∵沿直線折疊，且，∴A點(diǎn)落在上，如圖（1），∴，∴.故答案為：；（2）解：.理由：連接，如圖，∵，，∴，又∵，∴；（3）解：．理由：如圖（3），由翻折可得：，，，∵，，∴，∴，∴．考點(diǎn)八、有關(guān)三角形外角的計(jì)算問題例8．在△中，分別是平分線，相交于點(diǎn)P．(1)如圖1，如果，則_________；(2)如圖2，如果，不是直角，求的度數(shù)．【解析】（1）∵，∴，∵分別是的平分線，∴，在中，，故答案為：；（2）∵分別是的平分線，∴，∵，在中，，∴，∴，∴，在中，，∴．考點(diǎn)九、多邊形的內(nèi)角與外角例9．一個(gè)多邊形的每一個(gè)內(nèi)角都相等，并且每個(gè)外角都等于和它相鄰的內(nèi)角的．(1)求這個(gè)多邊形是幾邊形；(2)求該多邊形的內(nèi)角和．【解析】（1）解：設(shè)多邊形的每一個(gè)內(nèi)角為，則每一個(gè)外角為，由題意得，，解得，，這個(gè)多邊形的邊數(shù)為：，答：這個(gè)多邊形是八邊形；（2）解：由（）知，該多邊形是八邊形，∴內(nèi)角和，答：這個(gè)多邊形的內(nèi)角和為．考點(diǎn)十、復(fù)雜圖形的內(nèi)角和問題例10．（1）如圖1，這是一個(gè)五角星，則_________．（2）如圖2，將五角星截去一個(gè)角后多出一個(gè)角，求的度數(shù)．（3）如圖3，將五角星的每個(gè)角都截去，求的度數(shù)．

【解析】解：（1）如圖，

由三角形的外角性質(zhì)，得，，∵，∴，故答案為：；（2）如圖，延長與相交于點(diǎn)，

和是的兩個(gè)外角，則，，，，故的度數(shù)為．（3）由（2）知，每截去圖1中的一個(gè)角，剩余角的度數(shù)和會(huì)增加，圖1中，，在題圖3中，去掉五個(gè)角后，．考點(diǎn)十一、三角形中的內(nèi)角、外角平分線問題例11．閱讀下面的材料，并解決問題．

(1)已知在△中，，圖的△的內(nèi)角平分線或外角平分線交于點(diǎn)O，請(qǐng)直接求出下列角度的度數(shù)．如圖1，_________；如圖2，_________；如圖3，_________；如圖4，，的三等分線交于點(diǎn)，，連接，則_________．(2)如圖5，△中，的三等分線分別與的平分線交于點(diǎn)，，若，，求的度數(shù)．【解析】（1）解：如圖1，

∵平分，平分，∴，，∴，∴；如圖2，∵平分，平分，∴，，∵，∴，∵，∴；如圖3，

∵平分，平分，∴，，∴，∴；如圖4，

∵，的三等分線交于點(diǎn)，，∴，，∵平分，平分，平分，∴，∴，∴；（2）證明：如圖5，

∵，，∴，∵的三等分線分別與的平分線交于點(diǎn)，，∴，，∴，∴，∴．考點(diǎn)十二、三角形中的幾何模型例12．已知線段，相交于點(diǎn)O，連接，，我們把形如圖1的圖形稱為“8字形”．試解答下列問題：(1)在圖1中，，，，之間有何數(shù)量關(guān)系？直接寫出結(jié)論．(2)如圖2，在（1）的結(jié)論下，與的平分線和相交于點(diǎn)P，并且與，分別相交于點(diǎn)M，N．與，之間有何數(shù)量關(guān)系？并說明理由．【解析】（1）解：，求解過程如下：由對(duì)頂角相等得：，，，．（2）解：，理由如下：與的平分線和相交于點(diǎn)，，，由“8字形”可知，，由①②得：，．過關(guān)檢測(cè)一、選擇題1．一個(gè)多邊形外角和是內(nèi)角和的，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)是（

）A．10 B．11 C．12 D．13【答案】C【解析】設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)為n，則，解得：，即這個(gè)多邊形的邊數(shù)為12，故選C．2.如圖，是四邊形的外角，若，，則（）

A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意知，，，∴，故選C．3.如圖所示，在△中，，將△沿著直線折疊，點(diǎn)落在點(diǎn)的位置．則的度數(shù)是（

）

A． B． C． D．【答案】A【解析】如圖所示，

由題意得：，，，，．故選A．4.如圖，和分別是△的角平分線和高線．若，，，則用和表示的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】A【解析】∵，，∴，∵和分別是的角平分線和高線，∴，，∴，∴.故選A．5.如圖，在△中，分別平分交于O，為外角的平分線，的延長線交于點(diǎn)E，記，，則以下結(jié)論：①，②，③，④，正確的是（

）

A．①②③ B．①③④ C．①④ D．①②④【答案】C【解析】解：如圖，

∵分別平分，為外角的平分線，∴，，，∵，，∴，①正確，故符合要求；∵，∴，∵，∴，②錯(cuò)誤，故不符合要求；④正確，故符合要求；∵，∴③錯(cuò)誤，故不符合要求.故選C．二、填空題6．等腰三角形的邊長分別為4和8，則周長為．【答案】20【解析】因?yàn)榈妊切蔚倪呴L分別為4和8，所以當(dāng)腰長為，則三邊為4、4、8，而，不符合三角形的三邊關(guān)系，故舍去；當(dāng)腰長為8，則三邊為4、8、8，符合三角形的三邊關(guān)系，此時(shí)周長為，故答案為：20.7.如圖，直線，一塊含角的直角三角尺如圖放置，，則．

【答案】/105度【解析】如圖，，，，，，，，故答案為：．

8.如圖所示，．

【答案】360【解析】如圖，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得、，則．故答案為360．

9.如圖，點(diǎn)M是兩個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，點(diǎn)N是△兩外角平分線的交點(diǎn)，如果，那么度．【答案】60【解析】點(diǎn)是兩個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，，，，點(diǎn)是兩外角平分線的交點(diǎn)，，，，，即，，，又，，，解得，故答案為：60．10.如圖，在△中，，是高，是中線，是角平分線，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，下面說法中正確的序號(hào)是．的面積等于的面積；；；．

【答案】【解析】∵是中線，∴，∴的面積的面積(等底同高的三角形的面積相等)，故正確；∵是角平分線，∴，∵為高，∴，∵，∴，，∴，∵，，∴，故正確；∵為高，∴，∵，∴,，∴，∵是的平分線，∴，∴，即，故正確；根據(jù)已知條件不能推出，即不能推出，故錯(cuò)誤；故答案為：．三、解答題11.一個(gè)多邊形的內(nèi)角和比它的外角和的4倍少，求：這個(gè)多邊形是幾邊形？這個(gè)多邊形共有多少條對(duì)角線？【解析】解：設(shè)這個(gè)多邊形是n邊形，則，；這個(gè)多邊形的對(duì)角線有：（條）．答：這個(gè)多邊形是九邊形，這個(gè)多邊形共有27條對(duì)角線．12.如圖，在△中，是高線，、是角平分線，它們相交于點(diǎn)O，，，求與的度數(shù)．【解析】解：∵，∴，∵，∴，∵平分，∴，∴；∵，，∴，，∵是的平分線，∴，∴．13.在四邊形中，