四川省大數(shù)據(jù)精準(zhǔn)教學(xué)聯(lián)盟2025屆高三上學(xué)期一?？荚嚁?shù)學(xué)試題+答案

第1頁(yè)/共1頁(yè)四川省大數(shù)據(jù)精準(zhǔn)教學(xué)聯(lián)盟2022級(jí)高三第一次統(tǒng)一監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)本試卷滿(mǎn)分150分，考試時(shí)間120分鐘.注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必在答題卡上將自己的姓名、班級(jí)、考場(chǎng)/座位號(hào)用0.5毫米黑色簽字筆填寫(xiě)清楚，考生考試條碼由監(jiān)考老師粘貼在答題卡上的“條碼粘貼處”.2.選擇題使用2B鉛筆填涂在答題卡上對(duì)應(yīng)題目標(biāo)號(hào)的位置上，如需改動(dòng)，用橡皮擦擦干凈后再填涂其他答案；非選擇題用0.5毫米黑色簽字筆在答題卡的對(duì)應(yīng)區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域答題的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效.3.考試結(jié)束后由監(jiān)考老師將答題卡收回.一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求.1.已知為虛數(shù)單位，則的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)條件，利用復(fù)數(shù)運(yùn)算法則及虛數(shù)單位的性質(zhì)，即可求解.【詳解】因?yàn)楣蔬x：B.2.已知集合，，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)條件，利用充分條件和必要條件的判斷方法，即可求出結(jié)果.【詳解】當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，即可以推出，若，所以，得到，所以推不出，即“”是“”的充分不必要條件，故選：A.3.若雙曲線：的一條漸近線的斜率為，則的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出雙曲線的漸近線方程為，結(jié)合條件得到，即可求解.【詳解】因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為，由題知，所以離心率，故選：B.4.如圖，在中，點(diǎn)，分別在，邊上，且，，點(diǎn)為中點(diǎn)，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)條件，結(jié)合圖形，利用向量的中線公式，得到，再利用向量的線性運(yùn)算，即可求解.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)為中點(diǎn)，所以，又，，所以故選：C.5.一家水果店為了解本店蘋(píng)果的日銷(xiāo)售情況，記錄了過(guò)去天的日銷(xiāo)售量（單位：kg），將全部數(shù)據(jù)按區(qū)間50,60，60,70，…，90,100分成5組，得到如圖所示的頻率分布直方圖：根據(jù)圖中信息判斷，下列說(shuō)法中不恰當(dāng)?shù)囊豁?xiàng)是（）A.圖中的值為B.這天中有天的日銷(xiāo)售量不低于kgC.這天銷(xiāo)售量的中位數(shù)的估計(jì)值為kgD.店長(zhǎng)希望每天的蘋(píng)果盡量新鮮，又能地滿(mǎn)足顧客的需要（在天中，大約有天可以滿(mǎn)足顧客的需求），則每天的蘋(píng)果進(jìn)貨量應(yīng)為kg【答案】D【解析】【分析】選項(xiàng)A，利用頻率分布直方圖的性質(zhì)，即可求解；選項(xiàng)B，利用頻率分布直方圖，得到不低于kg的頻率為，即可求解；選項(xiàng)C，設(shè)中位數(shù)為，根據(jù)條件，建立方程，即可求解；選項(xiàng)D，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成求第分位數(shù)，即可判斷出正誤.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，由圖知，解得，所以選項(xiàng)A正確，對(duì)于選項(xiàng)B，由圖知日銷(xiāo)售量不低于kg的頻率為，由，所以選項(xiàng)B正確，對(duì)于選項(xiàng)C，設(shè)中位數(shù)為，由，解得，所選項(xiàng)C正確，對(duì)于選項(xiàng)D，設(shè)第分位數(shù)為，則有，得到，所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤，故選：D.6.函數(shù)，的圖象大致為（）A B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)條件，得到為奇函數(shù)，從而可排除選項(xiàng)A和B，再結(jié)合與在上的正負(fù)值，即可求解.【詳解】因?yàn)槎x域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，又，即為奇函數(shù)，所以選項(xiàng)A和B錯(cuò)誤，又當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，又易知當(dāng)時(shí)，，所以時(shí)，，結(jié)合圖象可知選項(xiàng)C錯(cuò)誤，選項(xiàng)D正確，故選：D.7.已知正四棱錐的各頂點(diǎn)都在同一球面上，且該球的體積為，若正四棱錐的高與底面正方形的邊長(zhǎng)相等，則該正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為（）A.16 B.8 C.4 D.2【答案】C【解析】【分析】根據(jù)正四棱錐及球的特征、體積公式結(jié)合勾股定理計(jì)算即可.【詳解】如圖所示，設(shè)P在底面的投影為G，易知正四棱錐的外接球球心在上，不妨設(shè)球半徑，該球的體積為，即，又正四棱錐的高與底面正方形的邊長(zhǎng)相等，則，即.故選：C8.已知，且滿(mǎn)足，，，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，結(jié)合二倍角公式及余弦函數(shù)圖象計(jì)算即可.【詳解】令，則，所以fx又，所以，，由，即為的零點(diǎn)，而，即為的零點(diǎn)，作出大致圖象如上，易知，因?yàn)?，綜上.故選：A【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于比大小問(wèn)題，通常利用構(gòu)造函數(shù)的方法，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，還可以通過(guò)數(shù)形結(jié)合的方法比較大小.二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共計(jì)18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知函數(shù)最小正周期為，則（）A.的最大值為2B.在上單調(diào)遞增C.的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)D.的圖象可由的圖象向右平移個(gè)單位得到【答案】ACD【解析】【分析】利用輔助角公式及周期公式可得函數(shù)解析式，根據(jù)三角函數(shù)的值域、單調(diào)性、對(duì)稱(chēng)性及圖象變換一一判定選項(xiàng)即可.【詳解】易知，其最小正周期為，所以，即，顯然，故A正確；令，顯然區(qū)間不是區(qū)間的子區(qū)間，故B錯(cuò)誤；令，則是的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心，故C正確；將的圖象向右平移個(gè)單位得到，故D正確.故選：ACD10.已知橢圓的左頂點(diǎn)為，左、右焦點(diǎn)分別為，過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，則（）A.B.C.當(dāng)不共線時(shí)，的周長(zhǎng)為D.設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，則【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)橢圓方程、焦點(diǎn)弦性質(zhì)和橢圓定義可知ABC正誤；設(shè)Px0,y【詳解】對(duì)于A，由題意知：，，，，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，為橢圓的焦點(diǎn)弦，，B正確；對(duì)于C，，的周長(zhǎng)為，C正確；對(duì)于D，作垂直于直線，垂足為，設(shè)Px0,，，，，D正確.故選：BCD.11.已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.的極小值一定小于B.函數(shù)有6個(gè)互不相同的零點(diǎn)C.若對(duì)于任意的x∈R，，則的值為D.過(guò)點(diǎn)有且僅有1條直線與曲線y=fx相切【答案】ACD【解析】【分析】對(duì)于A項(xiàng)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合隱零點(diǎn)判定極小值點(diǎn)的范圍，計(jì)算即可；對(duì)于B項(xiàng)，利用數(shù)形結(jié)合的思想結(jié)合A的結(jié)論即可判定；對(duì)于C項(xiàng)，含參討論結(jié)合端點(diǎn)效應(yīng)計(jì)算即可；對(duì)于D項(xiàng)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義轉(zhuǎn)化為函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的問(wèn)題，根據(jù)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值、最值即可.【詳解】對(duì)于A，易知，令，易知上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，而時(shí)恒成立，且，，所以使得，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，即時(shí)，取得極小值，極小值為，故A正確；對(duì)于B，由上知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，，則，使得，又知?jiǎng)t，顯然存在兩個(gè)不同的根，且也存在兩個(gè)不同的根，即函數(shù)有4個(gè)互不相同零點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若對(duì)于任意的，，即，令，若，則，根據(jù)上證的性質(zhì)知，使得，即上單調(diào)遞減，此時(shí)，不符合題意，若，則有在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，即，符合題意，若，此時(shí)，則區(qū)間上一定存在子區(qū)間使得單調(diào)遞增，而，則含有小于零的值，不符合題意，故C正確；對(duì)于D，設(shè)過(guò)與曲線相切的切線切點(diǎn)為，則，整理得，令，可得上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，即時(shí)取得極大值，，則使得，且的根唯一，故D正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于A項(xiàng)，利用隱零點(diǎn)判定極小值點(diǎn)的范圍，結(jié)合單調(diào)性即可判定；對(duì)于B項(xiàng)，利用數(shù)形結(jié)合的思想結(jié)合A的結(jié)論即可判定；對(duì)于C項(xiàng)，利用端點(diǎn)效應(yīng)含參討論即可；對(duì)于D項(xiàng)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義轉(zhuǎn)化為函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的問(wèn)題，根據(jù)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值、最值即可.本題需要多積累一些常用函數(shù)的圖象與性質(zhì)可提高做題速度，如：型.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共計(jì)15分.12.已知角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則________.【答案】【解析】【分析】利用三角函數(shù)的定義先計(jì)算，再利用二倍角公式計(jì)算即可.【詳解】由題意可知，所以，故答案為：13.已知數(shù)列an滿(mǎn)足，，，設(shè)an的前項(xiàng)和為，則________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意可得數(shù)列為等差數(shù)列，設(shè)出公差及首項(xiàng)，再結(jié)合與，從而可求解.【詳解】由，所以，所以數(shù)列為等差數(shù)列，并設(shè)其公差為，首項(xiàng)為，又因?yàn)?，即，解得，因?yàn)?，所以，，所?故答案為：.14.條件概率與條件期望是現(xiàn)代概率體系中的重要概念，近年來(lái)，條件概率和條件期望已被廣泛的應(yīng)用到日常生產(chǎn)生活中.定義：設(shè)，是離散型隨機(jī)變量，則在給定事件條件下的期望為，其中為的所有可能取值集合，表示事件“”與事件“”都發(fā)生的概率.某商場(chǎng)進(jìn)行促銷(xiāo)活動(dòng)，凡在該商場(chǎng)每消費(fèi)500元，可有2次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，每次獲獎(jiǎng)的概率均為，某人在該商場(chǎng)消費(fèi)了1000元，共獲得4次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì).設(shè)表示第一次抽中獎(jiǎng)品時(shí)的抽取次數(shù)，表示第二次抽中獎(jiǎng)品時(shí)的抽取次數(shù).則________.【答案】2【解析】【分析】根據(jù)題意可知可取，然后再分別算出相應(yīng)的概率值，再結(jié)合從而可求解.【詳解】由題意可知可取，所以，，，又因?yàn)?，所?故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于本題主要是根據(jù)題中所給條件分別求出不同情況下的概率，然后再結(jié)合定義中的公式求出其期望值.四、解答題：本大題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且.（1）求角；（2）若的平分線交邊于點(diǎn)，且，，求的面積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理化角為邊結(jié)合余弦定理計(jì)算即可；（2）利用余弦定理先計(jì)算與，再根據(jù)三角形內(nèi)角和計(jì)算，利用正弦定理得c，由面積公式計(jì)算即可.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，所以，則，所以，因?yàn)?，所以；【小?wèn)2詳解】根據(jù)題意及余弦定理有，所以，則，根據(jù)正弦定理有，所以.16.如圖，在三棱錐中，平面，.（1）求證；平面平面；（2）若，，三棱錐的體積為100，求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）由平面得到，再結(jié)合，可證明平面，從而可求解；（2）由題意知求出，建立空間直角坐標(biāo)系，再利用空間面面夾角向量方法，從而可求解.【小問(wèn)1詳解】證明：由題意得平面，因?yàn)槠矫?，所以，又因?yàn)?，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以平面平?【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，，，所以，又因?yàn)槿忮F體積為，即，得，由題意可得以原點(diǎn)，分別以平行于，及，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，，，所以，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，得，則，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，得，則，設(shè)二面角為，則.所以銳二面角的余弦值為.17.已知函數(shù).（1）若在上單調(diào)遞減，求的取值范圍；（2）若，證明：.【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）根據(jù)題意可得在區(qū)間上恒成立，構(gòu)造函數(shù)，求得其最大值，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意要證等價(jià)于證明，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出其最小值，從而可求解.【小問(wèn)1詳解】由，則，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以在上恒成立，所以，即，構(gòu)造函數(shù)，所以，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以當(dāng)x=1時(shí)取得極大值也是最大值，即，所以，所以的取值范圍為.【小問(wèn)2詳解】由題意得的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，要證，即證：，等價(jià)于證明構(gòu)造函數(shù)，即證；所以，令，因?yàn)楹瘮?shù)的對(duì)稱(chēng)軸為，所以在上單調(diào)遞增，且，，所以存在，使，所以當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，即，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，有極小值也是最小值，又因?yàn)?，得，所以，令，則在上恒成立，所以在上單調(diào)遞減，所以，即，所以即證，所以可證.18.甲、乙兩名同學(xué)進(jìn)行定點(diǎn)投籃訓(xùn)練，據(jù)以往訓(xùn)練數(shù)據(jù)，甲每次投籃命中的概率為，乙每次投籃命中的概率為，各次投籃互不影響、現(xiàn)甲、乙兩人開(kāi)展多輪次的定點(diǎn)投籃活動(dòng)，每輪次各投個(gè)球，每投進(jìn)一個(gè)球記分，未投進(jìn)記分.（1）求甲在一輪投籃結(jié)束后的得分不大于的概率；（2）記甲、乙每輪投籃得分之和為.①求的分布列和數(shù)學(xué)期望；②若，則稱(chēng)該輪次為一個(gè)“成功輪次”.在連續(xù)輪次的投籃活動(dòng)中，記“成功輪次”為，當(dāng)為何值時(shí)，的值最大？【答案】（1）（2）①分布列見(jiàn)解析，；②或或【解析】【分析】（1）將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成甲在一輪投籃中至多命中一次，再利用對(duì)立事件和相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式，即可求解；（2）①由題知可能取值為，根據(jù)條件，求出相應(yīng)的概率，即可求出分布列，再利用期望公式，即可求解；②根據(jù)條件，得到，再由，即可求解.【小問(wèn)1詳解】甲在一輪投籃結(jié)束后的得分不大于，即甲在一輪投籃中至多命中一次，所以甲在一輪投籃結(jié)束后的得分不大于的概率為.【小問(wèn)2詳解】①由題知可能取值為，，，，，，所以的分布列為數(shù)學(xué)期望.②由①知，由題知，所以，由，得到且，整理得到，即，得到，所以，由題有，所以，得到，又，所以或或.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)晴：本題的關(guān)鍵在第（2）中的②問(wèn)，根據(jù)條件得到，從而得到，再將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成求解不等式，即可求解.19.已知拋物線：的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線與相交于點(diǎn)，，面積的最小值為（為坐標(biāo)原點(diǎn)）.按照如下方式依次構(gòu)造點(diǎn)：的坐標(biāo)為，直線，與的另一個(gè)交點(diǎn)分別為，，直線與軸的交點(diǎn)為，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.（1）求的值；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）數(shù)列中，是否存在連續(xù)三項(xiàng)（按原順序）構(gòu)成等差數(shù)列？若存在，指出所有這樣的連續(xù)三項(xiàng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）（2）（3）不存在，理由見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）設(shè)直線與相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，然后聯(lián)立拋物線和直線方程，利用韋達(dá)定理計(jì)算出需要的值，最后表示出面積，計(jì)算其最值，求出即可；（2）利用拋物線中點(diǎn)弦定理，求出相關(guān)直線方程，然后表示出，然后找到兩者關(guān)系，最后利用其關(guān)系求得通項(xiàng)公式即可；（3）利用等差中項(xiàng)的判斷方式，判斷數(shù)列不可能存在連續(xù)三項(xiàng)是等差數(shù)列.【小問(wèn)1詳解】設(shè)直線，Ax1聯(lián)立，得，得由韋達(dá)定理可知：由題可知：因?yàn)槊娣e的最小值為，且，所以【小問(wèn)2詳解】設(shè)，由題可知，，兩式求差可得所以，所以直線方程為，整理得同理：方程為：令可得可知，方程為：因?yàn)檫^(guò)焦點(diǎn)12,0，所