人教版(2024)七年級數(shù)學上冊舉一反三系列專題2.11絕對值貫穿有理數(shù)的經(jīng)典考法【八大題型】(學生版+解析)

專題2.11絕對值貫穿有理數(shù)的經(jīng)典考法【八大題型】 【人教版2024】TOC\o"1-3"\h\u【題型1根據(jù)絕對值的非負性求值】 1【題型2根據(jù)字母的取值范圍化簡絕對值】 2【題型3利用絕對值的定義判斷結(jié)論正誤】 2【題型4利用絕對值的意義求字母取值范圍】 3【題型5利用絕對值的性質(zhì)化簡求值】 4【題型6利用絕對值的意義分類討論a|a|問題】 4【題型7利用分類討論思想解決多絕對值問題】 4【題型8絕對值中最值問題】 5知識點：絕對值（1）正數(shù)的絕對值等于它本身，0的絕對值是0，負數(shù)的絕對值等于它的相反數(shù)；注意：絕對值的意義是數(shù)軸上表示某數(shù)的點離開原點的距離；絕對值可表示為：或；（3）；；（4）是重要的非負數(shù)，即，非負性.【題型1根據(jù)絕對值的非負性求值】【例1】（23-24七年級·四川成都·期中）若2021a+22022+2023b?1=0，則【變式1-1】（23-24七年級·全國·單元測試）若|a|+|b|=|a+b|，則a、b滿足的關(guān)系是．【變式1-2】（23-24七年級·廣東汕頭·期末）已知a?2+(b+12【變式1-3】（23-24七年級·上海黃浦·期中）若|a?1|+|ab?2|=0，則1(a+1)(b+1)+1【題型2根據(jù)字母的取值范圍化簡絕對值】【例2】（23-24七年級·河南鄭州·階段練習）若m滿足方程2019?m=2019+m，則m?2020等于（A．m?2020 B．?m?2020 C．m+2020 D．?m+2020【變式2-1】（23-24七年級·廣西貴港·期中）有理數(shù)a,b,c在數(shù)軸上的對應點如圖所示，則化簡代數(shù)式a?b?a+b+

A．2a?b+c B．b?c C．b+c D．?b?c【變式2-2】（23-24七年級·廣東廣州·期中）如圖，數(shù)軸上點A，B，C所對應的數(shù)分別為a，b，c且都不為0，BC=2AC．若2a+b=2a?3c?b?3c，則|2a+3b+3c|=（用含【變式2-3】（23-24七年級·廣東湛江·期中）已知a=?a，|b|b=?1，c=c【題型3利用絕對值的定義判斷結(jié)論正誤】【例3】（23-24七年級·重慶沙坪壩·開學考試）如圖，數(shù)軸上A，B，C三點表示的數(shù)分別為a，b，c則下列結(jié)論正確的個數(shù)是（）①若a=?2，b=3，則AB+BC=6；②若a+c=2b，則B為AC的中點；③化簡c?b+a?b?a?c=2c；④若數(shù)軸上點M到A，B，C距離之和最小，則點M與點B重合；⑤若a=?2，b=0，c=4點M到A，B，C的距離之和為13，則點MA．3 B．4 C．5 D．6【變式3-1】（23-24七年級·重慶·期中）下列說法正確的有（

）①已知a，b，c是非零的有理數(shù)，且|abc|abc=?1時，則|a|a②已知a，b，c是有理數(shù)，且a+b+c=0，abc<0時，則b+c|a|③已知x≤4時，那么x+3?x?4的最大值為7，最小值為④若a=b且|a?b|=23，則式子⑤如果定義a,b=a+b(a>b)0a=bb?a(a<b)，當ab<0，a+b<0，aA．2個 B．3個 C．4個 D．5個【變式3-2】（23-24七年級·安徽滁州·期中）下列結(jié)論：①若x=?3，則②若?x=?3，則③若x=y，則④若x+y=0，則xy⑤已知a、b、c均為非零有理數(shù)，若a<0，a+b<0，a+b+c<0，則aa+b其中，正確的結(jié)論是（填寫序號）．【變式3-3】（23-24七年級·重慶沙坪壩·期末）根據(jù)絕對值定義：可將a表示為a=aa≥0?aa<0，故化簡a+b可得a+b①化簡x+②化簡x+③若an=2n?9，Sn=a1以上說法中正確的個數(shù)為（

）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【題型4利用絕對值的意義求字母取值范圍】【例4】（23-24七年級·浙江杭州·期中）若2a+4?5a+1?3aA．a(chǎn)=0 B．13<a<45 C．13【變式4-1】（23-24七年級·上海徐匯·階段練習）已知：a?a=0，則a【變式4-2】（23-24七年級·天津河西·期中）當|x+2|+|x?3|取最小值時，x的取值范圍是，最小值是．【變式4-3】（23-24七年級·四川綿陽·期中）若不等式x?2+x+3+x?1+x+1≥a【題型5利用絕對值的性質(zhì)化簡求值】【例5】（23-24七年級·浙江寧波·期末）已知有理數(shù)a，b，c滿足a+b+c=a+b?c，且c≠0，則a+b?c+2?【變式5-1】（23-24七年級·福建泉州·期中）若a、b、c為整數(shù)，且|a－b|21＋|c－a|2021＝1，則|a－b|＋|b－c|＋|c－a|＝．【變式5-2】（23-24七年級·四川達州·期中）若a、b、c是整數(shù)，且a+b+b+c=1，則【變式5-3】（23-24七年級·山東·課后作業(yè)）圖表示數(shù)在線四個點的位置關(guān)系，且它們表示的數(shù)分別為p、q、r、s.若|p－r|=10，

|p－s|=12，|q－s|=9，則|q－r|=？（

）A．7 B．9 C．11 D．13【題型6利用絕對值的意義分類討論a|a|問題】【例6】（23-24七年級·河南平頂山·階段練習）已知abc<0，a+b+c>0且x=a|a|+A．0 B．0或1 C．0或?2或1 D．0或1或?6【變式6-1】（23-24七年級·浙江·期末）已知a，b，c為有理數(shù)，且a+b+c=0，abc<0，則aa+bA．1 B．?1或?3 C．1或?3 D．?1或3【變式6-2】（23-24七年級·江蘇無錫·期中）已知?4xyz|3xyz|=43，則A．1或﹣3 B．1或﹣1 C．﹣1或3 D．3或﹣3【變式6-3】（23-24七年級·浙江寧波·期末）如果p，q是非零實數(shù)，關(guān)于x的方程||2023x?2024|?p|=?q始終存在四個不同的實數(shù)解，則p+q|p+q|+p?q【題型7利用分類討論思想解決多絕對值問題】【例7】（23-24七年級·廣東東莞·階段練習）如圖，已知數(shù)軸上點A、B、C所對應的數(shù)a、b、c都不為0，且C是AB的中點，如果a+b?a?2c+b?2c?

A．A的左邊 B．A與C之間 C．C與B之間 D．B的右邊【變式7-1】（23-24七年級·重慶江北·階段練習）已知有理數(shù)a，c，若a?2=18，且3a?c=A．﹣6 B．2 C．8 D．9【變式7-2】（23-24七年級·浙江寧波·期中）數(shù)軸是初中數(shù)學的一個重要工具，利用數(shù)軸可以將數(shù)與形完美結(jié)合．通過研究數(shù)軸，我們發(fā)現(xiàn)了許多重要的規(guī)律，比如：數(shù)軸上點A和點B表示的數(shù)為a，b，則A，B兩點之間的距離AB=a?b，若a>b，則可化簡為AB=a?b

(1)已知點P為數(shù)軸上任一動點，點P對應的數(shù)記為m，若點P與表示有理數(shù)?2的點的距離是3個單位長度，則m的值為______；(2)已知點P為數(shù)軸上任一動點，點P對應的數(shù)記為m，若數(shù)軸上點P位于表示?5的點左側(cè)，則m?2+(3)已知點A，B，C，D在數(shù)軸上分別表示數(shù)a，b，c，d，四個點在數(shù)軸上的位置如圖所示，若a?d=12，b?d=7，a?c=9

(4)若b=a，c=12a，d=13a，【變式7-3】（23-24七年級·四川成都·期中）請利用“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學方法解決下列問題：

(1)有理數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的位置如圖，化簡：b?c?(2)請你找出所有符合條件的整數(shù)x，使得2+x+(3)若m、n為非負整數(shù)，且m?2+m?6n?1+n+2【題型8絕對值中最值問題】【例8】（23-24七年級·四川南充·期末）有理數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的對應點的位置如圖所示．設(shè)x=|a?b|+|a?c|，y=|a?b|+|b?c|，z=|a?c|+|b?c|．那么x，y，z計算結(jié)果最小的是（）A．x B．y C．z D．根據(jù)a，b，c的值才能確定【變式8-1】（23-24七年級·浙江杭州·期中）已知：m=a+bc+2b+ca+3c+ab，且abc>0，a+b+c=0，則m共有A．?1 B．1 C．2 D．3【變式8-2】（23-24七年級·湖南長沙·期中）若0<p<15，則代數(shù)式x?p+x?15+x?p+15A．30 B．0 C．15 D．一個與p有關(guān)的整式【變式8-3】（23-24七年級·浙江寧波·期末）已知a，b，c為3個自然數(shù)，滿足a+2b+3c=2021，其中a≤b≤c，則|a?b|+|b?c|+|c?a|的最大值是專題2.11絕對值貫穿有理數(shù)的經(jīng)典考法【八大題型】 【人教版2024】TOC\o"1-3"\h\u【題型1根據(jù)絕對值的非負性求值】 2【題型2根據(jù)字母的取值范圍化簡絕對值】 3【題型3利用絕對值的定義判斷結(jié)論正誤】 5【題型4利用絕對值的意義求字母取值范圍】 10【題型5利用絕對值的性質(zhì)化簡求值】 12【題型6利用絕對值的意義分類討論a|a|問題】 15【題型7利用分類討論思想解決多絕對值問題】 18【題型8絕對值中最值問題】 25知識點：絕對值（1）正數(shù)的絕對值等于它本身，0的絕對值是0，負數(shù)的絕對值等于它的相反數(shù)；注意：絕對值的意義是數(shù)軸上表示某數(shù)的點離開原點的距離；絕對值可表示為：或；（3）；；（4）是重要的非負數(shù)，即，非負性.【題型1根據(jù)絕對值的非負性求值】【例1】（23-24七年級·四川成都·期中）若2021a+22022+2023b?1【答案】1【分析】本題考查了非負數(shù)的性質(zhì)，代數(shù)式求值，由a+22022≥0，b?1≥0可得2021a+22022≥0，2023b?1≥0，進而由非負數(shù)的性質(zhì)得到a+2=0，b?1=0，即可求出【詳解】解：∵a+22022≥0，∴2021a+22022≥0∵2021a+2∴a+2=0，b?1=0，∴a=?2，b=1，∴a+b2022故答案為：1．【變式1-1】（23-24七年級·全國·單元測試）若|a|+|b|=|a+b|，則a、b滿足的關(guān)系是．【答案】a、b同號或a、b有一個為0或同時為0【詳解】∵|a|+|b|=|a+b|，∴a、b滿足的關(guān)系是a、b同號或a、b有一個為0，或同時為0，故答案為a、b同號或a、b有一個為0，或同時為0．【變式1-2】（23-24七年級·廣東汕頭·期末）已知a?2+(b+12【答案】1【分析】先利用絕對值和平方的非負性求得a、b的值，然后將a2019b2020【詳解】∵a?2∴a－2=0，b+1解得：a=2，b=?a2019b2020=(a故答案為：1【點睛】本題考查絕對值和平方的非負性，解題關(guān)鍵是利用非負性，先得出a、b的值.【變式1-3】（23-24七年級·上海黃浦·期中）若|a?1|+|ab?2|=0，則1(a+1)(b+1)+1【答案】1011【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運算，以及非負數(shù)的性質(zhì)，利用非負數(shù)的性質(zhì)求出a與b的值，代入所求式子中拆項后，抵消即可求出值是解本題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵a?1+∴a?1=0，解得：a=1∴1a+1b+1+1====1011故答案為：10112024【題型2根據(jù)字母的取值范圍化簡絕對值】【例2】（23-24七年級·河南鄭州·階段練習）若m滿足方程2019?m=2019+m，則m?2020等于（A．m?2020 B．?m?2020 C．m+2020 D．?m+2020【答案】D【分析】根據(jù)絕對值的性質(zhì)分情況討論m的取值范圍即可解答.【詳解】當m≥2019時，2019?m=m?2019當m≤0時，2019?m=2019+當0<m<2019時，2019?m=2019?m所以m≤0m?2020故選D【點睛】本題考查絕對值的性質(zhì)以及有理數(shù)的加減，熟練掌握以上知識點是解題關(guān)鍵.【變式2-1】（23-24七年級·廣西貴港·期中）有理數(shù)a,b,c在數(shù)軸上的對應點如圖所示，則化簡代數(shù)式a?b?a+b+

A．2a?b+c B．b?c C．b+c D．?b?c【答案】C【分析】根據(jù)數(shù)軸上點的位置判斷出絕對值里邊式子的正負，利用絕對值的代數(shù)意義化簡，去括號合并同類項即可得到結(jié)果.【詳解】解：由數(shù)軸可得a<0，b<0，c>0，且|c|<|b|<|a|∴a-b<0，a+b<0，b-c<0∴|a?b|?|a+b|+|b?c|=?(a?b)+(a+b)?(b?c)=?a+b+a+b?b+c=b+c故選C【點睛】本題考查整式的加減、數(shù)軸、絕對值、有理數(shù)的大小比較，解答此題的關(guān)鍵是明確它們各自的計算方法，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答.【變式2-2】（23-24七年級·廣東廣州·期中）如圖，數(shù)軸上點A，B，C所對應的數(shù)分別為a，b，c且都不為0，BC=2AC．若2a+b=2a?3c?b?3c，則|2a+3b+3c|=（用含【答案】4a+4b/4b+4a【分析】本題考查的是線段的倍分關(guān)系，化簡絕對值，整式的加減運算，由BC=2AC可得3c=b+2a，結(jié)合2a+b=2a?3c?b?3c可得a<【詳解】解：∵BC=2AC，∴b?c=2(c?a)，∴3c=b+2a，∴2a+b=|2a?b?2a|?|b?b?2a|=|?b|?|?2a|=|b|?|2a|，∴2a<0，b>0，2a+b>0，∴a<0，b>0，∴4a+4b>0，∴|2a+3b+3c|=|2a+3b+b+2a|=|4a+4b|=4a+4b．故答案為：4a+4b【變式2-3】（23-24七年級·廣東湛江·期中）已知a=?a，|b|b=?1，c=c【答案】?2a【分析】本題主要考查絕對值的化簡，熟練掌握絕對值的化簡是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意求出a≤0,b<0,c≥0，得到a+b<0，a?c≤0，b?c<0，即可得到答案．【詳解】解：∵a=?a，|b|b=?1∴a≤0,b<0,c≥0，∴a+b<0，a?c≤0，b?c<0，則原式=?a?b?a+c+b?c=?2a．故答案為：?2a．【題型3利用絕對值的定義判斷結(jié)論正誤】【例3】（23-24七年級·重慶沙坪壩·開學考試）如圖，數(shù)軸上A，B，C三點表示的數(shù)分別為a，b，c則下列結(jié)論正確的個數(shù)是（）①若a=?2，b=3，則AB+BC=6；②若a+c=2b，則B為AC的中點；③化簡c?b+a?b?a?c=2c；④若數(shù)軸上點M到A，B，C距離之和最小，則點M與點B重合；⑤若a=?2，b=0，c=4點M到A，B，C的距離之和為13，則點MA．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】①不知道c表示的數(shù)字無法確定AB+BC的值；②根據(jù)線段的中點的定義，以及中點公式進行判斷；③根據(jù)點在數(shù)軸上的位置，化簡絕對值，進行判斷；④根據(jù)兩點間的距離公式，以及兩點之間線段最短，進行判斷；⑤根據(jù)兩點間的距離公式，列方程計算進行判斷；⑥根據(jù)a+2+a?1b?2+b?5c?6+c?10=36，得到a+2+a?1【詳解】解：①不知道c表示的數(shù)字無法確定AB+BC的值，故①錯誤；②∵a+c=2b，∴B為AC的中點，故②正確；③由圖可知：a<b<c，∴c?b＋④∵數(shù)軸上點M到A，B，C距離之和最小，∴點M與點B重合；故④正確；⑤設(shè)點M表示的數(shù)為m，當點M在點A左邊時，依題意有：?2?m+解得：m=?11當點M在點C右邊時，依題意有：m+2+解得：m=5；綜上，點M表示的數(shù)為?11⑥∵a+2+∴a+2+∴?2≤a≤1，2≤b≤5，6≤c≤10，∴當a=?2,b=2,c=6時：2020a+2021b+2022c有最小值為?4040+4042+12132=12134，故⑥正確；綜上：正確的是②④⑥，共3個；故選A．【點睛】本題考查整式的加減，方程的應用．熟練掌握數(shù)軸上兩點間的距離公式，以及絕對值的意義和根據(jù)數(shù)軸上點的位置判斷式子的符號，是解題的關(guān)鍵．【變式3-1】（23-24七年級·重慶·期中）下列說法正確的有（

）①已知a，b，c是非零的有理數(shù)，且|abc|abc=?1時，則|a|a②已知a，b，c是有理數(shù)，且a+b+c=0，abc<0時，則b+c|a|③已知x≤4時，那么x+3?x?4的最大值為7，最小值為④若a=b且|a?b|=23，則式子⑤如果定義a,b=a+b(a>b)0a=bb?a(a<b)，當ab<0，a+b<0，aA．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】C【分析】①由題意可得，abc<0，則a，b，c中有一個或三個值為負數(shù)，討論求解即可；②由abc<0可得a，【詳解】解：①由|abc|abc=?1可得abc<當a<0，b>0，c>0當a<0，b<0故①正確；②由abc<0和a+b+c=0得∴a+b=?c，a+c=?b，b+c=?a∴?a|a|故②錯誤；③當?3≤x≤4時，x?4≤0，x+3≥0，則x+3?x?4當x<?3時，x?4≤0，x+3<0則x+3故③正確；④由a=b可得a=b當a=b時，a?b=0與|a?b|=2當a=?b時，a?b=?2b，a+b=0且2b解得a=13則ab=?19a+b?ab故④正確；⑤由題意可得a，當a<0，b>0時，a=?a，b由a>b可得?a>b，即a+b<0則{a當a>0，b<0時，a=a，由a>b可得a>?b，即a+b>0，與綜上{a故⑤正確；正確的個數(shù)為4故選：C【點睛】本題主要考查了絕對值的性質(zhì)，新定義問題，解題的關(guān)鍵是熟練應用絕對值的性質(zhì)化簡含有絕對值的式子．【變式3-2】（23-24七年級·安徽滁州·期中）下列結(jié)論：①若x=?3，則②若?x=?3，則③若x=y，則④若x+y=0，則xy⑤已知a、b、c均為非零有理數(shù)，若a<0，a+b<0，a+b+c<0，則aa+b其中，正確的結(jié)論是（填寫序號）．【答案】①⑤/⑤①【分析】本題主要考查了相反數(shù)，絕對值的意義．利用相反數(shù)的意義，絕對值的意義對每個說法進行判斷，錯誤的舉出反例即可．【詳解】解：①若x=?3，則②若?x=?3，則③若x=y，則④若x+y=0，當y≠0時，則xy⑤∵a、b、c均為非零有理數(shù)，若a<0，a+b<0，a+b+c<0，∴a、b、c有四種情形：a<0，b<0，c<0或a<0，b>0，c<0或a<0，b>0，c>0或a<0，b<0，c>0，當a<0，b<0，c<0時，原式=?1?1?1??1當a<0，b>0，c<0時，原式=?1+1?1?1=?2，當a<0，b>0，c>0時，原式=?1+1+1??1當a<0，b<0，c>0時，原式=?1?1+1?1=?2．綜上，已知a、b、c均為非零有理數(shù)，若a<0，a+b<0，a+b+c<0，則aa+b故答案為：①⑤．【變式3-3】（23-24七年級·重慶沙坪壩·期末）根據(jù)絕對值定義：可將a表示為a=aa≥0?aa<0，故化簡a+b可得a+b①化簡x+②化簡x+③若an=2n?9，Sn=a1以上說法中正確的個數(shù)為（

）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【答案】C【分析】①由于|x|、|y|、|z|的結(jié)果分別有2種，則|x|+|y|+|z|的結(jié)果共有2×2×2=8種；②根據(jù)x的取值范圍化簡絕對值可得當x≥1時，|x|+|x?1|+|x+2|=3x+1；當0≤x<1時，|x|+|x?1|+|x+2|=x+3；當?2≤x<0時|x|+|x?1|+|x+2|=?x?1；當x<?2時，|x|+|x?1|+|x+2|=?3x+3；則|x|+|x?1|+|x+2|的結(jié)果共有4種；③根據(jù)題意可得Sn=16+(n?4)2，再由【詳解】解：①∴|x|的結(jié)果有兩種，|y|的結(jié)果有兩種，|z|的結(jié)果有兩種，∴|x|+|y|+|z|的結(jié)果共有2×2×2=8種，故①說法正確；當x≥1時，|x|+|x?1|+|x+2|=x+x?1+x+2=3x+1；當0≤x<1時，|x|+|x?1|+|x+2|=x+1?x+x+2=x+3；當?2≤x<0時，|x|+|x?1|+|x+2|=?x+1?x+x?2=?x?1當x<?2時，|x|+|x?1|+|x+2|=?x+1?x?x+2=?3x+3；∴|x|+|x?1|+|x?2|的結(jié)果共有4種情況，故②說法錯誤；③∵∴=7+5+3+1+1+3+5+7+?+2n?9=16+∵∴16+解得，n=34或n=?26（舍去）∴n=34故③說法正確，∴正確的說法有2個，故選：C【點睛】本題主要考查了數(shù)字的變化規(guī)律，熟練掌握絕對值的性質(zhì)、一元二次方程的解法是解題的關(guān)鍵【題型4利用絕對值的意義求字母取值范圍】【例4】（23-24七年級·浙江杭州·期中）若2a+4?5a+1?3aA．a(chǎn)=0 B．13<a<45 C．13【答案】D【分析】根據(jù)a的范圍，分情況利用絕對值的代數(shù)意義化簡，使其值為常數(shù)，即可得到a的范圍．【詳解】解：當a＜13原式=2a+4-5a+1-3a=-6a+5，當a≠0時不合題意；當13≤a≤4原式=2a+4-5a+3a-1=3，符合題意；當a＞45原式=2a+5a-4+3a-1=10a-5，不合題意，綜上，滿足題意a的范圍為13?a?4故選：D．【點睛】此題考查了絕對值的化簡以及整式的加減，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵．【變式4-1】（23-24七年級·上海徐匯·階段練習）已知：a?a=0，則a【答案】a≥0【分析】利用絕對值的意義進行求解即可得到答案【詳解】解：因為a?a所以a=a因為一個非負數(shù)的絕對值等于它本身，所以，a的取值范圍是a≥0，故答案為：a≥0【點睛】本題考查了絕對值的意義，解題關(guān)鍵是掌握一個正數(shù)的絕對值是它本身；零的絕對值是零；一個負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)．【變式4-2】（23-24七年級·天津河西·期中）當|x+2|+|x?3|取最小值時，x的取值范圍是，最小值是．【答案】?2?x?35【分析】x+2+【詳解】x+2+當x的取值范圍為?2≤x≤3時，x+2+x+2+∴x的取值范圍為?2≤x≤3時有最小值，最小值為5.故答案為?2≤x≤3；5.【點睛】本題主要考查了絕對值的意義，掌握絕對值的意義在數(shù)軸上求最小值是解題的關(guān)鍵.【變式4-3】（23-24七年級·四川綿陽·期中）若不等式x?2+x+3+x?1+x+1≥a【答案】a≤7【分析】根據(jù)絕對值的幾何意義，x?y表示數(shù)軸上兩點間的距離，即可得到答案．【詳解】解：由題意可得，x?2表示點x到?3，?1，1，2四點間距離的和，∴當x在?1和1之間是距離和最小，最小值為1?(?1)+2?(?3)=7，∴a≤7,故答案為a≤7．【點睛】本題考查絕對值的幾何意義：x?y表示數(shù)軸上兩點間的距離，利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題的關(guān)鍵．【題型5利用絕對值的性質(zhì)化簡求值】【例5】（23-24七年級·浙江寧波·期末）已知有理數(shù)a，b，c滿足a+b+c=a+b?c，且c≠0，則a+b?c+2?【答案】?8.【分析】當a+b+c≥0時，則a+b+c=a+b+c,結(jié)合已知條件得到c=0，不合題意舍去，從而a+b+c＜0,可得a+b=0,c＜0,【詳解】解：當a+b+c≥0時，則a+b+c=a+b+c,∵a+b+c∴a+b+c=a+b?c,∴c=0，∵c≠0，所以不合題意舍去，所以a+b+c＜0,∴a+b+c∵a+b+c∴a+b?c=?a?b?c,∴a+b=0,∴c∴c＜0,∴=2?c+c?10=?8.故答案為：?8.【點睛】本題考查的是絕對值的含義，絕對值的化簡，同時考查去括號，合并同類項，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．【變式5-1】（23-24七年級·福建泉州·期中）若a、b、c為整數(shù)，且|a－b|21＋|c－a|2021＝1，則|a－b|＋|b－c|＋|c－a|＝．【答案】2【分析】因為a、b、c都為整數(shù)，而且|a?b|21+|c?a|2021【詳解】解：∵a、b、c為整數(shù)，且|a?b|∴有|a?b|=1，|c?a|=0或|a?b|=0，|c?a|=1，①若|a?b|=1，|c?a|=0，則a?b=±1，a=c，∴|b?c|=|c?b|=|a?b|=1，∴|a?b|+|b?c|+|c?a|=1+1+0=2，②|a?b|=0，|c?a|=1，則a=b，c?a=±1，∴|b?c|=|c?b|=|c?a|=1，∴|a?b|+|b?c|+|c?a|=0+1+1=2，故答案為：2．【點睛】本題考查的是絕對值的化簡，解題的關(guān)鍵是掌握兩個相反數(shù)的絕對值相等是解題的重點，靈活對絕對值的化簡進行變形．【變式5-2】（23-24七年級·四川達州·期中）若a、b、c是整數(shù)，且a+b+b+c=1，則【答案】1【分析】本題考查了絕對值，解題的關(guān)鍵是熟練掌握絕對值的非負性，以及采用分類討論的思想，根據(jù)絕對值的非負性以及題意，可知當a+b=0時，則b+c=1，當a+b=1【詳解】解：∵a、b、c是整數(shù)，∴a+b，b+c是整數(shù)，∵a+b又∵a+b∴a+b=0時，則b+c=1或a+b=1∴當a+b=0，則a=?b，∴a?c∴當a+b=0，則a=?b，∴a?c∴當a+b=1，則a=1?b，∴∴當a+b=?1，則a=?1?b，∴a?c綜上可得：a?c=1故答案為：1．【變式5-3】（23-24七年級·山東·課后作業(yè)）圖表示數(shù)在線四個點的位置關(guān)系，且它們表示的數(shù)分別為p、q、r、s.若|p－r|=10，

|p－s|=12，|q－s|=9，則|q－r|=？（

）A．7 B．9 C．11 D．13【答案】A【分析】根據(jù)數(shù)軸可知p＜q＜r＜s，根據(jù)絕對值的性質(zhì)得：p-r=-10，p-s=-12，q-s=-9，所以q-r=-7，根據(jù)絕對值的性質(zhì)，得出|q-r|的值．【詳解】觀察數(shù)軸可得，p＜q＜r＜s，∵|p-r|=10，|p-s|=12，|q-s|=9，∴p-r=-10，p-s=-12，q-s=-9，∴p=r-10，p=s-12，∴r-10=s-12，∴s=r+2，∴q-s=q-r-2=-9，∴q-r=-7，∴|q-r|=7．故選A．【點睛】本題主要考查絕對值性質(zhì)的運用．解此類題的關(guān)鍵是：先利用條件判斷出絕對值符號里代數(shù)式的正負性，再根據(jù)絕對值的性質(zhì)把絕對值符號去掉，將式子化簡，即可求解．【題型6利用絕對值的意義分類討論a|a|【例6】（23-24七年級·河南平頂山·階段練習）已知abc<0，a+b+c>0且x=a|a|+A．0 B．0或1 C．0或?2或1 D．0或1或?6【答案】A【分析】由abc<0，a+b+c>0，可得a、b、c三個數(shù)中有一個負因數(shù)，且正因數(shù)絕對值的和大于負因數(shù)的絕對值，由此可得a、b、c的符號有三種情況（a<0，b>0，c>0或a>0，b<0，c>0或a>0，b>0，c<0），再根據(jù)絕對值的性質(zhì)分三種情況求得x的值即可解答．【詳解】∵abc<0，a+b+c>0，∴a、b、c三個數(shù)中有一個負因數(shù)，且正因數(shù)絕對值的和大于負因數(shù)的絕對值，∴a<0，b>0，c>0或a>0，b<0，c>0或a>0，b>0，c<0，當a<0，b>0，c>0時，ab<0，ac<0，bc>0，∴x==a=?1+1+1?1?1+1=0；當a>0，b<0，c>0時，ab<0，ac>0，bc<0，∴x==a=?1+1+1?1+1?1=0；當a>0，b>0，c<0時，ab>0，ac<0，bc<0，∴x==a=1+1?1+1?1?1=0．綜上，當abc<0，a+b+c>0時，x=aa故選：A．【點睛】本題考查了有理數(shù)的運算法則及絕對值的性質(zhì)，正確得到a、b、c的符號有三種情況（a<0，b>0，c>0或a>0，b<0，c>0或a>0，b>0，c<0）是解決問題的關(guān)鍵．【變式6-1】（23-24七年級·浙江·期末）已知a，b，c為有理數(shù)，且a+b+c=0，abc<0，則aa+bA．1 B．?1或?3 C．1或?3 D．?1或3【答案】A【分析】先根據(jù)有理數(shù)的乘法法則推出：要使三個數(shù)的乘積為負，a，b，c中應有奇數(shù)個負數(shù)，進而可將a，b，c的符號分兩種情況：1負2正或3負；再根據(jù)加法法則：要使三個數(shù)的和為0，a，b，c的符號只能為1負2正，然后化簡即得．【詳解】∵abc<0∴a，b，c中應有奇數(shù)個負數(shù)∴a，b，c的符號可以為：1負2正或3負∵a+b+c=0∴a，b，c的符號為1負2正令a<0，b>0，c>0∴a=?a，b=b∴aa+故選：A．【點睛】本題考查了絕對值的性質(zhì)、乘法法則及加法法則，利用加法法則和乘法法則確定數(shù)的符號是解題關(guān)鍵．【變式6-2】（23-24七年級·江蘇無錫·期中）已知?4xyz|3xyz|=43，則A．1或﹣3 B．1或﹣1 C．﹣1或3 D．3或﹣3【答案】A【詳解】試題分析：根據(jù)絕對值的性質(zhì)及連乘法則，可判斷出x、y、z的符號，再根據(jù)正負性即可求值.解：∵?4xyz|3xyz|∴xyz<0，∴x、y、z的符號為三負或兩正一負.當x、y、z均為負值時，原式＝（－1）+（－1）+（－1）＝－3；當x、y、z為兩正一負時，原式＝1+1+（－1）＝1；∴|x|x故選A.點睛：本題涉及的知識有絕對值、有理數(shù)的乘法.解題的關(guān)鍵在于要利用已知條件結(jié)合絕對值的性質(zhì)、有理數(shù)連乘法則判斷出x、y、z的符號，同時要注意利用分類討論思想.【變式6-3】（23-24七年級·浙江寧波·期末）如果p，q是非零實數(shù)，關(guān)于x的方程||2023x?2024|?p|=?q始終存在四個不同的實數(shù)解，則p+q|p+q|+p?q【答案】1【分析】本題考查含絕對值的一元一次方程的解，熟練掌握絕對值的性質(zhì)，能夠確定q<0且|p|>|q|是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵方程||2023x?2024|?p|=?q，∴?q>0，即q<0，∴|2023x?2024|?p=q或|2023x?2024|?p=?q，∴|2023x?2024|=q+p或|2023x?2024|=p?q，∵方程始終存在四個不同的實數(shù)解，∴p+q>0，p?q>0，∴p>0且|p|>|q|，∴p+q|p+q|故答案為：1．【題型7利用分類討論思想解決多絕對值問題】【例7】（23-24七年級·廣東東莞·階段練習）如圖，已知數(shù)軸上點A、B、C所對應的數(shù)a、b、c都不為0，且C是AB的中點，如果a+b?a?2c+b?2c?

A．A的左邊 B．A與C之間 C．C與B之間 D．B的右邊【答案】B【分析】可得a+b=2c，從而可得a+b?a?2c+b?2c?a+b?2c=a+b【詳解】解：∵C是AB的中點，∴a+b=2c，∴a+b===a+bA．在A的左邊，∴a>0，b>0，a+b>0，a+b=a+b?b+a=2a≠0，故此項不符合題意；B．在A與C之間時，∴a<0，b>0，a+b>0，a+b=a+b?b?a=0，故此項符合題意；C．在C與B之間時，∴a<0，b>0，a+b<0，a+b=?a?b?b?a=?2a?2b≠0，故此項不符合題意；D．在B的右邊時，∴a<0，b<0，a+b<0，a+b=?a?b+b?a=?2a≠0，故此項不符合題意；故選：B．【點睛】本題考查了利用絕對值性質(zhì)進行化簡，掌握性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式7-1】（23-24七年級·重慶江北·階段練習）已知有理數(shù)a，c，若a?2=18，且3a?c=A．﹣6 B．2 C．8 D．9【答案】D【分析】根據(jù)絕對值的代數(shù)意義對a?2=18進行化簡，a?2=18或a?2=?18，解得a=20或a=?16有兩個解，分兩種情況再對3a?c=c進行化簡，繼而有兩個不同的絕對值等式，320?c=c【詳解】∵a?2=18∴a?2=18或a?2=?18，∴a=20或a=?16，當a=20時，3a?c=c等價于3∴60?3c=c或60?3c=?c，∴c=15或c=30；當a=?16時，3a?c=c等價于3∴?48?3c=c或?48?3c=?c，∴c=?12或c=?24，故c=15或c=30或c=?12或c=?24，∴所有滿足條件的數(shù)c的和為：15+30+(?12)+(?24)=9．故答案為：D【點睛】本題主要考查了絕對值的代數(shù)意義，負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，正數(shù)的絕對值是它本身，0的絕對值是0，解題的關(guān)鍵在于經(jīng)過兩次分類討論，c的值共有4種可能，不能重復也不能遺漏．【變式7-2】（23-24七年級·浙江寧波·期中）數(shù)軸是初中數(shù)學的一個重要工具，利用數(shù)軸可以將數(shù)與形完美結(jié)合．通過研究數(shù)軸，我們發(fā)現(xiàn)了許多重要的規(guī)律，比如：數(shù)軸上點A和點B表示的數(shù)為a，b，則A，B兩點之間的距離AB=a?b，若a>b，則可化簡為AB=a?b

(1)已知點P為數(shù)軸上任一動點，點P對應的數(shù)記為m，若點P與表示有理數(shù)?2的點的距離是3個單位長度，則m的值為______；(2)已知點P為數(shù)軸上任一動點，點P對應的數(shù)記為m，若數(shù)軸上點P位于表示?5的點左側(cè)，則m?2+(3)已知點A，B，C，D在數(shù)軸上分別表示數(shù)a，b，c，d，四個點在數(shù)軸上的位置如圖所示，若a?d=12，b?d=7，a?c=9

(4)若b=a，c=12a，d=13a，【答案】(1)1或?5(2)?2m?3(3)4(4)54【分析】（1）由題意易得m??2（2）由題意易得m?2<0,m+5<0，然后化簡絕對值即可；（3）由數(shù)軸可知a<b<c<d，然后可得d?a=12，d?b=7，c?a=9，則有b?c=c?a+d?b?（4）由題意易得a?1+a+4+a?9+a+16+【詳解】（1）解：由題意得：m??2∴m+2=±3，∴m=1或?5；（2）解：由題意得：m?2<0,m+5<0，∴m?2+故答案為?2m?3；（3）解：由數(shù)軸可知：a<b<c<d，∵a?d=12，b?d=7，∴d?a=12，d?b=7，c?a=9，∴b?c=c?b=c?a+d?b?=9+7?12=4；故答案為4；（4）解：∵b=a，c=12a，d=13∴b?1==a?1根據(jù)絕對值的幾何意義可知找一點a，使得這個點到1，?4，9，?16，25的距離之和最??；∴當a≤?16時，則原式=1?a?a?4+9?a?a?16+25?a=15?5a，此時當a=?16時，有最小值95；當?16<a≤?4時，則原式=1?a?a?4+9?a+16+a+25?a=47?3a，此時當a=?4時，有最小值59；當?4<a≤1時，則原式=1?a+a+4+9?a+16+a+25?a=55?a，此時當a=1時，有最小值54；當1<a≤9時，則原式=a?1+a+4+9?a+16+a+25?a=a+53，此時無最小值；當9<a≤25時，則原式=a?1+a+4+a?9+16+a+25?a=3a+35，此時無最小值；當a>25時，則原式=a?1+a+4+a?9+16+a+a?25=5a?15，此時無最小值；綜上所述：當a=1時，式子b?1+2故答案為54．【點睛】本題主要考查數(shù)軸上的動點問題、整式的加減運算及有理數(shù)的加減運算，熟練掌握各個運算及數(shù)軸上的動點問題是解題的關(guān)鍵．【變式7-3】（23-24七年級·四川成都·期中）請利用“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學方法解決下列問題：

(1)有理數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的位置如圖，化簡：b?c?(2)請你找出所有符合條件的整數(shù)x，使得2+x+(3)若m、n為非負整數(shù)，且m?2+m?6n?1+n+2【答案】(1)2c；(2)x=?4或x=7；(3)m=0n=0或m=0n=1或m=8n=0【分析】本題考查了絕對值的應用，關(guān)鍵是掌握分類討論的思想．（1）觀察數(shù)軸上a、b、c的正負，去除絕對值符號，化簡；（2）分區(qū)間討論符合條件的整數(shù)x；（3）m?2+m?6n?1+n+2表示24【詳解】（1）解：由題意得,a<b<0<c,∴b?c<0，a+b<0，c?a>0，∴b?c=c?b?=c?b+a+b+c?a=2c．（2）解：①當x<?2時,2+x+∴?x?2?x+5=11，解得：x=?4；②當?2≤x<0時,2+x∴2+x?x+5=11，∵7≠11，∴等式不成立．③當0≤x≤5時,由2+x+得2+x+x?5=11，解得：x=7，∴x=?4或x=7時，2+x+（3）解：m?2表示m到2的距離，m?6表示m到6的距離，當m在2與6之間時（含端點）m?2+當m在2左側(cè)時，m1到6的距離大于6?2=4當m在6右側(cè)時，m2到2的距離大于6?2=4則m在上述兩種情況時m?2+∴m?2+同理：n?1+又∵m?2+m?6n?1+n+2∴可得：①m?2+②m?2+③m?2+解方程組①：0≤