人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)舉一反三14.9整式的乘法與因式分解章末八大題型總結(jié)(拔尖篇)(學(xué)生版+解析)

專題14.9整式的乘法與因式分解章末八大題型總結(jié)（拔尖篇）【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1巧用冪的運(yùn)算逆向運(yùn)算】 1【題型2整式乘法中不含某項(xiàng)問題】 1【題型3多項(xiàng)式乘法中的規(guī)律性問題】 2【題型4巧用乘法公式求值】 3【題型5乘法公式的幾何背景】 4【題型6利用因式分解探究三角形形狀】 7【題型7利用拆項(xiàng)或添項(xiàng)進(jìn)行因式分解】 8【題型8因式分解的應(yīng)用】 9【題型1巧用冪的運(yùn)算逆向運(yùn)算】【例1】（2023春·安徽蚌埠·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知2a=3，2b=6，2c=12，（1）2c?b=（2）a，b，c之間滿足的等式關(guān)系為．【變式1-1】（2023春·江蘇蘇州·八年級(jí)期中）已知常數(shù)a，b滿足2a×22b=8【變式1-2】（2023春·河北石家莊·八年級(jí)統(tǒng)考期中）已知xn=2，（1）(xy)2n的值為（2）若x3n+1?y3n+1=64【變式1-3】（2023春·江蘇泰州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）愛動(dòng)腦筋的小明在學(xué)習(xí)《冪的運(yùn)算》時(shí)發(fā)現(xiàn)：若am=an(a>0，且a≠1，m、n都是正整數(shù)），則m=n(1)如果2×4x×(2)如果3x+2+3【題型2整式乘法中不含某項(xiàng)問題】【例2】（2023春·四川巴中·八年級(jí)四川省巴中中學(xué)?？计谥校┤?x2+nx+3)(x2?3x+m)的展開式中不含x【變式2-1】（2023秋·甘肅武威·八年級(jí)校考期末）老師在黑板上布置了一道題：已知x＝－2，求式子(2x－y)(2x＋y)＋(2x－y)(y－4x)＋2y(y－3x)的值．小亮和小新展開了下面的討論：小亮：只知道x的值，沒有告訴y的值，這道題不能做；小新：這道題與y的值無關(guān)，可以求解；根據(jù)上述說法，你認(rèn)為誰說的正確？為什么？【變式2-2】（2023秋·河南周口·八年級(jí)?？计谀┮阎獂2+mx?32x+n的展開式中不含x的一次項(xiàng)，常數(shù)項(xiàng)是－6，則mn【變式2-3】（2023秋·福建泉州·八年級(jí)福建省泉州市培元中學(xué)校考期中）已知關(guān)于x、y的代數(shù)式2x+5y32x?5y3?mx?3【題型3多項(xiàng)式乘法中的規(guī)律性問題】【例3】（2023春·甘肅張掖·八年級(jí)校考期末）下列圖像都是由相同大小的星星按一定規(guī)律組成的，其中第①個(gè)圖形中一共有4顆星星，第②個(gè)圖形中一共有11顆星星，第③個(gè)圖形中一共有21顆星星，……按此規(guī)律排列下去，第⑨個(gè)圖形中星星的顆數(shù)為．

【變式3-1】（2023春·重慶·八年級(jí)校考期中）我國(guó)古代數(shù)學(xué)的許多發(fā)現(xiàn)都曾位居世界前列，其中“楊輝三角”就是一例．如圖，這個(gè)三角形的構(gòu)造法則：兩腰上的數(shù)都是1，其余每個(gè)數(shù)均為其上方左右兩數(shù)之和，它給出了（a+b）n（n為正整數(shù)）的展開式（按a的次數(shù)由大到小的順序排列）的系數(shù)規(guī)律．例如，在三角形中第三行的三個(gè)數(shù)1，2，1，恰好對(duì)應(yīng)（a+b）2＝a2+2ab+b2展開式中的系數(shù)；第四行的四個(gè)數(shù)1，3，3，1，恰好對(duì)應(yīng)著（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b2展開式中的系數(shù)等等．（1）根據(jù)上面的規(guī)律，則（a+b）5的展開式＝．（2）a+bn（3）利用上面的規(guī)律計(jì)算：25﹣5×24+10×23﹣10×22+5×2﹣1．（4）運(yùn)用：若今天是星期二，經(jīng)過8100天后是星期．【變式3-2】（2023春·廣東深圳·八年級(jí)深圳中學(xué)?？奸_學(xué)考試）圖（1）是一個(gè)水平擺放的小正方體木塊，圖（2）、（3）是由這樣的小正方體木塊疊放而成，按照這樣的規(guī)律繼續(xù)疊放下去，至第n個(gè)疊放的圖形中，小正方體木塊總數(shù)應(yīng)是．

【變式3-3】（2023春·北京昌平·八年級(jí)北京市昌平區(qū)第二中學(xué)?？计谥校╅喿x以下材料：(x?1)(x+1)=x(x?1)x(x?1)（1）根據(jù)以上規(guī)律，(x?1)xn?1+（2）利用（1）的結(jié)論，求1+5+5【題型4巧用乘法公式求值】【例4】（2023春·湖南益陽·八年級(jí)統(tǒng)考期中）使用整式乘法法則與公式可以使計(jì)算簡(jiǎn)便，請(qǐng)利用法則或公式計(jì)算下列各題(1)已知a+1a=5(2)計(jì)算：2?2(3)設(shè)a，b，c，d都是正整數(shù)，并且a5=b4，c3【變式4-1】（2023春·四川內(nèi)江·八年級(jí)四川省內(nèi)江市第六中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知x滿足（x﹣2020）2+（2023﹣x）2＝10，則（x﹣2021）2的值是．【變式4-2】（2023春·浙江杭州·八年級(jí)?？计谥校┮阎簒2+xy=10，y2+xy=6，x?y=?1，則：（1）x+y=．（2）求x，【變式4-3】（2023春·湖南張家界·八年級(jí)統(tǒng)考期中）已知a?ba+b=(1)2?12+1(2)求2+12(3)求23+1【題型5乘法公式的幾何背景】【例5】（2023秋·江蘇淮安·八年級(jí)淮安市浦東實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考開學(xué)考試）【知識(shí)生成】【知識(shí)生成】我們已經(jīng)知道，通過計(jì)算幾何圖形的面積可以表示一些代數(shù)恒等式．例如圖1可以得到a+b2【直接應(yīng)用】（1）若x+y=3，x2+y【類比應(yīng)用】（2）填空：①若x3?x=1，則x②若x?3x?4=1，則x?3【知識(shí)遷移】（3）兩塊全等的特制直角三角板(∠AOB=∠COD=90°)如圖2所示放置，其中A，O，D在一直線上，連接AC，BD．若AD=16，S△AOC

【變式5-1】（2023春·全國(guó)·八年級(jí)期末）工廠接到訂單，需要邊長(zhǎng)為（a+3）和3的兩種正方形卡紙．（1）倉庫只有邊長(zhǎng)為（a+3）的正方形卡紙，現(xiàn)決定將部分邊長(zhǎng)為（a+3）的正方形紙片，按圖甲所示裁剪得邊長(zhǎng)為3的正方形．①如圖乙，求裁剪正方形后剩余部分的面積（用含a代數(shù)式來表示）；②剩余部分沿虛線又剪拼成一個(gè)如圖丙所示長(zhǎng)方形（不重疊無縫隙），則拼成的長(zhǎng)方形的邊長(zhǎng)多少？（用含a代數(shù)式來表示）；（2）若將裁得正方形與原有正方形卡紙放入長(zhǎng)方體盒子底部，按圖1，圖2兩種方式放置（圖1，圖2中兩張正方形紙片均有部分重疊），盒子底部中未被這兩張正方形紙片覆蓋的部分用陰影表示，設(shè)圖1中陰影部分的面積為S1，圖2中陰影部分的面積為S2測(cè)得盒子底部長(zhǎng)方形長(zhǎng)比寬多3，則S2﹣S1的值為．【變式5-2】（2023春·廣東深圳·八年級(jí)?？计谥校?shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中經(jīng)常使用的數(shù)學(xué)方法之一，在研究代數(shù)間刻時(shí)，我們通過構(gòu)造幾何圖形，用面積法可以很直觀地推導(dǎo)出公式．以下三個(gè)構(gòu)圖都可以用幾何方法生成代數(shù)結(jié)論，請(qǐng)解決以下問題．構(gòu)圖一：（1）如圖1是一張邊長(zhǎng)為a的正方形紙片，在它的一角剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形，然后將圖1剩余部分（陰影部分）剪拼成如圖2的一個(gè)大長(zhǎng)方形（陰影部分）．那么通過計(jì)算兩個(gè)圖形陰影部分的面積，可以驗(yàn)證下列選項(xiàng)中的公式（填選項(xiàng)即可）；

A．a(chǎn)2?2ab+b2（2）應(yīng)用你從（1）選出的等式，完成下列各題：①若x2?9y2=12,x+3y=4②計(jì)算：20192?2020×2018=構(gòu)圖二：如圖3表示的是一個(gè)邊長(zhǎng)為x的正方體挖去一個(gè)邊長(zhǎng)為1的小長(zhǎng)方體后重新拼成一個(gè)新長(zhǎng)方體．請(qǐng)你根據(jù)圖中兩個(gè)圖形的變化關(guān)系，寫出一個(gè)代數(shù)恒等式：．

構(gòu)圖三：某住宅小區(qū)，為美化環(huán)境，提高居民的生活質(zhì)量，要建造一個(gè)八邊形的居民廣場(chǎng)，如圖4，其中正方形MNPQ與四個(gè)相同的長(zhǎng)方形（圖中陰影部分）的面積的和為a(a+4b)，正方形MNPQ的邊長(zhǎng)為a，則八邊形ABCDEFGH的面積為．

【變式5-3】（2023春·浙江·八年級(jí)期中）我們知道對(duì)于一個(gè)圖形，通過不同的方法計(jì)算圖形的面積可以得到一個(gè)數(shù)學(xué)等式．例如：由圖1可得到a+b(1)寫出由圖2所表示的數(shù)學(xué)等式：________________________．(2)根據(jù)上面的等式，如果將a?b看成a+?b，直接寫出n?1n+12(3)已知實(shí)數(shù)a、b、c，滿足以下兩個(gè)條件：a2+b2+【題型6利用因式分解探究三角形形狀】【例6】（2023春·廣東河源·八年級(jí)?？计谥校┮阎篴、b、c為△ABC的三邊長(zhǎng)，且a2【變式6-1】（2023·重慶·八年級(jí)統(tǒng)考期中）已知x，y，z是△ABC的三邊，且滿足2xy+x2＝2yz+z2，則△ABC的形狀是．【變式6-2】（2023春·廣東深圳·八年級(jí)統(tǒng)考期末）因式分解的常用方法有提公因式法和公式法，但有些多項(xiàng)式無法直接使用上述方法分解，如a2?4ab+4b請(qǐng)解決下列問題：(1)分解因式：a2(2)已知a，b，c是△ABC的三邊，且滿足a2?b【變式6-3】（2023春·湖南懷化·八年級(jí)溆浦縣第一中學(xué)?？计谥校┙炭茣羞@樣寫道：“我們把多項(xiàng)式a2+2ab+b例如：分解因式．原式=x例如：求代數(shù)式2x原式=2x2+4x?6=2x2+2x?3=2(1)用配方法分解因式：a(2)已知a、b、c是△ABC的三條邊長(zhǎng)．若a、b、c滿足a2+1(3)當(dāng)m，n為何值時(shí)，多項(xiàng)式2m【題型7利用拆項(xiàng)或添項(xiàng)進(jìn)行因式分解】【例7】（2023春·廣東深圳·八年級(jí)深圳中學(xué)?？计谥校┪覀円呀?jīng)學(xué)過將一個(gè)多項(xiàng)式分解因式的方法有提公因式法和運(yùn)用公式法，其實(shí)分解因式的方法還有分組分解法、拆項(xiàng)法等等．①分組分解法：例如：x2②拆項(xiàng)法：例如：x2(1)仿照以上方法，按照要求分解因式：①（分組分解法）4x②（拆項(xiàng)法）x2(2)已知：a、b、c為△ABC的三條邊，a2+b【變式7-1】（2023秋·陜西漢中·八年級(jí)統(tǒng)考期中）閱讀理解：對(duì)于二次三項(xiàng)式x2+2ax+a2，能直接用公式法進(jìn)行因式分解，得到x2+2ax+a2=x======像這樣把二次三項(xiàng)式分解因式的方法叫做添（拆）項(xiàng)法．請(qǐng)用上述方法將下列各式進(jìn)行因式分解．(1)x2(2)a4【變式7-2】（2023春·陜西西安·八年級(jí)高新一中?？计谀读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2023年版》關(guān)于運(yùn)算能力的解釋為：運(yùn)算能力主要是指根據(jù)法則和運(yùn)算律進(jìn)行正確運(yùn)算的能力，因此，我們面對(duì)沒有學(xué)過的數(shù)學(xué)題時(shí)，方法可以創(chuàng)新，但在創(chuàng)新中要遵循法則和運(yùn)算律，才能正確解答，下面介紹一種分解因式的新方法——拆項(xiàng)補(bǔ)項(xiàng)法：把多項(xiàng)式的某一項(xiàng)拆開或填補(bǔ)上互為相反數(shù)的兩項(xiàng)（或幾項(xiàng)），使原式適合于已學(xué)過的方法進(jìn)行分解．例題：用拆項(xiàng)補(bǔ)項(xiàng)法分解因式x3解：添加兩項(xiàng)?x原式====請(qǐng)你結(jié)合自己的思考和理解完成下列各題：(1)分解因式：x2(2)分解因式x3(3)分解因式：x4【變式7-3】（2023春·甘肅張掖·八年級(jí)校考期中）對(duì)于形如x2+2ax+a2這樣的二次三項(xiàng)式，可以用公式法將它分解成x+a2的形式．但對(duì)于二次三項(xiàng)式x2+2ax?3a2x2＝x+a＝（x+3a）（x﹣a）．像這樣，先添一適當(dāng)項(xiàng)，使式中出現(xiàn)完全平方式，再減去這個(gè)項(xiàng)，使整個(gè)式子的值不變的方法稱為“配方法”．(1)利用“配方法”分解因式：①a2﹣6a②a4(2)若a+b＝5，ab＝6，求：①a2②a4【題型8因式分解的應(yīng)用】【例8】（2023秋·重慶渝中·八年級(jí)重慶市求精中學(xué)校?？奸_學(xué)考試）對(duì)于一個(gè)四位自然數(shù)N，其千位數(shù)字為a，百位數(shù)字為b，十位數(shù)字為c，個(gè)位數(shù)字為d，各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字均不相同且均不為0，將自然數(shù)N的千位數(shù)字和個(gè)位數(shù)字組成一個(gè)兩位數(shù)ad，記為A；百位數(shù)字和十位數(shù)字組成另一個(gè)兩位數(shù)字bc，記為B，若A與B的和等于N的千位數(shù)字與百位數(shù)字之和的11倍，則稱N為“坎數(shù)”．例如：6345，A=65，B=34，65+34=99，116+3=99，所以6345是“坎數(shù)”．若N1為“坎數(shù)”，且A+B=99，則N1最大為；若N2為“坎數(shù)”，且a>b，當(dāng)a+b【變式8-1】（2023春·甘肅隴南·八年級(jí)統(tǒng)考期末）閱讀與思考請(qǐng)仔細(xì)閱讀并完成相應(yīng)任務(wù)．生活中我們經(jīng)常用到密碼，例如用支付寶或微信支付時(shí)．有一種用“因式分解”法產(chǎn)生的密碼，方便記憶，其原理是：將一個(gè)多項(xiàng)式分解因式，如多項(xiàng)式：x3+2x2?x?2可以因式分解為x?1x+1x+2，當(dāng)x=29任務(wù)：(1)根據(jù)上述方法，當(dāng)x=15，y=5時(shí)，對(duì)于多項(xiàng)式x3(2)已知一個(gè)直角三角形的周長(zhǎng)是24，斜邊長(zhǎng)為11，其中兩條直角邊分別為x，y，求出一個(gè)由多項(xiàng)式x3【變式8-2】（2023春·江蘇無錫·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖1，現(xiàn)有3種不同型號(hào)的A型、B型、C型卡片若干張．

(1)已知1張A型卡片，1張B型卡片，2張C型卡片可拼成如圖2所示的正方形，用不同的方法計(jì)算圖2中陰影部分的面積，可得到等式：______；(2)請(qǐng)用上述三種型號(hào)的卡片若干張拼出一個(gè)面積為2a2+5ab+2b2的長(zhǎng)方形(無空隙，不重疊)(3)取出一張A型卡片，一張B型卡片，放入邊長(zhǎng)為m(a<m<a+b)的正方形大卡片內(nèi)，如圖3所示，圖中A，B型卡片重疊部分面積記為S1，邊長(zhǎng)為m的正方形未被覆蓋部分面積記為S2，S3，若S1=S2+S3【變式8-3】（2023秋·山東青島·八年級(jí)統(tǒng)考期末）【實(shí)踐探究】小明在學(xué)習(xí)“因式分解”時(shí)，用如圖1所示編號(hào)為①②③④的四種長(zhǎng)方體各若干塊，進(jìn)行實(shí)踐探究：(1)現(xiàn)取其中兩個(gè)拼成一個(gè)大長(zhǎng)方體，如圖2，據(jù)此寫出一個(gè)多項(xiàng)式的因式分解：________________．【問題解決】(2)若要用這四種長(zhǎng)方體拼成一個(gè)棱長(zhǎng)為x+1的正方體，需要②號(hào)長(zhǎng)方體________個(gè)，③號(hào)長(zhǎng)方體_____個(gè)，據(jù)此寫出一個(gè)多項(xiàng)式的因式分解：____________________．【拓展與延伸】(3)如圖3，在一個(gè)邊長(zhǎng)為a的正方體中挖出一個(gè)邊長(zhǎng)為b的正方體，據(jù)此寫出a3?專題14.9整式的乘法與因式分解章末八大題型總結(jié)（拔尖篇）【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1巧用冪的運(yùn)算逆向運(yùn)算】 1【題型2整式乘法中不含某項(xiàng)問題】 4【題型3多項(xiàng)式乘法中的規(guī)律性問題】 6【題型4巧用乘法公式求值】 9【題型5乘法公式的幾何背景】 12【題型6利用因式分解探究三角形形狀】 20【題型7利用拆項(xiàng)或添項(xiàng)進(jìn)行因式分解】 24【題型8因式分解的應(yīng)用】 29【題型1巧用冪的運(yùn)算逆向運(yùn)算】【例1】（2023春·安徽蚌埠·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知2a=3，2b（1）2c?b=（2）a，b，c之間滿足的等式關(guān)系為．【答案】2a+c=2b【分析】（1）逆用同底數(shù)冪除法法則計(jì)算即可；（2）利用冪的乘方的法則及同底數(shù)冪的乘法的法則對(duì)式子進(jìn)行整理即可．【詳解】解：（1）∵2b=6，∴2c?b故答案為：2；（2）∵2a×2c=∴2a+c∴a+c=2b,故答案為：a+c=2b．【點(diǎn)睛】本題主要考查了積的乘方與冪的乘方，熟練掌握積的乘方與冪的乘方運(yùn)算法則進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵．【變式1-1】（2023春·江蘇蘇州·八年級(jí)期中）已知常數(shù)a，b滿足2a×22b=8【答案】2【分析】直接利用同底數(shù)冪的乘除運(yùn)算法則將原式變形進(jìn)而得出答案．【詳解】解：∵2a∴2a+2b∴a+2b=3，∵(5a∴52a+4b?3ab∴2a+4b?3ab=0，∴2a+2b∴2×3?3ab=0，解得：ab=2．【點(diǎn)睛】本題考查同底數(shù)冪的乘除運(yùn)算，正確將原式變形是解題關(guān)鍵．【變式1-2】（2023春·河北石家莊·八年級(jí)統(tǒng)考期中）已知xn=2，（1）(xy)2n的值為（2）若x3n+1?y3n+1=64【答案】368【分析】1利用冪的乘方與積的乘方的法則進(jìn)行計(jì)算，即可得出結(jié)果；2利用冪的乘方與積的乘方的法則進(jìn)行計(jì)算，即可得出結(jié)果．【詳解】解：(1)∵xn=2∴(xy)=x=(x=2=4×9=36，故答案為：36；(2)∵x∴x∴(x∵xn=2∴2∴xy=8故答案為：827【點(diǎn)睛】本題考查了冪的乘方與積的乘方，掌握冪的乘方與積的乘方的法則是解決問題的關(guān)鍵．【變式1-3】（2023春·江蘇泰州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）愛動(dòng)腦筋的小明在學(xué)習(xí)《冪的運(yùn)算》時(shí)發(fā)現(xiàn)：若am=an(a>0，且a≠1，m、n都是正整數(shù)），則m=n(1)如果2×4x×(2)如果3x+2+3【答案】(1)x=5(2)x=2【分析】（1）利用冪的乘方的法則及同底數(shù)冪的乘法的法則對(duì)式子進(jìn)行整理，從而可求解；（2）利用同底數(shù)冪的乘法的法則及冪的乘方的法則對(duì)式子進(jìn)行整理，即可求解．【詳解】（1）因?yàn)?×4x×32x=236，所以2×22x×25x=236，即21+7x=236，所以1+7x=36，解得：x=5；（2）因?yàn)?x+2+3x+1=108，所以3×3x+1+3x+1=4×27，4×3x+1=4×33，即3x+1=33，所以x+1=3，解得：x=2．【點(diǎn)睛】本題主要考查冪的乘方，同底數(shù)冪的乘法，解答的關(guān)鍵是對(duì)相應(yīng)的運(yùn)算法則的掌握與運(yùn)用．【題型2整式乘法中不含某項(xiàng)問題】【例2】（2023春·四川巴中·八年級(jí)四川省巴中中學(xué)?？计谥校┤?x2+nx+3)(x2?3x+m)的展開式中不含x【答案】9．【分析】根據(jù)展開式中不含x2和x3項(xiàng)，即x2【詳解】解：(x=x4=x4根據(jù)展開式中不含x2和xn?3=0m?3n+3=0解得，n=3m=6m+n=9，故答案為：9．【點(diǎn)睛】本題考查整式乘法和二元一次方程組，解題關(guān)鍵是根據(jù)多項(xiàng)式中不含某一項(xiàng)時(shí)，這一項(xiàng)的系數(shù)為0列方程組．【變式2-1】（2023秋·甘肅武威·八年級(jí)?？计谀├蠋熢诤诎迳喜贾昧艘坏李}：已知x＝－2，求式子(2x－y)(2x＋y)＋(2x－y)(y－4x)＋2y(y－3x)的值．小亮和小新展開了下面的討論：小亮：只知道x的值，沒有告訴y的值，這道題不能做；小新：這道題與y的值無關(guān)，可以求解；根據(jù)上述說法，你認(rèn)為誰說的正確？為什么？【答案】小新的說法正確，原因見解析【分析】根據(jù)平方差公式，多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的計(jì)算法則去括號(hào)，然后合并同類項(xiàng)化簡(jiǎn)即可得到答案．【詳解】解：2x?y=4x=?4x∴這道題與y的值無關(guān)，可以求解，∴小新的說法正確．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平方差公式，多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，多項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式，熟知整式的相關(guān)計(jì)算法則是解題的關(guān)鍵，注意去括號(hào)的時(shí)候的符號(hào)問題．【變式2-2】（2023秋·河南周口·八年級(jí)?？计谀┮阎獂2+mx?32x+n的展開式中不含x的一次項(xiàng)，常數(shù)項(xiàng)是－6，則mn【答案】6【分析】根據(jù)多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式運(yùn)算法則進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后令含x的一次項(xiàng)的系數(shù)為零以及常數(shù)項(xiàng)為?6即可求出答案．【詳解】解：x=2=2x∵x2+mx?32x+n∴mn?6=0?3n=?6∴mn=6．故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題考查多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的運(yùn)算法則，本題屬于基礎(chǔ)題型．【變式2-3】（2023秋·福建泉州·八年級(jí)福建省泉州市培元中學(xué)?？计谥校┮阎P(guān)于x、y的代數(shù)式2x+5y32x?5y3?mx?3【答案】m=2，n=?12或m=?2，n=12．【分析】先對(duì)原式進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后根據(jù)代數(shù)式的值與x的取值無關(guān)令含x的項(xiàng)的系數(shù)為0，分情況求出m、n的值即可．【詳解】解：原式=4=4=4?∵代數(shù)式2x+5y32x?5∴4?m2=0∴m=±2，當(dāng)m=2時(shí)，由6m+n=0可得12+n=0，解得：n=?12，當(dāng)m=?2時(shí)，由6m+n=0可得?12+n=0，解得：n=12，∴m=2，n=?12或m=?2，n=12．【點(diǎn)睛】本題考查了整式的混合運(yùn)算，求一個(gè)數(shù)的平方根，熟練掌握平方差公式和完全平方公式是解題的關(guān)鍵．【題型3多項(xiàng)式乘法中的規(guī)律性問題】【例3】（2023春·甘肅張掖·八年級(jí)?？计谀┫铝袌D像都是由相同大小的星星按一定規(guī)律組成的，其中第①個(gè)圖形中一共有4顆星星，第②個(gè)圖形中一共有11顆星星，第③個(gè)圖形中一共有21顆星星，……按此規(guī)律排列下去，第⑨個(gè)圖形中星星的顆數(shù)為．

【答案】144【分析】根據(jù)題意將每個(gè)圖形都看作兩部分，一部分是上面的構(gòu)成規(guī)則的矩形，另一部分是構(gòu)成下面的近似金字塔的形狀，然后根據(jù)遞增關(guān)系即可得到答案．【詳解】第①個(gè)圖形中星星的顆數(shù)4=2+1×2；第②個(gè)圖形中星星的顆數(shù)11=2+3+2×3；第③個(gè)圖形中星星的顆數(shù)21=2+3+4+3×4；第④個(gè)圖形中星星的顆數(shù)34=2+3+4+5+4×5；……∴第n個(gè)圖形中星星的顆數(shù)=2+3+4+5+?+n+=2+n+1=3∴當(dāng)n=9時(shí)，32∴第⑨個(gè)圖形中的星星顆數(shù)為144顆，故答案為：144【點(diǎn)睛】本題考查了圖形變化規(guī)律，正確地得到每個(gè)圖形中小星星的數(shù)字變化情況是解題的關(guān)鍵．【變式3-1】（2023春·重慶·八年級(jí)?？计谥校┪覈?guó)古代數(shù)學(xué)的許多發(fā)現(xiàn)都曾位居世界前列，其中“楊輝三角”就是一例．如圖，這個(gè)三角形的構(gòu)造法則：兩腰上的數(shù)都是1，其余每個(gè)數(shù)均為其上方左右兩數(shù)之和，它給出了（a+b）n（n為正整數(shù)）的展開式（按a的次數(shù)由大到小的順序排列）的系數(shù)規(guī)律．例如，在三角形中第三行的三個(gè)數(shù)1，2，1，恰好對(duì)應(yīng)（a+b）2＝a2+2ab+b2展開式中的系數(shù)；第四行的四個(gè)數(shù)1，3，3，1，恰好對(duì)應(yīng)著（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b2展開式中的系數(shù)等等．（1）根據(jù)上面的規(guī)律，則（a+b）5的展開式＝．（2）a+bn（3）利用上面的規(guī)律計(jì)算：25﹣5×24+10×23﹣10×22+5×2﹣1．（4）運(yùn)用：若今天是星期二，經(jīng)過8100天后是星期．【答案】（1）a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；（2）n+1,2【分析】（1）根據(jù)得出的系數(shù)規(guī)律，將原式展開即可；（2）直接根據(jù)得出的規(guī)律即可求解；（3）利用規(guī)律計(jì)算原式即可得到結(jié)果；（4）由8100=7+1【詳解】解：（1）（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；（2）∵a+bn∴a+bn的展開式共有n+1項(xiàng)，從規(guī)律可發(fā)現(xiàn)系數(shù)和為2（3）令（1）中a=2，b=-1，得：25﹣5×24+10×23﹣10×22+5×2﹣1=（2-1）5=1；（4）8100=根據(jù)規(guī)律可知，7+1100∴若今天是星期二，經(jīng)過8100天后是星期三．【點(diǎn)睛】此題考查了完全平方公式，找出題中的規(guī)律是解本題的關(guān)鍵．【變式3-2】（2023春·廣東深圳·八年級(jí)深圳中學(xué)校考開學(xué)考試）圖（1）是一個(gè)水平擺放的小正方體木塊，圖（2）、（3）是由這樣的小正方體木塊疊放而成，按照這樣的規(guī)律繼續(xù)疊放下去，至第n個(gè)疊放的圖形中，小正方體木塊總數(shù)應(yīng)是．

【答案】2【分析】圖（1）中只有一層，有4×0+1一個(gè)正方體，圖（2）中有兩層，在圖（1）的基礎(chǔ)上增加了一層，第二層有4×1+1個(gè)．圖（3）中有三層，在圖（2）的基礎(chǔ)長(zhǎng)增加了一層，第三層有4×2+1，依此類推出第n層正方體的個(gè)數(shù)，即可推出當(dāng)有n層時(shí)總的正方體個(gè)數(shù)．【詳解】解：經(jīng)分析，可知：第一層的正方體個(gè)數(shù)為4×0+1，第二層的正方體個(gè)數(shù)為4×1+1，第三層的正方體個(gè)數(shù)為4×2+1，……第n層的個(gè)數(shù)為：4n?1第n個(gè)疊放的圖形中，小正方體木塊總數(shù)為：1+=n+4=n+4×=n+2n=2n故答案為：2【點(diǎn)睛】本題解題關(guān)鍵是根據(jù)圖形的變換總結(jié)規(guī)律，由圖形變換得規(guī)律：每次都比上一次增加一層，增加第n層時(shí)小正方體共增加了4n?1+1個(gè)，將【變式3-3】（2023春·北京昌平·八年級(jí)北京市昌平區(qū)第二中學(xué)校考期中）閱讀以下材料：(x?1)(x+1)=x(x?1)x(x?1)（1）根據(jù)以上規(guī)律，(x?1)xn?1+（2）利用（1）的結(jié)論，求1+5+5【答案】（1）xn?1【分析】（1）仔細(xì)觀察上式就可以發(fā)現(xiàn)得數(shù)中x的指數(shù)是式子中x的最高指數(shù)減1，根據(jù)此規(guī)律就可求出本題.（2）不難看出所求式子是材料中等號(hào)左邊式子的一個(gè)因式，將所求式子轉(zhuǎn)化成(x?1)x【詳解】（1）(x?1)xn?1+所以(x?1)xn?1+（2）1+5+=14（5-1）（1+5+=5【點(diǎn)睛】仔細(xì)觀察式子，總結(jié)出運(yùn)算規(guī)律，是解決此類題的關(guān)鍵.【題型4巧用乘法公式求值】【例4】（2023春·湖南益陽·八年級(jí)統(tǒng)考期中）使用整式乘法法則與公式可以使計(jì)算簡(jiǎn)便，請(qǐng)利用法則或公式計(jì)算下列各題(1)已知a+1a=5(2)計(jì)算：2?2(3)設(shè)a，b，c，d都是正整數(shù)，并且a5=b4，c3【答案】(1)a(2)6(3)d?b=757【分析】（1）利用完全平方公式變形計(jì)算即可；（2）將原式變形為220（3）根據(jù)已知條件得出a=b4a4=b2a22，c=d2c2=dc2，根據(jù)c?a=19，得出dc+b2a2dc?b2a2=19，根據(jù)a，b，【詳解】（1）解：∵a+1∴a2（2）解：2?======???==4+2=6．（3）解：∵a5∴a=b∵c3∴c=d∵c?a=19，∴dc即dc∵a，b，c，d都是正整數(shù)，又∵a=b4a∴b2a2∴dc∵dc∴dc∵dc∴dc+b∴dc∴dc即d=10c，∵dc∴b2即b2∵a，b，c，d都是正整數(shù)，∴b=3a，∵d=10c，b=3a，a5=b∴c3解得：c=100，則d=10c=1000，∵c?a=19，∴a=c?19=100?19=81，∴b=3a=243，∴d?b=1000?243=757．【點(diǎn)睛】本題主要考查了完全平方公式的變形應(yīng)用，數(shù)字規(guī)律計(jì)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握完全平方公式，準(zhǔn)確計(jì)算．【變式4-1】（2023春·四川內(nèi)江·八年級(jí)四川省內(nèi)江市第六中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知x滿足（x﹣2020）2+（2023﹣x）2＝10，則（x﹣2021）2的值是．【答案】4【分析】根據(jù)題意原式可化為[（x﹣2021）+1]2+[（x﹣2021）﹣1]2＝10，再應(yīng)用完全平方公式可化為（x﹣2021）2+2（x﹣2021）+1+（x﹣2021）2﹣2（x﹣2021）+1＝10，應(yīng)用整體思想合并同類項(xiàng)，即可得出答案．【詳解】解：∵（x﹣2020）2+（x﹣2022）2＝10∴[（x﹣2021）+1]2+[（x﹣2021）﹣1]2＝10，∴（x﹣2021）2+2（x﹣2021）+1+（x﹣2021）2﹣2（x﹣2021）+1＝10，∴2（x﹣2021）2+2＝10，∴（x﹣2021）2＝4．故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab＋b2，熟練掌握完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征是解題的關(guān)鍵．【變式4-2】（2023春·浙江杭州·八年級(jí)?？计谥校┮阎簒2+xy=10，y2+xy=6，x?y=?1，則：（1）x+y=．（2）求x，【答案】?4x=?52【分析】由x2+xy?y2+xy可得x+yx?y=4，再根據(jù)x?y=?1，可得【詳解】解：∵x2+xy=10，∴x2+xy?∴x+yx?y∵x?y=?1，∴x+y=?4，可得x+y=?4x?y=?1，解得：即：x，y的值分別為x=?52，故答案為：?4；x=?52，【點(diǎn)睛】本題考查平方差公式及其變形，由x2+xy?【變式4-3】（2023春·湖南張家界·八年級(jí)統(tǒng)考期中）已知a?ba+b(1)2?12+1(2)求2+12(3)求23+1【答案】(1)15(2)232－1(3)0【分析】（1）根據(jù)平方差公式求出即可；（2）添加上(2?1)，重復(fù)根據(jù)平方差公式依次求出，即可得出答案；（3）根據(jù)（2）的規(guī)律，多次利用平方差公式即可得出答案．【詳解】（1）解：(2?1)(2+1)(2故答案為：15；（2）(2+1)(=(2?1)(2+1)(=(=(=(=(=2（3）2(3+1)(=(3?1)(3+1)(=(=(=(=(=(=3∵31=3，32=9，33=27可知3n的個(gè)位數(shù)呈3、9、7、1...64÷4=16，∴3∴3即2(3+1)(3【點(diǎn)睛】本題考查了平方差公式的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是重復(fù)運(yùn)用平方差公式，根據(jù)結(jié)果得出規(guī)律，題目比較好，有一定的難度．【題型5乘法公式的幾何背景】【例5】（2023秋·江蘇淮安·八年級(jí)淮安市浦東實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？奸_學(xué)考試）【知識(shí)生成】【知識(shí)生成】我們已經(jīng)知道，通過計(jì)算幾何圖形的面積可以表示一些代數(shù)恒等式．例如圖1可以得到a+b2【直接應(yīng)用】（1）若x+y=3，x2+y【類比應(yīng)用】（2）填空：①若x3?x=1，則x②若x?3x?4=1，則x?3【知識(shí)遷移】（3）兩塊全等的特制直角三角板(∠AOB=∠COD=90°)如圖2所示放置，其中A，O，D在一直線上，連接AC，BD．若AD=16，S△AOC

【答案】（1）xy=2；（2）①7；②3；（3）30．【分析】（1）根據(jù)完全平方公式的變形可得答案；（2）①設(shè)x=m，3?x=n，則mn=1，m+n=3，由x2②設(shè)x?3=a，x?4=b，則ab=x?3x?4=1，a?b=1（3）設(shè)AO=p，DO=q，由題意可得，p+q=16，p2+q2=136【詳解】解：（1）∵x+y=3，∴x+y2∴x2∵x2∴xy=9?5答：xy=2；（2）①設(shè)x=m，3?x=n，則mn=1，m+n=3，∴==9?2=7，故答案為：7；②設(shè)x?3=a，x?4=b，則ab=x?3x?4=1∴=1+2=3，故答案為：3；（3）設(shè)AO=p，DO=q，∵AD=16，S△AOC∴p+q=16，12即p+q=16，p2∴2pq==16即pq=60，∴S答：一塊直角三角板的面積為30．【點(diǎn)睛】本題考查完全平方公式的幾何背景，多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，掌握完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征是正確解答的前提，掌握完全平方公式的變形是正確解答的關(guān)鍵．【變式5-1】（2023春·全國(guó)·八年級(jí)期末）工廠接到訂單，需要邊長(zhǎng)為（a+3）和3的兩種正方形卡紙．（1）倉庫只有邊長(zhǎng)為（a+3）的正方形卡紙，現(xiàn)決定將部分邊長(zhǎng)為（a+3）的正方形紙片，按圖甲所示裁剪得邊長(zhǎng)為3的正方形．①如圖乙，求裁剪正方形后剩余部分的面積（用含a代數(shù)式來表示）；②剩余部分沿虛線又剪拼成一個(gè)如圖丙所示長(zhǎng)方形（不重疊無縫隙），則拼成的長(zhǎng)方形的邊長(zhǎng)多少？（用含a代數(shù)式來表示）；（2）若將裁得正方形與原有正方形卡紙放入長(zhǎng)方體盒子底部，按圖1，圖2兩種方式放置（圖1，圖2中兩張正方形紙片均有部分重疊），盒子底部中未被這兩張正方形紙片覆蓋的部分用陰影表示，設(shè)圖1中陰影部分的面積為S1，圖2中陰影部分的面積為S2測(cè)得盒子底部長(zhǎng)方形長(zhǎng)比寬多3，則S2﹣S1的值為．【答案】（1）①裁剪正方形后剩余部分的面積＝a2+6a；②拼成的長(zhǎng)方形的邊長(zhǎng)分別為a和a+6；（2）9.【分析】（1）①根據(jù)面積差可得結(jié)論；②根據(jù)圖形可以直接得結(jié)論；（2）分別計(jì)算S2和S1的值，相減可得結(jié)論．【詳解】（1）①裁剪正方形后剩余部分的面積=（a+3）2﹣32=（a+3﹣3）（a+3+3）=a（a+6）=a2+6a；②拼成的長(zhǎng)方形的寬是：a+3﹣3=a，∴長(zhǎng)為a+6，則拼成的長(zhǎng)方形的邊長(zhǎng)分別為a和a+6；（2）設(shè)AB=x，則BC=x+3，∴圖1中陰影部分的面積為S1=x（x+3）﹣（a+3）2﹣32+3（a+6﹣x﹣3），圖2中陰影部分的面積為S2=x（x+3）﹣（a+3）2﹣32+3（a+6﹣x），∴S2﹣S1的值=3（a+6﹣x）﹣3（a+6﹣x﹣3）=3×3=9．故答案為9．【點(diǎn)睛】本題考查了平方差公式的幾何背景，此類題目根據(jù)圖形的面積列出等式是解題的關(guān)鍵．【變式5-2】（2023春·廣東深圳·八年級(jí)?？计谥校?shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中經(jīng)常使用的數(shù)學(xué)方法之一，在研究代數(shù)間刻時(shí)，我們通過構(gòu)造幾何圖形，用面積法可以很直觀地推導(dǎo)出公式．以下三個(gè)構(gòu)圖都可以用幾何方法生成代數(shù)結(jié)論，請(qǐng)解決以下問題．構(gòu)圖一：（1）如圖1是一張邊長(zhǎng)為a的正方形紙片，在它的一角剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形，然后將圖1剩余部分（陰影部分）剪拼成如圖2的一個(gè)大長(zhǎng)方形（陰影部分）．那么通過計(jì)算兩個(gè)圖形陰影部分的面積，可以驗(yàn)證下列選項(xiàng)中的公式（填選項(xiàng)即可）；

A．a(chǎn)2?2ab+b2（2）應(yīng)用你從（1）選出的等式，完成下列各題：①若x2?9y2=12,x+3y=4②計(jì)算：20192?2020×2018=構(gòu)圖二：如圖3表示的是一個(gè)邊長(zhǎng)為x的正方體挖去一個(gè)邊長(zhǎng)為1的小長(zhǎng)方體后重新拼成一個(gè)新長(zhǎng)方體．請(qǐng)你根據(jù)圖中兩個(gè)圖形的變化關(guān)系，寫出一個(gè)代數(shù)恒等式：．

構(gòu)圖三：某住宅小區(qū)，為美化環(huán)境，提高居民的生活質(zhì)量，要建造一個(gè)八邊形的居民廣場(chǎng)，如圖4，其中正方形MNPQ與四個(gè)相同的長(zhǎng)方形（圖中陰影部分）的面積的和為a(a+4b)，正方形MNPQ的邊長(zhǎng)為a，則八邊形ABCDEFGH的面積為．

【答案】構(gòu)圖一：（1）B；（2）①3；②1；構(gòu)圖二：x3?x=x(x?1)(x+1)【分析】構(gòu)圖一：（1）根據(jù)圖1和圖2中陰影部分的面積不變，數(shù)形結(jié)合列出代數(shù)式求解即可得到答案；（2）①②先把（1）中的公式變形，再整體代入求解；構(gòu)圖二：根據(jù)體積不變求解；構(gòu)圖三：先求出小長(zhǎng)方形的短邊，再求解．【詳解】解：構(gòu)圖一：（1）圖1中陰影部分的面積為：a2?b2，圖2中陰影部分的面積為：故選：B；（2）①∵x2?9∴x?3y=3，故答案為：3；②20192故答案為：1；構(gòu)圖二：根據(jù)體積不變得x3構(gòu)圖三：由題意知小長(zhǎng)方形的短邊為b，∴八邊形ABCDEFGH的面積為a(a+4b)+2b故答案為：a2【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)幾何圖形列代數(shù)式，平方差公式的幾何背景，數(shù)形結(jié)合，掌握列代數(shù)式準(zhǔn)確表示題中幾何圖形關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【變式5-3】（2023春·浙江·八年級(jí)期中）我們知道對(duì)于一個(gè)圖形，通過不同的方法計(jì)算圖形的面積可以得到一個(gè)數(shù)學(xué)等式．例如：由圖1可得到a+b(1)寫出由圖2所表示的數(shù)學(xué)等式：________________________．(2)根據(jù)上面的等式，如果將a?b看成a+?b，直接寫出n?1n+12(3)已知實(shí)數(shù)a、b、c，滿足以下兩個(gè)條件：a2+b2+【答案】(1)a+b+c(2)n?1n+1(3)2或6．【分析】（1）把大正方形面積和小矩形面積之和表示出來，根據(jù)大正方形面積也等于各個(gè)小矩形面積之和寫出相應(yīng)關(guān)系式；（2）根據(jù)提示可得n?1n+12=（3）運(yùn)用換元法，簡(jiǎn)化計(jì)算，有助于快速解出題目．【詳解】（1）大正方形面積＝a+b+c2，大正方形面積也等于各個(gè)小矩形面積之和即：a∴a+b+c2故答案為：a+b+c2（2）根據(jù)（1）中公式，n?=n2由題意得：n?1∵n2∴n?1∴n?1∴n?1∴n?1（3）∵a2∴a+12令A(yù)＝a＋1，B＝b?2，C＝c＋3，可得A2∴a＝A?1，b＝B＋2，c＝C?3，∴a＋b?c＝A?1＋B＋2?（C?3）＝A＋B?C＋4，（a＋1）（c＋3）＋（b?2）（c＋3）＝（a＋1）（b?2）變形得，A?C＋∴A+B?C2＝A∴A＋B?C＝?2或2，∴a＋b?c＝A＋B?C＋4＝2或6．【點(diǎn)睛】本題考查了靈活運(yùn)用完全平方式，以及運(yùn)算能力，轉(zhuǎn)換變形是本題得關(guān)鍵．【題型6利用因式分解探究三角形形狀】【例6】（2023春·廣東河源·八年級(jí)?？计谥校┮阎篴、b、c為△ABC的三邊長(zhǎng)，且a2【答案】△ABC為等腰三角形，理由見解析；【分析】先把前面兩項(xiàng)展開得到a2b-a2c+b2c-ab2+c2（a-b）=0，再分組分解，得到公因式（a-b），則ab（a-b）-c（a-b）（a+b）+c2（a-b）=0，所以把等式左邊分解得到（a-b）（ab-ac-bc+c2）=0，接著在把中括號(hào)內(nèi)分組分解得到（a-b）（b-c）（a-c）=0，然后根據(jù)有理數(shù)積的性質(zhì)得到a-b=0或b-c=0或a-c=0，于是根據(jù)等腰三角形的判定方法進(jìn)行判斷．【詳解】△ABC為等腰三角形，理由如下：∵a2(b?c)+

b2(c?a)+c2(a?b)=0，∴a2b?a2c+b2c?ab2+c2(a?b)=0，∴ab(a?b)?c(a2?b2)+c2(a?b)=0，∴ab(a?b)?c(a?b)(a+b)+c2(a?b)=0，∴(a?b)(ab?ac?bc+c2)=0，∴(a?b)[a(b?c)?c(b?c)]=0，∴(a?b)(b?c)(a?c)=0，∴a?b=0或b?c=0或a?c=0，∴△ABC為等腰三角形.【點(diǎn)睛】此題考查因式分解的應(yīng)用，解題關(guān)鍵在于掌握運(yùn)算法則.【變式6-1】（2023·重慶·八年級(jí)統(tǒng)考期中）已知x，y，z是△ABC的三邊，且滿足2xy+x2＝2yz+z2，則△ABC的形狀是．【答案】等腰三角形【分析】首先把2xy+x2=2yz+z2變形為（x-z）（x+z+2y）=0，由題意得出x+z+2y≠0，x-z=0，得出x=z，即可得出結(jié)論．【詳解】∵2xy+x2＝2yz+z2，∴2xy+x2﹣2yz﹣z2＝0，因式分解得：（x﹣z）（x+z+2y）＝0，∵x，y，z是△ABC的三邊，∴x+z+2y≠0，∴x﹣z＝0，∴x＝z，∴△ABC是等腰三角形；故答案為等腰三角形．【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解的應(yīng)用、等腰三角形的判定；熟練掌握因式分解的方法是解題的關(guān)鍵．【變式6-2】（2023春·廣東深圳·八年級(jí)統(tǒng)考期末）因式分解的常用方法有提公因式法和公式法，但有些多項(xiàng)式無法直接使用上述方法分解，如a2?4ab+4b請(qǐng)解決下列問題：(1)分解因式：a2(2)已知a，b，c是△ABC的三邊，且滿足a2?b【答案】(1)(a?2b)(a+2b+2)(2)△ABC是等腰三角形，理由見解析【分析】（1）根據(jù)題干中的方法進(jìn)行分組分解因式即可；（2）利用分組法分解因式，然后得出a=c，即可判斷三角形的形狀．【詳解】（1）a=(a+2b)(a?2b)+2(a?2b)=(a?2b)(a+2b+2)；（2）△ABC是等腰三角形．理由如下：∵a∴(a+b)(a?b)+c(a?b)=(a?b)(a+b+c)=0，∵a，b，c是△ABC的三邊，∴a+b+c≠0，∴a?b=0，∴a=b，∴△ABC是等腰三角形．【點(diǎn)睛】本題主要考查分組分解因式及提公因式與公式法分解因式，等腰三角形的定義等，理解題意，深刻理解題干中的分組分解法是解題關(guān)鍵．【變式6-3】（2023春·湖南懷化·八年級(jí)溆浦縣第一中學(xué)?？计谥校┙炭茣羞@樣寫道：“我們把多項(xiàng)式a2+2ab+b例如：分解因式．原式=x例如：求代數(shù)式2x原式=2x2+4x?6=2x2+2x?3=2(1)用配方法分解因式：a(2)已知a、b、c是△ABC的三條邊長(zhǎng)．若a、b、c滿足a2+1(3)當(dāng)m，n為何值時(shí)，多項(xiàng)式2m【答案】(1)(a+4)(a?2)(2)等邊三角形，見解析(3)當(dāng)m=2，n=1時(shí)，有最小值，最小值是11【分析】（1）模仿例題，將a2+2a?8變?yōu)椋?）先移項(xiàng)，再配方，利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求解a、b、c即可解答；（3）先進(jìn)行配方，再根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）解：a===a+4（2）解：△ABC是等邊三角形，理由如下：∵a2∴a2則a2∴(a?3)2∴a=b=c=3，即△ABC是等邊三角形．（3）解：2=m?2n∴當(dāng)m=2，n=1時(shí)，2m【點(diǎn)睛】本題主要考查因式分解、完全平方公式的應(yīng)用、平方式的非負(fù)數(shù)，熟練掌握完全平方公式的靈活運(yùn)用，利用類比的方法求解是解答的關(guān)鍵．【題型7利用拆項(xiàng)或添項(xiàng)進(jìn)行因式分解】【例7】（2023春·廣東深圳·八年級(jí)深圳中學(xué)?？计谥校┪覀円呀?jīng)學(xué)過將一個(gè)多項(xiàng)式分解因式的方法有提公因式法和運(yùn)用公式法，其實(shí)分解因式的方法還有分組分解法、拆項(xiàng)法等等．①分組分解法：例如：x2②拆項(xiàng)法：例如：x2(1)仿照以上方法，按照要求分解因式：①（分組分解法）4x②（拆項(xiàng)法）x2(2)已知：a、b、c為△ABC的三條邊，a2+b【答案】(1)①2x+y+12x?y+1；②(2)7【分析】（1）①將原式化為4x2+4x+1（2）先利用完全平方公式對(duì)等式a2+b2+c2【詳解】（1）解：①4===2x+y+1②x====x?4（2）解：∵a∴a∴a?2∵a?2∴a?2=0，∴a=2，∴a+b+c=2+2+3=7，故△ABC的周長(zhǎng)為：7．【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解的方法，運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行計(jì)算，本題主要包括分組分解法、運(yùn)用平方差公式進(jìn)行分解、運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行分解，解題的關(guān)鍵是理解分組分解法、拆項(xiàng)法的實(shí)質(zhì)．【變式7-1】（2023秋·陜西漢中·八年級(jí)統(tǒng)考期中）閱讀理解：對(duì)于二次三項(xiàng)式x2+2ax+a2，能直接用公式法進(jìn)行因式分解，得到x2+2ax+a2=x======像這樣把二次三項(xiàng)式分解因式的方法叫做添（拆）項(xiàng)法．請(qǐng)用上述方法將下列各式進(jìn)行因式分解．(1)x2(2)a4【答案】(1)x+3a(2)a【分析】（1）將式子x2+2ax?3a2，添項(xiàng)（2）將式子a4+4，添項(xiàng)4a【詳解】（1）解：x=x2=x+a2=x+a+2ax+a?2a（2）解：a=a4+4a2【點(diǎn)睛】本題是因式分解及因式分解的應(yīng)用，除了一般因式分解的方法以外，還可以利用添（拆）項(xiàng)法把一此復(fù)雜的式子進(jìn)行因式分解；同時(shí)可以利用因式分解求式子的最大值和最小值．【變式7-2】（2023春·陜西西安·八年級(jí)高新一中?？计谀读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2023年版》關(guān)于運(yùn)算能力的解釋為：運(yùn)算能力主要是指根據(jù)法則和運(yùn)算律進(jìn)行正確運(yùn)算的能力，因此，我們面對(duì)沒有學(xué)過的數(shù)學(xué)題時(shí)，方法可以創(chuàng)新，但在創(chuàng)新中要遵循法則和運(yùn)算律，才能正確解答，下面介紹一種分解因式的新方法——拆項(xiàng)補(bǔ)項(xiàng)法：把多項(xiàng)式的某一項(xiàng)拆開或填補(bǔ)上互為相反數(shù)的兩項(xiàng)（或幾項(xiàng)），使原式適合于已學(xué)過的方法進(jìn)行分解．例題：用拆項(xiàng)補(bǔ)項(xiàng)法分解因式x3解：添加兩項(xiàng)?x原式====請(qǐng)你結(jié)合自己的思考和理解完成下列各題：(1)分解因式：x2(2)分解因式x3(3)分解因式：x4【答案】(1)x?1(2)x?1(3)x?2【分析】（1）根據(jù)例題用拆項(xiàng)補(bǔ)項(xiàng)法分解因；（2）根據(jù)例題用拆項(xiàng)補(bǔ)項(xiàng)法分解因；（3）根據(jù)例題用拆項(xiàng)補(bǔ)項(xiàng)法分解因；【詳解】（1）解：x==x=x?1（2）x======（3）x======【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解，理解題意，正確的增項(xiàng)是解題的關(guān)鍵．【變式7-3】（2023春·甘肅張掖·八年級(jí)校考期中）對(duì)于形如x2+2ax+a2這樣的二次三項(xiàng)式，可以用公式法將它分解成x+a2的形式．但對(duì)于二次三項(xiàng)式x2+2ax?3a2x2＝x+a＝（x+3a）（x﹣a）．像這樣，先添一適當(dāng)項(xiàng)，使式中出現(xiàn)完全平方式，再減去這個(gè)項(xiàng)，使整個(gè)式子的值不變的方法稱為“配方法”．(1)利用“配方法”分解因式：①a2﹣6a②a4(2)若a+b＝5，ab＝6，求：①a2②a4【答案】(1)①（a+1）（a﹣7）②((2)①13②97【分析】（1）根據(jù)題目中的例子，可以對(duì)題目中的式子分解因式；（2）根據(jù)完全平方公式把原式變形，代入計(jì)算即可；【詳解】（1）解：利用“配方法”分解因式：①a2﹣6a﹣7＝a2﹣6＝(a?3)2＝（a﹣3+4）（a﹣3﹣4）＝（a+1）（a﹣7）；②a＝a＝(＝(a（2）解：①a2將a+b＝5，ab＝6代入得：原式＝52②a將a2+b原式＝13＝97．【點(diǎn)睛】本題考查了配方法，因式分解和完全平方公式的變形求值，掌握完全平方公式是解題的關(guān)鍵．【題型8因式分解的應(yīng)用】【例8】（2023秋·重慶渝中·八年級(jí)重慶市求精中學(xué)校?？奸_學(xué)考試）對(duì)于一個(gè)四位自然數(shù)N，其千位數(shù)字為a，百位數(shù)字為b，十位數(shù)字為c，個(gè)位數(shù)字為d，各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字均不相同且均不為0，將自然數(shù)N的千位數(shù)字和個(gè)位數(shù)字組成一個(gè)兩位數(shù)ad，記為A；百位數(shù)字和十位數(shù)字組成另一個(gè)兩位數(shù)字bc，記為B，若A與B的和等于N的千位數(shù)字與百位數(shù)字之和的11倍，則稱N為“坎數(shù)”．例如：6345，A=65，B=34，65+34=99，116+3=99，所以6345是“坎數(shù)”．若N1為“坎數(shù)”，且A+B=99，則N1最大為；若N2為“坎數(shù)”，且a>b，當(dāng)a+b【答案】81728154【分析】根據(jù)“坎數(shù)”的定義可以得到10a+d+10b+c=11a+b，可得出a+b=c+d，根據(jù)當(dāng)a+bc?d為9的倍數(shù)，且a、b、c、d都是小于10的自然數(shù)，所以可知c=54d，則可知c=5，d=4，故a+b=9【詳解】解：∵A+B=99，N1∵千位數(shù)字為8，個(gè)數(shù)位上的數(shù)字1，百位數(shù)字為7，十位數(shù)字為2，∴N1最大為8172根據(jù)“坎數(shù)”的定義可以得到10a+d+10b+c=11a+b∴a+b=c+d，∴a+bc?d為9的倍數(shù)，且a、b、c、d都是小于10的自然數(shù)，a>ba+bc?d=9，即∴c=5∴c=5，d=4，∴a+b=c+d=9，當(dāng)a=8時(shí)，N有最大值，∴b=9?8=1，∴N的最大值為8154，【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解的應(yīng)用，通過給出的“坎數(shù)”的定義求出對(duì)應(yīng)的各個(gè)數(shù)位的數(shù)字的關(guān)系，通過給出的式子，求出對(duì)應(yīng)的數(shù)字的結(jié)果，從而求出最后的解．【變式8-1】（2023春·甘肅隴南·八年級(jí)統(tǒng)考期末）閱讀與思考請(qǐng)仔細(xì)閱讀