高中數(shù)學(xué)立體幾何高中立體幾何單元檢測

第13章測評

（時間:120分鐘滿分:150分）

一、選擇題:本題共8小題,每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要

求的.

L下列幾何體是旋轉(zhuǎn)體的是（）

①圓柱;②六棱錐;③正方體;④球體;⑤四面體.

A.①④B.②③

C.0@D.②④

ggA

2.已知邊長為1的菱形中,A三,則用斜二測畫法畫出這個菱形的直觀圖的面積為（）

答案D

庭麗在菱形ABCD中,AB=14則菱形的面積為S受冊ABCD=2S^ABD=2^1x1xsii^=當(dāng)所以用斜二

測畫法畫出這個菱形的直觀圖面積為S筌SAHCD=^.

48

3.設(shè)正方體的表面積為24,那么其外接球的體積是

C.4島D.32島

gl]c

|解析|設(shè)正方體的棱長為由題意可知,6/=24,.入=2.設(shè)正方體外接球的半徑為R,則Wa=2R,，

/?=V3,.,.V年=^兀7?3=4百兀.

4.已知直線△平面a,直線加=平面.，有以下四個命題:①a〃4n/J_肛②a,夕=/〃見③/〃〃0近夕;④

/_Lw=>a〃及其中真命題是（）

A.①②B.③④

C.②④D.①③

聾D

解畫若a〃即_La,則/_L￡,又mu仇所以故①正確;若a_L￡,/_La,〃?u0,則/與膽可能異面,所以②

不正確;若/〃，則，〃_La,又，“u"，則a_LK所以③正確;若/見，wu夕，則a與“可能相交，故④

不正確,綜上可知，選D.

5.如圖，在四邊形ABC。中,/D4B=90°,乙4OC=135°出8=5右。=2夜4)=2,則四邊形ABC。繞AO

所在直線旋轉(zhuǎn)一周所成幾何體的表面積為()

A.(60+4\②兀

B.(6O+8或)兀

C.(56+8V2)?t

D.(56+4偽兀

ggA

解畫四邊形ABCD繞AD所在直線旋轉(zhuǎn)一周所成的幾何體，如圖.S&而=S/6T底由+S四6M由+S網(wǎng)鏘M而

=7tr/+7r(/'i+/-2)/2+Kri/i=7rx52+7rx(2+5)x5+7tx2x2V2=(60+4V2)7r.i^iiA.

/?r￡X

七:___aL二-，'B

6.《算數(shù)書》竹簡于20世紀(jì)80年代在湖北省張家山出土,這是我國現(xiàn)存最早的有系統(tǒng)的數(shù)學(xué)典籍,

其中記載有求“禾蓋”的術(shù):置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一.該術(shù)相當(dāng)于給出了由圓錐的

底面周長L與高九計算其體積V的近似公式嗎Z?小它實際上是將圓錐體積公式中的圓周率兀近似

取為3.那么，近似公式H關(guān)乙2〃相當(dāng)于將圓錐體積公式中的圓周率兀近似取為()

A15725

A?士R

呼

答案D

解析設(shè)圓錐的底面半徑為匕則圓錐的底面周長￡二2兀匕r=y-,二曠二家戶〃二等.令警=三L?h,得必咚,

----ZK3IZTT1ZTT2647

故選D.

7.若將一個真命題中的“平面”換成“直線”,“直線”換成“平面”后仍是真命題，則該命題稱為“可換命題”,

下列四個命題:①垂直于同一平面的兩直線平行;②垂直于同一平面的兩平面平行;③平行于同一直線

的兩直線平行;④平行于同一平面的兩直線平行.其中是“可換命題”的是()

A.①③B.③④

C.①②D.@@

前A

隨畫對于①，由''垂直于同一直線的兩個平面平行”知，①是“可換命題對于②，由“垂直于同一平面的

兩平面未必平行”知，②不是“可換命題”;對于③，由“平行于同一平面的兩個平面平行”知，③是“可換命

題”;對于④，由“平行于同一平面的兩直線未必平行''知,④不是“可換命題''.綜上所述，選A.

8.在等腰直角三角形ABC中,AB=BC=14為AC的中點，沿把它折成二面角，折后4與C的距離

為1,則二面角C-BM-A的大小為（）

A.30°B.60°

C.9O0D.120°

gl]c

|解析|如圖，由A'B=BC=1,NA'8C=9O°知A'C=&.為AC的中點,，且CMLBMAM

為二面角C-BM-A的平面角.：AC=1,MC=MA號,；./CMA=90°,故選C.

B

二、選擇題:本題共4小題,每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選

對的得5分,部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.下列四個說法中，正確的有（）

A.若直線a,b互相平行,則直線a,b確定一個平面

B.平行于同一條直線的兩條直線互相平行

C.若兩條直線沒有公共點，則這兩條直線是異面直線

D.兩條異面直線不可能垂直于同一個平面

ggABD

睚近]c項中，若兩直線無公共點，則這兩直線平行或異面.其他選項正確.

10./I,//3是空間中三條不同的直線，則下列說法不正確的是（）

A./4/2,/2J_/3=/l〃/3

C./l〃/2〃/3=/l12,，3共面

D.h,l2,h共點=>/|,/213共面

答案|ACD

畫對于A,通過常見的正方體中，從同一個頂點出發(fā)的三條棱兩兩垂直,A錯;對于B,V/I±Z2,

所成的角是90°,又/2〃/3,二/1,/3所成的角是90°,；./4/31對;對于C,例如三棱柱中的三側(cè)棱平行，

但不共面，故C錯;對于D,例如三棱錐的三側(cè)棱共點，但不共面，故D錯.故選ACD.

11.如圖，在棱長均相等的四棱錐P-ABCD中，。為底面正方形的中心,分別為側(cè)棱的中點，

下列結(jié)論正確的是（）

A.PO〃平面OMN

B.平面PCD〃平面OMN

C.直線PD與直線MN所成角的大小為90°

D.ON1.PB

ggjABD

臃畫連接BD,圖略，顯然。為8力的中點，又N為PB的中點，所以PD//ON,又POC平面0MN,由線面

平行的判定定理可得，尸?！ㄆ矫?MNA正確;由MN分別為側(cè)棱PA,PB的中點，所以MN〃A氏又底

面為正方形，所以AB〃CD,所以MN//CD,又CDC平面0MN,由線面平行的判定定理可得,CO〃平面

OMN,又由選項A得PD〃平面OMN,又P￡>nC￡）=。,由面面平行的判定定理可得，平面PCD〃平面

OMN,B正確;因為MN〃C。，所以NPOC為直線PD與直線MN所成的角，又因為所有棱長都相等，所

以NPDC=60°,故直線尸。與直線MN所成角的大小為60°,C錯誤;因為底面為正方形，所以

2

AB2+A￡>2=BQ2,又所有棱長都相等，所以PB2+P+BD,故PBLPD,又PD〃ON,所以O(shè)N_LP8,D正

確.故選ABD.

12.（2020山東?？迹┤鐖D,正方體A8C?A|BiGOi的棱長為1,E,F,G分別為BC,CCM的中點，則

（）

\/E

B

A.直線DiD與直線AF垂直

B.直線4G與平面AE尸平行

C.平面AE尸截正方體所得的截面面積為9

D.點C與點G到平面AEF的距離相等

ggBC

回畫；AZ）i〃EF,.,.平面AEF即平面AEF。,故A錯誤.；A|G〃。比4GC平面AEFD".AiG〃平面

AEFDi,即4G〃平面AEF,故B正確.平面AE尸截正方體所得截面為等腰梯形AEF5,其面積為

苧+四）x卜+（第2=沁c正確.假設(shè)點C與點G到平面AEF的距離相等,即平面AEF將CG

平分,則平面AEF必過CG的中點，連接CG交EF于"（圖略），易知，不是CG的中點，，假設(shè)不成立,

顯然D錯誤.故選BC.

三、填空題:本題共4小題,每小題5分，共20分.

13.圓柱的高是8cm,表面積是130Kcm）則它的底面圓的半徑等于cm,圓柱的體積是

cm3.

答案|5200兀

麻畫設(shè)圓柱的底面圓的半徑為rcm,則$周柱*=2加八8+2兀/=]30兀.解得r=5,即圓柱的底面圓半徑為5

cm.圓柱的體積V=52KX8=2007c（cm3）.

14.如圖，已知平面aCl平面夕=/,EA，a,垂足為垂足為B,直線則直線a與直線/

的位置關(guān)系是.

答案卜平行

解崩；E4_La,平面aCl平面￡=/,即/ua,，/_LE4.同理/_LE8.又E4nE8=E,

，/_L平面EAB.EB_L/?MU平面夕,EBLa.

又4_LA8,EBnAB=B,；.aJ_平面EAB,：.a//l.

15.如圖，在四面體P-ABC中,PA=PB=g，平面P48_L平面ABC,ZABC=90)＞工C=8,BC=6,則

PC=.

|答案|7

|解析

取AB的中點E,連接PE.

\"PA=PB,：.PE±AB.

又平面PABJL平面ABC,平面PABCI平面4BC=4B,PEu平面PAB,

；.PE_L平面A8C

連接CE,：.PELCE.

,：ZABC=9004C=8,BC=6,

/.AB=2\[7,PE=y/PA2-AE2=V6,

CEZBE2+BU=V43,PC=VPF2+CE2=7.

16.（2019全國HI高考）學(xué)生到工廠勞動實踐，利用3D打印技術(shù)制作模型.如圖，該模型為長方體ABQ>

48GA挖去四棱錐O-EFGH后所得的幾何體，其中。為長方體的中心,E,F,G,”分別為所在棱的中

點HB=BC=6cm,A4i=4cm.3D打印所用原料密度為0.9g/crr?.不考慮打印損耗，制作該模型所需原料

的質(zhì)量為g.

答案118.8

|解析|由題意得,四棱維O-EFGH的底面積為4x6-4xgx2x3=12(cm2),點。至“平面BBCC的距離為3

cm,則此四棱錐的體積為L=梟12x3=12(cm3).

又長方體ABCD-A\B\C\D\的體積為匕=4x6x6=144(cm3),則該模型的體積為丫=匕-打=144-

12=132(cm3).故其質(zhì)量為0.9x132=118.8(g).

四、解答題:本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.(10分)在三棱錐4BCC中,E,H分別是線段的中點,F,G分別是線段CB,C￡＞上的點，且凜=

(1)四邊形EFG”是梯形；

(2)AC,EF,GH三條直線相交于同一點.

畫⑴

,?E,H分別是邊AB,AD的中點，,EH//8￡),且EH=：BD,

CF_￡￡_1

~CB~~CD~V

：.FG//BD,SLFG=/D,

因此EH〃尸G且EH?G,

故四邊形EFG”是梯形.

(2)由⑴知EF,HG相交，

設(shè)EFCHG=K,

:KWEEEPu平面ABC,：.KW平面A8C,同理K6平面ACD,

又平面4BCCI平面ACD=AC,：.K^AC,

故EF和GH的交點在直線AC上.

所以AC,EF,GH三條直線相交于同一點.

18.(12分)如圖，矩形AMND所在平面與直角梯形M2CN所在的平面垂直,MB〃NC,MN_LMB

(1)求證:平面AWB〃平面DNC;

(2)若MC-LC8,求證:BCJL4C.

|證明|(1)：用8〃%(7,〃8<^平面DNC,

NCu平面DNC,：.MB〃平面DNC.

:四邊形AMND是矩形,.?.MA//DN.

又MAC平面DNC,DNu平面DNC,：.M4〃平面DNC.

又肱40初8=知,且平面AMB,

平面4MB〃平面DNC.

(2)V四邊形AMND是矩形,；.AM_LMN.

；平面AMND1,平面MBCN,且平面AMNOC平面平面MBCN.

；8Cu平面MBCN,：.AMLBC.

,：MCIBC,MCHAM=M,：.BC1.平面AMC,

；ACu平面AMCS.BCLAC.

19.(12分)(2020貴州貴陽模擬)《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中將底面為直

角三角形且側(cè)棱垂直于底面的棱柱稱為塹堵，將底面為矩形的棱臺稱為芻童.在如圖所示的塹堵

ABM-DCP與芻童ABCD-AiBiCQi的組合體中,NM4B=90°,AB=AD,AiBl=AiDt.

(1)求證:直線8￡>_L平面MAC;

出已知43=1，|。=2,版4=75,且三棱錐4出8。的體積心苧,求該組合體的體積.

(臺體體積公式:丫三(5，+原+5)人,其中S；S分別為臺體上、下底面面積也為臺體高)

(1月正明|由題意可知,ABM-DCP是底面為直角三角形且側(cè)棱與底面垂直的棱柱,AO_L平面M48,則

ADA.MA.

又MA_LAB,A￡>nAB=44r>,ABu平面ABC。,...MAI.平面ABCD,：.MA±BD,5CAB=AD,

：.四邊形ABCD為正方形，得BDLAC.

又M4nAC=A,MA,ACu平面MAC,則平面MAC.

(2)網(wǎng)設(shè)芻童ABCD-A\B\C\D\的高為〃，則三棱錐A-A山四的體積V=|X?2x2x/7=^，解得h=5

故該組合體的體積Vi=^x1xV3x1+^x(12+22+V12X22)xV3=牛2

236

20.(12分)如圖①所示的等邊AABC的邊長為2a,C。是AB邊上的高,E,尸分別是4C,BC邊的中點.現(xiàn)

將△A8C沿8折疊,使平面AOC,平面BDC,如圖②所示.

(1)試判斷折疊后直線AB與平面DEF的位置關(guān)系,并說明理由；

(2)求四面體A-OBC的外接球體積與四棱錐。-ABFE的體積之比.

網(wǎng)(1)AB〃平面OEF.理由如下：

尸分別為AC,BC的中點,；.AB〃￡■尸.

；ABC平面DEF,EFu平面DEF,，A8〃平面DEF.

(2)以D4QB,DC為棱補成一個長方體，

則四面體4-O8C的外接球即為長方體的外接球.

設(shè)球的半徑為R,則a2+a2+3a2=(2R)2,

R?=1/,于是球的體積%=扣?③=平71/.

又VA-DBC-^S^080^0=^-^,

Jo

VE-DFC=^S^DFC'^AD=^a3,

,%_6_20屬n

^D-ABFEVA-DBC-VE-DFC9

21.

(12分)如圖,三棱柱48cAlBQ的底面A8C是等腰直角三角形48=AC=1,側(cè)棱底面ABC,且

A4i=2,E是BC的中點.

(1)求異面直線AE與4c所成角的余弦值；

(2)求直線AC與平面BCG?所成角的正切值.

⑴在三棱柱ABC-A向C中，取GBi的中點H,連AiH與HC.

IE是BC的中點,Ai”〃AE,NC4i”是異面直線AE與4C所成角V底面ABC是等腰直角三

角形,E是BC的中點，

：.AE±BC,：.AiH±BC.

;側(cè)棱A4LL底面A8C,.,.側(cè)棱

文BBCBC=B,

.'.A|H_L平面BCC\B\,：.A\HA.HC.

42

在RQAiHC中,cos/C