人教版高中數(shù)學(xué)必修5-33《簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃（第3課時(shí)）》教學(xué)設(shè)計(jì)

3.3.2簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題（第3課時(shí)）

（名師：陳庚生）

【核心素養(yǎng)】

通過(guò)學(xué)習(xí)簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模與數(shù)據(jù)處理的能

力.

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

能夠從實(shí)際問(wèn)題中抽象出線性規(guī)劃模型，并加以解決.

【學(xué)習(xí)重點(diǎn)】

從實(shí)際問(wèn)題中抽象出相應(yīng)模型.

【學(xué)習(xí)難點(diǎn)】

實(shí)際問(wèn)題中抽象出相應(yīng)模型，并準(zhǔn)確寫(xiě)出線性目標(biāo)函數(shù)和完整的約束條件.

二、教學(xué)設(shè)計(jì)

（一）課前設(shè)計(jì)

1.預(yù)習(xí)任務(wù)

任務(wù)1閱讀教材思考：什么是目標(biāo)函數(shù)，線性規(guī)劃的最優(yōu)解在實(shí)際問(wèn)題中的特

殊性

2.預(yù)習(xí)自測(cè)

1.有5輛6噸的汽車，4輛4噸的汽車，要運(yùn)送最多的貨物，完成這項(xiàng)運(yùn)輸任務(wù)

的線性目標(biāo)函數(shù)為（）

A.z=6x+4yB.z=5x+4yC.z=x+yD.z=4x+5y

【知識(shí)點(diǎn)：簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃；】

解：A設(shè)需x輛6噸汽車，y輛4噸汽車，則運(yùn)輸貨物的噸數(shù)為z=6x+4y,即

目標(biāo)函數(shù)z=6x+4y.

2.某電視臺(tái)每周播放甲、乙兩部連續(xù)劇，播放連續(xù)劇甲一次需80分鐘，有60萬(wàn)

觀眾收看，播放連續(xù)劇乙一次需40分鐘，有20萬(wàn)觀眾收看.已知電視臺(tái)每周至

少播出電視劇6次，總時(shí)間不超過(guò)320分鐘，則電視臺(tái)最高收視率為每周觀眾有

（）

A.300萬(wàn)人B.200萬(wàn)人C.210萬(wàn)人D.220萬(wàn)人

【知識(shí)點(diǎn)：簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃；數(shù)學(xué)思想：建?！?/p>

解：B

3.某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品均需用A,B兩種原料.已知生產(chǎn)1噸每種產(chǎn)品需

原料及每天原料的可用限額如表所示，如果生產(chǎn)1噸甲、乙產(chǎn)品可獲利潤(rùn)分別為

3萬(wàn)元、4萬(wàn)元，則該企業(yè)每天可獲得最大利潤(rùn)為（）

A.12萬(wàn)元B.16萬(wàn)元C.17萬(wàn)元D.18萬(wàn)元

甲乙原料限額

A（噸）3212

B（噸）28

【知識(shí)點(diǎn)：簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃；數(shù)學(xué)思想：數(shù)形結(jié)合，建?！?/p>

解：D

（二）課堂設(shè)計(jì)

1.例題講解

例1、某工廠制造甲、乙兩種產(chǎn)品，已知制造甲產(chǎn)品1kg要用煤9噸，電力4kw,

勞力（按工作日計(jì)算）3個(gè)；制造乙產(chǎn)品1kg要用煤4噸，電力5kw,勞力10

個(gè).又知制成甲產(chǎn)品1kg可獲利7萬(wàn)元，制成乙產(chǎn)品1kg可獲利12萬(wàn)元.現(xiàn)在此工

廠只有煤360噸，電力200kw,勞力300個(gè)，在這種條件下應(yīng)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)

品各多少千克，才能獲得最大經(jīng)濟(jì)效益？

【知識(shí)點(diǎn)：簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃；數(shù)學(xué)思想：數(shù)形結(jié)合，建?！?/p>

思路導(dǎo)析：設(shè)未知量，建立E標(biāo)函數(shù)，根據(jù)平面區(qū)域求最值.

解：設(shè)此工廠應(yīng)生產(chǎn)甲、乙產(chǎn)品xkg,ykg,利潤(rùn)z萬(wàn)元，則依題意可得約束條件

9x+4y<360,

4x+5y<200,

<3x+\0y<300,利潤(rùn)目標(biāo)函數(shù)為z=7x+\2y

x>0,

y>0,

作出不等式組所表示的平面區(qū)域，即可行域（如圖），

作直線/:7x+12），=0,把直線向右上方平移至《位置時(shí)，直線經(jīng)過(guò)可行域上的點(diǎn)

M時(shí),此時(shí)z=7x+12y取得最大值.

解方程組+5y=20°’得點(diǎn)加的坐標(biāo)為（20,24）.

3x+10>,=300,

所以應(yīng)生產(chǎn)甲20千克、乙產(chǎn)品24千克，才能獲得最大經(jīng)濟(jì)效益.

變式練習(xí)1、某糕點(diǎn)廠生產(chǎn)高檔蛋糕和普通面包，生產(chǎn)高檔蛋糕1千克分別需要

面粉100克、糖200克、雞蛋300克，生產(chǎn)普通面包分別需要面粉300克、糖

200克、雞蛋100克.現(xiàn)已在庫(kù)存量面粉為15千克，糖12千克，雞蛋15千克，

若在此基礎(chǔ)上進(jìn)行生產(chǎn)，請(qǐng)列出滿足生產(chǎn)條件的數(shù)學(xué)關(guān)系式，并畫(huà)出相應(yīng)的平面

區(qū)域.

【知識(shí)點(diǎn)：簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃；數(shù)學(xué)思想：數(shù)形結(jié)合，建?！?/p>

解析：設(shè)設(shè)高檔蛋糕和普通面包應(yīng)各生產(chǎn)x千克和y千克，則（x,y）所滿足的數(shù)

100x+300y<15000,x+3y<150,

200x+200y<12000,x+y<60,

學(xué)關(guān)系式為300x+100y<15000,即<3x+y《150,分別畫(huà)出不等式組中各不等式

x>0,x>0,

J>0,y>o,

所表示的區(qū)域，然后取交集.

如圖所示的平面區(qū)域（陰影部分）就是不等組所表示的區(qū)域.

例2、某人有樓房一幢，室內(nèi)面積共計(jì)180m2,擬分割成兩類房間作為旅游客房.

大房間每間面積為18,7?,可住游客5名，每名游客每天住宿費(fèi)40元；小房間

每間面積為13m2,可住游客3名，每名游客每天住宿費(fèi)50元；裝修大房間每

間需要1000元，裝修小房間每間需要600元.如果他只能籌款8000元用于裝修,

且游客能住滿客房，他應(yīng)隔出大房間和小房間各多少間才能獲得最大收益？

【知識(shí)點(diǎn)：簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃；數(shù)學(xué)思想：數(shù)形結(jié)合，建?！?/p>

思路導(dǎo)析：按線性規(guī)劃問(wèn)題的步驟.

解：設(shè)隔出大房間x間，小房間y間，收益為z元，則演y滿足

18x+5y<180,

1000^+600y<8000,口

且z=200x+150y

x>0,

y>0,

作出可行域如圖

平行移動(dòng)，當(dāng)?shù)竭_(dá)B點(diǎn)時(shí)(記為z=200%+150)，的縱截距最大，解

［找5就黑。。得釁笑但碧人所以修墨不是最優(yōu)解，

于是將從4向左下方平移，平移過(guò)程中，最早經(jīng)過(guò)可行域的整點(diǎn)可能為(0,12),

(1,10),(2,9),(3,8),(4,6),(5,5),(6,3),(7,1),(8,0),它們對(duì)應(yīng)的值一次為

36,34,35,36,34,35,33,31,32分別與50的乘積.

所以當(dāng)經(jīng)過(guò)(0/2)和(3,8),時(shí)，z取得最大值，所以應(yīng)隔出小房間12間，或大房

間3間，小房間8間，可以獲得最大利潤(rùn).

規(guī)律總結(jié)：最優(yōu)解不一定都在邊界上，如果要求的最優(yōu)解是可行域中的整數(shù)解,

且直觀上不易確定最優(yōu)解，那么在求得非整數(shù)解后，可以在其附近按可行域中的

最優(yōu)解應(yīng)滿足的必要條件對(duì)/的取值一一列舉.由邊界直線方程分別求得對(duì)應(yīng)y

的最大(或最新)整數(shù)值，再代入目標(biāo)函數(shù)分別計(jì)算并比較大小，如能適當(dāng)推理

估計(jì)，則過(guò)程更簡(jiǎn).

變式練習(xí)2、經(jīng)調(diào)查，某高校A,8兩個(gè)專業(yè)擬招收新生.已知A專業(yè)招收100名新

生需配備教師：教授1人，副教授4人；8專業(yè)招收100名新生需配備教師：教

授1人，副教授2人.4專業(yè)新生每年的學(xué)費(fèi)為6000元；B專業(yè)新生每年的學(xué)費(fèi)

為5000元.這所高校為A8兩個(gè)專業(yè)配備的教師確定為：教授不超過(guò)5人，副教

授不超過(guò)16人.問(wèn)A8兩個(gè)專業(yè)每年從這兩個(gè)專業(yè)的新生中招收多少名新生收繳

的學(xué)費(fèi)最多？

【知識(shí)點(diǎn)：簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃；數(shù)學(xué)思想：數(shù)形結(jié)合，建?！?/p>

解：設(shè)A專業(yè)招收新生100x人,B專業(yè)招收新生100y人，每年收繳的學(xué)費(fèi)為z元,

x+y<5,

則.4x+2yW16,z=600000K+500000）,，作出可行域如圖，

做直線/:600000x+500000.y=0,即/:6x+5y=0,把直線向右上方平移至人的

位置時(shí)，直線經(jīng)過(guò)可行域上的點(diǎn)尸，這時(shí)z=600000x+500000y取得最大值，解

方程組得尸點(diǎn)的坐標(biāo)為（3,2）把x=3,y=2代入

4x+2y=16,

z=600000x+500000），得z=2800000元.

例3、己知3?x?6,^x<y<2x9^x+y的最大值和最小值.

【知識(shí)點(diǎn)：簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃；數(shù)學(xué)思想：數(shù)形結(jié)合，建?！?/p>

思路導(dǎo)析：要求x+y的最值，可令x+y=b,則b為斜率為-1的平行直線系在y

軸上的截距，將已知條件轉(zhuǎn)化為不等式組，作出平面區(qū)域(可行域).

解：設(shè)x+y=8,題設(shè)條件可轉(zhuǎn)化為

作出它們?cè)谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系內(nèi)圍成的區(qū)域如圖所示，則。為斛率為-1的平行直線

系在y軸上的截距.當(dāng)直線x+y=b往右平移時(shí)，力隨之增大，經(jīng)過(guò)不等式組所表

示的平面區(qū)域的點(diǎn)(3,1),時(shí)，6取最小值，即以出=3+1=4；當(dāng)直線x+y=b經(jīng)過(guò)

點(diǎn)(6,12),時(shí)，方取最大值，即人=6+12=18.

所以x+y的最大值和最小值分別是18和4.

規(guī)律總結(jié)：這類問(wèn)題的解題思路是在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，根據(jù)條件確定平面區(qū)域，

并將最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線在坐標(biāo)軸上的截距問(wèn)題來(lái)解決.

x-y<2,

變式練習(xí)3、已知實(shí)數(shù)再y滿足卜+yN2,則z=2x-y的取值范圍是.

0<y<3,

解析：依題意作出可行域如圖，

直接求出各直線交點(diǎn)A(2,0),8(-1,3),05,3)再求

Z1=4,z2=-5,Z3=7,?.zG[-5,7].

例4.要將兩種大小不同的鋼板截成A、B、。三種規(guī)格，每枚鋼板可同時(shí)截得三

種規(guī)格的小鋼板的塊數(shù)如下表所示：

規(guī)格類型

鋼板彘A規(guī)格B規(guī)格。規(guī)格

第一種鋼板211

第二種鋼板123

今需要A、B、C三種規(guī)格的成品分別為15、18、27塊，問(wèn)各截這兩種鋼板多少

張可得所需的三種規(guī)格成品，且使所用鋼板張數(shù)最少？

【知識(shí)點(diǎn)：簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃；數(shù)學(xué)思想：數(shù)形結(jié)合，建模】

解：設(shè)變量，列出線性約束條件，畫(huà)出可行域，可用不同的方法求整點(diǎn)最優(yōu)解.

設(shè)需截第一種鋼板x張，第二種鋼板y張.

2,r+y>15,

可得"竺苧且…都是整數(shù).

x>0,y>0.

求目標(biāo)函數(shù)z=x+y取最小值時(shí)的x、y.

作可行域如圖所示，平移直線z=x+y可知直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（孩，y）,此時(shí)x

+尸弓，但?與弓都不是整數(shù)，所以可行域內(nèi)的點(diǎn)（藍(lán)，日）不是最優(yōu)解，如

何求整點(diǎn)最優(yōu)解呢？

方法一：平移求解法

首先在可行域內(nèi)打網(wǎng)格，其次描出A（y,葭）附近的所有整點(diǎn)，接著平移

直線/：x+y=0,會(huì)發(fā)現(xiàn)當(dāng)移至5（3,9）、C（4,8）時(shí)，即z的最小值為12.

方法二：特值驗(yàn)證法

由方法一知，目標(biāo)函數(shù)取得最小值的整點(diǎn)應(yīng)分布在可行域的左下側(cè)靠近邊界

的整點(diǎn),依次滿足條件的整點(diǎn)4(0,15),4(1,13),41(2,11),4(3,9),4(4,8),

4(5,8),4(6,7),4(7,7),4(8,7),4(9,6),Aio(lO,6),...?A27(27,0).

將這些點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入z=x+y,求出各個(gè)對(duì)應(yīng)值，經(jīng)驗(yàn)證可知，在整點(diǎn)

4(3,9)和A?4,8)處z取得最小值，

其解法的思路是找整點(diǎn)、驗(yàn)證算、選優(yōu)解.

方法三：調(diào)整優(yōu)值法

由非整點(diǎn)最優(yōu)解(晟，y),z=y,Az>12.

令x+y=12,y=12-x代入約束條件整理得3十.3=3和x=4,這時(shí)

最優(yōu)整點(diǎn)為(3⑼和(4,8).調(diào)整優(yōu)值法的解法思路是先求非整點(diǎn)最優(yōu)解，再借助不

定方程的知識(shí)調(diào)整最優(yōu)解，最后篩選出整點(diǎn)最優(yōu)解.

故本例有兩種截法.

第一種截法是截第一種鋼板3張、第二種鋼板9張；

第二種截法是截第一種鋼板4張、第二種鋼板8張.

兩種方法最少要載兩種鋼板共12張.

3.課堂總結(jié)

【知識(shí)梳理】

解線性規(guī)劃應(yīng)用題的步驟：①審題(需要時(shí)可列表分析)；②設(shè)相關(guān)變?cè)?，?/p>

出目標(biāo)函數(shù)和線性約束條件(不等式組)；③作圖，確定可行域；④找最優(yōu)解，求

出目標(biāo)函數(shù)的最值；⑤回答實(shí)際問(wèn)題.

4.隨堂檢測(cè)

1.配置A、B兩種藥劑都需要甲、乙兩種原料，用料要求如下表所示(單位：kg)

原料

甲乙

藥

A25

B54

藥劑A、B至少各配一劑，且藥劑A、B每劑售價(jià)分別為100元、200元,

現(xiàn)有原料甲20kg,原料乙33kg,那么可以獲得的最大銷售額為()

A.600元B.700元C.800元D.900元

【知識(shí)點(diǎn)：簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃;數(shù)學(xué)思想：數(shù)形結(jié)合，建?！?/p>

解：D

2.某運(yùn)輸公司有12名駕駛員和19名工人，有8輛載重量為10噸的甲型卡車和7

輛載重量為6噸的乙型卡車.某天需運(yùn)往4地至少72噸的貨物，派用的每輛車

需滿載且只運(yùn)送一次.派用的每輛甲型卡車需配2名工人，運(yùn)送一次可得利潤(rùn)

450元；派用的每輛乙型卡車需配1名工人，運(yùn)送一次可得利潤(rùn)350元，該公司

合理計(jì)劃當(dāng)天派用兩類卡車的車輛數(shù)，可得最大利潤(rùn)為（）

A.4650%B.4700元C.4900元D.5000元

【知識(shí)點(diǎn)：簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃;數(shù)學(xué)思想：數(shù)形結(jié)合，建?！?/p>

解：C

3.某公司生產(chǎn)甲、乙兩種桶裝產(chǎn)品.已知生產(chǎn)甲產(chǎn)品1桶需耗A原料1千克，B

原料2千克；生產(chǎn)乙產(chǎn)品1椎需耗A原料2千克、8原料1千克.每桶甲產(chǎn)品的

利潤(rùn)是300元，每桶乙產(chǎn)品的利潤(rùn)是400元.公司在生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的計(jì)劃中，

要求每天消耗48原料都不超過(guò)12千克.通過(guò)合理安排生產(chǎn)計(jì)劃，從每天生

產(chǎn)的甲、乙兩種產(chǎn)品中，公司共可獲得的最大利潤(rùn)是（）

A.1800元B.2400元C.2800元D.3100元

【知識(shí)點(diǎn)：簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃;數(shù)學(xué)思想：數(shù)形結(jié)合，建?！?/p>

解：C設(shè)某公司生產(chǎn)甲產(chǎn)品工桶，生產(chǎn)乙產(chǎn)品）桶，獲利為z元，則x,），滿足

x+2y<12,

2AH~yW12,口g一皿,

的線性約束條件為'目標(biāo)圖數(shù)z=300x+400j.

x20且xeZ,

y>0且y€Z.

作出可行域,

如圖中四邊形OABC的邊界及其內(nèi)部整點(diǎn).作直線/o：3x+4y=0,平移直線/o

經(jīng)可行域內(nèi)點(diǎn)B時(shí)，z取最大值，

I2x+y=129滿足題意,所以zmax=4x300+4x400=2800.

x+2y=12.

4.某公司租賃甲、乙兩種設(shè)備生產(chǎn)A,B兩類產(chǎn)品，甲種設(shè)備每天能生產(chǎn)A類產(chǎn)

品5件和B類產(chǎn)品10件，乙種設(shè)備每天能生產(chǎn)A類產(chǎn)品6件和8類產(chǎn)品20件.已

知設(shè)備甲每天的租賃費(fèi)為200元，設(shè)備乙每天的租賃費(fèi)為300元，現(xiàn)該公司至少

要生產(chǎn)A類產(chǎn)品50件，8類產(chǎn)品140件，所需租賃費(fèi)最少為元.

【知識(shí)點(diǎn)：簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃;數(shù)學(xué)思想：數(shù)形結(jié)合，建?！?/p>

解：2300

5.某驗(yàn)室至少需要某種化學(xué)藥品10kg,現(xiàn)在市場(chǎng)上出售的該藥品有兩種包裝，

一種是每袋3kg,價(jià)格為12元；另一種是每袋2kg,價(jià)格為10元.由于保質(zhì)期

的限制，每一種包裝購(gòu)買的數(shù)量都不能超過(guò)5袋，則在滿足需要的條件下，花費(fèi)

最少為元.

【知識(shí)點(diǎn)：簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃;數(shù)學(xué)思想：數(shù)形結(jié)合，建?！?/p>

解：44

（三）課后作業(yè)

基礎(chǔ)型自主突破

1.車間有男工25人，女工20人，要組織甲、乙兩種工作小組，甲組有5名男工,

3名女工，乙組有4名男工，5名女工，并且要求甲組種數(shù)不少于乙組，乙種組

數(shù)不少于1組，則最多各能組成工作小組為（）

A.甲4組、乙2組B.甲2組、乙4組

C.甲、乙各3組D.甲3組、乙2組

【知識(shí)點(diǎn)：簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃;數(shù)學(xué)思想：數(shù)形結(jié)合，建?！?/p>

解：D

5x+4y<25,

設(shè)甲、乙兩種工作分別有x、y組，依題意有3k5>20,作出可行域可知（3Z

x>y,

”1.

符合題意，即甲3組，乙2組.

2.某學(xué)校用800元購(gòu)買A、B兩種教學(xué)用品，A種用品每件100元，3種用品每

件160元，兩種用品至少各買一件，要使剩下的錢最少，A、B兩種用品應(yīng)各買

的件數(shù)為()

A.2件，4件B.3件，3件C.4件，2件D.不確定

【知識(shí)點(diǎn)：簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃;數(shù)學(xué)思想：數(shù)形結(jié)合，建?！?/p>

l(X)x~H6())，W800,

x>1

解：B設(shè)買A種用品x件，B種用品y件，剩下的錢為z元，則"；

”1，

x,yeN\

求z=800-100x-160y取得最小值時(shí)的整數(shù)解(x,y),用圖解法求得整數(shù)解為

(3,3).

3.在“家電下鄉(xiāng)”活動(dòng)中，某廠要將100臺(tái)洗衣機(jī)運(yùn)往鄰近的鄉(xiāng)鎮(zhèn).現(xiàn)有4輛甲型

貨車和8輛乙型貨車可供使用.每輛甲型貨車運(yùn)輸費(fèi)用400元，可裝洗衣機(jī)20

臺(tái)：每輛乙型貨車運(yùn)輸費(fèi)用300元，可裝洗衣機(jī)10臺(tái).若每輛車至多只運(yùn)一次,

則該廠所花的最少運(yùn)輸費(fèi)用為()

A.20007EB.2200元C.2400元D.28007C

【知識(shí)點(diǎn)：簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃;數(shù)學(xué)思想：數(shù)形結(jié)合，建?！?/p>

解：B

設(shè)需使用甲型貨車x輛，乙型貨車y輛，運(yùn)輸費(fèi)用z元，根據(jù)題意，得線性約束

20x4-10.v>100,

條件?0W4,目標(biāo)函數(shù)z=400x+300y,畫(huà)圖可知，當(dāng)平移直線400x+

0<y<8.

300y=0至經(jīng)過(guò)點(diǎn)(4,2)時(shí)，z取最小值2200.

?

7

6

5

4

3

4.某企業(yè)擬用集裝箱托運(yùn)甲、乙兩種產(chǎn)品，甲種產(chǎn)品每件體積為5m3,重量為2

噸，運(yùn)出后，可獲利潤(rùn)10萬(wàn)元；乙種產(chǎn)品每件體積為4m3,重量為5噸，運(yùn)出

后，可獲利潤(rùn)20萬(wàn)元，集裝箱的容積為24m3,最多載重13噸，裝箱可獲得最

大利潤(rùn)是.

【知識(shí)點(diǎn)：簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃;數(shù)學(xué)思想：數(shù)形結(jié)合，建?！?/p>

解：60萬(wàn)元設(shè)甲種產(chǎn)品裝x件，乙種產(chǎn)品裝y件（%,y￡N）,總利潤(rùn)為z萬(wàn)元，

'5x+4y<24,

則」2x+5?13,且z=10x+20y.

x>0,y>0.

作出可行域，如圖中的陰影部分所示.

作直線如10x+20），=0,即x+2y=0.當(dāng)/o向右上方平移時(shí)z的值變大，平移到

經(jīng)過(guò)直線5x+4y=24與2x+5y=13的交點(diǎn)（4,1）時(shí),zmax=10x4+20x1=60（萬(wàn)元）,

即甲種產(chǎn)品裝4件、乙種產(chǎn)品裝1件時(shí)總利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為60萬(wàn)元.

5.鐵礦石A和8的含鐵率m冶煉每萬(wàn)噸鐵礦石的C02的排放量b及每萬(wàn)噸鐵礦

石的價(jià)格c如下表：

某冶煉廠至少要生產(chǎn)1.9（萬(wàn)噸）鐵，若要求C02的排放量不超過(guò)2（萬(wàn)噸），則

購(gòu)買鐵礦石的最少費(fèi)用為（百萬(wàn)元）.

【知識(shí)點(diǎn)：簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃;數(shù)學(xué)思想：數(shù)形結(jié)合，建?！?/p>

解：15

y

P(l,2)

\Q.5x+0.7y=1.9

x+0.5y=2

設(shè)購(gòu)買鐵礦石A、8分別為x,y萬(wàn)噸，購(gòu)買鐵礦石的費(fèi)用為z(百萬(wàn)元)，

0.5x+0.7y>1.9,

則<x+0.5j<2,目標(biāo)函數(shù)z=3x+6y.

x>0,y>0.

,僅5Ho.7=1.9汨fx=1

由《,得，

[x+0.5y=2[y=2

記尸(1,2),畫(huà)出可行域，如圖所示，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)z=3x+6y過(guò)點(diǎn)P(l,2)時(shí)，z

取最小值，且最小值為zmin=3xl+6x2=15.

能力型師生共研

6.某運(yùn)輸公司接受了向抗洪搶險(xiǎn)地區(qū)每天至少運(yùn)送180t支援物資的任務(wù)，該公

司有8輛載重為6t的A型卡車和4輛載重為10t的B型卡車，有10名駕駛員，

每輛卡車每天往返的次數(shù)為4型卡車4次，8型卡車3次，每輛卡車每天往返的

成本費(fèi)用為A型卡車320元,8型卡車504元，請(qǐng)問(wèn)該公司調(diào)配A型卡車

輛，8型卡車輛時(shí)，公司所花的成本費(fèi)用最低.

【知識(shí)點(diǎn)：簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃;數(shù)學(xué)思想：數(shù)形結(jié)合，建?！?/p>

解：5,2設(shè)每天調(diào)出A型卡車九輛，8型卡車y輛，公司所花的成本為z元，依

x<8,

0<x<8,

y<4,

0<y<4,

題意有升”10,

4j-+5y>30.

x>0,y>0

目標(biāo)函數(shù)z=320x+504y（其中x,y￡N）.

上述不等式組所確定的平面區(qū)域如圖所示.由圖易知，直線z=320x+504y

在可行域內(nèi)經(jīng)過(guò)的整數(shù)中，點(diǎn)（5,2）使z=320x+504），取得最小值，z最小值=320x5

+504x2=2608（元）.

即調(diào)A型卡車5輛，8型卡車2輛時(shí)，公司所花的成本費(fèi)用最低.

7.某企業(yè)生產(chǎn)A、8兩種產(chǎn)品，每生產(chǎn)一噸產(chǎn)品所需要的勞動(dòng)力和煤、電如下表:

產(chǎn)品品種勞動(dòng)力（個(gè)）煤（噸）電（度）

A產(chǎn)品394

B產(chǎn)品1045

已知生產(chǎn)每噸A產(chǎn)品的利潤(rùn)是7萬(wàn)元，生產(chǎn)每噸8產(chǎn)品的利潤(rùn)是12萬(wàn)元，

現(xiàn)因條件限制，該企業(yè)僅有勞動(dòng)力300個(gè)，煤360噸，并且供電局只能供電200

度，試問(wèn)該企業(yè)生產(chǎn)4產(chǎn)品噸、B產(chǎn)品噸時(shí)，才能獲得最大利潤(rùn)，

最大利潤(rùn)為.

【知識(shí)點(diǎn)：簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃;數(shù)學(xué)思想：數(shù)形結(jié)合，建?！?/p>

解:20,24,428設(shè)生產(chǎn)4、B兩種產(chǎn)品各為x,y噸,利潤(rùn)為z萬(wàn)元.

3x+10y<300,

9x+4y<360,

由題意得z=7x+12y.

4葉5"200,

x>0,y>0.

作出不等式組表示的平面區(qū)域(如圖).

將目標(biāo)函數(shù)z=7"⑵轉(zhuǎn)化為直線，：尸一言+本這是一條斜率為一!在

y軸上的截距為看的直線，當(dāng)z變化時(shí)，可以得到一族平行直線.直線與陰影部

分的交點(diǎn)滿足不等式組，且三截距三最大時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取得最大值.由圖可知,

12

當(dāng)直線/經(jīng)過(guò)M點(diǎn)時(shí)，在y軸上的截距最大，此時(shí)z取最大值.由13升10尸300,

〕4升5y=200.

得，'即A(20,24).

y=24.

故zmax=20x7+12x24=428(萬(wàn)元).

8.某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，每種產(chǎn)品都有一部分是一等品，其余是二等品，

已知甲產(chǎn)品為一等品的概率比乙產(chǎn)品為一等品的概率多0.25,甲產(chǎn)品為二等品的

概率比乙產(chǎn)品為一等品的概率少0.05.

(1)分別求甲、乙產(chǎn)品為一等品的概率P甲，。乙；

(2)已知生產(chǎn)一件產(chǎn)品需要用的工人數(shù)和資金數(shù)如表所示，且該廠有工人32名，

可用資金55萬(wàn)元.設(shè)x,y分別表示生產(chǎn)甲、乙產(chǎn)品的數(shù)量，在(1)的條件下，求

A,y為何值時(shí)，z="＞甲十"乙最大，最大值是多少？

工人(名)資金(萬(wàn)元)

甲420

乙85

【知識(shí)點(diǎn)：簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃;數(shù)學(xué)思想：數(shù)形結(jié)合，建?！?/p>

解3意得｛3鼠，解得｛蹊

故甲產(chǎn)品為一等品的概率尸甲=0.65,乙產(chǎn)品為一等品的概率尸乙=0.4.

4葉8”32.

(2)依題意得x、y應(yīng)滿足的約束條件為?20升5”55,且z=0.65x+0.4y.

x>0,j>0.

作出不等式組所表示的平面區(qū)域，如圖陰影部分，

即可行域.作直線/o：0.65x+0.4y=0即13x+8y=0,把直線I向上方平移到/i

的位置時(shí)，直線經(jīng)過(guò)可行域內(nèi)的點(diǎn)M,此時(shí)z取得最大值.

解方程組［—：尸&得尸？，y=3.

4x+y=l1.

故M的坐標(biāo)為(2,3),所以z的最大值為Zmax=0.65x2+0.4x3=25所以，當(dāng)x=2f

y=3時(shí)，z取最大值為2.

9.某工廠用兩種不同的原料均可生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，若采用甲種原料，每噸成本1

000元，運(yùn)費(fèi)500元，可得產(chǎn)品90kg,若采用乙種原料，每噸成本1500元，運(yùn)

費(fèi)400元，可得產(chǎn)品100kg.如果每月原料的總成本不超過(guò)6000元，運(yùn)費(fèi)不超過(guò)

2000元，那么工廠每月最多可生產(chǎn)多少產(chǎn)品？

【知識(shí)點(diǎn)：簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃;數(shù)學(xué)思想：數(shù)形結(jié)合，建?！?/p>

解：將己知數(shù)據(jù)列成下表：

每噸甲原料每噸乙原料費(fèi)用限制

成本(元)100015006000

運(yùn)費(fèi)(元)5004002000

產(chǎn)品(kg)90100

設(shè)此工廠每月甲乙兩種原料各用工⑴、了⑴，生產(chǎn)z（kg）產(chǎn)品，

x>0,x>0,

則〃M即y>0,

且z=90犬+100y.

1OOOx+1500y<6000,2x-h3y<12,

500x+400.y<2000.5x+4y<20.

作出以上不等式組表示的平面區(qū)域，即可行域.

作直線/：90x+100），=0,即9x+10），=0.

把/向右上方移動(dòng)到位置/1時(shí)，直線經(jīng)過(guò)可行域上的點(diǎn)M,且與原點(diǎn)距離最大，

此時(shí)z=90x+100y取得最大值.

1220

Azmax=90x—+100X—=440.

77

因此工廠最多每天生產(chǎn)440kg產(chǎn)品.

探究型多維突破

10.某營(yíng)養(yǎng)師要為某個(gè)兒童預(yù)訂午餐和晚餐.已知一個(gè)單位的午餐含12個(gè)單位的

碳水化合物6個(gè)單位的蛋白質(zhì)和6個(gè)單位的維生素C；一個(gè)單位的晚餐含8個(gè)單

位的碳水化合物，6個(gè)單位的蛋白質(zhì)和10個(gè)單位的維生素C.另外，該兒童這兩

餐需要的營(yíng)養(yǎng)中至少含64個(gè)單位的碳水化合物，42個(gè)單位的蛋白質(zhì)和54個(gè)單

位的維生素C.如果一個(gè)單位的午餐、晚餐的費(fèi)用分別是2.5元和4元，那么要滿

足上述的營(yíng)養(yǎng)要求，并且花費(fèi)最少，應(yīng)當(dāng)為該兒童分別預(yù)訂多少個(gè)單位的午餐和

晚餐？

【知識(shí)點(diǎn)：簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃；數(shù)學(xué)思想：數(shù)形結(jié)合，建?！?/p>

解：方法一：設(shè)需要預(yù)訂滿足要求的午餐和晚餐分別為x個(gè)單位和y個(gè)單位，所

花的費(fèi)用為z元，則依題意得：z=2.5x+4y,且居y滿足

x>0,

x>0,y>0,

y>o,

12,v+8y>64,

,，，―即3x+2y>16,

6x+6y>42,

x+.y>7,

6x+10y>54

3x+5y>27.

4

3

2

12345

2.5x+4v=0

z在可行域的四個(gè)頂點(diǎn)A(9,0),3(4,3),C(2,5),0(0,8)處的值分別是

.2.5x9+4x0=22.5,

ZB=2.5X4十4x3=22,

ZC=2.5X2+4X5=25,

ZD=2.5X0+4X8=32.

比較之，ZB最小，因此，應(yīng)當(dāng)為該兒童預(yù)訂4個(gè)單位的午餐和3個(gè)單位的晚餐，

就可滿足要求.

方法二：設(shè)需要預(yù)訂滿足要求的午餐和晚餐分別為x個(gè)單位和y個(gè)單位，所

花的費(fèi)用為z元，則依題意得：z=2.5x+4y,且x,y滿足

x>0,

x>0,y>0,

y>0,

12升8”64,

一，，…即3x+2y>\6,

6x+6y>42,

x+y>7,

6x+10y>54

3x+5y之27.

讓目標(biāo)函數(shù)表示的直線2.5x+4y=z在可行域上平移，由此可知z=2.5x+4y在

8(4,3)處取得最小值.

因此，應(yīng)當(dāng)為該兒童預(yù)訂4個(gè)單位的午餐和3個(gè)單位的晚餐，就可滿足要求.

自助餐

1.某蔬菜收購(gòu)點(diǎn)租用車輛，將100噸新鮮黃瓜運(yùn)往某市銷售，可供租用的大卡車

和農(nóng)用車分別為10輛和20輛，若每輛卡車載重8噸，運(yùn)費(fèi)960元，每輛農(nóng)用車

載重2.5噸，運(yùn)費(fèi)360元，運(yùn)完全部黃瓜的最低運(yùn)費(fèi)為()

A.12120元B.12480元C.11880D.12260元

【知識(shí)點(diǎn)：簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃；數(shù)學(xué)思想：數(shù)形結(jié)合，建?！?/p>

0<x<10

20

線性約束條件是：辰+2.5y)10°

作出可行域.

^f8x+2.5y-100

由,得ZB風(fēng)10,8)

lx=10

作直線960x+360y=0.

即8x+3y=0,向上平移至過(guò)點(diǎn)B(10,8)時(shí)，z=960x+36()y取到最小俏.

z齡小=960X104-360X8=12480.

2.某人承攬一項(xiàng)業(yè)務(wù)，需做文字標(biāo)牌2個(gè)，繪畫(huà)標(biāo)牌3個(gè)，現(xiàn)有兩種規(guī)格的原料,

甲種規(guī)格每張3m2,可做文字標(biāo)牌1個(gè)，繪畫(huà)標(biāo)牌2個(gè)，乙種規(guī)格每張2m2,可

做文字標(biāo)牌2個(gè)，繪畫(huà)標(biāo)牌1個(gè)，求兩種規(guī)格的原料各用()張，才能使總

的用料面積最小.

A.甲0張，乙1張B.甲1張，乙1張

C.甲0張，乙2張D.甲1臺(tái)，乙2臺(tái)

【知識(shí)點(diǎn)：簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃；數(shù)學(xué)思想：數(shù)形結(jié)合，建模】

解：B設(shè)用甲種規(guī)格原料x(chóng)張，乙種規(guī)格原料y張，所用原料的總面積是zn?,

目標(biāo)函數(shù)z=3x+2y,

2x+y=3

x+2y>2

<2x+y)3

線性約束條件，b>。，y>。作出可行域.

作一組平等直線3x+2y=t.

2X=

解(+72得A?，)

lx+2y=238

A不是整點(diǎn)，A不是最優(yōu)解.

在可行域內(nèi)的整點(diǎn)中，點(diǎn)B(L1)使z取得最小值.

z最小=3XI+2X1=5.

3.某公司生產(chǎn)甲、乙兩種桶裝產(chǎn)品.已知生產(chǎn)甲產(chǎn)品1桶需耗A原料1千克、8原

料2千克；生產(chǎn)乙產(chǎn)品1桶需耗A原料2千克，8原料1千克.每桶甲產(chǎn)品的利

潤(rùn)是300元，每桶乙產(chǎn)品的利潤(rùn)是400元.公司在生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的計(jì)劃中，要

求每天消耗A、5原料都不超過(guò)12千克.通過(guò)合理安排生產(chǎn)干劃，從每天生產(chǎn)的

甲、乙兩種產(chǎn)品中，公司共可獲得的最大利潤(rùn)是()

A.1800元B.2400元

C.2800元D.3100元

【知識(shí)點(diǎn)：簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃；數(shù)學(xué)思想：數(shù)形結(jié)合，建模】

解：C設(shè)公司每天生產(chǎn)甲種產(chǎn)品X桶，乙種產(chǎn)品Y桶，公司共可獲得利潤(rùn)為Z

元/天，則由已知，得Z=300X+4()0Y

X+2K<12

2X+y<1?

且L八一,畫(huà)可行域如圖所示，

X>0

r>o

目標(biāo)函數(shù)Z=300X+400Y可變形為Y=--x+—,

4400

這是隨Z變化的一族平行直線

2x+y=12x=4

解方程組即A(4,4)

x+2y=12y=4

/.Znnx=1200+1600=2800.

4.某家俱公司生產(chǎn)甲、乙兩種型號(hào)的組合柜，每種柜的制造白坯時(shí)間、油漆時(shí)間

及有關(guān)數(shù)據(jù)如下:

間\生產(chǎn)能力

甲乙

工藝麻臺(tái)時(shí)/天

制白坯時(shí)間61212D

油潦時(shí)間8464

單位利潤(rùn)200240

問(wèn)該公司如何安排這兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)，才能獲得最大的利潤(rùn).

A.甲3臺(tái)，乙9臺(tái)B.甲4臺(tái)，乙7臺(tái)

C.甲4臺(tái)，乙8臺(tái)D.甲3臺(tái)，乙7臺(tái)

【知識(shí)點(diǎn)：簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃；數(shù)學(xué)思想：數(shù)形結(jié)合，建?！?/p>

解：C設(shè)x,y分別為甲、乙兩種柜的日產(chǎn)量，

目標(biāo)函數(shù)z=200x+240y,線性約束條件:

6x+12y<120(x+2yC20

8x+4y<642x+y<16

、八即，

x>0x>0

作出可行域.

x+2y=20

解得0(4,8).

2x+y=16

z放大二200X4+240X8=2720.

5.某農(nóng)戶計(jì)劃種植黃瓜和韭菜，種植面積不超過(guò)50計(jì)，投入資金不超過(guò)54萬(wàn)元,

假設(shè)種植黃瓜和韭菜的產(chǎn)量、成本和售價(jià)如下表

年產(chǎn)量/畝年種植成本/畝每噸售價(jià)

黃瓜4噸1.2萬(wàn)元0.55萬(wàn)元

韭菜6噸0.9萬(wàn)元0.3萬(wàn)元

為使一年的種植總利潤(rùn)（總利潤(rùn)=總銷售收入總種植成本）最大，那么黃瓜和韭

菜的種植面積（單位：畝）分別為（）

A.50,0B,30,20C.20,30D.0,50

【知識(shí)點(diǎn)：簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃；數(shù)學(xué)思想：數(shù)形結(jié)合，建模】

解：B設(shè)黃瓜和韭菜的種植面積分別為x,y畝，總利潤(rùn)為z萬(wàn)元，則目標(biāo)函數(shù)為

z=(0.55x4%-1.2x)+(0.3x6y-0.9y)=x+0.9y.線性約束條件

x+y<50,x+y<50,x+y<50,

\.2x+0.9y<54,標(biāo)+3”180,作出不等式組4x+3y<180,十一M

為<即<八，表示的可行域,

x>0,x>0,x>0,

y>0.y>0

易求得點(diǎn)4(0,50),8(30,20),C(0,45).

平移直線z=x+0.9y,可知當(dāng)直線z=%+0.9y經(jīng)過(guò)點(diǎn)8（30,20）,即工=30h=20

時(shí),Z取得最大值，且Zmax=48（萬(wàn)元）.故選B.

6.某公司招收男職員工名，女職員y名，x和），需滿足約束

5x-1\y>—22,

條件?2x+3”9,則x=10x+10y的最大值是.

2x<ll.

【知識(shí)點(diǎn)：簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃；數(shù)學(xué)思想：數(shù)形結(jié)合】

解：90先畫(huà)出滿足約束條件的可行域，如圖中陰影部分所示.

x=5.5,

由解得

y=4.5.

但)，￡N”,結(jié)合圖知當(dāng)x=5,y=4時(shí)，Zmax=90.

7.某小型工廠安排甲、乙兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)，已知工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品每噸

所需要的原材料4,B,。的數(shù)量和一周內(nèi)可用資源數(shù)量如下表所示:

原材料甲(噸)乙(噸)資源數(shù)量(噸)

A1150

B40160

C25200

如果甲產(chǎn)品每噸的利潤(rùn)為300元，乙產(chǎn)品每噸的利潤(rùn)為200元，那么應(yīng)如何安排

生產(chǎn)，工廠每周才可獲得最大利潤(rùn)?

【知識(shí)點(diǎn)：簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃；數(shù)學(xué)思想：數(shù)形結(jié)合，建?！?/p>

解：設(shè)工廠一周內(nèi)安排生產(chǎn)甲產(chǎn)品x噸、乙產(chǎn)品y噸，所獲周利潤(rùn)為z元.依據(jù)

x~\-y<50,

4x<160,

題意，得目標(biāo)函數(shù)為z=300x+200y,約束條件為

2x+5y<200,

y>0,x>0.

欲求目標(biāo)函數(shù)z=30(k+200)，=100(3x+2y)的最大值，先畫(huà)出約束條件表示的可

行域，如圖中陰影部分所示，則點(diǎn)4(40,0),5(40,10),C停與)，0(0,40).

+5尸200

to

~d4O2O3O4OXx

3x+2y=OX^Y=5Q

作直線3x+2)，=0,當(dāng)移動(dòng)該直線過(guò)點(diǎn)8(40,10)時(shí)，3x+2)取得最大值，則z

=300x+200y取得最大值(也可通過(guò)代入凸多邊形端點(diǎn)進(jìn)行計(jì)算，比較大小求

得).故Zmax=300x40+200xl0=14000.

所以工廠每周生產(chǎn)甲產(chǎn)品40噸，乙產(chǎn)品10噸時(shí)，才可獲得最大周利潤(rùn)，為14000

元.

8.某化肥廠生產(chǎn)甲、乙兩種混合肥料，生產(chǎn)1車皮甲種肥料的主要原料是磷酸鹽

4噸、硝酸鹽18噸；生產(chǎn)1車皮乙種肥料需要的主要原料是磷酸鹽1噸、硝酸

鹽15噸.先庫(kù)存磷酸鹽10噸、硝酸鹽66噸，在此基礎(chǔ)上生產(chǎn)這兩種混合肥料.

若生產(chǎn)1車皮甲種肥料產(chǎn)生的利潤(rùn)為10000元；生產(chǎn)1車皮乙種肥料產(chǎn)生的利潤(rùn)

為5000元.那么分別生產(chǎn)甲、乙兩種肥料各多少車皮能產(chǎn)生最大的利潤(rùn)？

【知識(shí)點(diǎn)：簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃；數(shù)學(xué)思想：數(shù)形結(jié)合，建?！?/p>

解：設(shè)小y分別為計(jì)劃生產(chǎn)甲、乙兩種混合肥料的車皮數(shù)，于是滿足以下條件:

+.y<10

18x4-15^<66

,x>0

y>0

xfyeZ

再設(shè)分別生產(chǎn)甲、乙兩種肥料各x、丁車皮產(chǎn)生的利潤(rùn)為

z=lOOOOx+500Qy=5000(2x+j)

4x4-.y=10

<

由〔1以+15丁=66得兩直線的交點(diǎn)M(2,2)

（圖2分）

令￡=2x+y,當(dāng)直線L：^=-2工+￡經(jīng)過(guò)點(diǎn)般（2,2）

時(shí)，它在丁軸上的截距有最大值為6,此時(shí)z=30000

故分別生產(chǎn)甲、乙兩種肥料各2車皮時(shí)產(chǎn)生的利潤(rùn)最大為30000元.

9.某家具廠有方木料90機(jī)一五合板60m2,準(zhǔn)備加工成書(shū)桌和書(shū)櫥出售.已知生產(chǎn)

每張書(shū)桌需要方木料0」布、五合板2m2,生產(chǎn)每個(gè)書(shū)櫥需要方木料0.2―、五

合板lm2,出售一張書(shū)桌可獲得利潤(rùn)80元，出售一個(gè)書(shū)櫥可獲得利潤(rùn)120元.如

果只安排生產(chǎn)書(shū)桌，可獲利潤(rùn)多少？如果只安排生產(chǎn)書(shū)櫥，可獲利潤(rùn)多少？怎樣

安排生產(chǎn)可使所得利潤(rùn)最大？

【知識(shí)點(diǎn)：簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃；數(shù)學(xué)思想：數(shù)形結(jié)合，建模】

解：將已知數(shù)據(jù)列成下表：

方木料五合板利潤(rùn)

（加3）（m2）（元）

書(shū)桌（個(gè)）0.1280

書(shū)櫥（個(gè)）0.21120

限額90600

①只生產(chǎn)書(shū)桌：因?yàn)?0?0.1=900,600+2=300.所以，可產(chǎn)生書(shū)桌300張，用完

五合板，此時(shí)獲利潤(rùn)為80X300=24000（元）；

②只生產(chǎn)書(shū)櫥：因?yàn)?0:0.2=450,600+1=600,所以，可產(chǎn)生450個(gè)書(shū)櫥，用

完方木料■.此時(shí)獲禾I」?jié)櫈?20X450=54000（元）；

HI<HI<1-21

4000.1x+0.2y=90遜

3001

、、、//

6%)900X

、'、300'、

給3)，=°2X+)，=600

圖⑵

③若既安排生產(chǎn)書(shū)臬，也安排生產(chǎn)書(shū)櫥設(shè)安排生產(chǎn)書(shū)臬X張，安排生產(chǎn)書(shū)櫥y

0.1x+0.2j<90

人-rrIN4600

個(gè)，可獲利潤(rùn)z兀，貝，z=80x+120y,

x>0

”0

作出可行域如圖⑵，并作直線/:80x+