九年級(jí)數(shù)學(xué)核心知識(shí)點(diǎn)與常見題型通關(guān)講解練（滬教版）第01講 放縮與相似形（解析版）

第01講放縮與相似形【知識(shí)梳理】1、相似形的概念（1）相似圖形我們把形狀相同的圖形稱為相似圖形，簡(jiǎn)稱相似形．（2）相似圖形在現(xiàn)實(shí)生活中應(yīng)用非常廣泛，對(duì)于相似圖形，應(yīng)注意：①相似圖形的形狀必須完全相同；②相似圖形的大小不一定相同；③兩個(gè)物體形狀相同、大小相同時(shí)它們是全等的，全等是相似的一種特殊情況．（3）相似三角形對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的三角形，叫做相似三角形．2、相似多邊形的性質(zhì)如果兩個(gè)多邊形是相似形，那么這兩個(gè)多邊形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的長(zhǎng)度成比例．當(dāng)兩個(gè)相似的多邊形是全等形時(shí)，它們對(duì)應(yīng)邊的長(zhǎng)度的比值為1．【考點(diǎn)剖析】一、比例的性質(zhì)一、單選題1．（2023秋·上海黃浦·九年級(jí)上海市民辦明珠中學(xué)校考階段練習(xí)）已知，下列說法中，錯(cuò)誤的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)（合分比定理）來解答．【詳解】A、如果，那么（a+b）：b=（c+d）：d（b、d≠0）．所以由，得，故該選項(xiàng)正確；B、如果a：b=c：d那么（a-b）：b=（c-d）：d（b、d≠0）．所以由，得，故該選項(xiàng)正確；C、由得，5a=3b，所以a≠b；又由得，ab+b=ab+a即a=b．故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、由得，5a=3b；又由得，5a=3b．故該選項(xiàng)正確.故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查的合分比定理和更比定理．①合比定理：如果a：b=c：d，那么（a+b）：b=（c+d）：d（b、d≠0）；②分比定理：如果a：b=c：d那么（a-b）：b=（c-d）：d（b、d≠0）；③合分比定理：如果a：b=c：d那么（a+b）：（a-b）=（c+d）：（c-d）（b、d、a-b、c-d≠0）；④更比定理：如果a：b=c：d那么a：c=b：d（a、b、c、d≠0）．2．（2019春·上海楊浦·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）已知=，且b+d≠0，則=（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由，結(jié)合比例的性質(zhì)解答即可．【詳解】∵，∴a=b，c=d，∴．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了比例的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)比例的性質(zhì)解答．3．（2018秋·上海浦東新·九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知線段a、b、c、d，如果，那么下列式子中不一定正確的是（）A．a(chǎn)=c，b=d B．a(chǎn)d=bc C． D．【答案】A【詳解】A.例如a=3，b=6，c=1，d=2，則有=，但是a≠c，b≠d，所以a=c，b=d錯(cuò)誤，符合題意；B.∵，∴ad=bc正確，不符合題意；C.∵，∴a=bk，c=dk，∴正確，不符合題意；D.∵，∴正確，不符合題意，故選A．4．（2021·上?！ぞ拍昙?jí)專題練習(xí)）已知：a、b是不等于0的實(shí)數(shù)，2a=3b，那么下列等式中正確的是（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】∵2a=3b，∴，∴，∴A、C、D選項(xiàng)錯(cuò)誤，B選項(xiàng)正確，故選B.5．（2019秋·上海楊浦·九年級(jí)校考階段練習(xí)）在比例尺為1：50000的地圖上，量得甲、乙兩地的距離為25cm，則甲、乙兩地的實(shí)際距離是（）A．1250km B．125km C．12.5km D．1.25km【答案】C【詳解】設(shè)實(shí)際距離為xcm，則：1:50000=25:x，解得x=1250000.12500000cm=12.5km.故選C.二、填空題6．（2018秋·上海寶山·九年級(jí)校考期中）如果，那么_________【答案】【分析】由題可得：將此代入要求的代數(shù)式約分化簡(jiǎn)即可【詳解】，所以答案為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了比例化簡(jiǎn)求值，掌握相關(guān)概念方法是解題關(guān)鍵7．（2021·上海·九年級(jí)專題練習(xí)）已知，，則________．【答案】【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)（兩內(nèi)項(xiàng)之積等于兩外項(xiàng)之積）可設(shè)a=2t、b=3t、c=5t．然后，將其代入a：b：c求值即可．【詳解】∵a：b=2：3，b：c=3：5，∴設(shè)a=2t、b=3t、c=5t．∴a：b：c=2t：3t：5t=2：3：5．故答案為2：3：5．【點(diǎn)睛】本題考查了比例的基本性質(zhì)：兩內(nèi)項(xiàng)之積等于兩外項(xiàng)之積．解答此題時(shí)，利用了比例的性質(zhì)設(shè)a=2t、b=3t、c=5t，然后將其代入所求的比例式，消去未知數(shù)t．8．（2018·上海普陀·統(tǒng)考一模）已知，則=_____．【答案】【分析】由可知值，再將化為的形式進(jìn)行求解即可.【詳解】解：∵，∴，∴原式=.【點(diǎn)睛】本題考查了分式的化簡(jiǎn)求值.9．（2018·上海奉賢·統(tǒng)考二模）將6本相同厚度的書疊起來，它們的高度是9厘米．如果將這樣相同厚度的書疊起來的高度是42厘米，那么這些書有_____本．【答案】28．【分析】因?yàn)橐槐緯暮穸仁且欢ǖ?，根?jù)本數(shù)與書的高度成正比列比例式即可得到結(jié)論．【詳解】設(shè)這些書有x本，由題意得，，解得：x=28，答：這些書有28本．故答案為28．【點(diǎn)睛】本題考查了比例的性質(zhì)，正確的列出比例式是解題的關(guān)鍵．10．（2022秋·上海浦東新·九年級(jí)上海市建平中學(xué)西校?？计谥校┮阎c(diǎn)P在線段AB上，且AP：BP=2：3，那么AB：PB=_____．【答案】5:3【詳解】試題解析：由題意AP：BP=2：3，AB：PB=（AP+PB）：PB=（2+3）：3=5：3.故答案為5:3.11．（2021·上海·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，D為的邊AB上一點(diǎn)，如果∠ACD=∠ABC時(shí)，那么圖中____是AD和AB的比例中項(xiàng)．【答案】AC【詳解】試題分析：根據(jù)兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似，可得△ACD∽△ABC的關(guān)系，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，可得，可知AC是AD和AB的比例中項(xiàng)．考點(diǎn)：比例線段二、相似圖形一、單選題1．（2021秋·上?！ぞ拍昙?jí)?？茧A段練習(xí)）下列命題中，錯(cuò)誤的是（

）A．兩個(gè)含有角的等腰三角形一定相似 B．兩個(gè)矩形一定相似C．兩個(gè)等邊三角形一定相似 D．兩個(gè)正方形一定相似【答案】B【分析】利用相似圖形的定義分別判斷即可得到答案．【詳解】解：A．兩個(gè)含有角的等腰三角形一定相似，說法正確，不符合題意，選項(xiàng)錯(cuò)誤；B．兩個(gè)矩形一定相似，對(duì)應(yīng)角相等，但對(duì)應(yīng)邊不成比例，故兩個(gè)矩形不一定相似，說法錯(cuò)誤，符合題意，選項(xiàng)正確；C．兩個(gè)等邊三角形一定相似，說法正確，不符合題意，選項(xiàng)錯(cuò)誤；D．兩個(gè)正方形一定相似，說法正確，不符合題意，選項(xiàng)錯(cuò)誤，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了相似圖形的定義，熟練掌握相似多邊形對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例是解題關(guān)鍵．2．（2022秋·上海浦東新·九年級(jí)?？计谥校┫铝袌D形一定相似的為（

）A．兩個(gè)等腰三角形 B．兩個(gè)等邊三角形C．兩個(gè)矩形 D．兩個(gè)平行四邊形【答案】B【分析】根據(jù)相似三角形及多邊形的判定方法一一判斷即可．【詳解】解：A．兩個(gè)等腰三角形的內(nèi)角不一定相等，因此兩個(gè)等腰三角形不一定相似，故A不符合題意；B．∵兩個(gè)等邊三角形的內(nèi)角都是60°，∴兩個(gè)等邊三角形一定相似，故B符合題意；C．兩個(gè)矩形的對(duì)應(yīng)邊不一定對(duì)應(yīng)成比例，因此兩個(gè)矩形不一定相似，故C不符合題意；D．兩個(gè)平行四邊形的對(duì)應(yīng)角不一定相等，對(duì)應(yīng)邊不一定成比例，因此兩個(gè)平行四邊形不一定相似，故D不符合題意．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形及多邊形的判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型．3．（2022秋·上海崇明·九年級(jí)?？计谥校┫铝嘘P(guān)于“相似形”的說法中正確的是（

）A．相似形形狀相同、大小不同 B．圖形的放縮運(yùn)動(dòng)可以得到相似形C．對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)多邊形是相似形 D．相似形是全等形的特例【答案】B【分析】根據(jù)相似形的性質(zhì)逐一判斷即可．【詳解】解：A：相似形形狀相同、大小不一定相同，但是可以相同，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；B：圖形的放縮運(yùn)動(dòng)可以得到相似形，選項(xiàng)B正確；C：如果兩個(gè)邊數(shù)相同的多邊形的對(duì)應(yīng)角相等,對(duì)應(yīng)邊成比例,這兩個(gè)多邊形叫做相似多邊形，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；D：全等形是相似形的特例，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤．【點(diǎn)睛】本題考查相似形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似形的相關(guān)知識(shí)．4．（2022秋·上海·九年級(jí)上海市格致初級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）下列說法正確的是（）A．任意兩個(gè)菱形都相似B．任意兩個(gè)正方形都相似C．任意兩個(gè)等腰三角形都相似D．任意兩個(gè)矩形都相似【答案】B【分析】根據(jù)相似圖形的定義，對(duì)應(yīng)的角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等對(duì)每個(gè)命題進(jìn)行判斷．【詳解】解：A任意兩個(gè)菱形滿足四條邊對(duì)應(yīng)成比例，但不一定滿足四個(gè)角分別對(duì)應(yīng)相等，所以不一定相似，故A不符合題意；B任意兩個(gè)正方形既滿足四條邊對(duì)應(yīng)成比例，也滿足四個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，所以任意兩個(gè)正方形都相似，故B符合題意；C任意兩個(gè)等腰三角形不一定滿足有兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，所以不一定相似，故C不符合題意；D任意兩個(gè)矩形的對(duì)應(yīng)角相等，但對(duì)應(yīng)邊的比不一定相等，所以不一定相似,，故D不符合題意．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查的是相似圖形的判定，掌握相似多邊形各自的判定方法是解題的關(guān)鍵．5．（2014秋·上海普陀·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，用放大鏡將圖形放大，應(yīng)屬何種變換A．相似變換 B．平移變換 C．旋轉(zhuǎn)變換 D．對(duì)稱變換【答案】A【分析】根據(jù)軸對(duì)稱變換、平移變換、旋轉(zhuǎn)變換、相似變換的概念并結(jié)合圖形，得出正確結(jié)果．【詳解】解：由一個(gè)圖形到另一個(gè)圖形，在改變的過程中形狀不變，大小產(chǎn)生變化，屬于相似變化．故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查相似變換的定義，即圖形的形狀相同，但大小不一定相同的變換是相似變換比較容易選錯(cuò)的答案是位似變換．6．（2022秋·上海浦東新·九年級(jí)統(tǒng)考期中）下列各組中兩個(gè)圖形不相似的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)相似圖形的定義進(jìn)行分析即可．【詳解】我們把形狀相同的圖形叫相似圖形，其特征是對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例，觀察圖形得知，B圖對(duì)應(yīng)邊的比不全相等，故不相似．故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查了相似圖形的判斷，解題的關(guān)鍵是理解相似圖形的定義．二、填空題7．（2020秋·九年級(jí)校考課時(shí)練習(xí)）相似的兩個(gè)圖形，它們的大小_________(填“一定”，“不一定”，“一定不”)相同．【答案】不一定【分析】根據(jù)相似圖形的定義判斷即可．【詳解】相似的兩個(gè)圖形形狀相同，但大小不一定相等，只有兩個(gè)圖形全等時(shí)大小才相等，全等是相似的一種特殊情況．故答案為：不一定．【點(diǎn)睛】本題考查相似圖形，明確相似圖形的定義是解題的關(guān)鍵．8．（2017秋·上?！ぞ拍昙?jí)?？茧A段練習(xí)）某城市的有一時(shí)期的兩張地圖，甲地圖比例尺為1:1000000，乙地圖的比例尺為1:200000，則甲地圖和乙地圖的相似比為____________【答案】【分析】根據(jù)相似多邊形的相似比等于對(duì)應(yīng)邊的比，用兩個(gè)地圖的比例尺相比求解即可．【詳解】解：甲地圖和乙地圖的相似比為：．故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查了相似多邊形的性質(zhì)，本題利用兩個(gè)圖的比例尺相比求解即可，比較簡(jiǎn)單．三、解答題9．（2021·上?！ぞ拍昙?jí)專題練習(xí)）閱讀理解：給定一個(gè)矩形，如果存在另一個(gè)矩形，它的周長(zhǎng)和面積分別是已知矩形的周長(zhǎng)和面積的一半，則這個(gè)矩形是給定矩形的“減半”矩形．如圖，矩形是矩形的“減半”矩形．請(qǐng)你解決下列問題：（1）當(dāng)矩形的長(zhǎng)和寬分別為，時(shí)，它是否存在“減半”矩形？請(qǐng)作出判斷，并說明理由．（2）邊長(zhǎng)為的正方形存在“減半”正方形嗎？如果存在，求出“減半”正方形的邊長(zhǎng)；如果不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）存在；理由見解析；（2）不存在，理由見解析．【分析】（1）假設(shè)存在，不妨設(shè)“減半”矩形的長(zhǎng)和寬分別為x、y，根據(jù)如果存在另一個(gè)矩形，它的周長(zhǎng)和面積分別是已知矩形的周長(zhǎng)和面積的一半，可列出方程組求解．（2）正方形和其他的正方形是相似圖形，周長(zhǎng)比是2，面積比就應(yīng)該是4，所以不存在“減半”正方形．【詳解】解：（1）存在假設(shè)存在，不妨設(shè)“減半”矩形的長(zhǎng)和寬分別為，，則，由①，得：，③把③代入②，得，解得，．所以“減半”矩形長(zhǎng)和寬分別為與．（2）不存在因?yàn)閮蓚€(gè)正方形是相似圖形，當(dāng)它們的周長(zhǎng)比為時(shí)，面積比必定是，所以正方形不存在“減半”正方形．【點(diǎn)睛】本題考查反證法和相似圖形的性質(zhì)，關(guān)鍵知道相似圖形的面積比，周長(zhǎng)比的關(guān)系．三、相似多邊形的性質(zhì)一、單選題1．（2019秋·上?！ぞ拍昙?jí)?？茧A段練習(xí)）對(duì)一個(gè)圖形進(jìn)行放縮時(shí)，下列說法中正確的是（）A．圖形中線段的長(zhǎng)度與角的大小都保持不變B．圖形中線段的長(zhǎng)度與角的大小都會(huì)改變C．圖形中線段的長(zhǎng)度保持不變、角的大小可以改變D．圖形中線段的長(zhǎng)度可以改變、角的大小保持不變【答案】D【詳解】根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)：相似多邊形的對(duì)應(yīng)邊成比例，對(duì)應(yīng)角相等，可知對(duì)一個(gè)圖形進(jìn)行收縮時(shí)，圖形中線段的長(zhǎng)度改變，角的大小不變，故選D．點(diǎn)睛：本題主要考查相似圖形的性質(zhì).理解相似圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.2．（2017秋·上?！ぞ拍昙?jí)?？计谥校┯梅糯箸R觀察一個(gè)五邊形時(shí)，不變的量是（

）A．各邊的長(zhǎng)度 B．各內(nèi)角的度數(shù) C．五邊形的周長(zhǎng) D．五邊形的面積【答案】B【詳解】解：∵用一個(gè)放大鏡去觀察一個(gè)三角形，∴放大后的三角形與原三角形相似，∵相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，∴各邊長(zhǎng)都變大，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；∵相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，∴對(duì)應(yīng)角大小不變，故選項(xiàng)B正確；．∵相似三角形的面積比等于相似比的平方，∴C選項(xiàng)錯(cuò)誤；∵相似三角形的周長(zhǎng)得比等于相似比，∴D選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選B．點(diǎn)睛：此題考查了相似三角形的性質(zhì)．注意相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，相似三角形的面積比等于相似比的平方，相似三角形的周長(zhǎng)得比等于相似比．二、填空題3．（2020秋·上海浦東新·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）四邊形和四邊形是相似圖形，點(diǎn)A、B、C、D分別與點(diǎn)、、、對(duì)應(yīng)，已知，，，那么的長(zhǎng)是______．【答案】【分析】根據(jù)相似圖形的性質(zhì)即可得．【詳解】四邊形和四邊形是相似圖形，且點(diǎn)分別與點(diǎn)對(duì)應(yīng)，，又，，，，解得，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了相似圖形的性質(zhì)，熟練掌握相似圖形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．4．（2020秋·上海寶山·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，把一張矩形紙片沿著一條對(duì)稱軸翻折，所得到的矩形與原矩形相似，已知原矩形紙片較短的邊長(zhǎng)為，那么其較長(zhǎng)邊用含的代數(shù)式表示為_______．【答案】【分析】根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)列出比例式，計(jì)算即可．【詳解】解：設(shè)較長(zhǎng)邊為b，∵所得到的矩形ABCD與原矩形相似，∴，整理得，，解得，b=，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查的是相似多邊形的性質(zhì)，掌握相似多邊形的對(duì)應(yīng)邊成比例是解題的關(guān)鍵．5．（2016秋·上海嘉定·九年級(jí)統(tǒng)考期末）將一個(gè)矩形沿著一條對(duì)稱軸翻折，如果所得到的矩形與這個(gè)矩形相似，那么我們就將這樣的矩形定義為“白銀矩形”．事實(shí)上，“白銀矩形”在日常生活中隨處可見．如，我們常見的A4紙就是一個(gè)“白銀矩形”．請(qǐng)根據(jù)上述信息求A4紙的較長(zhǎng)邊與較短邊的比值．這個(gè)比值是____．【答案】【分析】根據(jù)相似多邊形的對(duì)應(yīng)邊的比相等列出比例式，計(jì)算即可．【詳解】解：由題意得,四邊形ABFE相似四邊形ADCB，故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查的是相似多邊形的性質(zhì)，掌握相似多邊形的對(duì)應(yīng)邊的比相等、對(duì)應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵．6．（2018秋·上海嘉定·九年級(jí)統(tǒng)考期中）已知兩個(gè)三角形是相似形，其中一個(gè)三角形的兩個(gè)角分別為25o、55o，則另一個(gè)三角形的最大內(nèi)角的度數(shù)為__________．【答案】【分析】先根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得出一個(gè)三角形的最大內(nèi)角度數(shù)，再根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等得出另一個(gè)三角形最大內(nèi)角度數(shù)．【詳解】解：∵一個(gè)三角形的兩個(gè)角分別為25°、55°，∴第三個(gè)角，即最大角為180°-（25°+55°）=100°，∵兩個(gè)三角形相似，∴另一個(gè)三角形的最大內(nèi)角度數(shù)為100°，故答案為：100°．【點(diǎn)睛】本題主要考查相似圖形，解題的關(guān)鍵是掌握三角形的內(nèi)角和定理及相似三角形的性質(zhì)．7．（2023·上海黃浦·統(tǒng)考一模）已知兩個(gè)矩形相似，第一個(gè)矩形的兩邊長(zhǎng)分別是3和4，第二個(gè)矩形較短的一邊長(zhǎng)是4，那么第二個(gè)矩形較長(zhǎng)的一邊長(zhǎng)是______．【答案】/【分析】設(shè)第二個(gè)矩形較長(zhǎng)的一邊長(zhǎng)是a，根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)得出，再求出a即可．【詳解】解：設(shè)第二個(gè)矩形較長(zhǎng)的一邊長(zhǎng)是a，∵兩個(gè)矩形相似，第一個(gè)矩形的兩邊長(zhǎng)分別是3和4，第二個(gè)矩形較短的一邊長(zhǎng)是4，∴，解得∶，即第二個(gè)矩形較長(zhǎng)的一邊長(zhǎng)是，故答案為∶．【點(diǎn)睛】本題考查了相似多邊形的性質(zhì)，能熟記相似多邊形的性質(zhì)（相似多邊形的對(duì)應(yīng)邊的比相等）是解此題的關(guān)鍵．8．（2019秋·上?！ぞ拍昙?jí)上海市育才初級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知：如圖所示，矩形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在邊AB、CD上，且AEFD是正方形，若矩形BCFE和矩形ABCD相似，且AD=2，則AB的長(zhǎng)為____________．【答案】【分析】直接利用相似多邊形的性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)邊的比值進(jìn)而得出答案．【詳解】設(shè)EB=x，∵矩形BCFE和矩形ABCD相似，∴，∵四邊形AEFD是正方形，∴AD=BC=2，∴，解得：x=-1±（負(fù)數(shù)不合題意舍去），∴BE=-1+，故AB=2-1+=1+，故答案為：1+．【點(diǎn)睛】此題考查相似多邊形的性質(zhì)，正確得出對(duì)應(yīng)邊關(guān)系是解題關(guān)鍵．9．（2022·上?！ぞ拍昙?jí)專題練習(xí)）如圖，已知矩形ABCD中，AB=1，在BC上取一點(diǎn)E，沿AE將△ABE向上折疊，使B點(diǎn)落在AD上的F點(diǎn)．若四邊形EFDC與矩形ABCD相似，則AD=________【答案】【分析】可設(shè)AD=x，根據(jù)四邊形EFDC與矩形ABCD相似，可得比例式，求解即可．【詳解】∵沿AE將△ABE向上折疊，使B點(diǎn)落在AD上的F點(diǎn)，∴四邊形ABEF是正方形，∵AB=1，設(shè)AD=x，則FD=x?1，F(xiàn)E=1，∵四邊形EFDC與矩形ABCD相似，∴，，解得x1=，x2=(負(fù)值舍去)，經(jīng)檢驗(yàn)x1=是原方程的解，即．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)及相似多邊形的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．10．（2021·上?！ぞ拍昙?jí)專題練習(xí)）四邊形和四邊形是相似圖形，點(diǎn)分別與對(duì)應(yīng)，已知，，，那么的長(zhǎng)是__________．【答案】1.6【分析】相似多邊形的對(duì)應(yīng)邊成比例，根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)即可解決問題．【詳解】∵四邊形ABCD∽四邊形A'B'C'D'，∴CD：C′D′=BC：B′C′，∵BC=3，CD=2.4，B'C′=2，∴C′D′=1.6，故答案為：1.6．【點(diǎn)睛】本題考查相似圖形，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似多邊形的性質(zhì)．三、解答題11．（2020秋·九年級(jí)?？颊n時(shí)練習(xí)）如圖，兩個(gè)四邊形相似，求未知邊x、y的長(zhǎng)度及角α的大?。敬鸢浮縳=24，y=28，α=75°【分析】已知題意，想到根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例，從而正確解答此題．【詳解】∵兩個(gè)四邊形相似，∴20：5=x：6=y：7，解得：x=24，y=28，∵四邊形內(nèi)角和等于360°，∴α==75°，∴x=24，y=28，α=75°．【點(diǎn)睛】本題考查相似多邊形的性質(zhì)．相似多邊形的對(duì)應(yīng)角相等，相似多邊形對(duì)應(yīng)邊之比、周長(zhǎng)之比等于相似比，而面積之比等于相似比的平方，認(rèn)真計(jì)算是解答本題的關(guān)鍵．12．（2018秋·上?！ぞ拍昙?jí)階段練習(xí)）設(shè)四邊形與四邊形是相似的圖形，且與、與、與是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，已知，，求四邊形的周長(zhǎng)．【答案】38【分析】四邊形ABCD與四邊形A1B1C1D1是相似的圖形，則根據(jù)相似多邊形對(duì)應(yīng)邊的比相等，就可求得A1B1C1D1的其它邊的長(zhǎng)，就可求得周長(zhǎng)．【詳解】解：∵四邊形ABCD與四邊形A1B1C1D1是相似的圖形，∴，又∵AB=12，BC=18，CD=18，AD=9，A1B1=8，∴，∴B1C1=12，C1D1=12，D1A1=6，∴四邊形A1B1C1D1的周長(zhǎng)=8+12+12+6=38．【點(diǎn)睛】本題考查相似多邊形的性質(zhì)，相似多邊形對(duì)應(yīng)邊之比相等．13．（2022·上?！ぞ拍昙?jí)專題練習(xí)）已知四邊形與四邊形相似，并且點(diǎn)A與點(diǎn)、點(diǎn)B與點(diǎn)、點(diǎn)C與點(diǎn)、點(diǎn)D與點(diǎn)分別對(duì)應(yīng)．(1)已知，，，求的度數(shù)；(2)已知，，，，，求四邊形的周長(zhǎng)．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)多邊形相似的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)角相等，求解即可；（2）根據(jù)多邊形相似的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)邊成比例，進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）解：∵四邊形與四邊形相似，∴，∴；（2）解：∵四邊形與四邊形相似，∴，∴，∴，，∴四邊形的周長(zhǎng)【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似多邊形的性質(zhì)，熟練掌握其性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【過關(guān)檢測(cè)】一．選擇題（共6小題）1．（2023?崇明區(qū)一模）下列各組圖形，一定相似的是（）A．兩個(gè)等腰梯形 B．兩個(gè)菱形 C．兩個(gè)正方形 D．兩個(gè)矩形【分析】根據(jù)相似圖形的定義，四條邊對(duì)應(yīng)成比例，四個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，對(duì)各選項(xiàng)分析判斷后利用排除法解答．【解答】解：A、兩個(gè)等腰梯形不一定相似，故本選項(xiàng)不合題意；B、兩個(gè)菱形，形狀不一定相同，故本選項(xiàng)不合題意；C、兩個(gè)正方形，形狀相同，大小不一定相同，符合相似形定義，故本選項(xiàng)符合題意；D、兩個(gè)矩形四個(gè)角相等，但是各邊不一定對(duì)應(yīng)成比例，所以不一定相似，故本選項(xiàng)不合題意．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了圖形相似的判定，熟練掌握矩形、等腰梯形、菱形、正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，難度適中．2．（2021秋?昭平縣期末）下列和右圖相似的圖形是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)相似圖形的定義，結(jié)合圖形，對(duì)選項(xiàng)一一分析，排除錯(cuò)誤答案．【解答】解：A、形狀相同，但大小不一定相同，符合相似形的定義，故正確；B、只是大小沒有改變，而形狀發(fā)生了改變，故錯(cuò)誤；C、只是大小沒有改變，而形狀發(fā)生了改變，故錯(cuò)誤；D、只是大小沒有改變，而形狀發(fā)生了改變，故錯(cuò)誤．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】形狀相同是識(shí)別相似形的關(guān)鍵．即圖形的形狀相同，但大小不一定相同的變換即為相似變換．3．（2022秋?黃浦區(qū)期中）下列圖形中，一定相似的是（）A．一條直線截三角形兩邊所得的三角形與原三角形 B．有一個(gè)內(nèi)角為80°的兩個(gè)等腰三角形 C．兩個(gè)長(zhǎng)方形 D．有一個(gè)內(nèi)角為80°的兩個(gè)菱形【分析】由相似三角形的判定方法依次判斷可求解．【解答】解：A、一條直線截三角形兩邊所得的三角形與原三角形不一定相似，故A選項(xiàng)不符合題意；B、有一個(gè)內(nèi)角為80°的兩個(gè)等腰三角形不一定相似，故B選項(xiàng)不符合題意；C、兩個(gè)長(zhǎng)方形不一定相似，故C選項(xiàng)不符合題意；D、有一個(gè)內(nèi)角為80°的兩個(gè)菱形一定相似，故D選項(xiàng)符合題意．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定，熟練運(yùn)用相似三角形的判定是本題的關(guān)鍵．4．（2022秋?奉賢區(qū)期中）下列各組圖形中，一定相似的是（）A．兩個(gè)等腰直角三角形 B．各有兩邊長(zhǎng)是4和5的兩個(gè)直角三角形 C．各有兩邊長(zhǎng)是4和5的兩個(gè)等腰三角形 D．各有一個(gè)角是40°的兩個(gè)等腰三角形【分析】根據(jù)相似圖形的定義，對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例對(duì)各選項(xiàng)分析判斷利用排除法求解．【解答】解：A、兩個(gè)等腰直角三角形，兩腰成比例，夾角都是直角相等，一定相似，故本選項(xiàng)符合題意；B、各有兩邊長(zhǎng)是4和5的兩個(gè)直角三角形，不一定相似，故本選項(xiàng)不符合題意；C、各有兩邊長(zhǎng)是4和5的兩個(gè)等腰三角形，不一定相似，故本選項(xiàng)不符合題意；D、各有一個(gè)角是40°的兩個(gè)等腰三角形，不一定相似，故本選項(xiàng)不符合題意．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似圖形，注意相似圖形從對(duì)應(yīng)邊與夾角兩方面考慮，是基礎(chǔ)題，熟練掌握概念是解題的關(guān)鍵．5．（2023?長(zhǎng)寧區(qū)一模）下列各組圖形中一定是相似形的是（）A．兩個(gè)等腰梯形 B．兩個(gè)矩形 C．兩個(gè)直角三角形 D．兩個(gè)等邊三角形【分析】如果兩個(gè)多邊形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例，則這兩個(gè)多邊形是相似多邊形．【解答】解：∵等邊三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等，∴兩個(gè)等邊三角形一定是相似形，又∵直角三角形，等腰梯形的對(duì)應(yīng)角不一定相等，矩形的邊不一定對(duì)應(yīng)成比例，∴兩個(gè)直角三角形、兩個(gè)等腰梯形、兩個(gè)矩形都不一定是相似形，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了相似多邊形的性質(zhì)，相似多邊形的性質(zhì)為：①對(duì)應(yīng)角相等；②對(duì)應(yīng)邊的比相等．6．（2022秋?浦東新區(qū)期中）下列各組中兩個(gè)圖形不相似的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)相似圖形的定義一一判斷即可．【解答】解：A、兩個(gè)三角形相似，相似比為4：3．本選項(xiàng)不符合題意；B、兩個(gè)圖形不相似，對(duì)應(yīng)邊不成比例．本選項(xiàng)符合題意．C、兩個(gè)矩形相似，相似比為3：2．本選項(xiàng)不符合題意；D、兩個(gè)正方形相似．本選項(xiàng)不符合題意；故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查相似圖形，解題的關(guān)鍵是掌握相似圖形的定義，屬于中考?？碱}型．二．填空題（共9小題）7．（2019秋?徐匯區(qū)期末）四邊形ABCD和四邊形A'B'C'D'是相似圖形，點(diǎn)A、B、C、D分別與A'、B'、C'、D'對(duì)應(yīng)，已知BC＝3，CD＝2.4，B'C′＝2，那么C′D'的長(zhǎng)是1.6．【分析】相似多邊形的對(duì)應(yīng)邊成比例，根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)即可解決問題．【解答】解：∵四邊形ABCD∽四邊形A'B'C'D'，∴CD：C′D′＝BC：B′C′，∵BC＝3，CD＝2.4，B'C′＝2，∴C′D′＝1.6，故答案為：1.6．【點(diǎn)評(píng)】本題考查相似圖形，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似多邊形的性質(zhì)．8．（2022秋?奉賢區(qū)期中）如圖，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝a，點(diǎn)E、F是對(duì)角線BD上的點(diǎn)（點(diǎn)E、F不與B、D重合），分別聯(lián)結(jié)AE、EC、AF、CF，若四邊形AECF是菱形，且與菱形ABCD是相似形，那么菱形AECF的邊長(zhǎng)是a.（用a的代數(shù)式表示）．【分析】連接AC，交BD于O．根據(jù)菱形的性質(zhì)得出∠ABO＝∠ABC＝30°，AC⊥BD，OC＝OA，利用含30°的直角三角形的性質(zhì)得出OC＝OA＝AB＝a．再根據(jù)相似圖形的性質(zhì)及銳角三角函數(shù)定義求解即可．【解答】解：如圖，連接AC，交BD于O．∵在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝a，∴∠ABO＝∠ABC＝30°，AC⊥BD，OC＝OA，∴OC＝OA＝AB＝a．由題意，可得菱形ABCD∽菱形ECFA，∴∠ECO＝∠ECF＝∠ABC＝30°，∴CE＝＝＝a．故答案為：a．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似圖形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，含30°的直角三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義等知識(shí)，難度適中．準(zhǔn)確作出輔助線求出OA的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．9．（2018秋?嘉定區(qū)期中）已知兩個(gè)三角形是相似形，其中一個(gè)三角形的兩個(gè)角分別為25°、55°，則另一個(gè)三角形的最大內(nèi)角的度數(shù)為100°．【分析】先根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得出一個(gè)三角形的最大內(nèi)角度數(shù)，再根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等得出另一個(gè)三角形最大內(nèi)角度數(shù)．【解答】解：∵一個(gè)三角形的兩個(gè)角分別為25°、55°，∴第三個(gè)角，即最大角為180°﹣（25°+55°）＝100°，∵兩個(gè)三角形相似，∴另一個(gè)三角形的最大內(nèi)角度數(shù)為100°，故答案為：100°．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查相似圖形，解題的關(guān)鍵是掌握三角形的內(nèi)角和定理及相似三角形的性質(zhì)．10．（2022秋?金山區(qū)校級(jí)期末）如果梯形的一條對(duì)角線把梯形分成的兩個(gè)三角形相似，那么我們稱該梯形為“優(yōu)美梯形”．如果一個(gè)直角梯形是“優(yōu)美梯形”，它的上底等于2，下底等于4，那么它的周長(zhǎng)為8+2．【分析】過D作DE⊥BC于E，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到BE＝AD＝2，求得BD＝CD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】解：如圖，過D作DE⊥BC于E，∵梯形是直角梯形，∴∠A＝∠ABC＝∠DEB＝90°，∴四邊形ABED是矩形，∴BE＝AD＝2，∵BC＝4，∴CE＝BE＝2，∴BD＝CD，∵梯形的一條對(duì)角線把梯形分成的兩個(gè)三角形相似，∴△ABD∽△DBC，∴＝，∴＝＝1，∴AB＝AD＝2，∴BD＝CD＝AD＝2，∴它的周長(zhǎng)為2+2+4+2＝8+2，故答案為：8+2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，直角梯形，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，11．（2016秋?普陀區(qū)期末）利用復(fù)印機(jī)的縮放功能，將原圖中邊長(zhǎng)為5厘米的一個(gè)等邊三角形放大成邊長(zhǎng)為20厘米的等邊三角形，那么放大前后的兩個(gè)三角形的周長(zhǎng)比是1：4．【分析】根據(jù)等邊三角形周長(zhǎng)的比是三角形邊長(zhǎng)的比解答即可．【解答】解：因?yàn)樵瓐D中邊長(zhǎng)為5cm的一個(gè)等邊三角形放大成邊長(zhǎng)為20cm的等邊三角形，所以放大前后的兩個(gè)三角形的周長(zhǎng)比為5：20＝1：4，故答案為：1：4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形對(duì)應(yīng)邊比值相等的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)等邊三角形周長(zhǎng)的比是三角形邊長(zhǎng)的比來解答．12．（2019秋?楊浦區(qū)期末）定義：我們知道，四邊形的一條對(duì)角線把這個(gè)四邊形分成兩個(gè)三角形，如果這兩個(gè)三角形相似但不全等，我們就把這條對(duì)角線叫做這個(gè)四邊形的相似對(duì)角線．在四邊形ABCD中，對(duì)角線BD是它的相似對(duì)角線，∠ABC＝70°，BD平分∠ABC，那么∠ADC＝145度．【分析】依據(jù)四邊形的相似對(duì)角線的定義，即可得到∠ABD＝∠DBC，∠A＝∠BDC，∠ADB＝∠C，再根據(jù)四邊形內(nèi)角和為360°，即可得到∠ADC的度數(shù)．【解答】解：如圖所示，∵∠ABC＝70°，BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，又∵對(duì)角線BD是它的相似對(duì)角線，∴△ABD∽△DBC，∴∠A＝∠BDC，∠ADB＝∠C，∴∠A+∠C＝∠AD