計(jì)算力學(xué)教學(xué)課件

緒論計(jì)算力學(xué)簡介.........................................................3

第一章有限元法簡介.......................................................3

§1-1引言..............................................................3

§1-2簡例..............................................................4

§1-3有限單元法計(jì)算過程概述............................................8

第二章平面問題的有限元法.................................................9

§2-1三角形常應(yīng)變單元..................................................9

§2-2形函數(shù)的性質(zhì).....................................................11

§2-3剛度矩陣.........................................................12

§2-4等效結(jié)點(diǎn)力.......................................................16

§2-5熱應(yīng)力計(jì)算.......................................................19

§2-6收斂準(zhǔn)則.........................................................20

§2-7實(shí)施步驟.........................................................22

§2-8矩形單元.........................................................25

§2-9三角形單元面積坐標(biāo)...............................................28

§2-10習(xí)題講解........................................................30

第三章空間問題..........................................................32

§3-1四面體常應(yīng)變單元.................................................32

§3-2剛度陣、等效結(jié)點(diǎn)力...............................................33

第四章軸對稱問題........................................................33

§4-1三角形截面環(huán)單元.................................................33

§4-2單剛陣...........................................................35

§4-3等效結(jié)點(diǎn)力.......................................................36

§4-4精確剛度陣計(jì)算...................................................38

第五章等參數(shù)單元........................................................39

§5-1平面等參元.......................................................39

§5-2高斯求積法.......................................................46

§5-3等參元形態(tài).......................................................48

§5-4軸對稱等參元.....................................................50

§5-5空間等參元.......................................................51

第六章桿件系統(tǒng)有限元法................................................53

§6-1等截面梁單元....................................................53

§6-2等效結(jié)點(diǎn)力.....................................................55

§6-3坐標(biāo)變換.......................................................58

§6-4板與桿的組合結(jié)構(gòu)...............................................61

§6-5空間桿件系統(tǒng)...................................................63

第七章板的彎曲..........................................................65

§7-1引言.............................................................65

§7-2矩形薄板單元...................................................66

§7-3考慮橫向剪切影響的平板彎曲單元.................................71

第八章殼的彎曲..........................................................77

§8-1平板殼體單元...................................................77

第九章動(dòng)力學(xué)問題有限元法................................................81

§9-1動(dòng)力學(xué)方程和質(zhì)量陣、阻尼陣.....................................81

§9-2無阻尼自由振動(dòng).................................................83

第十章材料非線性問題的有限元法.........................................86

§10-1非線性問題求解方法............................................86

§10-2彈塑性有限元法................................................94

§10-3彈塑性問題的求解方法..........................................97

第十一章加權(quán)殘數(shù)法.....................................................98

§11-1方法概述......................................................98

§11-2分類..........................................................99

§11-3最小二乘法...................................................101

各種單元的特點(diǎn)..........................................................102

2

緒論計(jì)算力學(xué)簡介

1、計(jì)算力學(xué)概念

以數(shù)值計(jì)算方法求解力學(xué)問題的方法。

實(shí)質(zhì)：將求解復(fù)雜的微分方程組問題轉(zhuǎn)化為求解代數(shù)方程組問題；

優(yōu)點(diǎn)：①可求解解析法難以解決的問題，繪出趨近于精確解的近似解。

②可利用計(jì)算機(jī)解決十分龐大復(fù)雜的問題。

2、計(jì)算力學(xué)內(nèi)容

有限差分法

有限單元法

邊界學(xué)元法

加權(quán)殘數(shù)法

第一章有限元法簡介

§1-1引言

1、起源：50年代飛機(jī)結(jié)構(gòu)矩陣分析

60年代推廣到彈性平面應(yīng)力問題，提出“有限單元法”。

2、方法：連續(xù)體一離散體

(1)將連續(xù)體分為有限個(gè)小單元體，彼此在結(jié)點(diǎn)處相連聯(lián)結(jié)。

如圖：

(2)選函數(shù)來近似單元位移分布規(guī)律，用虛功原理建立單元結(jié)點(diǎn)力與結(jié)點(diǎn)位移間的

關(guān)系。

3

如圖:

(3)單元集合，得到以結(jié)點(diǎn)位移為未知量的代數(shù)方程組。

-[K]⑻=[R]

(4)求解方程組，得到結(jié)點(diǎn)位移，再求其他量。

3、實(shí)質(zhì)：把具有無限自由度的連續(xù)體化為有限個(gè)自由度的單元集合體。

4、有限元法與經(jīng)典解析法的區(qū)別

經(jīng)典解析法從微元體入手，求解偏微分方程。

有限單元法從有限大小的單元體的力學(xué)特性入手，求解代數(shù)方程組。

5、有限單元法的優(yōu)點(diǎn)

(1)概念淺，易掌握

(2)應(yīng)用范圍廣

(3)矩陣表達(dá)式，易編程計(jì)算

§1-2簡例

4

【單元分析】

對①單元

{/7=&：）/+k^vt+k^u2+k^v2

匕⑴=媚〃+成匕+成%2+%如2

叫）=燔〃+成匕+噌％+成乜

匕⑴=心：％+尺加+成%2+噌丫2

可寫成

5

卜1)kK⑴

U，用）K\213%14W,

后⑴

匕⑴k⑴鼠23代24V)

>—研兒22

%⑴

kK⑴k⑴

碉32長33%34%

k⑴k⑴女⑴

公？鼠42%43K44」匕，

對②單元

.一?娟3）3

6)

6

(3

3一>u；'(3i

同理可得

燒）八2）

U?'鼠36u,

匕⑵喘）女⑵

陶長46V2

無⑵

up噌婿喈鼠56“3

女⑵

M⑵一黨喈長66.匕.

【單元組裝】

①單元改寫為

U”飛;)靖）噌0o-U】

乂⑴掰）成成碳00匕

邛00u

>—噌胤）噌噌2

VJ端理）嵋陶00V2

0000000lly

0000000*

②單元改寫為

0000000M,

0000000W

00嘮出噌牖M,

“(2)

'V產(chǎn)K

00c吠46之

uf)00噌點(diǎn)嘮%

“⑵

M⑵00嚶嚶K66_73.

6

X」M）償噌噌00'%、

XK⑴心）嫩噌或00W

局）成域+益）媚；媚喏媚

Xu,+u,?2

可得2

八匕⑴+匕⑵胤）爆爆+噌媚+媚媚牖丫2

X、00?。﹪Z嘮嘮“3

7s.〔匕⑵J00黨點(diǎn)牖嚶

解釋:

Zx=OX2-U^-U^=0=x2=u=+up

(l)(2)

ZY=0丫2-匕⑴一匕⑵=0=>y2=v2+V2

=>{R}=[K]{6}

【剛度系數(shù)的計(jì)算】

A/=cos0

需軸向壓力=r△/=^cos6

x、y方向分量為：

I7APA

結(jié)點(diǎn)1,=(-y-COS^)COS^=-y-COS20

內(nèi)；=(岸■cos0)sin0=cos0sin0

結(jié)點(diǎn)2,噂=-噌=-"cos?。

[7A

&4：1；)=一招ZI)=---jcos8sing

7

§1-3有限單元法計(jì)算過程概述

1、結(jié)構(gòu)離散化

2、選位移模式

位移模式：單元位移分布假定

[門-單元內(nèi)任一點(diǎn)位移，{5}一單元結(jié)點(diǎn)位移，[N]-形函數(shù)陣

如：

3、分析單元特性

（1）幾何方程：{￡}=[B],

（2）物理方程：{<T}=[D][B]{J}e

（3）平衡方程：[R「=[k]"L

[k]-單剛陣[R--結(jié)點(diǎn)載荷陣

4、等效結(jié)點(diǎn)力

將外力移置到結(jié)點(diǎn)上。

5、集合單剛體，形成結(jié)構(gòu)平衡方程

[K]"]=[R]

6、引入邊界條件后，求解結(jié)點(diǎn)位移，計(jì)算單元應(yīng)力

8

第二章平面問題的有限元法

§2-1三角形常應(yīng)變單元

一、離散化

結(jié)點(diǎn)位移表示為：

｛盯=[%V,.UjVjun,vj=[邛或]7

假設(shè)代入i,/,機(jī)的結(jié)點(diǎn)坐標(biāo),

[v=a4+%x+。6y

Uj=ax+。2玉+戊3%匕-。4+二5巧

=><%=%+a2Xj+a3yjvy.=a4+a5x.+a(iyj位移模式

u

,n=%+a/m+a3ymvnt=%++a6ym

=>,,%，%,%,%q

將藥,%,%代入位移模式,

"(也+3+a〃,+(%+㈠+3颯+a+〃x+，/)〃"』

其中A,q，e，q為:

9

%

2A=

a,j,機(jī))

1

4=XjJ,“一xy;b；=y-y?,;q=-(x-x)

m五m

N

.-(q+6jX+qy)

/_

N

.-L

令形函數(shù)4J2(%+/?/X+c.y)貝lj：u=NM+N秒j+N“M

NA±

w-

2

同理：v=NR+AN匕+Nmvni

MON,。N0

其中［N］為形函數(shù)陣，［N］=m為二階單位陣

oM0Nj0

三、應(yīng)變

一、

￡

X,〃0耳0bm0

l卜

-<￡=

v

?

I：

￡

z

)

+

a-v

ax

n{e}=[8]{3『

也O'

其中n[6]=困BjB,?],聞0%("M

cb

L(t.

四、應(yīng)力

{(T}=<ay”=[D]{e}=回[8]{b『，[D]見書本。

巴.

i〃o

平面應(yīng)力問題固=占〃10

1一Ni

O0?

2

io

10

1一〃

平面應(yīng)變問題：固=￡(「〃)A10

L」(1-2〃)(1+〃)1-〃

001*

§2-2形函數(shù)的性質(zhì)

形函數(shù)N,=」-(%+4x+qy)

2A

1、形函數(shù)在結(jié)點(diǎn)上的值

N，a，%)=亢3+%+紗，)=1

M(弓,刀)=*(《++q刀)=0

對乂，bixj

N,G“，》,“)=[(4

+3“+。,幾)=0

[2A

Nj(x,,y,)=O'N〃G，X)=O

同理：＜Nj(xj,yj)=l,■NQj,y)=O

巴區(qū),,%)=0乂(%%)=1

2、單元任一點(diǎn)上三個(gè)形函數(shù)之和

Ni(x,y)+Nj(x,y)+Nm(x,y)=l即三個(gè)形函數(shù)中只有兩個(gè)獨(dú)立。

3、在三角單元的一個(gè)邊上

0

如手邊，"邊的方程式為：y-~~~—(x-x,.)+y;=—~—(x-x(.)+y;

Xi-xtXj—Xj

對于①單元，bm=y,.-y.cm=-(x.-x.)

11

：.y^--(x-xi}+yi

c,“

N,“(x,)')=am+b,?x+c,“一F(X一苫，)+'J[=2(《，，+既,￡+%y,)=0

x—xx—X

N,(x,y)=l---------,N,(x,y)=——

Xixrx.,

對于②單元，Nj(x,y),N/x,y)與①相同，而N,“(x,y)=O。

在相鄰三角形公共邊上，如〃邊，

N?,(x,y)=N“(x,y)=。

u=NM+NjUj

*

v=NM+NM

因此在公共邊ij邊上，位移U,V完全由公共邊的(/的位移確定，相鄰單元位移是

連續(xù)的。

§2-3剛度矩陣

一、單元?jiǎng)偠汝?/p>

設(shè)單元結(jié)點(diǎn)力：｛R『=［q匕U,v｝umvj

單元結(jié)點(diǎn)位移：3｝''=［%匕勺,

單元結(jié)點(diǎn)虛位移：｛b*『=［陰陽8Uj8vj8um8vJ

則單元內(nèi)各點(diǎn)的虛位移：｛門=［；,=皿］｛6*｝'

12

*

J

單元內(nèi)各點(diǎn)的虛應(yīng)變：k}=￡：

.4.

外力虛功為：

風(fēng)"+見匕+8ujUj+6vyj+8unfJm+8vnym

=應(yīng)叫8uj8vj3umSvm][UiViUjVjUmVm]'

=({bT)[R}'

單元內(nèi)應(yīng)力在虛應(yīng)變上的虛功為：

/、

巴

[[，(￡；%+￡；%+匕％)”=[小，(￡；￡；匕)o-.vdV=^[e]{cy}tdxdy

虛功原理：

({bT)T[/?r=JJ{￡*}fdxdy

n{/?『=(

令[幻=\\[B][D][B]tdxdy——單元?jiǎng)偠染仃?/p>

則位}'=內(nèi)⑹'

對于三角形單元，伏]=[8『[0[8]也

原%kim

網(wǎng)=k'k/k》“

"刈%」6x6

JJ1—M7

?bb.+------cc.pbc.+23

Etrs2r

(r=i,j,ms=i,j,m)

4(1-〃2)△卜N卜

4c也+2"Jcc+—j,b,

rs2_

發(fā)M的向

.；做營賀號苧被腐d核‘4支水》'向夕"力

.?.一

-$.......~'

7金@------------

cmMNL

13

二、整體剛度陣

舉例說明：

[幻=\\[B][D][B]tdxdy

乂⑴

單元①<

匕⑴

匕⑴

匕⑵

《2)

單元②

匕⑵

乂⑵

14

■U?

匕⑴

匕

K[噌o]

?2

〃⑴+“(2)>(1),n(2)卜⑵

匕⑴+匕⑵V,

單元組裝：?>=

“⑴:去⑵"⑴+"⑵“(2)

u；）+u?磯）“32十凡32“33十”33*34?3

匕⑴+匕⑵“(2)L(2)7,(2)V3

0“42”43兒44J

《2）(

.匕⑵%

所以{R}=[K]{6}

Y

其中{R}={R【R；R；{/?,}=(i=l,2,3,4)

M}=⑻8[si3J=削G=1,2,3,4)

三、整剛陣性質(zhì)

（1）剛度陣每一列元素的物理意義：要是彈性體某一結(jié)點(diǎn)在坐標(biāo)方向發(fā)生單位位移,

而其他結(jié)點(diǎn)位移都保持為零的變形狀態(tài)，在所有結(jié)點(diǎn)上需要施加的結(jié)點(diǎn)力。

（2）剛度陣主元素總是正的。

（3）剛度陣是對稱陣。

（4）剛度陣是稀疏陣。

（5）剛度陣在排除剛體位移后是正定陣。

15

§2-4等效結(jié)點(diǎn)力

1、集中力等效載荷陣

等效結(jié)點(diǎn)力｛a'=出幾F—耳」

虛功原理：集中載荷在虛位移上做的功等于等效結(jié)點(diǎn)力在結(jié)點(diǎn)虛位移上的功。

集中載荷做虛功：Gx6u+Gy6v=｛f｝'｛G｝

等效結(jié)點(diǎn)力做虛功：

FM+耳+與@〃)+以陽+工,科,“+Fmy8vm=(M*｝］｛月"

由虛功原理：｛F｝e=｛f｝T｛G｝

而｛門=網(wǎng)肛，即｛/*『=(｛町),［町

=俯｝『｛尸『=(㈤)阿｛G｝

={丹=['/{G}

（M）」G}

其中：但｝'=［此外原5七小/<（M）c{G}>

.（NJ{G}.

（.\Fix\G

{用=/=（M）cG=（M）c{G}（i,j,m）

(N)為形函數(shù)N,在集中力作用點(diǎn)處的值。

16

2、表面力等效載荷陣｛。｝"

設(shè)表面力（單位面積上的力）｛4｝=/

4,

等效結(jié)點(diǎn)力｛。『=[。八2,Qjx0,?！啊癚,”J

表面力做虛功：j（q@"+q0）tds=｛q/ds

等效結(jié)點(diǎn)力做虛功：（桓*｝，｛。｝“

由虛功原理：（?*｝'『｛?！?[｛f｝T｛q｝tds

=｛。｝'=口呵｛。｝"

{板

Q.JM

,[N.q)tds'

其中：QiyQixQiyQmx2,J=0，

Qm.

Q.

{2}={0'}=jM⑷心(bj,m)

匕5J

特例：

3、體積力等效載荷陣｛P｝‘

17

等效結(jié)點(diǎn)力{尸}'=出p,pjxpjyp心

體積力做虛功：+py3v）dV=J，{/"}'{p}tdxdy

等效結(jié)點(diǎn)力做虛功：（W}丁{P『

由虛功原理：（B}『{P},=\\{f}r{q}tdxdy

={0}'=[p}tdxdy

{p}tdxdy

P.

其中：{P『=出P,PjxPjyPmx%]'=1><JjNj{p*dxdy>

P",.JjN?,{p}fdxdy

7

{《}=,M>=JJM{p}tdxdy（i，j，m）

%

特例：自重p=<>

1-/J

若三種載荷同時(shí)作用在單元上，則等效結(jié)點(diǎn)力為：{R}'={F『+{Q『+{P『

18

§2-5熱應(yīng)力計(jì)算

1、應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系

設(shè)a為熱膨脹系數(shù)，T為溫度改變值，卜。}為溫度變化造成的應(yīng)力。

對于平面應(yīng)力問題：{/}=aT[l10]r

對于平面應(yīng)變問題：{%}=(l+〃)ani1Of

則應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系為：Q}=。](㈤-{%})

=>{"=⑵(聞⑶{島})

如：平面應(yīng)力問題，溫度變化和載荷共同作用

2、熱載荷陣

考慮熱應(yīng)力，彈性體內(nèi)應(yīng)力在虛應(yīng)變上做的虛功為：

e

價(jià)*}'{cr}tdxdy=JJ{Zf[D]([B]{S}-{s0})tdxdy

=^*}C)r(\\[B]T[D][B]{^}etdxdy⑹-JJ網(wǎng),[。電。}汕辦)

外力在結(jié)點(diǎn)虛位移上做虛功：

e

由虛功原理得：{R}'+\\[BY[D]{￡0}tdxdy^[k]{^}

令{//}'=JJ網(wǎng),[￡>]{￡()}冠xdy---熱載荷陣，

則:{??}'+{"}'=伙]{阡

對于平面應(yīng)力問題，如三角形單元：

19

{"}'=0W，［0aTU1Oftdxdy二費(fèi)/,qh

j%bm%/［，。哂

【說明】

§2-6收斂準(zhǔn)則

一、收斂準(zhǔn)則

收斂性要求滿足：

1、位移模式需包含單元?jiǎng)傮w位移

,一工V…一伍=%+%x+a3y

如二角形單兀，1123)

v=a4+%冗+。6y

【從應(yīng)變角度分析】

單元發(fā)生剛體運(yùn)動(dòng)且無外力時(shí)，應(yīng)變邑與右，應(yīng)為零，即:

du-dvdudv八

—=0;—=0;—+—=0

dxdydydx

得：a2=a6=0;%+%=0

[u=a,、

/J13)(1)

[v=a4+a5x

【從剛體位移角度分析】

東若三角形單元繞z軸做剛體轉(zhuǎn)動(dòng)跳角，則：

s，、?口?=sin0=-co^y

任后、一點(diǎn)A(x,y)的位移是：，

v=rcoQcos0=co[}x

20

*若三角形還有沿x軸和y軸的剛體平移位移“0,%

則總位移為：…。一陽⑵

+為x

-&,

對比（1）、（2）可得：a}-M（）；%=%；?3-0；。5=。0

最終可得：/=〃0；。2=0；a3=-COQ；%=%；%=利）；。6=0

可見：?,%4%提供剛體位移。

2、位移模式須包含常應(yīng)變

應(yīng)變包括常應(yīng)變和變應(yīng)變，

dudvdudv

￡*==%；f=—=<z-，r,=—+—=a+a

oxoyv6?onyoxi5

可見：a?aba3%提供常應(yīng)變。

結(jié)論：位移模式中應(yīng)包含一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)（對于三角單元，4%不僅是剛體位移的需

要，也是常應(yīng)變的需要）。

3、位移模式須在單元內(nèi)位移連續(xù)、相鄰單元間位移協(xié)調(diào)

單元內(nèi)連續(xù)（單元位移不間斷）——選多項(xiàng)式構(gòu)造位移模式即可滿足。

單元間協(xié)調(diào)（單元間不開裂，也不擠入）——單元交界面上位移由該交界面上的結(jié)點(diǎn)位

移確定。

總結(jié)：滿足條件1、2——完備單元

滿足條件3——協(xié)調(diào)單元

滿足條件1、2、3——完備協(xié)調(diào)單元（收斂性要求）。

二、多項(xiàng)式位移模式的選擇

21

要求：1、幾何各向同性——不應(yīng)有一個(gè)偏惠的坐標(biāo)方向

1

x:y

x2xyy2

x3x2y:xy2y3

x4x2y2xy3y4

2、多項(xiàng)式項(xiàng)數(shù)等于或稍大于單元結(jié)點(diǎn)自由度數(shù)

§2-7實(shí)施步驟

一、求解步驟

二、注意事項(xiàng)

1、對稱性的利用

22

結(jié)構(gòu)對稱、受力反對稱——變形反對稱

2、結(jié)點(diǎn)選擇、單元?jiǎng)澐?/p>

(1)以集中載荷作用點(diǎn)，分布載荷起終點(diǎn)，約束支承點(diǎn)作為結(jié)點(diǎn)。

(2)物體厚度有變，或有不同材料組成，則不要把厚度不同或材料不同的區(qū)域劃在

一個(gè)單元內(nèi)。

(3)在應(yīng)力變化劇烈的區(qū)域，單元應(yīng)劃分的密一些。

(4)單元各條邊長度不要懸殊太大。

3、結(jié)點(diǎn)編號

同一單元相鄰結(jié)點(diǎn)號之差應(yīng)盡量小。

23

4、邊界條件處理

采取指定位移處理方法。如:

方法一：修改矩陣法

方程改寫為:

1000[〃[B、

。七2夫2-后2圈-氏23夕3

0010%A

?！?4_了2七一”414一火43A

0%42

求出匕后代入原式，可求/?1,尺2。

方法二：置大數(shù)法

方程改寫為：

%「十%12匕3%14MrW5

“21及22^23%24

匕>—<

儆31?！?/p>

2。5

&32攵34〃2

人攵42上43攵44_

近似求出匕,嶺后代入原式，可求飛,凡。

24

5、應(yīng)力計(jì)算結(jié)果處理

（1）繞結(jié)點(diǎn)平均法

=/4加+(%)⑵+(%)⑶+(%)(4)+(q)⑸+(q)⑹]

(2)單元平均法

=，9兒）+C

3）=；[（%）⑵+（/）（”]

A、B、C為公共邊界中點(diǎn)。

W）c=g3、）⑶+。）（4）】

§2-8矩形單元

25

設(shè)任一點(diǎn)坐標(biāo)：］x=%+殆一點(diǎn)位置映射

其中（了0，汽）為矩形單元中點(diǎn)坐標(biāo)。

設(shè)該點(diǎn)位移為：

?2：3/4：/―一點(diǎn)位移映射（位移模式）

由結(jié)點(diǎn)位移，如（-1,-1）—＞（%,匕）

4

Z

〃=

E

nw

r-//

l=

4lAI

NV

V=z匕

/=i

0NQN.0N0

其中[N]=<24

N、0N20華0%

N,=(l+4)(1+%)/4,4。=基,%=mi=l,2,3,4

總結(jié):

u=u{x,y)

v=v(xj)

v=v(f,〃)

，13

〃

a3g

￡史

X1aN

由

于㈤

-￡>--<

y/axb18-

a-v

￡I

Z史1a1

ay〃

/++

a-w-1一451

私b8"S

ayk

=>{￡}=網(wǎng).『

=>{<7}=[0網(wǎng)同

n{k}=^[BY[D][B]tdxdy=ff[BY[D][B]tabd^d?j

26

等效結(jié)點(diǎn)力計(jì)算同三角形單元。

【說明】

(1)位移模式中有常數(shù)項(xiàng)、一次項(xiàng)——完備元。

(2)邊界位移協(xié)調(diào)——協(xié)調(diào)元。

例如圖中單元：在kj邊上,

對于①單元，J=1

u-ay+a2+a3rj+a4rl=@+a2)+(%+%)〃=4+

_uj+uk

,1-2

由「

uk=At+A2._Uk-Uj

.2-2

對于②單元，^=-1

u=a；-a2+a3rl-%〃=(a；-&)+Q-%j〃=A；+A2rj

由<J_=><

限=4+44=七乜=4

I2-

所以〃在以邊上協(xié)調(diào)，同理v在燈邊上也協(xié)調(diào)。

(3)矩形單元不是常應(yīng)力常應(yīng)變單元。

q沿y方向線性分布，o■，沿x方向線性分布，%沿小y兩方向線性分布。

(4)矩形單元的缺點(diǎn)：

1)不能適應(yīng)斜邊界，曲線邊界；

2)不便于對不同部位采用不同大小的單元。

27

§2-9三角形單元面積坐標(biāo)

ATAijin的面積;

A.->\pjm的面積；Apini的面積；即爐的面積

令L=幺，L=當(dāng),L=4

AAA

4,4,L,“為p點(diǎn)面積坐標(biāo)。

A+匕+Lm=14，乙，4中只有兩個(gè)獨(dú)立。

可以證明：L：=Ni,Lm=Nm

x=xiLi+xjLj+xmLmuL+UjLj+u“,L“,

y=+刀4+y,?L?,v=v.L.+v,L.+vmLm

【說明】

我為弟無

點(diǎn).我船

注：Lm=\-L-Lj

28

X=xL+XjLj+xJ,“

單元內(nèi)任意一點(diǎn)坐標(biāo):

y=M,+yjLj+y“L“

u=uL+uL+uL

而位移模式：iiJJmm

VVLVLVL

^ii+jj+,nm

{/}=：=卬]的

0L,0L0

其中W]=m

L,0兒0Lm

可見:

點(diǎn)坐標(biāo)（見”,疝,協(xié)一|點(diǎn)位移（U,V）

變換飛

位置映於

\/

局部坐標(biāo)&也）

注：點(diǎn)位置映射的變換與位移模式的變化在形式上可以相同，也可以不相同。

史

&

V加

--一?=網(wǎng){亞

辦

包dv

辦十一

dx

Q}=⑵網(wǎng)⑶

{k}=\\[Bir[D][B]tdxdy

三角形面積上積分：口"阻9=31省產(chǎn)-，⑼

a邛、

三角形邊上積分：'以4ds■I(ijm)

(a+〃+l)!

其中a;/?7為整常數(shù)。

1!1!…1

如：jj^Ljdxdy----------2A=-----------2A=A(a=1;￡=l;y=0)

(1+1+2)!4x3x2xl

29

§2-10習(xí)題講解

一

力

彳

一

N

已知：平板尺寸如圖所示，厚度為f,受載荷集度為4的均布載荷作用，劃分2個(gè)單元

求：單元應(yīng)力。

解：

1、劃分單元，結(jié)點(diǎn)編號

2、求單剛陣

對單元①：對單元②:

噌K7

伙］⑴=噌成

圖）成

3、組裝總剛陣

7-4-4-2-3-200

413-2-12-2-100

靖）k⑴

鼠12?30-4-27004-3-2

碼）成+磴掰）+成）嘮_3Et-2-1201340-2-1

［勺=

6⑴4〃2)~12

研假32十人32“33十代33媾-3-20470-4-2

0娉)-2-140013-2-12

00-3-2-4-274

00-2-1-2-12413

4、計(jì)算等效結(jié)點(diǎn)力：

[01

q=\\

｛。｝'=]阿｛加5=[&Qy&Q3y*Q,J=[0000_乎了

原結(jié)構(gòu)變?yōu)椋?/p>

30

7-4-4-2-3-20