2024屆陜西省咸陽市普集街道部分學(xué)校高三下學(xué)期高考模擬考試（三）數(shù)學(xué)試題（理）（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE3陜西省咸陽市普集街道部分學(xué)校2024屆高三下學(xué)期高考模擬考試（三）數(shù)學(xué)試題（理）第Ⅰ卷選擇題一、選擇題1.已知復(fù)數(shù)，是方程的兩個復(fù)數(shù)根，且，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因為復(fù)數(shù)，是方程的兩個復(fù)數(shù)根，且，所以，解得，所以，即，所以，或，，所以或，所以.故選：B2.如圖所示的Venn圖中，、是非空集合，定義集合為陰影部分表示的集合．若，，則（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗因為，，則,，由集合的運算可知，表示中去掉的部分，所以.故選：D3.給出下列四個命題，其中正確命題為（）A.“，”的否定是“，”B.若是奇函數(shù)，則C.若的定義域為，，都有，且滿足，則是偶函數(shù)D.“”是“”的必要不充分條件〖答案〗C〖解析〗對于A，“，”的否定是“，”，故A錯誤；對于B，若是奇函數(shù)，且在處有定義，則，故B錯誤；對于C，由偶函數(shù)的定義可知，若的定義域為，，都有，且滿足，則是偶函數(shù)，故C正確；對于D，推不出，比如，則；且推不出，比如，所以“”是“”的既不充分也不必要條件，故D錯誤；故選：C4.某四面體的三視圖如圖所示，正視圖、俯視圖都是腰長為的等腰直角三角形，側(cè)視圖是邊長為的正方形，則此四面體的四個面中面積最大值為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗四面體實物圖如下圖所示：可知該幾何體是邊長為的正方體的內(nèi)接三棱錐，如上圖所示，是邊長為的等邊三角形，其面積為；是直角三角形，且直角邊為，，其面積為；是直角三角形，且直角邊為，其面積為；是直角三角形，且直角邊為，，其面積為.因此，此四面體的四個面中面積最大值為.故選：B.5.已知等差數(shù)列的前項和為，若，，且，則數(shù)列的前2024項和為（）A.2023 B.2024 C.4046 D.4048〖答案〗D〖解析〗設(shè)首項為，公差為，由已知得，，可得，解得，故，若，故，而數(shù)列的前2024項和為.故選：D6.已知，是兩個單位向量，且，若向量滿足，則的最大值為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗已知是兩個單位向量，且，則，則，則，設(shè)分別是軸與軸正方向上的單位向量，則，，，設(shè)，則，因為，所以，故中，點的軌跡是以為圓心，2為半徑的圓，圓心到原點的距離為，．故選：B．7.已知正方形的邊長為2，是平面外一點，設(shè)直線與平面的夾角為，若，則的最大值是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意知，點為動點，、為定點，，由橢圓的定義知，點的軌跡是以、為焦點，為焦距，長軸為的橢圓，將此橢圓繞旋轉(zhuǎn)一周，得到一個橢球，即點的軌跡是一個橢球，而橢球面為一個橢圓，由，即，得，設(shè)點在平面上的射影為，則，又，且，所以當且僅當時最大，即取到最大值，故選：B．8.已知，下列不等式恒成立的是（）A. B.C D.〖答案〗D〖解析〗令且，則，故在上遞減，又，所以，A錯誤；令且，則，所以上，遞減，上，遞增，而，此時不能比較，的大小，所以無法確定的大小，C錯誤；令且，則，故在上遞增，又，所以，B錯誤；由于，所以，故,D正確，故選：D．9.下列說法中，錯誤的有（）A.用決定系數(shù)來刻畫回歸效果時，的值越接近1，說明模型擬合的效果越好B.已知隨機變量，若，則C.對于隨機事件與，若，，則事件與獨立D.已知采用分層抽樣得到的商三年級100名男生和50名女生的身高情況為：男生樣本平均數(shù)為173，女生樣本平均數(shù)為164，則總體樣本平均數(shù)為170〖答案〗B〖解析〗由決定系數(shù)的定義可知，的值越接近1，說明模型擬合的效果越好，故A正確；由可得，，所以，且隨機變量，則，所以，故B錯誤；因為，，則，即，所以事件與獨立，故C正確；由題意可得，總體樣本平均數(shù)為，故D正確；故選：B10.已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的有（）A.的最小正周期為B.直線是圖像的一條對稱軸C.在上單調(diào)遞增D.若在區(qū)間上的最大值為，則〖答案〗D〖解析〗因為，則，故A錯誤；將代入計算可得，又，，所以直線不是圖像的一條對稱軸，故B錯誤；當時，，且在上不單調(diào)，故C錯誤；當時，，且在區(qū)間上的最大值為，則，解得，故D正確；故選：D11.已知為拋物線的焦點，點在拋物線上，過點的直線與拋物線交于，兩點（在第一象限），為坐標原點，拋物線的準線與軸的交點為，則下列說法正確的是（）A.當取最大值時，直線的方程為B.若點，則的最小值為3C.無論過點的直線在什么位置，兩條直線，的斜率之和為定值D.若點在拋物線準線上的射影為，則直線、的斜率之積為定值〖答案〗AC〖解析〗拋物線的焦點，準線方程為，則，設(shè)直線，聯(lián)立，得，當且僅當與拋物線相切時，取得最大值，由，得，直線的斜率為，又在第一象限，所以直線的斜率為，此時取得最大值，直線的方程為，故A正確；因為，則在準線上的射影為，過點作垂直準線，垂足為，連接，則，所以，當且僅當，，三點共線時等號成立，故B錯誤；對于C：由題意知，，且的斜率不為，設(shè)方程為，，，，聯(lián)立直線與拋物線的方程，整理得，顯然，則，，所以，，則，即無論過點的直線在什么位置，兩條直線，的斜率之和為定值，故C正確；對于D：由C選項可知，則，又，所以（不為定值），故D錯誤.故選：AC.12.某軍區(qū)紅、藍兩方進行戰(zhàn)斗演習(xí)，假設(shè)雙方兵力（戰(zhàn)斗單位數(shù)）隨時間的變化遵循蘭徹斯特模型：，其中正實數(shù)，分別為紅、藍兩方的初始兵力，為戰(zhàn)斗時間；，分別為紅、藍兩方時刻的兵力；正實數(shù)，分別為紅方對藍方、藍方對紅方的戰(zhàn)斗效果系數(shù)；和分別為雙曲余弦函數(shù)和雙曲正弦函數(shù)．規(guī)定：當紅、藍兩方任何一方兵力為0時戰(zhàn)斗演習(xí)結(jié)束，另一方獲得戰(zhàn)斗演習(xí)勝利，并記戰(zhàn)斗持續(xù)時長為．則下列結(jié)論不正確的是（）A.若且，則B.若且，則C.若，則紅方獲得戰(zhàn)斗演習(xí)勝利D.若，則紅方獲得戰(zhàn)斗演習(xí)勝利〖答案〗C〖解析〗對于A，若且，則，即，所以，由可得，即A正確；對于B，當時根據(jù)A中的結(jié)論可知，所以藍方兵力先為，即，化簡可得，即，兩邊同時取對數(shù)可得，即，所以戰(zhàn)斗持續(xù)時長為，所以B正確；對于C，若紅方獲得戰(zhàn)斗演習(xí)勝利，則紅方可戰(zhàn)斗時間大于藍方即可，設(shè)紅方兵力為時所用時間為，藍方兵力為時所用時間為，即，可得同理可得，即，解得，又因為都為正實數(shù)，所以可得，紅方獲得戰(zhàn)斗演習(xí)勝利；所以可得C錯誤，D正確.故選：C.第Ⅱ卷非選擇題二、填空題13.中國空間站的主體結(jié)構(gòu)包括天和核心艙、問天實驗艙和夢天實驗艙．假設(shè)空間站要安排甲、乙等6名航天員開展實驗，三個實驗艙每個至少一人至多三人，則不同的安排方法有__________種．〖答案〗450〖解析〗若6名航天員三個實驗艙，三個實驗艙每個至少一人至多三人，若每組人數(shù)分別為，共有種，若每組人數(shù)分別為，共有種，綜上所有不同安排方法共有.故〖答案〗為：45014.已知實數(shù)，滿足，且，則的取值范圍是________.〖答案〗〖解析〗實數(shù)，滿足，且，若，則，所以，又，所以，則，即，則，所以與已知矛盾，故，要滿足，則，即，滿足該二元一次不等式的平面區(qū)域如下圖所示：設(shè)目標函數(shù)為，則，故直線的縱截距的取值范圍即可得的取值范圍，由可行域可得直線經(jīng)過時得縱截距的最大值，無最小值，又，所以，故，所以的取值范圍是.故〖答案〗為：.15.若動直線，圓，則直線與圓相交的最短弦長為__________．〖答案〗〖解析〗直線，則，令，解得，所以動直線恒過點，又圓的圓心為，半徑，所以，所以點在圓內(nèi)，所以當直線時直線與圓相交的弦長最短，最短弦長為.故〖答案〗為：.16.如圖，在棱長為2的正四面體中，，分別為棱，的中點，為線段的中點，球的表面與線段相切于點，則球被正四面體表面截得的截面周長為__________．〖答案〗〖解析〗在棱長為2的正四面體中，連接，過作于，如圖，

由分別為棱的中點，得，而平面，則平面，又平面，于是平面平面，而平面平面，因此平面，而，，，則，球半徑，，從而，球被平面截得的截面圓半徑，所以球被平面截得的截面周長.又為正四面體，所以球被正四面體的每個面截得的截面都為圓，且圓的半徑為，所以球被正四面體表面截得的截面周長為.故〖答案〗為：三、解答題17.記為數(shù)列的前項和．已知，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若數(shù)列滿足，求的前項和．解：（1）當時，若，則，兩式相減得，化簡得，而，故是以為首項，為公差的等差數(shù)列，故，（2）由上問得，故，，兩式相減得，，即，所以，故18.第31屆世界大學(xué)生夏季運動會（簡稱大運會）于2023年7月28日在四川成都開幕，這是中國西部城市第一次舉辦世界性綜合運動會．為開好本次大運會，各個行業(yè)都力爭做到報好．（1）某體校田徑隊在備戰(zhàn)期間對選手進行了考核，考核設(shè)有100米、400米和1500米三個項目，選手需要依次完成考核，成績合格后的積分分別記為，和（，，1，2），總成績?yōu)槔塾嫹e分和．考核規(guī)定：項目考核逐級進階，即選手只有在低一級里程項目考核合格后，才能進行下一級較高里程項目的考核，否則考核終止．對于100米和400米項目，每個項目選手必須考核2次，且全部達標才算合格；對于1500米項目，選手必須考核3次，但只要達標2次及以上就算合格．已知選手甲三個項目的達標率依次為，，，每次考核是否達標相互獨立．用表示選手甲考核積分的總成績，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）某體育用品店統(tǒng)計了2023年1~5月份運動器材銷量（單位：千套）與售價（單位：元）的情況，統(tǒng)計結(jié)果如下表所示：月份12345器材售價（元）10090807060銷量（千套）57.58910.5求的相關(guān)系數(shù)，并判斷銷量與售價是否有很強的線性相關(guān)性．（當時，可以認為兩個變量有很強的線性相關(guān)性；否則，沒有很強的線性相關(guān)性）（精確到0.001）．參考公式：對于一組數(shù)據(jù)，相關(guān)系數(shù)，參考數(shù)據(jù)：．解：（1）對于選手甲：記“米成績合格”、“米成績合格”、“米成績合格”分別為事件、、，則，，，由題意可得的可能取值有，所以，，，，可得的分布列為：所以.（2）依題意可得，，，，，則，與有很強的線性相關(guān)性.19.如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，，，二面角的大小為，點到底面的距離為．（1）若是的中點，求證：平面；（2）若，求點到平面的距離．（1）證明：取的中點，連接、，因為是的中點，所以且，又且，所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面.（2）解：取線段的中點為，線段的中點為，連接，因為為直角梯形，，所以，又，所以，因為，所以，又，平面，所以平面，過點在平面內(nèi)作直線，則直線兩兩垂直，以為原點，為軸正方向建立空間直角坐標系，過點作，交直線于點，因為，平面，，所以平面，故平面，又點P到底面的距離為，所以，因為，，所以為二面角的平面角，由已知可得，所以，所以，所以，所以，，因為，所以，所以設(shè)平面的法向量為，則，所以，令，則，所以為平面的一個法向量，所以點到平面的距離.20.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)函數(shù)，若恰有兩個極值點，求實數(shù)的取值范圍．解：（1）易知的定義域為，而，令，，令，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）由題意得，，若恰有兩個極值點，則在有兩個變號零點，易知是的零點，令，化簡得，故與有一個交點即可，而定義域為，而，當時，恒成立，故在上單調(diào)遞增，而，當時，，故.故實數(shù)的取值范圍為.21.在平面直角坐標系中，圓，，是圓上的一個動點，線段的垂直平分線與直線交于點．記點的軌跡為曲線．（1）求曲線的方程；（2）若動直線與曲線相交于、兩點，設(shè)，，且，，，記直線、的斜率分別為、，若，求點到直線的距離的取值范圍．解：（1）圓的圓心為，半徑，如圖所示，連接，根據(jù)題意，，則，點的軌跡是以，為焦點的雙曲線，設(shè)雙曲線方程為，其中，，，，則，故所求的方程為．（2）依題意直線的斜率不為，設(shè)直線的方程為，由，消去整理得，在的條件下，，，由，可得，即，即，則，即，即，即，解得或，當直線的方程為過點，不符合題意，舍去；所以直線的方程為，則，由，，且，，所以，故，所以，則，則，即點到直線的距離的取值范圍為.請考生在第22題，23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分.選修4-4：坐標系與參數(shù)方程22.在直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為.（1）求的普通方程和的直角坐標方程；（2）與交于兩點，是上不同于的一點，若的面積為，求點的坐標.解：（1）因，所以，所以的普通方程為.直線的極坐標方程為，即，由，則化為直角坐標方程為.（2）圓心到直線的距離為，則，設(shè)且，所以點到直線的距離，由的面積為知，，所以，則，所以或，解得或，故點的坐標為或.選修4-5：不等式選講23.已知函數(shù).（1）當時，求不等式解集；（2）若，使得不等式成立，求實數(shù)的取值范圍.（1）解：當時，，當時，由，解得，此時；當時，由，解得，此時；當時，由，解得，此時.綜上所述，當時，不等式的解集為.（2）解：，使得不等式成立，所以，使得成立，因為，所以，即，使得成立，因為在上單調(diào)遞減，則當時，函數(shù)取得最小值，又因為在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且當時，；當時，.故當時，函數(shù)取得最大值.所以，，解得.因此，實數(shù)的取值范圍是.陜西省咸陽市普集街道部分學(xué)校2024屆高三下學(xué)期高考模擬考試（三）數(shù)學(xué)試題（理）第Ⅰ卷選擇題一、選擇題1.已知復(fù)數(shù)，是方程的兩個復(fù)數(shù)根，且，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因為復(fù)數(shù)，是方程的兩個復(fù)數(shù)根，且，所以，解得，所以，即，所以，或，，所以或，所以.故選：B2.如圖所示的Venn圖中，、是非空集合，定義集合為陰影部分表示的集合．若，，則（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗因為，，則,，由集合的運算可知，表示中去掉的部分，所以.故選：D3.給出下列四個命題，其中正確命題為（）A.“，”的否定是“，”B.若是奇函數(shù)，則C.若的定義域為，，都有，且滿足，則是偶函數(shù)D.“”是“”的必要不充分條件〖答案〗C〖解析〗對于A，“，”的否定是“，”，故A錯誤；對于B，若是奇函數(shù)，且在處有定義，則，故B錯誤；對于C，由偶函數(shù)的定義可知，若的定義域為，，都有，且滿足，則是偶函數(shù)，故C正確；對于D，推不出，比如，則；且推不出，比如，所以“”是“”的既不充分也不必要條件，故D錯誤；故選：C4.某四面體的三視圖如圖所示，正視圖、俯視圖都是腰長為的等腰直角三角形，側(cè)視圖是邊長為的正方形，則此四面體的四個面中面積最大值為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗四面體實物圖如下圖所示：可知該幾何體是邊長為的正方體的內(nèi)接三棱錐，如上圖所示，是邊長為的等邊三角形，其面積為；是直角三角形，且直角邊為，，其面積為；是直角三角形，且直角邊為，其面積為；是直角三角形，且直角邊為，，其面積為.因此，此四面體的四個面中面積最大值為.故選：B.5.已知等差數(shù)列的前項和為，若，，且，則數(shù)列的前2024項和為（）A.2023 B.2024 C.4046 D.4048〖答案〗D〖解析〗設(shè)首項為，公差為，由已知得，，可得，解得，故，若，故，而數(shù)列的前2024項和為.故選：D6.已知，是兩個單位向量，且，若向量滿足，則的最大值為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗已知是兩個單位向量，且，則，則，則，設(shè)分別是軸與軸正方向上的單位向量，則，，，設(shè)，則，因為，所以，故中，點的軌跡是以為圓心，2為半徑的圓，圓心到原點的距離為，．故選：B．7.已知正方形的邊長為2，是平面外一點，設(shè)直線與平面的夾角為，若，則的最大值是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意知，點為動點，、為定點，，由橢圓的定義知，點的軌跡是以、為焦點，為焦距，長軸為的橢圓，將此橢圓繞旋轉(zhuǎn)一周，得到一個橢球，即點的軌跡是一個橢球，而橢球面為一個橢圓，由，即，得，設(shè)點在平面上的射影為，則，又，且，所以當且僅當時最大，即取到最大值，故選：B．8.已知，下列不等式恒成立的是（）A. B.C D.〖答案〗D〖解析〗令且，則，故在上遞減，又，所以，A錯誤；令且，則，所以上，遞減，上，遞增，而，此時不能比較，的大小，所以無法確定的大小，C錯誤；令且，則，故在上遞增，又，所以，B錯誤；由于，所以，故,D正確，故選：D．9.下列說法中，錯誤的有（）A.用決定系數(shù)來刻畫回歸效果時，的值越接近1，說明模型擬合的效果越好B.已知隨機變量，若，則C.對于隨機事件與，若，，則事件與獨立D.已知采用分層抽樣得到的商三年級100名男生和50名女生的身高情況為：男生樣本平均數(shù)為173，女生樣本平均數(shù)為164，則總體樣本平均數(shù)為170〖答案〗B〖解析〗由決定系數(shù)的定義可知，的值越接近1，說明模型擬合的效果越好，故A正確；由可得，，所以，且隨機變量，則，所以，故B錯誤；因為，，則，即，所以事件與獨立，故C正確；由題意可得，總體樣本平均數(shù)為，故D正確；故選：B10.已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的有（）A.的最小正周期為B.直線是圖像的一條對稱軸C.在上單調(diào)遞增D.若在區(qū)間上的最大值為，則〖答案〗D〖解析〗因為，則，故A錯誤；將代入計算可得，又，，所以直線不是圖像的一條對稱軸，故B錯誤；當時，，且在上不單調(diào)，故C錯誤；當時，，且在區(qū)間上的最大值為，則，解得，故D正確；故選：D11.已知為拋物線的焦點，點在拋物線上，過點的直線與拋物線交于，兩點（在第一象限），為坐標原點，拋物線的準線與軸的交點為，則下列說法正確的是（）A.當取最大值時，直線的方程為B.若點，則的最小值為3C.無論過點的直線在什么位置，兩條直線，的斜率之和為定值D.若點在拋物線準線上的射影為，則直線、的斜率之積為定值〖答案〗AC〖解析〗拋物線的焦點，準線方程為，則，設(shè)直線，聯(lián)立，得，當且僅當與拋物線相切時，取得最大值，由，得，直線的斜率為，又在第一象限，所以直線的斜率為，此時取得最大值，直線的方程為，故A正確；因為，則在準線上的射影為，過點作垂直準線，垂足為，連接，則，所以，當且僅當，，三點共線時等號成立，故B錯誤；對于C：由題意知，，且的斜率不為，設(shè)方程為，，，，聯(lián)立直線與拋物線的方程，整理得，顯然，則，，所以，，則，即無論過點的直線在什么位置，兩條直線，的斜率之和為定值，故C正確；對于D：由C選項可知，則，又，所以（不為定值），故D錯誤.故選：AC.12.某軍區(qū)紅、藍兩方進行戰(zhàn)斗演習(xí)，假設(shè)雙方兵力（戰(zhàn)斗單位數(shù)）隨時間的變化遵循蘭徹斯特模型：，其中正實數(shù)，分別為紅、藍兩方的初始兵力，為戰(zhàn)斗時間；，分別為紅、藍兩方時刻的兵力；正實數(shù)，分別為紅方對藍方、藍方對紅方的戰(zhàn)斗效果系數(shù)；和分別為雙曲余弦函數(shù)和雙曲正弦函數(shù)．規(guī)定：當紅、藍兩方任何一方兵力為0時戰(zhàn)斗演習(xí)結(jié)束，另一方獲得戰(zhàn)斗演習(xí)勝利，并記戰(zhàn)斗持續(xù)時長為．則下列結(jié)論不正確的是（）A.若且，則B.若且，則C.若，則紅方獲得戰(zhàn)斗演習(xí)勝利D.若，則紅方獲得戰(zhàn)斗演習(xí)勝利〖答案〗C〖解析〗對于A，若且，則，即，所以，由可得，即A正確；對于B，當時根據(jù)A中的結(jié)論可知，所以藍方兵力先為，即，化簡可得，即，兩邊同時取對數(shù)可得，即，所以戰(zhàn)斗持續(xù)時長為，所以B正確；對于C，若紅方獲得戰(zhàn)斗演習(xí)勝利，則紅方可戰(zhàn)斗時間大于藍方即可，設(shè)紅方兵力為時所用時間為，藍方兵力為時所用時間為，即，可得同理可得，即，解得，又因為都為正實數(shù)，所以可得，紅方獲得戰(zhàn)斗演習(xí)勝利；所以可得C錯誤，D正確.故選：C.第Ⅱ卷非選擇題二、填空題13.中國空間站的主體結(jié)構(gòu)包括天和核心艙、問天實驗艙和夢天實驗艙．假設(shè)空間站要安排甲、乙等6名航天員開展實驗，三個實驗艙每個至少一人至多三人，則不同的安排方法有__________種．〖答案〗450〖解析〗若6名航天員三個實驗艙，三個實驗艙每個至少一人至多三人，若每組人數(shù)分別為，共有種，若每組人數(shù)分別為，共有種，綜上所有不同安排方法共有.故〖答案〗為：45014.已知實數(shù)，滿足，且，則的取值范圍是________.〖答案〗〖解析〗實數(shù)，滿足，且，若，則，所以，又，所以，則，即，則，所以與已知矛盾，故，要滿足，則，即，滿足該二元一次不等式的平面區(qū)域如下圖所示：設(shè)目標函數(shù)為，則，故直線的縱截距的取值范圍即可得的取值范圍，由可行域可得直線經(jīng)過時得縱截距的最大值，無最小值，又，所以，故，所以的取值范圍是.故〖答案〗為：.15.若動直線，圓，則直線與圓相交的最短弦長為__________．〖答案〗〖解析〗直線，則，令，解得，所以動直線恒過點，又圓的圓心為，半徑，所以，所以點在圓內(nèi)，所以當直線時直線與圓相交的弦長最短，最短弦長為.故〖答案〗為：.16.如圖，在棱長為2的正四面體中，，分別為棱，的中點，為線段的中點，球的表面與線段相切于點，則球被正四面體表面截得的截面周長為__________．〖答案〗〖解析〗在棱長為2的正四面體中，連接，過作于，如圖，

由分別為棱的中點，得，而平面，則平面，又平面，于是平面平面，而平面平面，因此平面，而，，，則，球半徑，，從而，球被平面截得的截面圓半徑，所以球被平面截得的截面周長.又為正四面體，所以球被正四面體的每個面截得的截面都為圓，且圓的半徑為，所以球被正四面體表面截得的截面周長為.故〖答案〗為：三、解答題17.記為數(shù)列的前項和．已知，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若數(shù)列滿足，求的前項和．解：（1）當時，若，則，兩式相減得，化簡得，而，故是以為首項，為公差的等差數(shù)列，故，（2）由上問得，故，，兩式相減得，，即，所以，故18.第31屆世界大學(xué)生夏季運動會（簡稱大運會）于2023年7月28日在四川成都開幕，這是中國西部城市第一次舉辦世界性綜合運動會．為開好本次大運會，各個行業(yè)都力爭做到報好．（1）某體校田徑隊在備戰(zhàn)期間對選手進行了考核，考核設(shè)有100米、400米和1500米三個項目，選手需要依次完成考核，成績合格后的積分分別記為，和（，，1，2），總成績?yōu)槔塾嫹e分和．考核規(guī)定：項目考核逐級進階，即選手只有在低一級里程項目考核合格后，才能進行下一級較高里程項目的考核，否則考核終止．對于100米和400米項目，每個項目選手必須考核2次，且全部達標才算合格；對于1500米項目，選手必須考核3次，但只要達標2次及以上就算合格．已知選手甲三個項目的達標率依次為，，，每次考核是否達標相互獨立．用表示選手甲考核積分的總成績，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）某體育用品店統(tǒng)計了2023年1~5月份運動器材銷量（單位：千套）與售價（單位：元）的情況，統(tǒng)計結(jié)果如下表所示：月份12345器材售價（元）10090807060銷量（千套）57.58910.5求的相關(guān)系數(shù)，并判斷銷量與售價是否有很強的線性相關(guān)性．（當時，可以認為兩個變量有很強的線性相關(guān)性；否則，沒有很強的線性相關(guān)性）（精確到0.001）．參考公式：對于一組數(shù)據(jù)，相關(guān)系數(shù)，參考數(shù)據(jù)：．解：（1）對于選手甲：記“米成績合格”、“米成績合格”、“米成績合格”分別為事件、、，則，，，由題意可得的可能取值有，所以，，，，可得的分布列為：所以.（2）依題意可得，，，，，則，與有很強的線性相關(guān)性.19.如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，，，二面角的大小為，點到底面的距離為．（1）若是的中點，求證：平面；（2）若，求點到平面的距離．（1）證明：取的中點，連接、，因為是的中點，所以且，又且，所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面.（2）解：取線段的中點為，線段的中點為，連接，因為為直角梯形，，所以，又，所以，因為，所以，又，平面，所以平面，過點在平面內(nèi)作直線，則直線兩兩垂直，以為原點，為軸正方向建立空間直角坐標系，