2024屆陜西省咸陽市普集街道部分學(xué)校高三下學(xué)期高考模擬考試（三）數(shù)學(xué)試題（理）（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE3陜西省咸陽市普集街道部分學(xué)校2024屆高三下學(xué)期高考模擬考試（三）數(shù)學(xué)試題（理）第Ⅰ卷選擇題一、選擇題1.已知復(fù)數(shù)，是方程的兩個(gè)復(fù)數(shù)根，且，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)閺?fù)數(shù)，是方程的兩個(gè)復(fù)數(shù)根，且，所以，解得，所以，即，所以，或，，所以或，所以.故選：B2.如圖所示的Venn圖中，、是非空集合，定義集合為陰影部分表示的集合．若，，則（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)椋?，則,，由集合的運(yùn)算可知，表示中去掉的部分，所以.故選：D3.給出下列四個(gè)命題，其中正確命題為（）A.“，”的否定是“，”B.若是奇函數(shù)，則C.若的定義域?yàn)?，，都有，且滿足，則是偶函數(shù)D.“”是“”的必要不充分條件〖答案〗C〖解析〗對于A，“，”的否定是“，”，故A錯(cuò)誤；對于B，若是奇函數(shù)，且在處有定義，則，故B錯(cuò)誤；對于C，由偶函數(shù)的定義可知，若的定義域?yàn)?，，都有，且滿足，則是偶函數(shù)，故C正確；對于D，推不出，比如，則；且推不出，比如，所以“”是“”的既不充分也不必要條件，故D錯(cuò)誤；故選：C4.某四面體的三視圖如圖所示，正視圖、俯視圖都是腰長為的等腰直角三角形，側(cè)視圖是邊長為的正方形，則此四面體的四個(gè)面中面積最大值為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗四面體實(shí)物圖如下圖所示：可知該幾何體是邊長為的正方體的內(nèi)接三棱錐，如上圖所示，是邊長為的等邊三角形，其面積為；是直角三角形，且直角邊為，，其面積為；是直角三角形，且直角邊為，其面積為；是直角三角形，且直角邊為，，其面積為.因此，此四面體的四個(gè)面中面積最大值為.故選：B.5.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，且，則數(shù)列的前2024項(xiàng)和為（）A.2023 B.2024 C.4046 D.4048〖答案〗D〖解析〗設(shè)首項(xiàng)為，公差為，由已知得，，可得，解得，故，若，故，而數(shù)列的前2024項(xiàng)和為.故選：D6.已知，是兩個(gè)單位向量，且，若向量滿足，則的最大值為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗已知是兩個(gè)單位向量，且，則，則，則，設(shè)分別是軸與軸正方向上的單位向量，則，，，設(shè)，則，因?yàn)?，所以，故中，點(diǎn)的軌跡是以為圓心，2為半徑的圓，圓心到原點(diǎn)的距離為，．故選：B．7.已知正方形的邊長為2，是平面外一點(diǎn)，設(shè)直線與平面的夾角為，若，則的最大值是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意知，點(diǎn)為動點(diǎn)，、為定點(diǎn)，，由橢圓的定義知，點(diǎn)的軌跡是以、為焦點(diǎn)，為焦距，長軸為的橢圓，將此橢圓繞旋轉(zhuǎn)一周，得到一個(gè)橢球，即點(diǎn)的軌跡是一個(gè)橢球，而橢球面為一個(gè)橢圓，由，即，得，設(shè)點(diǎn)在平面上的射影為，則，又，且，所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)最大，即取到最大值，故選：B．8.已知，下列不等式恒成立的是（）A. B.C D.〖答案〗D〖解析〗令且，則，故在上遞減，又，所以，A錯(cuò)誤；令且，則，所以上，遞減，上，遞增，而，此時(shí)不能比較，的大小，所以無法確定的大小，C錯(cuò)誤；令且，則，故在上遞增，又，所以，B錯(cuò)誤；由于，所以，故,D正確，故選：D．9.下列說法中，錯(cuò)誤的有（）A.用決定系數(shù)來刻畫回歸效果時(shí)，的值越接近1，說明模型擬合的效果越好B.已知隨機(jī)變量，若，則C.對于隨機(jī)事件與，若，，則事件與獨(dú)立D.已知采用分層抽樣得到的商三年級100名男生和50名女生的身高情況為：男生樣本平均數(shù)為173，女生樣本平均數(shù)為164，則總體樣本平均數(shù)為170〖答案〗B〖解析〗由決定系數(shù)的定義可知，的值越接近1，說明模型擬合的效果越好，故A正確；由可得，，所以，且隨機(jī)變量，則，所以，故B錯(cuò)誤；因?yàn)?，，則，即，所以事件與獨(dú)立，故C正確；由題意可得，總體樣本平均數(shù)為，故D正確；故選：B10.已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的有（）A.的最小正周期為B.直線是圖像的一條對稱軸C.在上單調(diào)遞增D.若在區(qū)間上的最大值為，則〖答案〗D〖解析〗因?yàn)?，則，故A錯(cuò)誤；將代入計(jì)算可得，又，，所以直線不是圖像的一條對稱軸，故B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，且在上不單調(diào)，故C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，且在區(qū)間上的最大值為，則，解得，故D正確；故選：D11.已知為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，過點(diǎn)的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)（在第一象限），為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線的準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為，則下列說法正確的是（）A.當(dāng)取最大值時(shí)，直線的方程為B.若點(diǎn)，則的最小值為3C.無論過點(diǎn)的直線在什么位置，兩條直線，的斜率之和為定值D.若點(diǎn)在拋物線準(zhǔn)線上的射影為，則直線、的斜率之積為定值〖答案〗AC〖解析〗拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，則，設(shè)直線，聯(lián)立，得，當(dāng)且僅當(dāng)與拋物線相切時(shí)，取得最大值，由，得，直線的斜率為，又在第一象限，所以直線的斜率為，此時(shí)取得最大值，直線的方程為，故A正確；因?yàn)?，則在準(zhǔn)線上的射影為，過點(diǎn)作垂直準(zhǔn)線，垂足為，連接，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)等號成立，故B錯(cuò)誤；對于C：由題意知，，且的斜率不為，設(shè)方程為，，，，聯(lián)立直線與拋物線的方程，整理得，顯然，則，，所以，，則，即無論過點(diǎn)的直線在什么位置，兩條直線，的斜率之和為定值，故C正確；對于D：由C選項(xiàng)可知，則，又，所以（不為定值），故D錯(cuò)誤.故選：AC.12.某軍區(qū)紅、藍(lán)兩方進(jìn)行戰(zhàn)斗演習(xí)，假設(shè)雙方兵力（戰(zhàn)斗單位數(shù)）隨時(shí)間的變化遵循蘭徹斯特模型：，其中正實(shí)數(shù)，分別為紅、藍(lán)兩方的初始兵力，為戰(zhàn)斗時(shí)間；，分別為紅、藍(lán)兩方時(shí)刻的兵力；正實(shí)數(shù)，分別為紅方對藍(lán)方、藍(lán)方對紅方的戰(zhàn)斗效果系數(shù)；和分別為雙曲余弦函數(shù)和雙曲正弦函數(shù)．規(guī)定：當(dāng)紅、藍(lán)兩方任何一方兵力為0時(shí)戰(zhàn)斗演習(xí)結(jié)束，另一方獲得戰(zhàn)斗演習(xí)勝利，并記戰(zhàn)斗持續(xù)時(shí)長為．則下列結(jié)論不正確的是（）A.若且，則B.若且，則C.若，則紅方獲得戰(zhàn)斗演習(xí)勝利D.若，則紅方獲得戰(zhàn)斗演習(xí)勝利〖答案〗C〖解析〗對于A，若且，則，即，所以，由可得，即A正確；對于B，當(dāng)時(shí)根據(jù)A中的結(jié)論可知，所以藍(lán)方兵力先為，即，化簡可得，即，兩邊同時(shí)取對數(shù)可得，即，所以戰(zhàn)斗持續(xù)時(shí)長為，所以B正確；對于C，若紅方獲得戰(zhàn)斗演習(xí)勝利，則紅方可戰(zhàn)斗時(shí)間大于藍(lán)方即可，設(shè)紅方兵力為時(shí)所用時(shí)間為，藍(lán)方兵力為時(shí)所用時(shí)間為，即，可得同理可得，即，解得，又因?yàn)槎紴檎龑?shí)數(shù)，所以可得，紅方獲得戰(zhàn)斗演習(xí)勝利；所以可得C錯(cuò)誤，D正確.故選：C.第Ⅱ卷非選擇題二、填空題13.中國空間站的主體結(jié)構(gòu)包括天和核心艙、問天實(shí)驗(yàn)艙和夢天實(shí)驗(yàn)艙．假設(shè)空間站要安排甲、乙等6名航天員開展實(shí)驗(yàn)，三個(gè)實(shí)驗(yàn)艙每個(gè)至少一人至多三人，則不同的安排方法有__________種．〖答案〗450〖解析〗若6名航天員三個(gè)實(shí)驗(yàn)艙，三個(gè)實(shí)驗(yàn)艙每個(gè)至少一人至多三人，若每組人數(shù)分別為，共有種，若每組人數(shù)分別為，共有種，綜上所有不同安排方法共有.故〖答案〗為：45014.已知實(shí)數(shù)，滿足，且，則的取值范圍是________.〖答案〗〖解析〗實(shí)數(shù)，滿足，且，若，則，所以，又，所以，則，即，則，所以與已知矛盾，故，要滿足，則，即，滿足該二元一次不等式的平面區(qū)域如下圖所示：設(shè)目標(biāo)函數(shù)為，則，故直線的縱截距的取值范圍即可得的取值范圍，由可行域可得直線經(jīng)過時(shí)得縱截距的最大值，無最小值，又，所以，故，所以的取值范圍是.故〖答案〗為：.15.若動直線，圓，則直線與圓相交的最短弦長為__________．〖答案〗〖解析〗直線，則，令，解得，所以動直線恒過點(diǎn)，又圓的圓心為，半徑，所以，所以點(diǎn)在圓內(nèi)，所以當(dāng)直線時(shí)直線與圓相交的弦長最短，最短弦長為.故〖答案〗為：.16.如圖，在棱長為2的正四面體中，，分別為棱，的中點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，球的表面與線段相切于點(diǎn)，則球被正四面體表面截得的截面周長為__________．〖答案〗〖解析〗在棱長為2的正四面體中，連接，過作于，如圖，

由分別為棱的中點(diǎn)，得，而平面，則平面，又平面，于是平面平面，而平面平面，因此平面，而，，，則，球半徑，，從而，球被平面截得的截面圓半徑，所以球被平面截得的截面周長.又為正四面體，所以球被正四面體的每個(gè)面截得的截面都為圓，且圓的半徑為，所以球被正四面體表面截得的截面周長為.故〖答案〗為：三、解答題17.記為數(shù)列的前項(xiàng)和．已知，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列滿足，求的前項(xiàng)和．解：（1）當(dāng)時(shí)，若，則，兩式相減得，化簡得，而，故是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，故，（2）由上問得，故，，兩式相減得，，即，所以，故18.第31屆世界大學(xué)生夏季運(yùn)動會（簡稱大運(yùn)會）于2023年7月28日在四川成都開幕，這是中國西部城市第一次舉辦世界性綜合運(yùn)動會．為開好本次大運(yùn)會，各個(gè)行業(yè)都力爭做到報(bào)好．（1）某體校田徑隊(duì)在備戰(zhàn)期間對選手進(jìn)行了考核，考核設(shè)有100米、400米和1500米三個(gè)項(xiàng)目，選手需要依次完成考核，成績合格后的積分分別記為，和（，，1，2），總成績?yōu)槔塾?jì)積分和．考核規(guī)定：項(xiàng)目考核逐級進(jìn)階，即選手只有在低一級里程項(xiàng)目考核合格后，才能進(jìn)行下一級較高里程項(xiàng)目的考核，否則考核終止．對于100米和400米項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目選手必須考核2次，且全部達(dá)標(biāo)才算合格；對于1500米項(xiàng)目，選手必須考核3次，但只要達(dá)標(biāo)2次及以上就算合格．已知選手甲三個(gè)項(xiàng)目的達(dá)標(biāo)率依次為，，，每次考核是否達(dá)標(biāo)相互獨(dú)立．用表示選手甲考核積分的總成績，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）某體育用品店統(tǒng)計(jì)了2023年1~5月份運(yùn)動器材銷量（單位：千套）與售價(jià)（單位：元）的情況，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表所示：月份12345器材售價(jià)（元）10090807060銷量（千套）57.58910.5求的相關(guān)系數(shù)，并判斷銷量與售價(jià)是否有很強(qiáng)的線性相關(guān)性．（當(dāng)時(shí)，可以認(rèn)為兩個(gè)變量有很強(qiáng)的線性相關(guān)性；否則，沒有很強(qiáng)的線性相關(guān)性）（精確到0.001）．參考公式：對于一組數(shù)據(jù)，相關(guān)系數(shù)，參考數(shù)據(jù)：．解：（1）對于選手甲：記“米成績合格”、“米成績合格”、“米成績合格”分別為事件、、，則，，，由題意可得的可能取值有，所以，，，，可得的分布列為：所以.（2）依題意可得，，，，，則，與有很強(qiáng)的線性相關(guān)性.19.如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，，，二面角的大小為，點(diǎn)到底面的距離為．（1）若是的中點(diǎn)，求證：平面；（2）若，求點(diǎn)到平面的距離．（1）證明：取的中點(diǎn)，連接、，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以且，又且，所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面.（2）解：取線段的中點(diǎn)為，線段的中點(diǎn)為，連接，因?yàn)闉橹苯翘菪?，，所以，又，所以，因?yàn)?，所以，又，平面，所以平面，過點(diǎn)在平面內(nèi)作直線，則直線兩兩垂直，以為原點(diǎn)，為軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，過點(diǎn)作，交直線于點(diǎn)，因?yàn)?，平面，，所以平面，故平面，又點(diǎn)P到底面的距離為，所以，因?yàn)?，，所以為二面角的平面角，由已知可得，所以，所以，所以，所以，，因?yàn)?，所以，所以設(shè)平面的法向量為，則，所以，令，則，所以為平面的一個(gè)法向量，所以點(diǎn)到平面的距離.20.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)函數(shù)，若恰有兩個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（1）易知的定義域?yàn)?，而，令，，令，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）由題意得，，若恰有兩個(gè)極值點(diǎn)，則在有兩個(gè)變號零點(diǎn)，易知是的零點(diǎn)，令，化簡得，故與有一個(gè)交點(diǎn)即可，而定義域?yàn)?，而，?dāng)時(shí)，恒成立，故在上單調(diào)遞增，而，當(dāng)時(shí)，，故.故實(shí)數(shù)的取值范圍為.21.在平面直角坐標(biāo)系中，圓，，是圓上的一個(gè)動點(diǎn)，線段的垂直平分線與直線交于點(diǎn)．記點(diǎn)的軌跡為曲線．（1）求曲線的方程；（2）若動直線與曲線相交于、兩點(diǎn)，設(shè)，，且，，，記直線、的斜率分別為、，若，求點(diǎn)到直線的距離的取值范圍．解：（1）圓的圓心為，半徑，如圖所示，連接，根據(jù)題意，，則，點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)的雙曲線，設(shè)雙曲線方程為，其中，，，，則，故所求的方程為．（2）依題意直線的斜率不為，設(shè)直線的方程為，由，消去整理得，在的條件下，，，由，可得，即，即，則，即，即，即，解得或，當(dāng)直線的方程為過點(diǎn)，不符合題意，舍去；所以直線的方程為，則，由，，且，，所以，故，所以，則，則，即點(diǎn)到直線的距離的取值范圍為.請考生在第22題，23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程22.在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為.（1）求的普通方程和的直角坐標(biāo)方程；（2）與交于兩點(diǎn)，是上不同于的一點(diǎn)，若的面積為，求點(diǎn)的坐標(biāo).解：（1）因，所以，所以的普通方程為.直線的極坐標(biāo)方程為，即，由，則化為直角坐標(biāo)方程為.（2）圓心到直線的距離為，則，設(shè)且，所以點(diǎn)到直線的距離，由的面積為知，，所以，則，所以或，解得或，故點(diǎn)的坐標(biāo)為或.選修4-5：不等式選講23.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求不等式解集；（2）若，使得不等式成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.（1）解：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，由，解得，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，由，解得，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，由，解得，此時(shí).綜上所述，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為.（2）解：，使得不等式成立，所以，使得成立，因?yàn)?，所以，即，使得成立，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，則當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.故當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值.所以，，解得.因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.陜西省咸陽市普集街道部分學(xué)校2024屆高三下學(xué)期高考模擬考試（三）數(shù)學(xué)試題（理）第Ⅰ卷選擇題一、選擇題1.已知復(fù)數(shù)，是方程的兩個(gè)復(fù)數(shù)根，且，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)閺?fù)數(shù)，是方程的兩個(gè)復(fù)數(shù)根，且，所以，解得，所以，即，所以，或，，所以或，所以.故選：B2.如圖所示的Venn圖中，、是非空集合，定義集合為陰影部分表示的集合．若，，則（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)?，，則,，由集合的運(yùn)算可知，表示中去掉的部分，所以.故選：D3.給出下列四個(gè)命題，其中正確命題為（）A.“，”的否定是“，”B.若是奇函數(shù)，則C.若的定義域?yàn)?，，都有，且滿足，則是偶函數(shù)D.“”是“”的必要不充分條件〖答案〗C〖解析〗對于A，“，”的否定是“，”，故A錯(cuò)誤；對于B，若是奇函數(shù)，且在處有定義，則，故B錯(cuò)誤；對于C，由偶函數(shù)的定義可知，若的定義域?yàn)?，，都有，且滿足，則是偶函數(shù)，故C正確；對于D，推不出，比如，則；且推不出，比如，所以“”是“”的既不充分也不必要條件，故D錯(cuò)誤；故選：C4.某四面體的三視圖如圖所示，正視圖、俯視圖都是腰長為的等腰直角三角形，側(cè)視圖是邊長為的正方形，則此四面體的四個(gè)面中面積最大值為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗四面體實(shí)物圖如下圖所示：可知該幾何體是邊長為的正方體的內(nèi)接三棱錐，如上圖所示，是邊長為的等邊三角形，其面積為；是直角三角形，且直角邊為，，其面積為；是直角三角形，且直角邊為，其面積為；是直角三角形，且直角邊為，，其面積為.因此，此四面體的四個(gè)面中面積最大值為.故選：B.5.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，且，則數(shù)列的前2024項(xiàng)和為（）A.2023 B.2024 C.4046 D.4048〖答案〗D〖解析〗設(shè)首項(xiàng)為，公差為，由已知得，，可得，解得，故，若，故，而數(shù)列的前2024項(xiàng)和為.故選：D6.已知，是兩個(gè)單位向量，且，若向量滿足，則的最大值為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗已知是兩個(gè)單位向量，且，則，則，則，設(shè)分別是軸與軸正方向上的單位向量，則，，，設(shè)，則，因?yàn)?，所以，故中，點(diǎn)的軌跡是以為圓心，2為半徑的圓，圓心到原點(diǎn)的距離為，．故選：B．7.已知正方形的邊長為2，是平面外一點(diǎn)，設(shè)直線與平面的夾角為，若，則的最大值是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意知，點(diǎn)為動點(diǎn)，、為定點(diǎn)，，由橢圓的定義知，點(diǎn)的軌跡是以、為焦點(diǎn)，為焦距，長軸為的橢圓，將此橢圓繞旋轉(zhuǎn)一周，得到一個(gè)橢球，即點(diǎn)的軌跡是一個(gè)橢球，而橢球面為一個(gè)橢圓，由，即，得，設(shè)點(diǎn)在平面上的射影為，則，又，且，所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)最大，即取到最大值，故選：B．8.已知，下列不等式恒成立的是（）A. B.C D.〖答案〗D〖解析〗令且，則，故在上遞減，又，所以，A錯(cuò)誤；令且，則，所以上，遞減，上，遞增，而，此時(shí)不能比較，的大小，所以無法確定的大小，C錯(cuò)誤；令且，則，故在上遞增，又，所以，B錯(cuò)誤；由于，所以，故,D正確，故選：D．9.下列說法中，錯(cuò)誤的有（）A.用決定系數(shù)來刻畫回歸效果時(shí)，的值越接近1，說明模型擬合的效果越好B.已知隨機(jī)變量，若，則C.對于隨機(jī)事件與，若，，則事件與獨(dú)立D.已知采用分層抽樣得到的商三年級100名男生和50名女生的身高情況為：男生樣本平均數(shù)為173，女生樣本平均數(shù)為164，則總體樣本平均數(shù)為170〖答案〗B〖解析〗由決定系數(shù)的定義可知，的值越接近1，說明模型擬合的效果越好，故A正確；由可得，，所以，且隨機(jī)變量，則，所以，故B錯(cuò)誤；因?yàn)?，，則，即，所以事件與獨(dú)立，故C正確；由題意可得，總體樣本平均數(shù)為，故D正確；故選：B10.已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的有（）A.的最小正周期為B.直線是圖像的一條對稱軸C.在上單調(diào)遞增D.若在區(qū)間上的最大值為，則〖答案〗D〖解析〗因?yàn)?，則，故A錯(cuò)誤；將代入計(jì)算可得，又，，所以直線不是圖像的一條對稱軸，故B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，且在上不單調(diào)，故C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，且在區(qū)間上的最大值為，則，解得，故D正確；故選：D11.已知為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，過點(diǎn)的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)（在第一象限），為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線的準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為，則下列說法正確的是（）A.當(dāng)取最大值時(shí)，直線的方程為B.若點(diǎn)，則的最小值為3C.無論過點(diǎn)的直線在什么位置，兩條直線，的斜率之和為定值D.若點(diǎn)在拋物線準(zhǔn)線上的射影為，則直線、的斜率之積為定值〖答案〗AC〖解析〗拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，則，設(shè)直線，聯(lián)立，得，當(dāng)且僅當(dāng)與拋物線相切時(shí)，取得最大值，由，得，直線的斜率為，又在第一象限，所以直線的斜率為，此時(shí)取得最大值，直線的方程為，故A正確；因?yàn)?，則在準(zhǔn)線上的射影為，過點(diǎn)作垂直準(zhǔn)線，垂足為，連接，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)等號成立，故B錯(cuò)誤；對于C：由題意知，，且的斜率不為，設(shè)方程為，，，，聯(lián)立直線與拋物線的方程，整理得，顯然，則，，所以，，則，即無論過點(diǎn)的直線在什么位置，兩條直線，的斜率之和為定值，故C正確；對于D：由C選項(xiàng)可知，則，又，所以（不為定值），故D錯(cuò)誤.故選：AC.12.某軍區(qū)紅、藍(lán)兩方進(jìn)行戰(zhàn)斗演習(xí)，假設(shè)雙方兵力（戰(zhàn)斗單位數(shù)）隨時(shí)間的變化遵循蘭徹斯特模型：，其中正實(shí)數(shù)，分別為紅、藍(lán)兩方的初始兵力，為戰(zhàn)斗時(shí)間；，分別為紅、藍(lán)兩方時(shí)刻的兵力；正實(shí)數(shù)，分別為紅方對藍(lán)方、藍(lán)方對紅方的戰(zhàn)斗效果系數(shù)；和分別為雙曲余弦函數(shù)和雙曲正弦函數(shù)．規(guī)定：當(dāng)紅、藍(lán)兩方任何一方兵力為0時(shí)戰(zhàn)斗演習(xí)結(jié)束，另一方獲得戰(zhàn)斗演習(xí)勝利，并記戰(zhàn)斗持續(xù)時(shí)長為．則下列結(jié)論不正確的是（）A.若且，則B.若且，則C.若，則紅方獲得戰(zhàn)斗演習(xí)勝利D.若，則紅方獲得戰(zhàn)斗演習(xí)勝利〖答案〗C〖解析〗對于A，若且，則，即，所以，由可得，即A正確；對于B，當(dāng)時(shí)根據(jù)A中的結(jié)論可知，所以藍(lán)方兵力先為，即，化簡可得，即，兩邊同時(shí)取對數(shù)可得，即，所以戰(zhàn)斗持續(xù)時(shí)長為，所以B正確；對于C，若紅方獲得戰(zhàn)斗演習(xí)勝利，則紅方可戰(zhàn)斗時(shí)間大于藍(lán)方即可，設(shè)紅方兵力為時(shí)所用時(shí)間為，藍(lán)方兵力為時(shí)所用時(shí)間為，即，可得同理可得，即，解得，又因?yàn)槎紴檎龑?shí)數(shù)，所以可得，紅方獲得戰(zhàn)斗演習(xí)勝利；所以可得C錯(cuò)誤，D正確.故選：C.第Ⅱ卷非選擇題二、填空題13.中國空間站的主體結(jié)構(gòu)包括天和核心艙、問天實(shí)驗(yàn)艙和夢天實(shí)驗(yàn)艙．假設(shè)空間站要安排甲、乙等6名航天員開展實(shí)驗(yàn)，三個(gè)實(shí)驗(yàn)艙每個(gè)至少一人至多三人，則不同的安排方法有__________種．〖答案〗450〖解析〗若6名航天員三個(gè)實(shí)驗(yàn)艙，三個(gè)實(shí)驗(yàn)艙每個(gè)至少一人至多三人，若每組人數(shù)分別為，共有種，若每組人數(shù)分別為，共有種，綜上所有不同安排方法共有.故〖答案〗為：45014.已知實(shí)數(shù)，滿足，且，則的取值范圍是________.〖答案〗〖解析〗實(shí)數(shù)，滿足，且，若，則，所以，又，所以，則，即，則，所以與已知矛盾，故，要滿足，則，即，滿足該二元一次不等式的平面區(qū)域如下圖所示：設(shè)目標(biāo)函數(shù)為，則，故直線的縱截距的取值范圍即可得的取值范圍，由可行域可得直線經(jīng)過時(shí)得縱截距的最大值，無最小值，又，所以，故，所以的取值范圍是.故〖答案〗為：.15.若動直線，圓，則直線與圓相交的最短弦長為__________．〖答案〗〖解析〗直線，則，令，解得，所以動直線恒過點(diǎn)，又圓的圓心為，半徑，所以，所以點(diǎn)在圓內(nèi)，所以當(dāng)直線時(shí)直線與圓相交的弦長最短，最短弦長為.故〖答案〗為：.16.如圖，在棱長為2的正四面體中，，分別為棱，的中點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，球的表面與線段相切于點(diǎn)，則球被正四面體表面截得的截面周長為__________．〖答案〗〖解析〗在棱長為2的正四面體中，連接，過作于，如圖，

由分別為棱的中點(diǎn)，得，而平面，則平面，又平面，于是平面平面，而平面平面，因此平面，而，，，則，球半徑，，從而，球被平面截得的截面圓半徑，所以球被平面截得的截面周長.又為正四面體，所以球被正四面體的每個(gè)面截得的截面都為圓，且圓的半徑為，所以球被正四面體表面截得的截面周長為.故〖答案〗為：三、解答題17.記為數(shù)列的前項(xiàng)和．已知，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列滿足，求的前項(xiàng)和．解：（1）當(dāng)時(shí)，若，則，兩式相減得，化簡得，而，故是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，故，（2）由上問得，故，，兩式相減得，，即，所以，故18.第31屆世界大學(xué)生夏季運(yùn)動會（簡稱大運(yùn)會）于2023年7月28日在四川成都開幕，這是中國西部城市第一次舉辦世界性綜合運(yùn)動會．為開好本次大運(yùn)會，各個(gè)行業(yè)都力爭做到報(bào)好．（1）某體校田徑隊(duì)在備戰(zhàn)期間對選手進(jìn)行了考核，考核設(shè)有100米、400米和1500米三個(gè)項(xiàng)目，選手需要依次完成考核，成績合格后的積分分別記為，和（，，1，2），總成績?yōu)槔塾?jì)積分和．考核規(guī)定：項(xiàng)目考核逐級進(jìn)階，即選手只有在低一級里程項(xiàng)目考核合格后，才能進(jìn)行下一級較高里程項(xiàng)目的考核，否則考核終止．對于100米和400米項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目選手必須考核2次，且全部達(dá)標(biāo)才算合格；對于1500米項(xiàng)目，選手必須考核3次，但只要達(dá)標(biāo)2次及以上就算合格．已知選手甲三個(gè)項(xiàng)目的達(dá)標(biāo)率依次為，，，每次考核是否達(dá)標(biāo)相互獨(dú)立．用表示選手甲考核積分的總成績，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）某體育用品店統(tǒng)計(jì)了2023年1~5月份運(yùn)動器材銷量（單位：千套）與售價(jià)（單位：元）的情況，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表所示：月份12345器材售價(jià)（元）10090807060銷量（千套）57.58910.5求的相關(guān)系數(shù)，并判斷銷量與售價(jià)是否有很強(qiáng)的線性相關(guān)性．（當(dāng)時(shí)，可以認(rèn)為兩個(gè)變量有很強(qiáng)的線性相關(guān)性；否則，沒有很強(qiáng)的線性相關(guān)性）（精確到0.001）．參考公式：對于一組數(shù)據(jù)，相關(guān)系數(shù)，參考數(shù)據(jù)：．解：（1）對于選手甲：記“米成績合格”、“米成績合格”、“米成績合格”分別為事件、、，則，，，由題意可得的可能取值有，所以，，，，可得的分布列為：所以.（2）依題意可得，，，，，則，與有很強(qiáng)的線性相關(guān)性.19.如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，，，二面角的大小為，點(diǎn)到底面的距離為．（1）若是的中點(diǎn)，求證：平面；（2）若，求點(diǎn)到平面的距離．（1）證明：取的中點(diǎn)，連接、，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以且，又且，所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面.（2）解：取線段的中點(diǎn)為，線段的中點(diǎn)為，連接，因?yàn)闉橹苯翘菪?，，所以，又，所以，因?yàn)?，所以，又，平面，所以平面，過點(diǎn)在平面內(nèi)作直線，則直線兩兩垂直，以為原點(diǎn)，為軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，