2024屆四川省射洪市高三下學(xué)期高考模擬測試數(shù)學(xué)試題（理）（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE3四川省射洪市2024屆高三下學(xué)期高考模擬測試數(shù)學(xué)試題（理）第Ⅰ卷（選擇題）一、選擇題1.已知集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗，故，故選：D.2.復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗A〖解析〗，故在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點坐標(biāo)為，位于第一象限.故選：A3.某學(xué)校為了解1000名新生的身體素質(zhì)，將這些學(xué)生編號為1，2，…，1000，從這些新生中用系統(tǒng)抽樣方法等距抽取100名學(xué)生進行體質(zhì)測驗，若46號學(xué)生被抽到，則下面4名學(xué)生中被抽到的是A.8號學(xué)生 B.200號學(xué)生 C.616號學(xué)生 D.815號學(xué)生〖答案〗C〖解析〗由已知將1000名學(xué)生分成100個組，每組10名學(xué)生，用系統(tǒng)抽樣，46號學(xué)生被抽到，所以第一組抽到6號，且每組抽到的學(xué)生號構(gòu)成等差數(shù)列，公差，所以，若，則，不合題意；若，則，不合題意；若，則，符合題意；若，則，不合題意．故選C．4.已知，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗依題意，，所以.故選：D5.設(shè)是兩條不同的直線，是三個不同的平面，下列說法中正確的序號為（）①若，則為異面直線②若，則③若，則④若，則A.①② B.②③ C.③④ D.②④〖答案〗B〖解析〗對①：因為平面的平行線和平面內(nèi)的直線可以平行，也可以異面，故①錯誤；對②：平行于同一個平面的兩個平面平行，故②正確；對③：先根據(jù)垂直于同一條直線的兩個平面平行得，再根據(jù)，可得，故③正確；對④：兩直線平行，和這兩條直線分別垂直平面也平行，故④錯誤.故選：B6.在中,點F為線段BC上任一點（不含端點）,若，則的最小值為（）A.3 B.4 C.8 D.9〖答案〗D〖解析〗因為點F為線段BC上任一點（不含端點），所以設(shè)，故，即，又，故，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，故的最小值為9.故選：D7.下列函數(shù)滿足的是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗令，，則，由可得，對于A，，故A錯誤；對于B，，不滿足，B錯誤；對于C，，即，即，C正確；對于D，，即不成立，D錯誤．故選：C．8.函數(shù)，（其中，，）其圖象如圖所示，為了得到的圖象，可以將的圖象（）A.向右平移個單位長度 B.向右平移個單位長度C.向左平移個單位長度 D.向左平移個單位長度〖答案〗B〖解析〗由函數(shù)圖象可知：，函數(shù)過兩點，設(shè)的最小正周期為，因為，所以有，而，因此，即，因為，所以，因為，所以，即，因此，而，而，因此該函數(shù)向右平移個單位長度得到函數(shù)的圖象，故選：B.9.設(shè)為雙曲線的左、右焦點，直線過左焦點且垂直于一條漸近線，直線與雙曲線的漸近線分別交于點，點在第一象限，且，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由于漸近線的方程分別為，且，直線，所以，由于，所以,所以是的中點，結(jié)合可得,又，所以，故，所以，即，故，故選：B.10.為弘揚中國優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，某市決定舉辦“經(jīng)典誦讀”知識競賽．競賽規(guī)則:參賽學(xué)生從《紅樓夢》、《論語》、《史記》這3本書中選取1本參加有關(guān)該書籍的知識競賽，且同一參賽學(xué)校的選手必須全部參加3本書籍的知識競賽．某校決定從本校選拔出的甲、乙等5名優(yōu)秀學(xué)生中選出4人參加此次競賽．因甲同學(xué)對《論語》不精通，學(xué)校決定不讓他參加該書的知識競賽，其他同學(xué)沒有限制，則不同的安排方法有（）種A.132 B.148 C.156 D.180〖答案〗A〖解析〗若選出的4人中含甲，再從剩余4人中選擇3人，有種選擇，若比賽時安排甲單獨參加《紅樓夢》、《史記》其中一本書的知識競賽，有種選擇，則剩余的3人參加剩余2本書的知識競賽，則有種選擇，此時共有種選擇，若比賽時安排甲和3名同學(xué)中的一名參加《紅樓夢》、《史記》中1本書的知識競賽有種，余下的2人參與其它兩本的知識競賽，則有種，此時共有種，故共有種選擇，若選出的4人中不含甲，則選出的4人分為3組，參加比賽，共有種選擇，綜上，共有種安排方法.故選：A.11.設(shè)為坐標(biāo)原點，為橢圓的兩個焦點，兩點在上，且關(guān)于坐標(biāo)原點對稱，，則（）A. B.3 C. D.〖答案〗C〖解析〗由題知，長軸長為8，焦距等于，如圖，由橢圓的對稱性可知，，所以四邊形為平行四邊形，因為，所以，記，在中，由余弦定理得：，由橢圓定義得，聯(lián)立求解可得，在中，由余弦定理得，所以.故選：C.12.已知，是函數(shù)的兩個極值點，且，當(dāng)時，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意得，，，所以，是方程的兩個正根，所以，不等式恒成立，即恒成立；又，則，又，可得，則.令，則，所以在上單調(diào)遞減，所以，故.故選：B.第Ⅱ卷（非選擇題）二、填空題13.若滿足約束條件，設(shè)的最大值為______．〖答案〗〖解析〗由題意，畫出可行域，如圖陰影部分.由，所以表示斜率為的直線在軸上的截距.所以當(dāng)直線經(jīng)過點時，取得最大值.由.所以.故〖答案〗為：1014.已知兩圓的方程分別為和，則這兩圓公共弦的長等于__________.〖答案〗〖解析〗這兩個圓的圓心分別為，半徑都是，兩圓方程相減可得，這是公共弦所在直線方程，，所以公共弦長為．15.如圖，有三座城市．其中在的正東方向，且與相距120；在的北偏東30°方向，且與相距60．一架飛機從城市出發(fā)，沿北偏東75°航向飛行．當(dāng)飛機飛行到城市的北偏東45°的D點處時，飛機出現(xiàn)故障，必須在城市，，中選擇一個最近城市降落，則該飛機必須再飛行_______，才能降落．〖答案〗〖解析〗連接BC，在中：余弦定理知：在中，，故〖答案〗為16.在直四棱柱中，所有棱長均為2，，為的中點，點在四邊形內(nèi)（包括邊界）運動，下列結(jié)論中正確的是_____（填序號）①當(dāng)點在線段上運動時，四面體的體積為定值②若面，則的最小值為③若的外心為M，則為定值2④若，則點的軌跡長度為〖答案〗①④〖解析〗對于①，因為，平面，平面，所以平面，所以直線上各點到平面的距離相等，又的面積為定值，①正確；對于②，取的中點分別為，連接，因為，平面，平面，所以平面，又因為，，則，又平面，平面，所以平面，，平面，所以平面平面，因為面，所以平面，當(dāng)時，AQ有最小值，則易求出，則，即，所以重合，所以AQ的最小值為，②錯誤；對于③，若外心為M，過作于點，則，又，則，③錯誤；對于④，在平面內(nèi)過作于點，因為平面，平面，所以，因為，平面，所以平面，，在上取點，使得，則，，所以，若，則在以為圓心，2為半徑的圓弧上運動，又因為所以，則圓弧等于，④正確.故〖答案〗為：①④.三、解答題17.某保險公司為了給年齡在20～70歲的民眾提供某種疾病的醫(yī)療保障，設(shè)計了一款針對該疾病的保險，現(xiàn)從10000名參保人員中隨機抽取100名進行分析，這100個樣本按年齡段分成了五組，其頻率分布直方圖如下圖所示，每人每年所交納的保費與參保年齡如下表格所示.（保費：元）據(jù)統(tǒng)計，該公司每年為該項保險支出的各種費用為一百萬元.年齡保費（1）用樣本的頻率分布估計總體的概率分布，為使公司不虧本，則保費至少為多少元？（精確到整數(shù)）（2）隨著年齡的增加，該疾病患病的概率越來越大，經(jīng)調(diào)查，年齡在的老人中每15人就有1人患該項疾病，年齡在的老人中每10人就有1人患該項疾病，現(xiàn)分別從年齡在和的老人中各隨機選取1人，記表示選取的這2人中患該疾病的人數(shù)，求的數(shù)學(xué)期望.解：（1），解得，保險公司每年收取的保費為：，所以要使公司不虧本，則，即，解得，即保費元；（2）由題意知的取值為0，1，2，，，，列表如下：.18.已知等比數(shù)列{an}的前n項和Sn＝﹣m.（1）求m的值，并求出數(shù)列{an}的通項公式；（2）令，設(shè)Tn為數(shù)列{bn}的前n項和，求T2n.解：（1）等比數(shù)列{an}的前n項和Sn＝﹣m①.當(dāng)n＝1時，解得，當(dāng)n≥2時，②，①﹣②得：，又{an}是等比數(shù)列，n＝1時也符合，當(dāng)n＝1時，，故m＝.（2）由（1）得：，所以T2n＝﹣1+2﹣3+4+...+﹣（2n﹣1）+2n＝（﹣1+2）+（﹣3+4）+...+（﹣2n+1+2n）＝n.19.如圖，四棱錐中，，，底面中，，，，是線段上一點，設(shè).（1）若，求證：平面；（2）是否存在點，使直線與平面所成角為，若存在，求出；若不存在，請說明理由.（1）證明：取中點，連接，如圖所示，∵，∴為中點，，且.∵，，∴且，∴得四邊形為平行四邊形，∴，平面，平面，故平面.（2）解：取中點，以為原點，，平面內(nèi)過點垂直于的直線為軸，過點垂直平面的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系：，設(shè)，，∵∴，，，，.∴，，，解得：，，，∴，∴，設(shè)，，又，∴，設(shè)平面的法向量為∴，令，解得，，∴，∴，整理得：，解得或，，所以，解得或.20.已知過點的直線與拋物線交于兩點，拋物線在點處的切線為，在點處的切線為，直線與直線交于點，當(dāng)直線的傾斜角為時，．（1）求拋物線的方程；（2）設(shè)線段的中點為，求的取值范圍．解：（1）當(dāng)?shù)男甭蕿闀r，則，不妨設(shè)，由可得，，所以，,即，因為，解得：．從而拋物線的方程為（2）由題意可知直線有斜率，設(shè)直線，，由可得，，則所以，于是，即而由，則，于是拋物線在點處的切線的方程為即①同理可得，在點處的切線的方程為②聯(lián)立①②，解得，于是則從而所以，的取值范圍是21.已知函數(shù)，，直線為曲線與的一條公切線.（1）求；（2）若直線與曲線，直線，曲線分別交于三點，其中，且成等差數(shù)列，求的個數(shù).解：（1）設(shè)與相切于點，，，解得：，，即切點為，，即；設(shè)與相切于點，，，即，切線方程為：，，解得：，.（2）由題意得：，則，，；成等差數(shù)列，，即，；令，則；令，則，在上單調(diào)遞增，，，，使得，即；則當(dāng)時，；當(dāng)時，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；，，，則，即，在上單調(diào)遞增，，，在上存在唯一零點，即的個數(shù)為.請考生在第22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分．【選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程】22.如圖，在極坐標(biāo)系中，已知點，曲線是以極點為圓心，以為半徑的半圓，曲線是過極點且與曲線相切于點的圓.（1）分別寫出曲線、的極坐標(biāo)方程；（2）直線與曲線、分別相交于點、（異于極點），求面積的最大值.（1）解：由題意可知，曲線是以極點為圓心，以為半徑的半圓，結(jié)合圖形可知，曲線的極坐標(biāo)方程為.設(shè)為曲線上的任意一點，可得．因此，曲線極坐標(biāo)方程為．（2）解：因為直線與曲線、分別相交于點、（異于極點），設(shè)、，由題意得，，所以，．因為點到直線的距離為，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故面積的最大值為.【選修4—5：不等式選講】23.已知函數(shù).（1）求不等式的解集；（2）若函數(shù)的最小值為，正數(shù)，滿足，求證：.（1）解：當(dāng)時，得，∴；當(dāng)時，得，∴無解；當(dāng)時，得；綜上，不等式的解集為或.（2）證明：∵，∴，即，又由均值不等式有：，，兩式相加得，∴.四川省射洪市2024屆高三下學(xué)期高考模擬測試數(shù)學(xué)試題（理）第Ⅰ卷（選擇題）一、選擇題1.已知集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗，故，故選：D.2.復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗A〖解析〗，故在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點坐標(biāo)為，位于第一象限.故選：A3.某學(xué)校為了解1000名新生的身體素質(zhì)，將這些學(xué)生編號為1，2，…，1000，從這些新生中用系統(tǒng)抽樣方法等距抽取100名學(xué)生進行體質(zhì)測驗，若46號學(xué)生被抽到，則下面4名學(xué)生中被抽到的是A.8號學(xué)生 B.200號學(xué)生 C.616號學(xué)生 D.815號學(xué)生〖答案〗C〖解析〗由已知將1000名學(xué)生分成100個組，每組10名學(xué)生，用系統(tǒng)抽樣，46號學(xué)生被抽到，所以第一組抽到6號，且每組抽到的學(xué)生號構(gòu)成等差數(shù)列，公差，所以，若，則，不合題意；若，則，不合題意；若，則，符合題意；若，則，不合題意．故選C．4.已知，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗依題意，，所以.故選：D5.設(shè)是兩條不同的直線，是三個不同的平面，下列說法中正確的序號為（）①若，則為異面直線②若，則③若，則④若，則A.①② B.②③ C.③④ D.②④〖答案〗B〖解析〗對①：因為平面的平行線和平面內(nèi)的直線可以平行，也可以異面，故①錯誤；對②：平行于同一個平面的兩個平面平行，故②正確；對③：先根據(jù)垂直于同一條直線的兩個平面平行得，再根據(jù)，可得，故③正確；對④：兩直線平行，和這兩條直線分別垂直平面也平行，故④錯誤.故選：B6.在中,點F為線段BC上任一點（不含端點）,若，則的最小值為（）A.3 B.4 C.8 D.9〖答案〗D〖解析〗因為點F為線段BC上任一點（不含端點），所以設(shè)，故，即，又，故，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，故的最小值為9.故選：D7.下列函數(shù)滿足的是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗令，，則，由可得，對于A，，故A錯誤；對于B，，不滿足，B錯誤；對于C，，即，即，C正確；對于D，，即不成立，D錯誤．故選：C．8.函數(shù)，（其中，，）其圖象如圖所示，為了得到的圖象，可以將的圖象（）A.向右平移個單位長度 B.向右平移個單位長度C.向左平移個單位長度 D.向左平移個單位長度〖答案〗B〖解析〗由函數(shù)圖象可知：，函數(shù)過兩點，設(shè)的最小正周期為，因為，所以有，而，因此，即，因為，所以，因為，所以，即，因此，而，而，因此該函數(shù)向右平移個單位長度得到函數(shù)的圖象，故選：B.9.設(shè)為雙曲線的左、右焦點，直線過左焦點且垂直于一條漸近線，直線與雙曲線的漸近線分別交于點，點在第一象限，且，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由于漸近線的方程分別為，且，直線，所以，由于，所以,所以是的中點，結(jié)合可得,又，所以，故，所以，即，故，故選：B.10.為弘揚中國優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，某市決定舉辦“經(jīng)典誦讀”知識競賽．競賽規(guī)則:參賽學(xué)生從《紅樓夢》、《論語》、《史記》這3本書中選取1本參加有關(guān)該書籍的知識競賽，且同一參賽學(xué)校的選手必須全部參加3本書籍的知識競賽．某校決定從本校選拔出的甲、乙等5名優(yōu)秀學(xué)生中選出4人參加此次競賽．因甲同學(xué)對《論語》不精通，學(xué)校決定不讓他參加該書的知識競賽，其他同學(xué)沒有限制，則不同的安排方法有（）種A.132 B.148 C.156 D.180〖答案〗A〖解析〗若選出的4人中含甲，再從剩余4人中選擇3人，有種選擇，若比賽時安排甲單獨參加《紅樓夢》、《史記》其中一本書的知識競賽，有種選擇，則剩余的3人參加剩余2本書的知識競賽，則有種選擇，此時共有種選擇，若比賽時安排甲和3名同學(xué)中的一名參加《紅樓夢》、《史記》中1本書的知識競賽有種，余下的2人參與其它兩本的知識競賽，則有種，此時共有種，故共有種選擇，若選出的4人中不含甲，則選出的4人分為3組，參加比賽，共有種選擇，綜上，共有種安排方法.故選：A.11.設(shè)為坐標(biāo)原點，為橢圓的兩個焦點，兩點在上，且關(guān)于坐標(biāo)原點對稱，，則（）A. B.3 C. D.〖答案〗C〖解析〗由題知，長軸長為8，焦距等于，如圖，由橢圓的對稱性可知，，所以四邊形為平行四邊形，因為，所以，記，在中，由余弦定理得：，由橢圓定義得，聯(lián)立求解可得，在中，由余弦定理得，所以.故選：C.12.已知，是函數(shù)的兩個極值點，且，當(dāng)時，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意得，，，所以，是方程的兩個正根，所以，不等式恒成立，即恒成立；又，則，又，可得，則.令，則，所以在上單調(diào)遞減，所以，故.故選：B.第Ⅱ卷（非選擇題）二、填空題13.若滿足約束條件，設(shè)的最大值為______．〖答案〗〖解析〗由題意，畫出可行域，如圖陰影部分.由，所以表示斜率為的直線在軸上的截距.所以當(dāng)直線經(jīng)過點時，取得最大值.由.所以.故〖答案〗為：1014.已知兩圓的方程分別為和，則這兩圓公共弦的長等于__________.〖答案〗〖解析〗這兩個圓的圓心分別為，半徑都是，兩圓方程相減可得，這是公共弦所在直線方程，，所以公共弦長為．15.如圖，有三座城市．其中在的正東方向，且與相距120；在的北偏東30°方向，且與相距60．一架飛機從城市出發(fā)，沿北偏東75°航向飛行．當(dāng)飛機飛行到城市的北偏東45°的D點處時，飛機出現(xiàn)故障，必須在城市，，中選擇一個最近城市降落，則該飛機必須再飛行_______，才能降落．〖答案〗〖解析〗連接BC，在中：余弦定理知：在中，，故〖答案〗為16.在直四棱柱中，所有棱長均為2，，為的中點，點在四邊形內(nèi)（包括邊界）運動，下列結(jié)論中正確的是_____（填序號）①當(dāng)點在線段上運動時，四面體的體積為定值②若面，則的最小值為③若的外心為M，則為定值2④若，則點的軌跡長度為〖答案〗①④〖解析〗對于①，因為，平面，平面，所以平面，所以直線上各點到平面的距離相等，又的面積為定值，①正確；對于②，取的中點分別為，連接，因為，平面，平面，所以平面，又因為，，則，又平面，平面，所以平面，，平面，所以平面平面，因為面，所以平面，當(dāng)時，AQ有最小值，則易求出，則，即，所以重合，所以AQ的最小值為，②錯誤；對于③，若外心為M，過作于點，則，又，則，③錯誤；對于④，在平面內(nèi)過作于點，因為平面，平面，所以，因為，平面，所以平面，，在上取點，使得，則，，所以，若，則在以為圓心，2為半徑的圓弧上運動，又因為所以，則圓弧等于，④正確.故〖答案〗為：①④.三、解答題17.某保險公司為了給年齡在20～70歲的民眾提供某種疾病的醫(yī)療保障，設(shè)計了一款針對該疾病的保險，現(xiàn)從10000名參保人員中隨機抽取100名進行分析，這100個樣本按年齡段分成了五組，其頻率分布直方圖如下圖所示，每人每年所交納的保費與參保年齡如下表格所示.（保費：元）據(jù)統(tǒng)計，該公司每年為該項保險支出的各種費用為一百萬元.年齡保費（1）用樣本的頻率分布估計總體的概率分布，為使公司不虧本，則保費至少為多少元？（精確到整數(shù)）（2）隨著年齡的增加，該疾病患病的概率越來越大，經(jīng)調(diào)查，年齡在的老人中每15人就有1人患該項疾病，年齡在的老人中每10人就有1人患該項疾病，現(xiàn)分別從年齡在和的老人中各隨機選取1人，記表示選取的這2人中患該疾病的人數(shù)，求的數(shù)學(xué)期望.解：（1），解得，保險公司每年收取的保費為：，所以要使公司不虧本，則，即，解得，即保費元；（2）由題意知的取值為0，1，2，，，，列表如下：.18.已知等比數(shù)列{an}的前n項和Sn＝﹣m.（1）求m的值，并求出數(shù)列{an}的通項公式；（2）令，設(shè)Tn為數(shù)列{bn}的前n項和，求T2n.解：（1）等比數(shù)列{an}的前n項和Sn＝﹣m①.當(dāng)n＝1時，解得，當(dāng)n≥2時，②，①﹣②得：，又{an}是等比數(shù)列，n＝1時也符合，當(dāng)n＝1時，，故m＝.（2）由（1）得：，所以T2n＝﹣1+2﹣3+4+...+﹣（2n﹣1）+2n＝（﹣1+2）+（﹣3+4）+...+（﹣2n+1+2n）＝n.19.如圖，四棱錐中，，，底面中，，，，是線段上一點，設(shè).（1）若，求證：平面；（2）是否存在點，使直線與平面所成角為，若存在，求出；若不存在，請說明理由.（1）證明：取中點，連接，如圖所示，∵，∴為中點，，且.∵，，∴且，∴得四邊形為平行四邊形，∴，平面，平面，故平面.（2）解：取中點，以為原點，，平面內(nèi)過點垂直于的直線為軸，過點垂直平面的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系：，設(shè)，，∵∴，，，，.∴，，，解得：，，，