2024屆湘豫名校聯(lián)考高三下學(xué)期第三次模擬考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE2湘豫名校聯(lián)考2024屆高三下學(xué)期第三次模擬考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題1.已知等差數(shù)列的公差為，且，則的值為（）A.1980 B.1981 C.1982 D.1983〖答案〗B〖解析〗由可得，且，即，所以.故選：B.2.已知橢圓E：經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則E的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為（）A.1 B.2 C.4 D.〖答案〗C〖解析〗因?yàn)闄E圓E：經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，解得，所以，所以E長(zhǎng)軸長(zhǎng)為.故選：C.3.已知，是兩個(gè)不同的平面，m，l是兩條不同的直線，若，，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗C〖解析〗若，，，且，所以直線與平面平行的判定定理知；若，，，所以直線與平面平行的性質(zhì)定理知；所以“”是“”的充要條件.故選：C.4.若，則的值是（）A.零 B.正數(shù) C.負(fù)數(shù) D.以上皆有可能〖答案〗A〖解析〗令，則，由得，所以.故選：A.5.當(dāng)時(shí)，的最大值是（）A.2 B. C.0 D.〖答案〗D〖解析〗原式，其中銳角由確定，由，得，所以.故選：D.6.已知雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，且離心率為，過(guò)點(diǎn)的直線l與C的一條漸近線垂直相交于點(diǎn)D，則（）A. B. C.2 D.3〖答案〗A〖解析〗不妨設(shè)焦點(diǎn)為，其中一條漸近線為，則直線l的方程為，由解得即，因?yàn)?，所以，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線，垂足為，如下圖：于是.故選：A.7.若偶函數(shù)的最小正周期為，則（）A. B.的值是唯一的C.的最大值為 D.圖象的一條對(duì)稱軸為〖答案〗D〖解析〗對(duì)于A，因?yàn)橹芷谥慌c有關(guān)，因此只需考慮的情況.若對(duì)任意，都有，，所以，所以，所以A錯(cuò)誤.對(duì)于B，因?yàn)榕己瘮?shù)，所以.因?yàn)?，，所?又，所以或，所以B錯(cuò)誤.對(duì)于C，，當(dāng)時(shí)取得最大值，所以C錯(cuò)誤.對(duì)于D，容易知道或時(shí)，，所以的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，所以D正確.故選：D.8.已知實(shí)數(shù)m，n滿足，則的最大值為（）A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗B〖解析〗令，，則條件化為，即，，為半圓，令，畫出圖形如下：顯然當(dāng)經(jīng)過(guò)圓心時(shí)，，圓心到的距離，解得，負(fù)值舍去，故.則.所以，所以，令，則當(dāng)時(shí)，，于是在上單調(diào)遞增，所以.綜上所述，的最大值為2.故選：B.二、多選題9.在某次數(shù)學(xué)測(cè)試中，甲、乙兩個(gè)班的成績(jī)情況如下表：班級(jí)人數(shù)平均分方差甲45881乙45902記這兩個(gè)班的數(shù)學(xué)成績(jī)的總平均分為，總方差為，則（）A. B. C. D.〖答案〗BD〖解析〗依題意得，.故選：BD.10.已知函數(shù)定義域?yàn)榍也缓銥榱?，若函?shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則（）A.B.C.是圖象的一條對(duì)稱軸D.是圖象的一個(gè)對(duì)稱中心〖答案〗BCD〖解析〗因?yàn)榈膱D象關(guān)于直線對(duì)稱，所以，即，所以，所以的圖象關(guān)于直線對(duì)稱.因?yàn)榈膱D象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以，即，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.所以.令，得.由，可得，故即，所以，所以函數(shù)的周期，所以，又不恒為零，所以錯(cuò)誤，A錯(cuò)誤，，B正確；因?yàn)榈膱D象關(guān)于直線對(duì)稱，的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以，所以為函數(shù)的對(duì)稱軸，結(jié)合周期性可得，，為函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸，所以是函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸，C正確；因?yàn)椋?，所以原點(diǎn)為函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱中心，結(jié)合函數(shù)周期性可得點(diǎn)，，為函數(shù)圖象的對(duì)稱中心，所以點(diǎn)是函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，D正確.故選：BCD.11.一般地,對(duì)于復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位，a，）,在平面直角坐標(biāo)系中,設(shè),經(jīng)過(guò)點(diǎn)的終邊的對(duì)應(yīng)角為，則根據(jù)三角函數(shù)的定義可知，，因此,我們稱此種形式為復(fù)數(shù)的三角形式，r稱為復(fù)數(shù)z的模，稱為復(fù)數(shù)z的輻角.為使所研究的問(wèn)題有唯一的結(jié)果，我們規(guī)定，適合的輻角的值叫做輻角的主值.已知復(fù)數(shù)z滿足，，為z的實(shí)部，為z的輻角的主值，則（）A.的最大值為B.的最小值為C.D.〖答案〗ABD〖解析〗因?yàn)?，，?fù)數(shù)在復(fù)平面的對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為,所以點(diǎn)Z在以為圓心、以r為半徑的圓上或圓內(nèi).對(duì)于選項(xiàng)A，B，由復(fù)數(shù)的幾何意義可得表示點(diǎn)Z與的距離，又點(diǎn)到點(diǎn)的距離為，所以的最大值為，A正確，的最小值為，B正確，對(duì)于C，過(guò)點(diǎn)作以為圓心，為半徑的圓的切線，設(shè)切點(diǎn)為，設(shè)，則或，所以，所以，所以C錯(cuò)誤.對(duì)于D，設(shè)，有（其中是z的輻角的主值），由于，所以，所以D正確.故選：ABD.三、填空題12.在中，，.若，則的面積為_(kāi)_____.〖答案〗〖解析〗，，則，所以，所以.所以.故〖答案〗為：13.已知正四棱臺(tái)中，，則該正四棱臺(tái)內(nèi)部能夠放入的最大球體的半徑為_(kāi)_______.〖答案〗〖解析〗如圖1，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，由棱臺(tái)的性質(zhì)可得與相似，相似比為，所以，，設(shè)在正四棱臺(tái)上、下底面的投影點(diǎn)分別記為，，，.首先四棱臺(tái)內(nèi)部能夠放入的球體的直徑，即；其次取的中點(diǎn)，作縱截面，如圖2，設(shè)球的球心為O，O到線段SN的距離為d，則.，，，所以，，所以.所以.故〖答案〗為：.14.在龍年元宵節(jié)的一項(xiàng)無(wú)人機(jī)飛行表演中，將7架不同的“焰火”無(wú)人機(jī)和架不同的“燈光”無(wú)人機(jī)排成一列.已知每一架“焰火”無(wú)人機(jī)都至少和另一架“焰火”無(wú)人機(jī)相鄰，設(shè)這7架“焰火”無(wú)人機(jī)至少有5架連在一起的概率為p，要使得，則n的最小值為_(kāi)_______.〖答案〗4047〖解析〗方法一：從排列的角度看問(wèn)題.每一架“焰火”無(wú)人機(jī)都至少和另一架“焰火"無(wú)人機(jī)相鄰有四種情況，情況1：7架“焰火”無(wú)人機(jī)排在一起，此時(shí)有種方法，情況2：，組成方式為〇〇，〇〇〇〇〇，此時(shí)有種方法，情況3：，組成方式為〇〇〇，〇〇〇〇，此時(shí)有種方法.情況4：.組成方式為〇〇，〇〇，〇〇〇，此時(shí)有種方法.所以這7架“焰火”無(wú)人機(jī)至少有5架連在一起的概率為，所以因?yàn)?，所以n的最小值為4047.方法二：我們可以不考慮“燈光”無(wú)人機(jī)的排法，同時(shí)也不考慮“焰火”無(wú)人機(jī)之間的相對(duì)位置，只需將對(duì)應(yīng)的“焰火”無(wú)人機(jī)放入“燈光”無(wú)人機(jī)形成的空位中即可.對(duì)7架“焰火”無(wú)人機(jī)排法進(jìn)行分類，①7架在一起，有種排法；②，由插空法知有，種排法；③，由插空法知有種排法；④.由插空法知有種排法；所以這7架“焰火”無(wú)人機(jī)至少有5架連在一起的概率為.所以.因?yàn)椋詎的最小值為4047.故〖答案〗為：4047四、解答題15.甲、乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽，比賽規(guī)則：每一局比賽中，勝者得1分，負(fù)者得0分，且比賽中沒(méi)有平局.根據(jù)以往戰(zhàn)績(jī)，每局比賽甲獲勝的概率為，每局比賽的結(jié)果互不影響.（1）經(jīng)過(guò)3局比賽，記甲的得分為X，求X的分布列和期望；（2）若比賽采取3局制，試計(jì)算3局比賽后，甲的累計(jì)得分高于乙的累計(jì)得分的概率.解：（1）由題意得，，X的取值可能為0，1，2，3，則，，，.所以X的分布列為X0123P因?yàn)?，所以X的期望.（2）第3局比賽后，甲的累計(jì)得分高于乙的累計(jì)得分有兩種情況：甲獲勝2局，甲獲勝3局，所以所求概率為.16.已知函數(shù)在處的切線方程為.（1）求a的值；（2）證明：.（1）解：由題意可得函數(shù)的定義域?yàn)?，又，函?shù)在處的切線方程為，其斜率為，得：，解得.（2）證明：注意到，且，則，，令，則.令，則，所以在上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增.因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.所以，即，所以在上單調(diào)遞增.因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以.17.如圖，在直四棱柱中，底面四邊形ABCD為菱形,，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為棱AB，上的點(diǎn)，（1）若，且平面以平面，求實(shí)數(shù)的值；（2）若F是的中點(diǎn)，平面與平面的夾角的余弦值為，求的值.解：（1）方法一：如圖1，取AB的中點(diǎn)，連接，因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形，且，所以是等邊三角形，所以.因?yàn)槠矫鍭BCD，平面ABCD，所以.因?yàn)椋矫?，平面，所以平?因?yàn)槠矫?，所以平面平面，所以E點(diǎn)和點(diǎn)重合.所以，即，即.方法二：如圖2，在上取一點(diǎn)G，使，連接EG，.顯然四邊形為平行四邊形，得到，且，同時(shí)，且，有，且，四邊形為平行四邊形，則平面平面，且.因?yàn)槠矫鍭BCD，平面ABCD，所以，所以.又平面平面，平面平面，平面.所以平面.又平面，所以.又因?yàn)樗倪呅问橇庑?，且，所以是等邊三角形，所以，?（2）方法一：以E為AB的中點(diǎn).以點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以為軸，建立如圖3所示的空間直角坐標(biāo)系不妨設(shè)，，則，，，，，，所以，，，.設(shè)平面的法向量為，則即令，則，，所以平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面BDF的法向量為，則即令，則，，所以平面的一個(gè)法向量為.設(shè)平面與平面的夾角為，則令，解得或，所以或.所以或.方法二：連接AC，與BD相交于點(diǎn)O，連接與相交于點(diǎn)，連接，OF，.由題意得，，平面ABCD.以點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以為軸，建立如圖4所示的空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，，則，，所以，.易知，，所以向量夾角余弦的絕對(duì)值等于平面與平面夾角的余弦值，所以.所以.解得或，所以或.所以或.18.如圖，動(dòng)直線與拋物線：交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C是以AB為直徑的圓與的一個(gè)交點(diǎn)（不同于A，B），點(diǎn)C在AB上的投影為點(diǎn)M，直線為的一條切線.（1）證明：為定值；（2）求與的內(nèi)切圓半徑之和的取值范圍.（1）證明：由，消去y得.由，，得.所以的方程為，所以，.設(shè)，則由，得，結(jié)合，求得，所以點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為，所以，為定值.（2）解：先證明直角三角形內(nèi)切圓半徑公式：對(duì)于，，其內(nèi)切圓半徑為r，則，從而設(shè)，內(nèi)切圓的半徑分別為，，則，同理.設(shè)的內(nèi)切圓半徑為R，則.所以，因?yàn)椋驗(yàn)槭顷P(guān)于a的單調(diào)遞增函數(shù)，所以是關(guān)于a的單調(diào)遞減函數(shù)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，所以.故與內(nèi)切圓的半徑之和的取值范圍是.19.一般地，證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可按下列步驟進(jìn)行：（1）（歸納奠基）證明當(dāng)時(shí)命題成立；（2）（歸納遞推）以“當(dāng)時(shí)命題成立”為條件，推出“當(dāng)時(shí)命題也成立”.只要完成這兩個(gè)步驟，就可以斷定命題對(duì)從開(kāi)始所有正整數(shù)n都成立，這種證明方法稱為數(shù)學(xué)歸納法.已知集合A為有理數(shù)集Q的一個(gè)子集，且滿足以下條件：①且；②對(duì)任意的，存在唯一的，滿足，其中，表示不超過(guò)y的最大整數(shù)；③若，，則.證明：（1）；（2）對(duì)任意的，對(duì)每一個(gè)整數(shù)，都有；（3）.證明：（1）因?yàn)榍?，結(jié)合條件③可知.（2）對(duì)m用數(shù)學(xué)歸納法.當(dāng)時(shí)，由條件①，，知結(jié)論成立.假設(shè)當(dāng)時(shí)成立，對(duì)每一個(gè)，都有，下面證明，其中.分兩種情形來(lái)討論：（a），則由歸納假設(shè)，且，從而由條件③得，.（b），則由歸納假設(shè)，且，從而由條件③得，.故由歸納假設(shè)可知：命題“對(duì)任意的，對(duì)每一個(gè)整數(shù)，都有”（3）由（2）可得，，且，且由條件②存在，使得，故存在，使得即，故，從而由條件③得，而，故，又，而，由②中的唯一性可得，所以.湘豫名校聯(lián)考2024屆高三下學(xué)期第三次模擬考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題1.已知等差數(shù)列的公差為，且，則的值為（）A.1980 B.1981 C.1982 D.1983〖答案〗B〖解析〗由可得，且，即，所以.故選：B.2.已知橢圓E：經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則E的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為（）A.1 B.2 C.4 D.〖答案〗C〖解析〗因?yàn)闄E圓E：經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，解得，所以，所以E長(zhǎng)軸長(zhǎng)為.故選：C.3.已知，是兩個(gè)不同的平面，m，l是兩條不同的直線，若，，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗C〖解析〗若，，，且，所以直線與平面平行的判定定理知；若，，，所以直線與平面平行的性質(zhì)定理知；所以“”是“”的充要條件.故選：C.4.若，則的值是（）A.零 B.正數(shù) C.負(fù)數(shù) D.以上皆有可能〖答案〗A〖解析〗令，則，由得，所以.故選：A.5.當(dāng)時(shí)，的最大值是（）A.2 B. C.0 D.〖答案〗D〖解析〗原式，其中銳角由確定，由，得，所以.故選：D.6.已知雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，且離心率為，過(guò)點(diǎn)的直線l與C的一條漸近線垂直相交于點(diǎn)D，則（）A. B. C.2 D.3〖答案〗A〖解析〗不妨設(shè)焦點(diǎn)為，其中一條漸近線為，則直線l的方程為，由解得即，因?yàn)?，所以，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線，垂足為，如下圖：于是.故選：A.7.若偶函數(shù)的最小正周期為，則（）A. B.的值是唯一的C.的最大值為 D.圖象的一條對(duì)稱軸為〖答案〗D〖解析〗對(duì)于A，因?yàn)橹芷谥慌c有關(guān)，因此只需考慮的情況.若對(duì)任意，都有，，所以，所以，所以A錯(cuò)誤.對(duì)于B，因?yàn)榕己瘮?shù)，所以.因?yàn)?，，所?又，所以或，所以B錯(cuò)誤.對(duì)于C，，當(dāng)時(shí)取得最大值，所以C錯(cuò)誤.對(duì)于D，容易知道或時(shí)，，所以的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，所以D正確.故選：D.8.已知實(shí)數(shù)m，n滿足，則的最大值為（）A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗B〖解析〗令，，則條件化為，即，，為半圓，令，畫出圖形如下：顯然當(dāng)經(jīng)過(guò)圓心時(shí)，，圓心到的距離，解得，負(fù)值舍去，故.則.所以，所以，令，則當(dāng)時(shí)，，于是在上單調(diào)遞增，所以.綜上所述，的最大值為2.故選：B.二、多選題9.在某次數(shù)學(xué)測(cè)試中，甲、乙兩個(gè)班的成績(jī)情況如下表：班級(jí)人數(shù)平均分方差甲45881乙45902記這兩個(gè)班的數(shù)學(xué)成績(jī)的總平均分為，總方差為，則（）A. B. C. D.〖答案〗BD〖解析〗依題意得，.故選：BD.10.已知函數(shù)定義域?yàn)榍也缓銥榱悖艉瘮?shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則（）A.B.C.是圖象的一條對(duì)稱軸D.是圖象的一個(gè)對(duì)稱中心〖答案〗BCD〖解析〗因?yàn)榈膱D象關(guān)于直線對(duì)稱，所以，即，所以，所以的圖象關(guān)于直線對(duì)稱.因?yàn)榈膱D象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以，即，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.所以.令，得.由，可得，故即，所以，所以函數(shù)的周期，所以，又不恒為零，所以錯(cuò)誤，A錯(cuò)誤，，B正確；因?yàn)榈膱D象關(guān)于直線對(duì)稱，的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以，所以為函數(shù)的對(duì)稱軸，結(jié)合周期性可得，，為函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸，所以是函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸，C正確；因?yàn)?，，所以，所以原點(diǎn)為函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱中心，結(jié)合函數(shù)周期性可得點(diǎn)，，為函數(shù)圖象的對(duì)稱中心，所以點(diǎn)是函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，D正確.故選：BCD.11.一般地,對(duì)于復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位，a，）,在平面直角坐標(biāo)系中,設(shè),經(jīng)過(guò)點(diǎn)的終邊的對(duì)應(yīng)角為，則根據(jù)三角函數(shù)的定義可知，，因此,我們稱此種形式為復(fù)數(shù)的三角形式，r稱為復(fù)數(shù)z的模，稱為復(fù)數(shù)z的輻角.為使所研究的問(wèn)題有唯一的結(jié)果，我們規(guī)定，適合的輻角的值叫做輻角的主值.已知復(fù)數(shù)z滿足，，為z的實(shí)部，為z的輻角的主值，則（）A.的最大值為B.的最小值為C.D.〖答案〗ABD〖解析〗因?yàn)椋?，?fù)數(shù)在復(fù)平面的對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為,所以點(diǎn)Z在以為圓心、以r為半徑的圓上或圓內(nèi).對(duì)于選項(xiàng)A，B，由復(fù)數(shù)的幾何意義可得表示點(diǎn)Z與的距離，又點(diǎn)到點(diǎn)的距離為，所以的最大值為，A正確，的最小值為，B正確，對(duì)于C，過(guò)點(diǎn)作以為圓心，為半徑的圓的切線，設(shè)切點(diǎn)為，設(shè)，則或，所以，所以，所以C錯(cuò)誤.對(duì)于D，設(shè)，有（其中是z的輻角的主值），由于，所以，所以D正確.故選：ABD.三、填空題12.在中，，.若，則的面積為_(kāi)_____.〖答案〗〖解析〗，，則，所以，所以.所以.故〖答案〗為：13.已知正四棱臺(tái)中，，則該正四棱臺(tái)內(nèi)部能夠放入的最大球體的半徑為_(kāi)_______.〖答案〗〖解析〗如圖1，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，由棱臺(tái)的性質(zhì)可得與相似，相似比為，所以，，設(shè)在正四棱臺(tái)上、下底面的投影點(diǎn)分別記為，，，.首先四棱臺(tái)內(nèi)部能夠放入的球體的直徑，即；其次取的中點(diǎn)，作縱截面，如圖2，設(shè)球的球心為O，O到線段SN的距離為d，則.，，，所以，，所以.所以.故〖答案〗為：.14.在龍年元宵節(jié)的一項(xiàng)無(wú)人機(jī)飛行表演中，將7架不同的“焰火”無(wú)人機(jī)和架不同的“燈光”無(wú)人機(jī)排成一列.已知每一架“焰火”無(wú)人機(jī)都至少和另一架“焰火”無(wú)人機(jī)相鄰，設(shè)這7架“焰火”無(wú)人機(jī)至少有5架連在一起的概率為p，要使得，則n的最小值為_(kāi)_______.〖答案〗4047〖解析〗方法一：從排列的角度看問(wèn)題.每一架“焰火”無(wú)人機(jī)都至少和另一架“焰火"無(wú)人機(jī)相鄰有四種情況，情況1：7架“焰火”無(wú)人機(jī)排在一起，此時(shí)有種方法，情況2：，組成方式為〇〇，〇〇〇〇〇，此時(shí)有種方法，情況3：，組成方式為〇〇〇，〇〇〇〇，此時(shí)有種方法.情況4：.組成方式為〇〇，〇〇，〇〇〇，此時(shí)有種方法.所以這7架“焰火”無(wú)人機(jī)至少有5架連在一起的概率為，所以因?yàn)?，所以n的最小值為4047.方法二：我們可以不考慮“燈光”無(wú)人機(jī)的排法，同時(shí)也不考慮“焰火”無(wú)人機(jī)之間的相對(duì)位置，只需將對(duì)應(yīng)的“焰火”無(wú)人機(jī)放入“燈光”無(wú)人機(jī)形成的空位中即可.對(duì)7架“焰火”無(wú)人機(jī)排法進(jìn)行分類，①7架在一起，有種排法；②，由插空法知有，種排法；③，由插空法知有種排法；④.由插空法知有種排法；所以這7架“焰火”無(wú)人機(jī)至少有5架連在一起的概率為.所以.因?yàn)椋詎的最小值為4047.故〖答案〗為：4047四、解答題15.甲、乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽，比賽規(guī)則：每一局比賽中，勝者得1分，負(fù)者得0分，且比賽中沒(méi)有平局.根據(jù)以往戰(zhàn)績(jī)，每局比賽甲獲勝的概率為，每局比賽的結(jié)果互不影響.（1）經(jīng)過(guò)3局比賽，記甲的得分為X，求X的分布列和期望；（2）若比賽采取3局制，試計(jì)算3局比賽后，甲的累計(jì)得分高于乙的累計(jì)得分的概率.解：（1）由題意得，，X的取值可能為0，1，2，3，則，，，.所以X的分布列為X0123P因?yàn)椋訶的期望.（2）第3局比賽后，甲的累計(jì)得分高于乙的累計(jì)得分有兩種情況：甲獲勝2局，甲獲勝3局，所以所求概率為.16.已知函數(shù)在處的切線方程為.（1）求a的值；（2）證明：.（1）解：由題意可得函數(shù)的定義域?yàn)?，又，函?shù)在處的切線方程為，其斜率為，得：，解得.（2）證明：注意到，且，則，，令，則.令，則，所以在上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增.因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.所以，即，所以在上單調(diào)遞增.因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以.17.如圖，在直四棱柱中，底面四邊形ABCD為菱形,，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為棱AB，上的點(diǎn)，（1）若，且平面以平面，求實(shí)數(shù)的值；（2）若F是的中點(diǎn)，平面與平面的夾角的余弦值為，求的值.解：（1）方法一：如圖1，取AB的中點(diǎn)，連接，因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形，且，所以是等邊三角形，所以.因?yàn)槠矫鍭BCD，平面ABCD，所以.因?yàn)?，平面，平面，所以平?因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫?，所以E點(diǎn)和點(diǎn)重合.所以，即，即.方法二：如圖2，在上取一點(diǎn)G，使，連接EG，.顯然四邊形為平行四邊形，得到，且，同時(shí)，且，有，且，四邊形為平行四邊形，則平面平面，且.因?yàn)槠矫鍭BCD，平面ABCD，所以，所以.又平面平面，平面平面，平面.所以平面.又平面，所以.又因?yàn)樗倪呅问橇庑?，且，所以是等邊三角形，所以，?（2）方法一：以E為AB的中點(diǎn).以點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以為軸，建立如圖3所示的空間直角坐標(biāo)系不妨設(shè)，，則，，，，，，所以，，，.設(shè)平面的法向量為，則即令，則，，所以平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面BDF的法向量為，則即令，則，，所以平面的一個(gè)法向量為.設(shè)平面與平面的夾角為，則令