高中物理競(jìng)賽講義-磁場(chǎng)典型例題解析

磁場(chǎng)典型例題解析一、磁場(chǎng)與安培力的計(jì)算【例題1】兩根無限長的平行直導(dǎo)線a、b相距40cm，通過電流的大小都是3.0A，方向相反。試求位于兩根導(dǎo)線之間且在兩導(dǎo)線所在平面內(nèi)的、與a導(dǎo)線相距10cm的P點(diǎn)的磁感強(qiáng)度?！窘庹f】這是一個(gè)關(guān)于畢薩定律的簡單應(yīng)用。解題過程從略?！敬鸢浮看笮椤?0?6T，方向在圖9-9中垂直紙面向外?！纠}2】半徑為R，通有電流I的圓形線圈，放在磁感強(qiáng)度大小為B、方向垂直線圈平面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，求由于安培力而引起的線圈內(nèi)張力?！窘庹f】本題有兩種解法。方法一：隔離一小段弧，對(duì)應(yīng)圓心角θ，則弧長L=θR。因?yàn)棣取?（在圖9-10中，為了說明問題，θ被夸大了），弧形導(dǎo)體可視為直導(dǎo)體，其受到的安培力F=BIL，其兩端受到的張力設(shè)為T，則T的合力ΣT=2Tsin再根據(jù)平衡方程和極限=0，即可求解T。方法二：隔離線圈的一半，根據(jù)彎曲導(dǎo)體求安培力的定式和平衡方程即可求解…【答案】BIR?！颊f明〗如果安培力不是背離圓心而是指向圓心，內(nèi)張力的方向也隨之反向，但大小不會(huì)變?！紝W(xué)員思考〗如果圓環(huán)的電流是由于環(huán)上的帶正電物質(zhì)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)而成（磁場(chǎng)仍然是進(jìn)去的），且已知單位長度的電量為λ、環(huán)的角速度ω、環(huán)的總質(zhì)量為M，其它條件不變，再求環(huán)的內(nèi)張力?！继崾尽酱藭r(shí)環(huán)的張力由兩部分引起：①安培力，②離心力。前者的計(jì)算上面已經(jīng)得出（此處I==ωλR），T1=BωλR2；后者的計(jì)算必須應(yīng)用圖9-10的思想，只是F變成了離心力，方程2T2sin=Mω2R，即T2=?！即稹紹ωλR2+?！纠}3】如圖9-11所示，半徑為R的圓形線圈共N匝，處在方向豎直的、磁感強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，線圈可繞其水平直徑（絕緣）軸OO′轉(zhuǎn)動(dòng)。一個(gè)質(zhì)量為m的重物掛在線圈下部，當(dāng)線圈通以恒定電流I后，求其靜止時(shí)線圈平面和磁場(chǎng)方向的夾角?！窘庹f】這是一個(gè)應(yīng)用安培力矩定式的簡單問題，解題過程從略。【答案】arctg。二、帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)【例題4】電子質(zhì)量為m、電量為q，以初速度v0垂直磁場(chǎng)進(jìn)入磁感強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中。某時(shí)刻，電子第一次通過圖9-12所示的P點(diǎn)，θ為已知量，試求：（1）電子從O到P經(jīng)歷的時(shí)間；（2）O→P過程洛侖茲力的沖量?！窘庹f】圓周運(yùn)動(dòng)的基本計(jì)算。解題過程從略。值得注意的是，洛侖茲力不是恒力，故沖量不能通過定義式去求，而應(yīng)根據(jù)動(dòng)量定理求解?！敬鸢浮浚?）；（2）2mv0sinθ。【例題5】如圖9-13所示，S是粒子源，只能在紙面上的360°范圍內(nèi)發(fā)射速率相同、質(zhì)量為m、電量為q的電子。MN是一塊足夠大的擋板，與S相距=L。它們處在磁感強(qiáng)度為B、方向垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，試求：（1）要電子能到達(dá)擋板，其發(fā)射速度至少應(yīng)為多大（2）若發(fā)射速率為，則電子擊打在擋板上的范圍怎樣【解說】第一問甚簡，電子能擊打到擋板的臨界情形是軌跡與擋板相切，此時(shí)rmin=；在第二問中，先求得r=L，在考查各種方向的初速所對(duì)應(yīng)的軌跡與擋板相交的“最遠(yuǎn)”點(diǎn)。值得注意的是，O點(diǎn)上方的最遠(yuǎn)點(diǎn)和下方的最遠(yuǎn)點(diǎn)并不是相對(duì)O點(diǎn)對(duì)稱的。【答案】（1）；（2）從圖中O點(diǎn)上方距O點(diǎn)L處到O點(diǎn)下方距O點(diǎn)L處的范圍內(nèi)。【例題6】如圖9-14甲所示，由加速電壓為U的電子槍發(fā)射出的電子沿x方向射入勻強(qiáng)磁場(chǎng)，要使電子經(jīng)過x下方距O為L且∠xOP=θ的P點(diǎn)，試討論磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小和方向的取值情況?！窘庹f】以一般情形論：電子初速度v0與磁感應(yīng)強(qiáng)度B成任意夾角α，電子應(yīng)做螺旋運(yùn)動(dòng)，半徑為r=，螺距為d=，它們都由α、B決定（v0=是固定不變的）。我們總可以找到適當(dāng)?shù)陌霃脚c螺距，使P點(diǎn)的位置滿足L、θ的要求。電子運(yùn)動(dòng)軌跡的三維展示如圖9-14乙所示。如果P點(diǎn)處于（乙圖中）螺線軌跡的P1位置，則α=θ，B∥；如果P點(diǎn)處于P2或P3位置，則α≠θ，B與成一般夾角。對(duì)于前一種情形，求解并不難——只要解L=kd（其中k=1，2，3，…）方程即可；而對(duì)后一種情形，要求出B的通解就難了，這里不做討論。此外，還有一種特解，那就是當(dāng)B⊥時(shí)，這時(shí)的解法和【例題4】就完全重合了。【答案】通解不定。當(dāng)B∥時(shí)，B=（其中k=1，2，3，…）；當(dāng)B⊥時(shí)，B=?！紗栴}存疑〗兩個(gè)特解能不能統(tǒng)一三、帶電粒子在電磁復(fù)合場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)一般考慮兩種典型的復(fù)合情形：B和E平行，B和E垂直。對(duì)于前一種情形，如果v0和B（E）成θ角，可以將v0分解為v0τ和v0n，則在n方向粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，在τ方向粒子做勻加速運(yùn)動(dòng)。所以，粒子的合運(yùn)動(dòng)是螺距遞增（或遞減）的螺線運(yùn)動(dòng)。對(duì)于后一種情形（垂直復(fù)合場(chǎng)），難度較大，必須起用動(dòng)力學(xué)工具和能量（動(dòng)量）工具共同求解。一般結(jié)論是，當(dāng)v0和B垂直而和E成一般夾角時(shí)，粒子的軌跡是擺線（的周期性銜接）?！纠}7】在三維直角坐標(biāo)中，沿+z方向有磁感強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，沿?z方向有電場(chǎng)強(qiáng)度為E的勻強(qiáng)電場(chǎng)。在原點(diǎn)O有一質(zhì)量為m、電量為?q的粒子（不計(jì)重力）以正x方向、大小為v的初速度發(fā)射。試求粒子再過z軸的坐標(biāo)與時(shí)間。【解說】過程甚簡，粒子運(yùn)動(dòng)情形見圖9-15?！敬鸢浮縵=，t=。（其中k=1，2，3，…）【例題8】在相互垂直的勻強(qiáng)電、磁場(chǎng)中，E、B值已知，一個(gè)質(zhì)量為m、電量為+q的帶電微粒（重力不計(jì)）無初速地釋放，試定量尋求該粒子的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。【解說】在相互垂直的電、磁場(chǎng)中，粒子受力的情形非常復(fù)雜，用運(yùn)動(dòng)的分解與合成的手段也有相當(dāng)?shù)睦щy，必須用到一些特殊的處理方法。鑒于粒子只能在垂直B的平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，可以在該平面內(nèi)建立如圖9-16所示的直角坐標(biāo)。在這個(gè)坐標(biāo)中，從以下四個(gè)角度考查粒子運(yùn)動(dòng)的定量規(guī)律——（1）電場(chǎng)方向的最大位移Y能量關(guān)系qEY=m①在x方向上用動(dòng)量定理，有t=mvP②且=qB③（注意t=Y）解①②③式可得Y=（2）軌跡頂點(diǎn)P的曲率半徑r在P點(diǎn)有動(dòng)力學(xué)關(guān)系qvPB?qE=m，而vP在第（1）問中已經(jīng)求得?？山獬觯簉=（3）垂直電場(chǎng)方向的“漂移”速度針對(duì)O→P過程，y方向有動(dòng)力學(xué)關(guān)系Σ=m即qE?=m，即qE?qB=m。而==0所以=*（4）粒子從O到P做經(jīng)歷的時(shí)間t解法一：擺線亦稱旋輪線，是由輪子在水平面無滑滾動(dòng)時(shí)輪子邊緣形成的軌跡（如圖9-17所示）。在本題的E、B疊加場(chǎng)中，可以認(rèn)為“輪子”的旋轉(zhuǎn)是由洛侖茲力獨(dú)立形成的。而從O到P的過程，輪子轉(zhuǎn)動(dòng)的圓心角應(yīng)為π，故對(duì)應(yīng)時(shí)間為t==。解法二：參照擺線方程x=a（t?sint）y=a（1?cost）得到xP=πa=π=。再根據(jù)t==/所以t=?！敬鸢浮柯浴！驹u(píng)說】在垂直復(fù)合場(chǎng)中，尋求能量關(guān)系比較容易，但動(dòng)力學(xué)關(guān)系（或動(dòng)量關(guān)系）只能啟用平均的思想，這也是一種特殊的處理方法。四、束縛問題帶電實(shí)物受到斜面、繩子或桿子的束縛，在電、磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)問題稱為束縛問題。束縛問題涉及的受力情形復(fù)雜，且常常伴隨邊界條件的討論，因此有更大的挑戰(zhàn)性?！纠}9】單擺的擺長為L，擺球帶電+q，放在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，球的擺動(dòng)平面跟磁場(chǎng)垂直，最大擺角為α。為使其能正常擺動(dòng)，磁場(chǎng)的磁感強(qiáng)度B值有何限制【解說】這是第九屆初試題，解題的關(guān)鍵所在是要分析清楚：小球“最有可能脫離圓弧”的點(diǎn)是否一定在最低點(diǎn)…下面的定量討論完成之后，我們將會(huì)發(fā)現(xiàn)：這個(gè)答案是否定的。針對(duì)某個(gè)一般位置P，設(shè)方位角θ（如圖9-18所示），如果小球沒有離開圓弧，可以列出——?jiǎng)恿W(xué)方程：T+qvB?mgcosθ=m①從O到P過程，能量方程：mgL（cosθ?cosα）=mv2②小球不離開圓弧的條件是：T≥0③解①②③式易得B≤〖學(xué)員活動(dòng)〗請(qǐng)求出函數(shù)y=的極小值…☆解法備考：對(duì)于正數(shù)a、b，有a+b≥2而y==3+考慮到θ、α的實(shí)際取值情況，3和均為正數(shù)，所以，y≥2即ymin=2☆磁感應(yīng)強(qiáng)度取值的一般結(jié)論為：B≤2。但此結(jié)論還有討論的空間——因?yàn)闃O值點(diǎn)的條件是：=，即cosθ=cosα。顯然，只有當(dāng)cosα＜時(shí)（即最大擺角α較大時(shí)），極值點(diǎn)才可取，上面的“一般結(jié)論”才成立；物理意義：小球“最有可能脫離圓弧”的點(diǎn)不在最低點(diǎn)。而當(dāng)α過小，cosα＞時(shí)，θ無解，極值點(diǎn)不可達(dá)，此時(shí)應(yīng)尋求y=函數(shù)（在定義域內(nèi)）的最小值。這個(gè)最值的尋求相對(duì)復(fù)雜一些，具體過程如下——廣義的y雖然是先減后增，但它的自變量是而非θ，因α是定值，故y也可以認(rèn)為是隨著cosθ的增大而先減后增，如圖9-19所示