常微分方程的發(fā)展史

常微分方程的發(fā)展史摘要：20世紀(jì)以來(lái),隨著大量的邊緣科學(xué)諸如電磁流體力學(xué)、化學(xué)流體力學(xué)、動(dòng)力氣象學(xué)、海洋動(dòng)力學(xué)、地下水動(dòng)力學(xué)等等的產(chǎn)生和發(fā)展,也出現(xiàn)不少新型的微分方程（特別是方程組）.70年代隨著數(shù)學(xué)向化學(xué)和生物學(xué)的滲透,出現(xiàn)了大量的反應(yīng)擴(kuò)散方程.從“求通解”到“求解定解問(wèn)題”數(shù)學(xué)家們首先發(fā)現(xiàn)微分方程有無(wú)窮個(gè)解.常微分方程的解會(huì)含有一個(gè)或多個(gè)任意常數(shù),其個(gè)數(shù)就是方程的階數(shù).偏微分方程的解會(huì)含有一個(gè)或多個(gè)任意函數(shù),其個(gè)數(shù)隨方程的階數(shù)而定.命方程的解含有的任意元素（即任意常數(shù)或任意函數(shù)）作盡可能的變化,人們就可能得到方程所有的解,于是數(shù)學(xué)家就把這種含有任意元素的解稱(chēng)為“通解”.在很長(zhǎng)一段時(shí)間里,人們致力于“求通解”.關(guān)鍵詞：常微分方程，發(fā)展，起源正：常微分方程是由用微積分處理新問(wèn)題而產(chǎn)生的，它主要經(jīng)歷了創(chuàng)立及解析理論階段、定性理論階段和深入發(fā)展階段。17世紀(jì)，牛頓(I.Newton，英國(guó)，1642-1727)和萊布尼茲(G.W.Leibniz，德國(guó)，1646-1716)發(fā)明了微積分，同時(shí)也開(kāi)創(chuàng)了微分方程的研究最初，牛頓在他的著作《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理機(jī)(1687年)中，主要研究了微分方程在天文學(xué)中的應(yīng)用，隨后微積分在解決物理問(wèn)題上逐步顯示出了巨大的威力。但是，隨著物理學(xué)提出日益復(fù)雜的問(wèn)題，就需要更專(zhuān)門(mén)的技術(shù)，需要建立物理問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型，即建立反映該問(wèn)題的微分方程。1690年，雅可比·伯努利(JakobBernouli，瑞士，1654-1705)提出了等時(shí)間題和懸鏈線問(wèn)題．這是探求微分方程解的早期工作。雅可比·伯努利自己解決了前者。翌年，約翰伯努利(JohannBernouli，瑞士，1667-1748)、萊布尼茲和惠更斯（C.Huygens，荷蘭，1629-1695)獨(dú)立地解決了后者。

有了微分方程，緊接著就是解微分方程，并對(duì)所得的結(jié)果進(jìn)行物理解釋?zhuān)瑥亩A(yù)測(cè)物理過(guò)程的特定性質(zhì)．所以求解就成為微分方程的核心，但求解的困難很大，一個(gè)看似很簡(jiǎn)單的微分方程也沒(méi)有普遍適用的方法能使我們?cè)谒械那闆r下得出它的解。因此，最初人們的注意力放在某些類(lèi)型的微分方程的一般解法上。

1691年，萊布尼茲給出了變量分離法。他還把一階齊次方程使其變量分離。1694年，他使用了常數(shù)變易法把一階常微分方程化成積分。

1695年，雅可比·伯努利給出著名的伯努利方程。萊布尼茲用變換，將其化為線性方程。約翰和雅可比給出了各自的解法，其本質(zhì)上都是變量分離法。

1734年，歐拉(L.Euler，瑞士，1707-1783)給出了恰當(dāng)方程的定義。他與克萊羅(A.C.Clairaut，法國(guó)，1713-1765)各自找到了方程是恰當(dāng)方程的條件，并發(fā)現(xiàn)：若方程是恰當(dāng)?shù)?，則它是可積的。那么