常微分方程6資料

PAGEPAGE1第六章非線性微分方程和穩(wěn)定性[教學(xué)目標(biāo)]理解解的穩(wěn)定性、零解穩(wěn)定性及零解漸進(jìn)穩(wěn)定性的概念。掌握平面初等奇點(diǎn)的分類方法。了解擬線性近似決定微分方程組的穩(wěn)定性及用李雅譜若夫第二方法判別穩(wěn)定性的方法。了解周期解和極限環(huán)的概念。[教學(xué)重難點(diǎn)]奇點(diǎn)的分類與相應(yīng)零解的穩(wěn)定性。[教學(xué)方法]講授，實(shí)踐。[教學(xué)內(nèi)容]解的穩(wěn)定性定義，相平面、相軌線與相圖；平面自治系統(tǒng)的性質(zhì)，奇點(diǎn)的分類及相應(yīng)零解的穩(wěn)定性；擬線性近似，李雅譜若夫第二方法判別穩(wěn)定性，周期解和極限環(huán)的概念。[考核目標(biāo)]1.奇點(diǎn)的分類及相應(yīng)零解的穩(wěn)定性。2.李雅譜若夫第二方法判別穩(wěn)定性。3.會(huì)求周期解和極限環(huán)。§1相平面、相軌線與相圖把平面稱為平面自治系統(tǒng)（6.1）的相平面.把(6.1)式的解在平面上的軌跡稱為(6.1)式的軌線或相軌線.軌線族在相平面上的圖象稱為(6.1)式的相圖.注意：在上述概念中，總是假設(shè)(6.1)式中的函數(shù)在區(qū)域上連續(xù)并滿足初值解的存在與唯一性定理的條件.(6.1)式的解在相平面上的軌線，正是這個(gè)解在三維空間中的積分曲線在相平面上的投影.下面討論二階線性系統(tǒng)(6.2)奇點(diǎn)(0,0)附近軌線的分布:上述系統(tǒng)寫成向量形式為方程組它存在線性變換，可化成標(biāo)準(zhǔn)型由A的特征根的不同情況，方程的奇點(diǎn)可能出現(xiàn)四種類型：結(jié)點(diǎn)型，鞍點(diǎn)型，焦點(diǎn)型，中心型.1．結(jié)點(diǎn)型如果在某奇點(diǎn)附近的軌線具有如圖5-1的分布情形，我們就稱這奇點(diǎn)為穩(wěn)定結(jié)點(diǎn).因此，當(dāng)μ＜λ＜0時(shí)，原點(diǎn)O是(6.3)(5.4)式的穩(wěn)定結(jié)點(diǎn).圖6-1圖6-2如果在某奇點(diǎn)附近的軌線具有如圖5-2的分布情形，我們就稱這奇點(diǎn)為不穩(wěn)定結(jié)點(diǎn).因此，當(dāng)μ＞λ＞0時(shí)，原點(diǎn)O是(5.4)的不穩(wěn)定結(jié)點(diǎn).如果在奇點(diǎn)附近的軌線具有如圖5-3和圖5-4的分布，就稱這奇點(diǎn)為臨界結(jié)點(diǎn).§2李雅普諾夫穩(wěn)定性1、穩(wěn)定性定義李雅普諾夫穩(wěn)定性概念如果對(duì)于任意給定的和0都存在，使得只要滿足就有對(duì)一切成立，則稱微分方程(6.6)的解是穩(wěn)定的.否則是不穩(wěn)定的.假設(shè)是穩(wěn)定的，而且存在，使得只要滿足就有則稱(6.6)的解是漸近穩(wěn)定的.注意：微分方程(6.6)式中的函數(shù)對(duì)和連續(xù)，對(duì)滿足局部李普希茲條件.一般情況下，我們把解的穩(wěn)定性化成零解的穩(wěn)定性問題進(jìn)行討論.這樣就有下面的關(guān)于零解穩(wěn)定性的定義:定義1若對(duì)任意和，存在，使當(dāng)時(shí)有對(duì)所有的成立，則稱(6.6)的零解是穩(wěn)定的.反之是不穩(wěn)定的.定義2若(6.6)的零解是穩(wěn)定的，且存在,使當(dāng)時(shí)有則稱(5.1)的零解是漸近穩(wěn)定的.2、李雅普諾夫第二方法定義3（李雅普諾夫函數(shù)）若函數(shù)滿足V(0)＝0,和都連續(xù)，且若存在0<HK,使在上，則稱是常正(負(fù))的；若在上除外總有，則稱是正(負(fù))定的；既不是常正又不是常負(fù)的函數(shù)稱為變號(hào)的.定理1（零解穩(wěn)定判別定理）對(duì)系統(tǒng)(6.7)若在區(qū)域D上存在李雅普諾夫函數(shù)V(x)滿足(1)正定；(2)常負(fù).則(6.7)的零解是穩(wěn)定的.注意：(6.7)式中在上連續(xù)，滿足局部李普希茲條件，且．引理若V(x)是正定(或負(fù)定)的李雅諾夫函數(shù)，且對(duì)連續(xù)有界函數(shù)有則定理2（零解漸近穩(wěn)定判別定理）對(duì)系統(tǒng)(5.2)，若在區(qū)域D上存在李雅普諾夫函數(shù)V(x)滿足(1)正定,(2)負(fù)定，則(6.7)的