常微分方程學(xué)習(xí)活動(dòng)6-第三章一階線性方程組、第四章n階線性方程的綜合練習(xí)

..常微分方程學(xué)習(xí)活動(dòng)6第三章一階線性方程組、第四章n階線性方程的綜合練習(xí)本課程形成性考核綜合練習(xí)共3次，內(nèi)容主要分別是第一章初等積分法的綜合練習(xí)、第二章基本定理的綜合練習(xí)、第三章和第四章的綜合練習(xí)，目的是通過(guò)綜合性練習(xí)作業(yè)，同學(xué)們可以檢驗(yàn)自己的學(xué)習(xí)成果，找出掌握的薄弱知識(shí)點(diǎn)，重點(diǎn)復(fù)習(xí)，爭(zhēng)取盡快掌握．要求：首先請(qǐng)同學(xué)們下載作業(yè)附件文檔并進(jìn)行填寫，文檔填寫完成后請(qǐng)?jiān)诒敬巫鳂I(yè)頁(yè)面中點(diǎn)擊“去完成”按鈕進(jìn)入相應(yīng)網(wǎng)頁(yè)界面完成任務(wù)，然后請(qǐng)將所做完的作業(yè)文檔以附件的形式上傳到課程上，隨后老師會(huì)在課程中進(jìn)行評(píng)分。一、填空題1．若A(x)在(-∞,+∞)上連續(xù)，那么線性齊次方程組，的任一非零解在空間不能與x軸相交．2．方程組的任何一個(gè)解的圖象是n+1維空間中的一條積分曲線．3．向量函數(shù)組Y1(x),Y2(x),…,Yn(x)線性相關(guān)的必要條件是它們的朗斯期行列式W(x)=0．4．線性齊次微分方程組，的一個(gè)基本解組的個(gè)數(shù)不能多于n+1個(gè)．5．若函數(shù)組在區(qū)間上線性相關(guān)，則它們的朗斯基行列式在區(qū)間上恒等于．6．函數(shù)組的朗斯基行列式是7．二階方程的等價(jià)方程組是．8．若和是二階線性齊次方程的基本解組，則它們沒(méi)有共同零點(diǎn)．9．二階線性齊次微分方程的兩個(gè)解,成為其基本解組的充要條件是線性無(wú)關(guān)．10．階線性齊次微分方程線性無(wú)關(guān)解的個(gè)數(shù)最多為n個(gè)．11．在方程y″+p(x)y′+q(x)y=0中，p(x),q(x)在(-∞,+∞)上連續(xù)，則它的任一非零解在xOy平面上可以與x軸橫截相交．12．二階線性方程的基本解組是．13．線性方程的基本解組是．14．方程的所有解構(gòu)成一個(gè)2維線性空間．15．n階線性齊次微分方程的所有解構(gòu)成一個(gè)n維線性空間．二、計(jì)算題1．將下列方程式化為一階方程組（1）（2）1）解，（2）解2．求解下列方程組：（1）（2）（1）解方程組的系數(shù)陣為特征方程為：det(A-E)==，其特征根為.當(dāng)時(shí),，其中a,b滿足(A-E)==0,則有a+b=0．取a=1,b=1,則得一特解將代入原方程組，得解得.原方程組的特解為所以原方程組的通解為已知方程的一個(gè)解，求其通解．解由通解公式，，6．試求下列n階常系數(shù)線性齊次方程的通解（1）（2）（1）解特征方程為:特征根為:。它們對(duì)應(yīng)的解為:方程通解為:.（2）解特征方程為:特征根為:它們對(duì)應(yīng)的解為:方程通解為:.7．試求下述各方程滿足給定的初始條件的解：（1），，（2），，（1）解特征方程為:.特征根為:，方程通解為:由初始條件有:,解得.所以方程的初值解為:.（2）解特征方程為:.特征根為:，方程通解為:由初始條件有:,解得.所以方程的初值解為:.8．求下列n階常系數(shù)線性非齊次方程的通解：（1）（2）（1）解由于，，故齊次方程的通解為.由于不是特征根，故已知方程有形如的特解.將它代入原方程，得,，所求通解為.（2）解由于，.因?yàn)椴皇翘卣鞲室阎匠逃行稳绲奶亟猓畬⑸鲜酱朐匠?，可得，所求通解?三、證明題1．設(shè)矩陣函數(shù)，在（a,b）上連續(xù)，試證明，若方程組與有相同的基本解組，則．．證明設(shè)為基本解矩陣,因?yàn)榛窘饩仃囀强赡娴?故有于是.設(shè)在方程中，在區(qū)間上連續(xù)且恒不為零，試證它的任意兩個(gè)線性無(wú)關(guān)解的朗斯基行列式是在區(qū)間上嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)．證明設(shè)w(x)是方程的任意兩個(gè)線性無(wú)關(guān)解的朗斯基行列式，則且有，.又因?yàn)樵趨^(qū)間上連續(xù)且恒不為零,從而對(duì),或,所以,在上恒正或恒負(fù),即w(x)為嚴(yán)格單調(diào)函數(shù).3．試證明：二階線性齊次方程的任意兩個(gè)線性無(wú)關(guān)解組的朗斯基行列式之比是一個(gè)不為零的常數(shù)．證明設(shè)兩個(gè)線性的解組的朗斯基行列式分別為，，且，所以有.四、應(yīng)用題1．一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)由靜止開(kāi)始沉入液體中，當(dāng)下沉?xí)r，液體的反作用與下沉的速度成正比，求此質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。解設(shè)液體的反作用與質(zhì)點(diǎn)速度的比