5.1.1　任意角-高中數(shù)學(xué)教學(xué)資料

5.1.1任意角第五章§5.1任意角和弧度制1.了解任意角的概念，區(qū)分正角、負角與零角.2.了解象限角的概念，理解并掌握終邊相同的角的概念，能寫出

終邊相同的角所組成的集合.3.利用象限角和終邊相同角的概念解決簡單的問題.學(xué)習(xí)目標(biāo)同學(xué)們，鐘表是幫助我們掌握時間的好幫手，生活中我們經(jīng)常聽到時鐘慢了5分鐘，或時鐘快了30分鐘，應(yīng)該如何校準？再比如，我們一節(jié)課45分鐘，時針、分針以及秒針分別旋轉(zhuǎn)了多少度？再比如在體操、花樣游泳、跳水等項目中，我們也常常聽到“前空翻轉(zhuǎn)體540度”“后空翻轉(zhuǎn)體720度”等這樣的解說，這些問題都和角度是分不開的，為了研究這些問題，我們開始今天的新課.導(dǎo)語隨堂演練課時對點練一、任意角的概念二、象限角三、終邊相同的角內(nèi)容索引四、區(qū)域角以及終邊在已知直線上的角的表示一、任意角的概念問題1在初中是如何定義角的？角的范圍是多少？提示角可以看成一條射線繞著它的端點旋轉(zhuǎn)所成的圖形，角的范圍是0°～360°.當(dāng)然，我們還學(xué)習(xí)過銳角、直角、鈍角、平角和周角，我們現(xiàn)在要研究的問題是這條射線旋轉(zhuǎn)的方向問題、大小問題，還有是否可以任意旋轉(zhuǎn)的問題.知識梳理1.角的概念角可以看成平面內(nèi)一條

繞著它的端點

所成的

.2.角的表示如圖所示，角α可記為“α”或“∠α”或“∠AOB”，始邊：

，終邊：

，頂點：

.射線旋轉(zhuǎn)圖形OAOBO名稱定義圖示正角一條射線繞其端點按

方向旋轉(zhuǎn)形成的角

負角一條射線繞其端點按

方向旋轉(zhuǎn)形成的角

零角一條射線

做任何旋轉(zhuǎn)形成的角

3.角的分類逆時針順時針沒有4.任意角我們把角的概念推廣到了

，包括

、

和

.5.相反角我們把射線OA繞端點O按不同方向旋轉(zhuǎn)相同的量所成的兩個角叫做互為相反角，角α的相反角記為

.任意角正角負角零角－α例1

若手表時針走過4小時，則時針轉(zhuǎn)過的角度為A.120° B.－120° C.－60° D.60°解析由于時針是順時針旋轉(zhuǎn)，故時針轉(zhuǎn)過的角度為負數(shù)，√反思感悟

正確理解銳角、直角、鈍角、平角、周角等概念，弄清角的始邊與終邊及旋轉(zhuǎn)方向與大小.逆時針旋轉(zhuǎn)形成一個正角，順時針旋轉(zhuǎn)形成一個負角.正角與負角是表示具有相反意義的旋轉(zhuǎn)量，它的正負規(guī)定純屬習(xí)慣，就好象正數(shù)和負數(shù)的規(guī)定一樣.跟蹤訓(xùn)練1

經(jīng)過2個小時，鐘表的時針和分針轉(zhuǎn)過的角度分別是A.60°，720° B.－60°，－720°C.－30°，－360° D.－60°，720°解析鐘表的時針和分針都是順時針旋轉(zhuǎn)，因此轉(zhuǎn)過的角度都是負的，而

×360°＝60°，2×360°＝720°，故鐘表的時針和分針轉(zhuǎn)過的角度分別是－60°，－720°.√二、象限角問題2現(xiàn)在，我們把角的概念推廣到了任意角，如何更形象的表示一個角？提示我們通常在直角坐標(biāo)系內(nèi)討論角，為了方便，使角的頂點與原點重合，角的始邊與x軸的非負半軸重合，那么角的終邊在第幾象限，就說這個角是第幾象限角.注意點：(1)銳角是第一象限角，鈍角是第二象限角，直角的終邊在坐標(biāo)軸上，它不屬于任何一個象限；(2)每一個象限都有正角和負角；(3)無法比較哪一個象限角的大小.例2

在①160°；②480°；③－960°；④1530°這四個角中，屬于第二象限角的是A.①

B.①②

C.①②③

D.①②③④解析①160°很顯然是第二象限角；②480°＝120°＋360°是第二象限角；③－960°＝－3×360°＋120°是第二象限角；④1530°＝4×360°＋90°不是第二象限角，故選C.√反思感悟

正確理解象限角與銳角、直角、鈍角、平角、周角等概念的關(guān)系，需要掌握判斷結(jié)論正確與否的技巧，判斷結(jié)論正確需要證明，而判斷結(jié)論不正確只需舉一個反例即可.跟蹤訓(xùn)練2

(多選)下列敘述不正確的是A.三角形的內(nèi)角是第一象限角或第二象限角B.鈍角是第二象限角C.第二象限角比第一象限角大D.小于180°的角是鈍角、直角或銳角解析直角不屬于任何一個象限，故A不正確；鈍角是大于90°小于180°的角，是第二象限角，故B正確；由于120°是第二象限角，390°是第一象限角，120°<390°，故C不正確；由于零角和負角也小于180°，故D不正確.√√√三、終邊相同的角問題3給定一個角，它的終邊是否唯一？若兩角的終邊相同，那么這兩個角相等嗎？提示給定一個角，它的終邊唯一；兩角終邊相同，這兩個角不一定相等，比如30°的終邊和390°的終邊相同，它們正好相差了360°的整數(shù)倍.知識梳理終邊相同的角所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一與角α終邊相同的角，都可以表示成角α與整數(shù)個周角的和.例3

已知α＝－1845°，在與α終邊相同的角中，求滿足下列條件的角.(1)最小的正角；解因為－1845°＝－45°＋(－5)×360°，即－1845°角與－45°角的終邊相同，所以與角α終邊相同的角的集合是{β|β＝－45°＋k·360°，k∈Z}，最小的正角為315°.(2)最大的負角；解最大的負角為－45°.(3)－360°～720°之間的角.解－360°～720°之間的角分別是－45°，315°，675°.反思感悟

終邊相同的角的表示(1)終邊相同的角都可以表示成α＋k·360°(k∈Z)的形式.(2)終邊相同的角相差360°的整數(shù)倍.跟蹤訓(xùn)練3

(1)下列角的終邊與－53°角的終邊在同一直線上的是A.－37° B.53°

C.233° D.127°解析與－53°角的終邊在同一直線上的角可表示為－53°＋k·180°，k∈Z，當(dāng)k＝1時，－53°＋180°＝127°.√(2)若角2α與240°角的終邊相同，則α等于A.120°＋k·360°，k∈Z

B.120°＋k·180°，k∈ZC.240°＋k·360°，k∈Z

D.240°＋k·180°，k∈Z解析角2α與240°角的終邊相同，則2α＝240°＋k·360°，k∈Z，則α＝120°＋k·180°，k∈Z.√四、區(qū)域角以及終邊在已知直線上的角的表示例4

已知角α的終邊在圖中陰影部分內(nèi)，試指出角α的取值范圍.解終邊在30°角的終邊所在直線上的角的集合為S1＝{α|α＝30°＋k·180°，k∈Z}，終邊在180°－75°＝105°角的終邊所在直線上的角的集合為S2＝{α|α＝105°＋k·180°，k∈Z}，因此，終邊在圖中陰影部分內(nèi)的角α的取值范圍為{α|30°＋k·180°≤α<105°＋k·180°，k∈Z}.反思感悟

(1)象限角的判定方法①根據(jù)圖象判定.利用圖象實際操作時，依據(jù)是終邊相同的角的思想，因為0°～360°之間的角與坐標(biāo)系中的射線可建立一一對應(yīng)的關(guān)系.②將角轉(zhuǎn)化到0°～360°范圍內(nèi).在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，在0°～360°之間沒有兩個角終邊是相同的.(2)表示區(qū)域角的三個步驟第一步：先按逆時針的方向找到區(qū)域的起始和終止邊界.第二步：按由小到大分別標(biāo)出起始和終止邊界對應(yīng)的－360°～360°范圍內(nèi)的角α和β，寫出最簡區(qū)間{x|α<x<β}，其中β－α<360°.第三步：起始、終止邊界對應(yīng)角α，β再加上360°的整數(shù)倍，即得區(qū)域角集合.跟蹤訓(xùn)練4

已知，如圖所示.(1)分別寫出終邊落在OA，OB位置上的角的集合；解終邊落在OA位置上的角的集合為{α|α＝k·360°＋210°，k∈Z}，終邊落在OB位置上的角的集合為{α|α＝k·360°＋300°，k∈Z}.(2)寫出終邊落在陰影部分(包括邊界)的角的集合.解終邊落在陰影部分(包括邊界)的角的集合是{α|k·360°＋210°≤α≤k·360°＋300°，k∈Z}.1.知識清單：(1)正角、負角、零角的概念.(2)終邊相同的角的表示.(3)象限角、區(qū)域角的表示.2.方法歸納：數(shù)形結(jié)合、分類討論.3.常見誤區(qū)：銳角與小于90°角的區(qū)別，終邊相同角的表示中漏掉k∈Z.課堂小結(jié)隨堂演練1.“α是銳角”是“α是第一象限角”的A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件1234√解析因為α是銳角能推出α是第一象限角，但是反之不成立，例如400°是第一象限角，但不是銳角，所以“α是銳角”是“α是第一象限角”的充分不必要條件.12342.2021°是A.第一象限角

B.第二象限角C.第三象限角

D.第四象限角√解析2021°＝5×360°＋221°，所以2021°角的終邊與221°角的終邊相同，為第三象限角.12343.與－460°角終邊相同的角可以表示成A.460°＋k·360°，k∈Z

B.100°＋k·360°，k∈ZC.260°＋k·360°，k∈Z

D.－260°＋k·360°，k∈Z√解析因為－460°＝260°＋(－2)×360°，故與－460°角終邊相同的角可以表示成260°＋k·360°，k∈Z.1234解析觀察圖形可知，角α的集合是{α|k·360°＋45°<α<k·360°＋150°，k∈Z}.4.已知角α的終邊在如圖陰影表示的范圍內(nèi)(不包含邊界)，那么角α的集合是____________________________________________.{α|k·360°＋45°<α<k·360°＋150°，k∈Z}課時對點練基礎(chǔ)鞏固1234567891011121314151.時針走過2小時40分，則分針轉(zhuǎn)過的角度是A.80° B.－80° C.960° D.－960°√由于時針、分針都是順時針旋轉(zhuǎn)，∴時針走過2小時40分，分針轉(zhuǎn)過的角度為－2×360°－240°＝－960°.162.若α是第四象限角，則180°－α是A.第一象限角

B.第二象限角C.第三象限角

D.第四象限角123456789101112131415√解析可以給α賦一特殊值－60°，則180°－α＝240°，故180°－α是第三象限角.161234567891011121314153.如果角α的終邊上有一點P(0，－3)，那么αA.是第三象限角

B.是第四象限角C.是第三或第四象限角

D.不是象限角√解析點P(0，－3)在y軸負半軸上，故α的終邊為y軸的負半軸.161234567891011121314154.下面各組角中，終邊相同的是A.390°，690° B.－330°，750°C.480°，－420° D.3000°，－840°解析因為－330°＝－360°＋30°，750°＝2×360°＋30°，所以－330°與750°終邊相同.√161234567891011121314155.如圖，終邊在陰影部分(含邊界)的角的集合是A.{α|－45°≤α≤120°}B.{α|120°≤α≤315°}C.{α|－45°＋k·360°≤α≤120°＋k·360°，k∈Z}D.{α|120°＋k·360°≤α≤315°＋k·360°，k∈Z}解析如題圖，終邊落在陰影部分(含邊界)的角的集合是{α|－45°＋k·360°≤α≤120°＋k·360°，k∈Z}.√16解析－200°＝－360°＋160°，在0°～360°范圍內(nèi)，與－200°終邊相同的角為160°，它是第二象限角，同理100°為第二象限角，220°為第三象限角，420°為第一象限角.1234567891011121314156.(多選)下列四個角為第二象限角的是A.－200° B.100°C.220° D.420°√√161234567891011121314157.1112°角是第_____象限角.解析∵1112°＝360°×3＋32°，∴1112°的終邊與32°的終邊相同，均為第一象限角.一161234567891011121314158.在0°～360°范圍內(nèi)，與角－60°的終邊在同一條直線上的角為______________.120°，300°解析與角－60°的終邊在同一條直線上的角可表示為β＝－60°＋k·180°，k∈Z.∵所求角在0°～360°范圍內(nèi)，∴0°≤－60°＋k·180°≤360°，16∴k＝1或2.當(dāng)k＝1時，β＝120°；當(dāng)k＝2時，β＝300°.1234567891011121314159.已知α＝－1910°.(1)把α寫成β＋k·360°(k∈Z,0°≤β<360°)的形式，并指出它是第幾象限角；解α＝－1910°＝－6×360°＋250°，它是第三象限角.16123456789101112131415(2)求θ，使θ與α的終邊相同，且－720°≤θ<0°.解令θ＝250°＋n·360°(n∈Z)，取n＝－1，－2就得到符合－720°≤θ<0°的角.當(dāng)n＝－1時，θ＝250°－360°＝－110°；當(dāng)n＝－2時，θ＝250°－720°＝－470°.故θ＝－110°或θ＝－470°.16123456789101112131415解根據(jù)任意角的定義，畫出集合{α|30°＋k·360°≤α≤60°＋k·360°，k∈Z}對應(yīng)的區(qū)域如圖所示.1610.在平面直角坐標(biāo)系中，用陰影表示下列集合：(1){α|30°＋k·360°≤α≤60°＋k·360°，k∈Z}；123456789101112131415解根據(jù)任意角的定義，畫出集合{α|30°＋k·180°≤α≤60°＋k·180°，k∈Z}對應(yīng)的區(qū)域如圖所示.16(2){α|30°＋k·180°≤α≤60°＋k·180°，k∈Z}.123456789101112131415綜合運用11.(多選)角α＝45°＋k·180°(k∈Z)的終邊落在A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限√解析當(dāng)k＝2m＋1(m∈Z)時，α＝2m·180°＋225°＝m·360°＋225°，故α為第三象限角；當(dāng)k＝2m(m∈Z)時，α＝m·360°＋45°，故α為第一象限角.故α的終邊在第一或第三象限.16√12345678910111213141512.終邊與坐標(biāo)軸重合的角α的集合是A.{α|α＝k·360°，k∈Z}B.{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}C.{α|α＝k·180°，k∈Z}D.{α|α＝k·90°，k∈Z}√解析終邊在坐標(biāo)軸上的角為90°的整數(shù)倍，所以終邊與坐標(biāo)軸重合的角的集合為{α|α＝k·90°，k∈Z}.1613.已知α為銳角，則2α為A.第一象限角

B.第二象限角C.第一或第二象限角

D.小于180°的角√解析因為α為銳角，所以0°<α<90°，則0°<2α<180°.123456789101112131415161234567891011121314151614.若α為△ABC的一個內(nèi)角，且4α與120°的終邊相同，則α＝__________.120°或30°解析∵4α＝120°＋k·360°，k∈Z，∴α＝30°＋k·90°，k∈Z，又