5.4.3　正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象

5.4.3正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象第五章§5.4三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)1.了解正切函數(shù)圖象的畫法，理解并掌握正切函數(shù)的性質(zhì).2能夠利用正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)解決相關(guān)問題.學(xué)習(xí)目標(biāo)三角函數(shù)包括正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)，我們已經(jīng)研究了正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，因此，進(jìn)一步研究正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)就成為我們學(xué)習(xí)的必然，你能否根據(jù)研究正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)的經(jīng)驗(yàn)，以同樣的方法研究正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)呢？我們知道，研究一個新的函數(shù)，應(yīng)從函數(shù)的定義域、圖象、周期性、奇偶性、對稱性、單調(diào)性、最值(值域)等方面來進(jìn)行研究.請同學(xué)們思考學(xué)案上的幾個問題.導(dǎo)語隨堂演練課時對點(diǎn)練一、正切函數(shù)的定義域、周期性與奇偶性二、正切函數(shù)的圖象三、正切函數(shù)的單調(diào)性與最值內(nèi)容索引四、正切函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用一、正切函數(shù)的定義域、周期性與奇偶性問題1

請同學(xué)們回憶角的正切是如何定義的？問題2

角α是任意的嗎？問題3

由以上，你能定義正切函數(shù)嗎？問題4

你還記得誘導(dǎo)公式二、三中和正切有關(guān)的公式嗎？提示tan(π＋α)＝tanα，tan(－α)＝－tanα.知識梳理1.周期性：由誘導(dǎo)公式tan(π＋x)＝tanx，x∈R，且x≠＋kπ，k∈Z，可知正切函數(shù)是

，周期是π.2.奇偶性：由誘導(dǎo)公式tan(－x)＝－tanx，x∈R，x≠＋kπ，k∈Z，可知正切函數(shù)是

.注意點(diǎn)：注意區(qū)分正切函數(shù)與正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的最小正周期，求周期的公式為：T＝周期函數(shù)奇函數(shù)√√反思感悟

(1)判斷函數(shù)定義域的方法求與正切函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的定義域時，除了求函數(shù)定義域的一般要求外，還要保證正切函數(shù)y＝tanx有意義，即x≠＋kπ，k∈Z.(2)與正切函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的周期性、奇偶性問題的解決策略①一般地，函數(shù)y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期為T＝

，常常利用此公式來求周期.②判斷函數(shù)的奇偶性要先求函數(shù)的定義域，判斷其是否關(guān)于原點(diǎn)對稱，若不對稱，則該函數(shù)無奇偶性；若對稱，再判斷f(－x)與f(x)的關(guān)系.A.奇函數(shù)

B.偶函數(shù)C.非奇非偶函數(shù)

D.既奇又偶函數(shù)√解析因?yàn)閒(x)＝sinx＋tanx，f(－x)＝sin(－x)＋tan(－x)＝－sinx－tanx＝－f(x)，故函數(shù)為奇函數(shù).二、正切函數(shù)的圖象問題5

你認(rèn)為正切函數(shù)的周期性和奇偶性對研究它的圖象及其他性質(zhì)會有什么幫助？問題6

如何畫出函數(shù)y＝tanx的圖象？知識梳理注意點(diǎn)：正切函數(shù)只有對稱中心，沒有對稱軸?！谭此几形?/p>

正切函數(shù)對稱中心的特殊性在于不僅有函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)，還有“漸近線”與x軸的交點(diǎn)，正確分析函數(shù)圖象并結(jié)合正切函數(shù)的性質(zhì)是解決與圖象有關(guān)問題的關(guān)鍵.跟蹤訓(xùn)練2

(1)y＝a(a為常數(shù))與y＝tan3x圖象相交時，相鄰兩交點(diǎn)間的距離為√√三、正切函數(shù)的單調(diào)性與最值通過觀察函數(shù)圖象，我們發(fā)現(xiàn)正切函數(shù)不是單調(diào)函數(shù)，但有無數(shù)個單調(diào)遞增區(qū)間，沒有單調(diào)遞減區(qū)間，無最值，值域?yàn)镽.知識梳理2.值域：正切函數(shù)沒有最大值和最小值，故正切函數(shù)的值域是實(shí)數(shù)集

.單調(diào)遞增R(1)求f(x)的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；故原函數(shù)的最小正周期為4π.反思感悟

(1)運(yùn)用正切函數(shù)單調(diào)性比較大小的方法①運(yùn)用函數(shù)的周期性或誘導(dǎo)公式將角化到同一單調(diào)區(qū)間內(nèi).②運(yùn)用單調(diào)性比較大小關(guān)系.(2)求函數(shù)y＝tan(ωx＋φ)的單調(diào)區(qū)間的方法令tanx＝t，則t∈[－1,1].∴y＝－t2＋4t＋1＝－(t－2)2＋5.故所求函數(shù)的值域?yàn)閇－4,4].四、正切函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用(1)求函數(shù)f(x)的定義域、最小正周期、單調(diào)區(qū)間及對稱中心；反思感悟

解答正切函數(shù)圖象與性質(zhì)問題的注意點(diǎn)跟蹤訓(xùn)練4畫出函數(shù)y＝|tanx|的圖象，并根據(jù)圖象判斷其定義域、值域、單調(diào)區(qū)間、奇偶性、周期性.解由y＝|tanx|，其圖象如圖，值域?yàn)閇0，＋∞)，是偶函數(shù).函數(shù)y＝|tanx|的周期T＝π，1.知識清單：(1)正切函數(shù)圖象的畫法.(2)正切函數(shù)的性質(zhì).2.方法歸納：整體代換、換元法.課堂小結(jié)隨堂演練1234√1234√1234√代入驗(yàn)證知A，B，C錯誤.1234>課時對點(diǎn)練基礎(chǔ)鞏固√12345678910111213141516A.[－1,1] B.(－∞，－1]∪[1，＋∞)C.(－∞，1] D.[－1，＋∞)123456789101112131415√161234567891011121314153.函數(shù)f(x)＝sinxtanxA.是奇函數(shù)

B.是偶函數(shù)C.是非奇非偶函數(shù)

D.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)√16又f(－x)＝sin(－x)·tan(－x)＝sinx·tanx＝f(x)，∴f(x)為偶函數(shù).4.tanx≥1的解集為√123456789101112131415165.函數(shù)f(x)＝tanωx(ω>0)的圖象上的相鄰兩支曲線截直線y＝1所得的線段長為

，則ω的值是A.1 B.2 C.4 D.8123456789101112131415√16123456789101112131415√√16√12345678910111213141516易知該函數(shù)的最小正周期為π，故B正確；1234567891011121314157.函數(shù)y＝tan2x－2tanx＋2的最小值為___.解析y＝(tanx－1)2＋1，由于tanx∈R，所以當(dāng)tanx＝1時，函數(shù)取最小值1.11612345678910111213141516±2∴|ω|＝2，∴ω＝±2.1234567891011121314159.求函數(shù)y＝tan2x的定義域、值域和最小正周期，并作出它在區(qū)間[－π，π]內(nèi)的圖象.1612345678910111213141516123456789101112131415綜合運(yùn)用11.下列圖形分別是①y＝|tanx|；②y＝tanx；③y＝tan(－x)；④y＝tan|x|在x∈內(nèi)的大致圖象，那么由a到d對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式應(yīng)是16A.①②③④ B.①③④②

C.③②④① D.①②④③√12345678910111213141516只有圖象d符合，即d對應(yīng)③.12345678910111213141516√A.0<ω≤1 B.－1≤ω<0

C.ω≥1 D.ω≤－1√12345678910111213141516∴－1≤ω<0.1234567891011121314151614.比較下列兩個數(shù)的大小(用“>”或“<”填空)：<<12345678910111213141516拓廣探究√當(dāng)x＝π時，y＝0；123456789101112131415161234