25屆（新教材QG版）數(shù)學(xué)新考案基礎(chǔ)課49直線與圓錐曲線的位置關(guān)系

5也可聯(lián)系礎(chǔ)課49直線與圓錐曲線的位置關(guān)系考點考向課標(biāo)要求真題印證考頻熱度核心素養(yǎng)直線與橢圓的位置關(guān)系理解2023年新高考Ⅱ卷T2023年全國乙卷（文）T2023年北京卷T2023年天津卷T★★★邏輯推理數(shù)學(xué)運算直觀想象直線與雙曲線的位置關(guān)系理解2023年新高考Ⅱ卷T2023年全國甲卷（理）T2023年全國乙卷（文）T★★★邏輯推理數(shù)學(xué)運算直觀想象直線與拋物線的位置關(guān)系理解2023年新高考Ⅰ卷T2023年新高考Ⅱ卷T2023年全國甲卷（理）T2023年天津卷T★★★邏輯推理數(shù)學(xué)運算直觀想象命題分析預(yù)測從近幾年高考的情況來看，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題主要以解答題的形式出現(xiàn)，屬于難題，常常伴隨弦長、定點、定直線、定值等考點，命題熱點是以圓錐曲線的定義為載體求出曲線方程，然后根據(jù)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系進行求解.預(yù)計2025年高考命題情況點為拋物線與直線和圓的綜合一、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系1.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系有①相交、②相切、③相離；相交有兩個交點（特殊情況除外），相切有一個交點，相離無交點.2.判斷直線l與圓錐曲線C的位置關(guān)系時，通常將直線l的方程Ax+By+C=0代入圓錐曲線C的方程,消去y（或x）得到一個關(guān)于變量x（或（1）當(dāng)a≠0時，可考慮一元二次方程的判別式Δ，若Δ>0，則直線l與曲線C④相交；若Δ=0，則直線l與曲線C⑤相切；若Δ<（2）當(dāng)a=0時，即得到一個一次方程，則直線l與曲線C相交，且只有一個交點，此時，若C為雙曲線，則直線l與雙曲線的⑦漸近線平行；若C為拋物線，則直線l與拋物線的⑧二、圓錐曲線的弦長公式設(shè)直線與圓錐曲線交于點Ax1,y1,Bx2,y題組1走出誤區(qū)1.判一判.（對的打“√”，錯的打“×”）（1）直線與橢圓公共點的個數(shù)最多為2.(√)（2）若直線與雙曲線有唯一公共點，則直線與雙曲線相切.(×)（3）若直線與拋物線相切，則直線與拋物線有唯一公共點.(√)（4）“直線與拋物線有唯一公共點”是“直線與拋物線相切”的充分不必要條件.(×)2.（多選題）（易錯題）已知直線l：y=x+A.若C與l至少有一個公共點，則mB.若C與l有且僅有兩個公共點，則mC.若m=32，則CD.若m=?2，則C上到【易錯點】直線與橢圓的公共點問題，一般需要考慮判別式，如果不考慮判別式就可能產(chǎn)生漏解或得出不符合題意的結(jié)論.[解析]聯(lián)立y=x+m,x26+y22=1,消去y得4x2+6mx+3m2?6=0，則判別式Δ=128?m2.對于A，令Δ=128?m2≥0，得m≤22，故題組2走進教材3.（人教A版選修①P138·T5改編）若過拋物線y=14x2的焦點F作一條傾斜角為30°的直線交拋物線于[解析]依題意，設(shè)Ax1,y1,Bx2,y2，拋物線y=14x24.（人教A版選修①P128·T13改編）已知雙曲線x2?y22=1，過點P1,1[解析]當(dāng)直線垂直于x軸時，因為過點P1,1的直線方程為x=1，此時P1,1不能成為線段AB的中點.當(dāng)直線不垂直于x軸時，設(shè)Ax1,y1,B因為x1+x2=2,y1+y2=題組3走向高考5.[2023·新高考Ⅱ卷]已知橢圓C：x23+y2=1的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，直線y=x+mA.23 B.23 C.?2[解析]由x23+y2=1,y=x+m,可得4x2+6mx+3m2?3=0，由橢圓與直線y=x+m交于A，23兩點，得Δ>考點一直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的判斷［師生共研］典例1（1）當(dāng)m取何值時，直線l：y=（2）當(dāng)k取何值時，直線l：y=（3）當(dāng)k為何值時，直線y=kx+[解析]（1）依題意，聯(lián)立y=x+m,所以Δ=32m要使直線l：y=則Δ>0，即?576m要使直線l：y=則Δ=0，即?576m所以當(dāng)m=±要使直線l：y=則Δ<0，即?576m2+綜上，當(dāng)?5當(dāng)m=±當(dāng)m<?5或（2）聯(lián)立y消去y整理得1?k要使直線l與雙曲線有兩個公共點，則1整理得1解得?233<k要使直線l與雙曲線僅有一個公共點，當(dāng)1?k2=0,即k=±1時，直線l當(dāng)1?k2所以Δ=44?要使直線l與雙曲線無公共點，則1解得k>23綜上，當(dāng)?233<k當(dāng)k=±1或當(dāng)k>23（3）由y=kx+當(dāng)k=0時，方程化為一次方程該方程只有一解x=1所以直線y=?當(dāng)k≠0時，二次方程的判別式當(dāng)Δ>0時，k2?2k?所以當(dāng)1?2<由Δ=0得k由Δ<0得k<1綜上，當(dāng)1?2<當(dāng)k=0或當(dāng)k<1?直線與圓錐曲線位置關(guān)系的兩種判定方法代數(shù)法聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程可得到一個關(guān)于x,y的方程組，消去y（或x）得一元方程，此方程根的個數(shù)即交點個數(shù)，方程組的解即交點坐標(biāo)幾何法畫出直線與圓錐曲線的圖象，根據(jù)圖象判斷公共點的個數(shù)1.已知橢圓C：x225+y29=A.相交 B.相切 C.相離 D.不確定[解析]對于直線l：m+令x?y?1=0,因為3225+22所以直線l與橢圓C相交.故選A.2.直線y=2x+m與雙曲線A.恒有一個交點 B.存在m，使其有兩個交點C.至多有一個交點 D.存在m，使其有三個交點[解析]將y=2x+m代入4x2?y2=1得m3.[2024·沈陽模擬]已知p：直線y=kx+b與拋物線x2=2my有且僅有一個公共點，q：直線yA.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件[解析]因為拋物線x2=2my的對稱軸為y軸，所以若一條直線與拋物線x2=2my有且僅有一個公共點，則該直線與拋物線相切或者該直線與x軸垂直，又因為直線y=kx+b存在斜率，與x軸不垂直，所以“直線y=kx+考點二圓錐曲線的切線問題［師生共研］典例2（1）（一題多解）已知點P(1,32)在橢圓C：x2（2）（一題多解）已知點P3,1在雙曲線C：x2?（3）（一題多解）已知P4,b是拋物線C：y2=2pxp>0上一點，且位于第一象限，點P[解析]（1）（法一：代數(shù)法）由題意可知，切線的斜率存在，所以設(shè)切線方程為y?將y?32=kx?1代入化簡整理得36k2+36k+所以切線方程為y?32（法二：公式法）由題意得，橢圓C在點P處的切線方程為1?x4（2）（法一：代數(shù)法）可知切線的斜率k存在且1?2k2≠0，所以設(shè)切線方程為y?化簡整理得1?令Δ=4解得k=所以切線方程為y?1=（法二：公式法）因為P3,1在雙曲線上，所以雙曲線C在點P處的切線方程為3（法三：導(dǎo)數(shù)法）由C：x2根據(jù)題目條件，可知求曲線y=x2y'=12x2?1則曲線y=x2?12在點所以雙曲線C在點P處的切線方程為3x（3）（法一:代數(shù)法）由拋物線定義，P到拋物線的焦點的距離為4+p2=6，得p=4，代入方程得b=42，設(shè)過點P的切線方程為y?42=k（法二：公式法）由法一可知點P4,42在拋物線上，所以拋物線C在點P處的切線方程為求圓錐曲線切線方程的兩種方法代數(shù)法聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，根據(jù)Δ=0*公式法①過橢圓x2a2+y②過雙曲線x2a2?y③過拋物線y2=2pxp1.橢圓上兩條互相垂直的切線的交點必在一個與橢圓同心的圓上，該圓稱為此橢圓的蒙日圓.若橢圓x2a+2+y2A.1 B.2 C.3 D.4[解析]當(dāng)橢圓兩切線與坐標(biāo)軸垂直時，則兩切線的交點坐標(biāo)為±a+2,±a，該點在圓x2+y2設(shè)兩切線的交點坐標(biāo)為x0,y聯(lián)立y=kx+y0則Δ=4化簡得k2[a整理得2a+2?故選B.2.已知O為坐標(biāo)原點，過雙曲線C：x2a2?y2b2=1a>0,b[解析]利用公式法，設(shè)Px0,y0處的切線方程為xx0a2?yy0b23.已知拋物線C：x2=4y，點M為直線y=?1上一動點，過點M作直線MA,MB與拋物線C分別切于點[解析]由x2=4y，得y設(shè)Ax1,x1所以kMA=x所以切線MA的方程為y?x1切線MB的方程為y?x2又兩條切線均過點Mx所以?1=x所以x1，x2是方程?1=x02又MA=x1所以MA=x將x1+x2=考點三與弦有關(guān)的問題［多維探究］一般弦典例3（一題多解）若過雙曲線x2?y2=4的右焦點F作傾斜角為30°的直線，交雙曲線于[解析]由雙曲線x2?y2=右焦點為F22,（法一:韋達定理法）直線斜率k=33，直線方程為x=3聯(lián)立x2?y2=4,x=3y（法二：焦點弦法）AB=求解弦長的三種方法1.當(dāng)弦的兩端點坐標(biāo)易求時，可直接利用兩點間的距離公式求解；2.當(dāng)直線斜率存在時，聯(lián)立直線與曲線的方程，消元得到關(guān)于x（或y）的一元二次方程，利用韋達定理及弦長公式求解；3.當(dāng)弦過焦點時，可結(jié)合焦點弦公式求解弦長.中點弦典例4[2024·河南模擬]已知直線l：3x+4y?11=0與橢圓C：x24+A.33 B.22 C.32[解析]依題意，直線l的斜率為?3設(shè)Ax1,y1,由x124于是m2解得m2=6，此時橢圓C：x24+y26解決圓錐曲線中與弦的中點有關(guān)問題的兩種方法韋達定理法將直線方程代入圓錐曲線的方程，消元后得到一個一元二次方程，利用韋達定理和中點坐標(biāo)公式建立等式求解點差法設(shè)出直線l與圓錐曲線C的交點坐標(biāo)Ax1,y1,Bx2,y焦點弦典例5[2024·重慶?？糫（多選題）在平面直角坐標(biāo)系中，已知F2,0，過點F可作直線l與曲線C交于M，N兩點，使MN=2A.y2=8x B.x26+[解析]由題意，且根據(jù)選項可得，F(xiàn)恰為四個曲線的焦點.對于A,拋物線y2=8x的焦點弦弦長的最小值為2p=8對于B,在橢圓x26+y22=1中，根據(jù)橢圓的性質(zhì)，可得焦點弦弦長的取值范圍為對于C,若M,N同在右支上，則焦點弦弦長的取值范圍為[2b2a,+∞)，即[對于D，若M,N在異支上，則焦點弦弦長的取值范圍為[2a,+∞)，即[2,+∞)，因為2∈[圓錐曲線焦點弦的相關(guān)結(jié)論圖形結(jié)論橢圓BF=AF=AB雙曲線AB拋物線x1x2AF=BF=AB=x1.[2024·西安模擬]已知直線l與圓O:x2+y2=1相切，且交橢圓C:[解析]設(shè)直線l:∵直線l與圓O:∴tm2將直線l的方程與橢圓方程聯(lián)立，得4+3m∵y1y2=?67由對稱性，不妨取m=1,t=∴AB2.[2024·四川模擬]已知拋物線C：y2=4x的焦點為F，直線l與C交于A，B兩點，線段AB的垂直平分線交x軸于點[解析]由題意得F1,0，設(shè)線段AB則AF+BF=xA則線段AB的垂直平分線方程為y?令y=0，得x=ky0+x0，即4=k3.已知橢圓C：x2a2+y2b2=1a>b>0[解析]設(shè)Ax1,y1,Bx2,y注意到x1≤a，則a+e因此AF?因為直線AB的傾斜角為120°，所以直線AB的斜率k根據(jù)弦長公式，可得AB=由ABAF?BF=1因為ABAF?BF圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)一、圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)1.橢圓的光學(xué)性質(zhì)：如圖1，從橢圓的一個焦點出發(fā)的光線，經(jīng)過橢圓反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個焦點.2.雙曲線的光學(xué)性質(zhì)：如圖2，從雙曲線的一個焦點出發(fā)的光線，經(jīng)過雙曲線反射后，反射光線是散開的，它們好像是從另一個焦點射出的一樣.3.拋物線的光學(xué)性質(zhì)：如圖3，從焦點出發(fā)的光線，經(jīng)拋物線上的一點反射后，反射光線平行于拋物線的對稱軸；平行于拋物線對稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過拋物線的焦點.二、圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)的引申引申1:如圖4，橢圓C：x2a2+y2b2=1a>b>0，F(xiàn)引申2:如圖5，雙曲線C：x2a2?y2b2=1a>0,b>0，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為其左、右焦點，l是過雙曲線上一點Dx0,y0的切線，A，B是直線l上的兩點（不同于點D），連接F1典例（1）（多選題）橢圓具有這樣的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個焦點發(fā)出的光線，經(jīng)過橢圓反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個焦點.請根據(jù)橢圓的這一光學(xué)性質(zhì)解決以下問題：已知橢圓C：x216+y29=1，其左、右焦點分別是F1，F(xiàn)2，直線l與橢圓C相切于點P，且PF1=2，A.∠F1PF2=π2C.∠F1PM[解析]由題意可知，a=4，b=3，c=a2?b2=7，即F1F2=27，因為PF1+PF2=8，所以PF2=6，所以cos∠F1PF2=PF12+PF22?F1F22（2）（多選題）拋物線的光學(xué)性質(zhì)：從焦點F發(fā)出的光線經(jīng)過拋物線上的點P反射后，反射光線平行于拋物線的對稱軸，且法線垂直于拋物線在點P處的切線.已知拋物線y2=2pxp>0上任意一點Px0,y0處的切線為y0y=pA.直線l的方程為2pxB.記弦AB的中點為M，則QM平行于x軸或與x軸重合C.切線QA與y軸的交點恰在以FQ為直徑的圓上D.∠[解析]如圖，設(shè)l的方程為x=my+b，b>0，與拋物線方程聯(lián)立得y2?2pmy?2pb=0，則必有Δ>0，由已知得，拋物線在點A處的切線lQA：y1y=px1+x，在點B處的切線lQB：y2y=px2+x，設(shè)點QxQ,yQ，則滿足方程組y1yQ=px1+如圖，記切線QA：y1y=px1+x與y軸的交點為C0,px1y1，kFC=2x1?y1，kQA=如圖，記切線QA與x軸的交點為S，過A作x軸的平行線，由拋物線光學(xué)性質(zhì)得，∠FSA=∠FAS，由等腰△SFA，Rt△SCF,F，C，Q，D四點共圓（同弦圓周角相等），可得圖中所示的五個角α相等,同理，五個角β相等,則△AFQ～△深度訓(xùn)練