25屆（新教材QG版）數(shù)學(xué)新考案基礎(chǔ)課54排列與組合

基礎(chǔ)課54排列與組合考點(diǎn)考向課標(biāo)要求真題印證考頻熱度核心素養(yǎng)排列與排列數(shù)理解2023年全國甲卷（理）T★★☆邏輯推理數(shù)學(xué)運(yùn)算組合與組合數(shù)理解2023年新高考Ⅰ卷T★★★邏輯推理數(shù)學(xué)運(yùn)算排列組合綜合掌握2023年新高考Ⅱ卷T2023年全國乙卷（理）T★★☆邏輯推理數(shù)學(xué)運(yùn)算數(shù)學(xué)建模命題分析預(yù)測從近幾年高考的情況來看，選擇題、填空題都出現(xiàn)過，屬于基礎(chǔ)題型，與概率知識結(jié)合的可能性較大.預(yù)計(jì)2025年高考的命題情況變化不大，但命題背景會比較新穎一、排列與組合的概念名稱定義排列從n個(gè)不同元素中取出mm按照①一定的順序排成一列組合作為一組二、排列數(shù)與組合數(shù)1.排列數(shù)：從n個(gè)不同元素中取出mm≤n個(gè)元素的所有②不同排列2.組合數(shù)：從n個(gè)不同元素中取出mm≤n個(gè)元素的所有④不同組合三、排列數(shù)、組合數(shù)的公式及性質(zhì)公式（1）Anm=⑥n?（2）Cnm=Anm性質(zhì)10！=⑦1；2Cn題組1走出誤區(qū)1.判一判.（對的打“√”,錯(cuò)的打“×”）（1）在分類加法計(jì)數(shù)原理中，每類方案中的方法都能直接完成這件事.(√)（2）在分步乘法計(jì)數(shù)原理中，事情是分多步完成的，其中任何一個(gè)單獨(dú)的步驟都能完成這件事.(×)（3）若組合數(shù)公式Cnx=Cn（4）Anm=2.（易錯(cuò)題）若把5張不同的電影票分給4個(gè)人，每人至少一張，則不同的分法種數(shù)為240.【易錯(cuò)點(diǎn)】本題易混淆“排列”與“組合”.[解析]由題意知，其中一人分兩張，先分后排，共有C5題組2走進(jìn)教材3.（人教A版選修③P27·T17改編）如圖，現(xiàn)要用5種不同的顏色對某市的4個(gè)區(qū)縣地圖進(jìn)行著色，要求有公共邊的兩個(gè)地區(qū)不能用同一種顏色，則共有180種不同的著色方法.[解析]先排Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ共有A53=5×4.（雙空題）（人教A版選修③P27·T13改編）從5名男生和4名女生中選出4人去參加一項(xiàng)創(chuàng)新大賽.如果4人中男生、女生各選2人，那么有60種選法;如果男生中的甲和女生中的乙必須在內(nèi)，那么有21種選法.[解析]如果4人中男生、女生各選2人，那么有C52C題組3走向高考5.[2023·全國乙卷]若甲、乙兩位同學(xué)從6種課外讀物中各自選讀2種，則這兩人選讀的課外讀物中恰有1種相同的選法共有(C).A.30種 B.60種 C.120種 D.240種[解析]首先確定相同的讀物，共有C61種情況，然后確定兩人各自的另外一種讀物相當(dāng)于在剩余的5種讀物里，選出兩種進(jìn)行排列，共有A52種，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理得，共有考點(diǎn)一排列問題［自主練透］（一題練透）有3名男生，4名女生，在下列不同條件下，求不同的排列組合方法總數(shù).（1）（直接法）選其中5人排成一排；[解析]從7個(gè)人中選5個(gè)人排，故排法有A7（2）（整體法）排成前后兩排，前排3人，后排4人；[解析]前排3人，后排4人就是7人排成一排的全排列，故排法共有A7（3）（優(yōu)先法）全體排成一排，甲不站排頭也不站排尾；[解析]甲為特殊元素，優(yōu)先安排，有5種方法，其余6人有A66種方法，故排法共有（4）（捆綁法）全體排成一排，女生必須站一起；[解析]將女生看作一個(gè)整體，與3名男生一起全排列，有A44種方法，再將4名女生進(jìn)行全排列，也有A4（5）（插空法）全體排成一排，男生互不相鄰；[解析]男生不相鄰，而女生不作要求，所以應(yīng)先排女生，有A44種方法，再在空出的5個(gè)空位（包括首尾空位）中任選3個(gè)空位排男生，有A5（6）（捆綁法）全體排成一排，甲、乙兩人中間恰好有3人；[解析]把甲、乙兩人及中間3人看作一個(gè)整體，第一步，先排甲、乙兩人，有A22種排法；第二步，從余下5人中選3人排在甲、乙中間，有A53種排法；第三步，把這個(gè)整體與余下2人進(jìn)行全排列，有（7）（定序法）全體排成一排，其中男生按從高到矮的順序；[解析]7人的全排列有A77種，其中男生的全排列有A33種，而從高到矮的排列數(shù)是總排列數(shù)的（8）（間接法）全體排成一排，甲不排在最左端，乙不排在最右端；[解析]7人的全排列有A77種，其中不符合條件的有甲在最左端時(shí)，有A66種，乙在最右端時(shí)，有A6（9）（定序法）全體排成一排，其中男生順序一定，女生順序一定.[解析]7人的全排列有A77種，其中男生的全排列有A33種，女生的全排列有求排列問題的基本解題方法直接法對于無限制條件的排列，直接利用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理列出排列數(shù)計(jì)算優(yōu)先法對于特殊元素（或位置）優(yōu)先安排捆綁法針對相鄰元素的排列插空法針對不相鄰元素的排列（間隔排列）整體法針對元素分成多排問題，可歸結(jié)為一排考慮定序法可先不考慮順序限制進(jìn)行排列，再除以定序元素的全排列間接法正難則反，等價(jià)轉(zhuǎn)化處理考點(diǎn)二組合問題［自主練透］（一題練透）有3名男生，4名女生，現(xiàn)從中選3人.在下列不同條件下，求不同的選法總數(shù).（1）男生甲必須被選中；[解析]從余下的6人中選取2人，故共有C6（2）女生乙不能被選中；[解析]（法一：直接法）從余下的6人種選取3人，共有C6（法二：間接法）總的選法有C73種，該女生在內(nèi)的選法有C6（3）恰有2名男生被選中；[解析]從3名男生中選取2人，有C32種選法，再從余下的4名女生中選取1人，有C4（4）至少有2名女生被選中；[解析]若選取1名男生2名女生，有C31?C4（5）至多有2名男生被選中.[解析]總的選法有C73種，選取3名男生的情況有C3組合問題的常見題型及解題策略題型解法“含有”或“不含有”某些元素的組合“含”，則先將這些元素取出，再由另外元素補(bǔ)足；“不含”，則先將這些元素剔除，再從剩下的元素中選取“至少”或“至多”含有幾個(gè)元素的組合要重視“至少”與“至多”這兩個(gè)關(guān)鍵詞的含義，謹(jǐn)防重復(fù)與漏解.用直接法和間接法都可以求解，通常用直接法，當(dāng)分類復(fù)雜時(shí)，考慮利用逆向思維，即用間接法處理考點(diǎn)三排列與組合的綜合應(yīng)用［多維探究］不同元素的分組問題典例1（一題練透）某數(shù)學(xué)活動小組由4名同學(xué)組成，現(xiàn)將4人進(jìn)行分組.在下列不同條件下，求不同的分組方法.（1）（整體均分問題）平均分成兩組;（2）（部分均分問題）分成三組，其中一組兩個(gè)人，其余兩組各一個(gè)人;（3）（不等分問題）分成兩組，其中一組一個(gè)人，另外一組3個(gè)人.[解析]（1）不同的分法有C4（2）不同的分法有C4（3）不同的分法有C4變式設(shè)問某數(shù)學(xué)活動小組的4名同學(xué)被派去兩個(gè)不同的城市參加數(shù)學(xué)競賽，求在下列條件下各有多少種不同的分配方法.（1）兩個(gè)城市各2人；（2）其中一個(gè)城市1人，另外一個(gè)城市3人.[解析]（1）由分組方法有C42C22（2）由典例13可知，分組方法有C41C3不相同元素的分組問題的求解策略1.對于整體均分，解題時(shí)要注意分組后，不管它們的順序如何，都是一種情況，所以分組后一定要除以全排列數(shù)Ann(2.對于部分均分，解題時(shí)注意重復(fù)的次數(shù)是均勻分組的階乘數(shù)，即若有m組元素個(gè)數(shù)相等，則分組時(shí)應(yīng)除以m!3.對于不等分組，只需先分組，后排列，因?yàn)榉纸M時(shí)任何組中元素的個(gè)數(shù)都不相等，所以不需要除以全排列數(shù).相同元素的分組問題典例2把4個(gè)相同的小球裝進(jìn)3個(gè)不同的盒子中，不允許有空盒，則有3種不同的裝法.[解析]4個(gè)小球完全相同，只要將它們分成3份即可.這4個(gè)小球，每兩個(gè)之間有一個(gè)空位置，4個(gè)小球之間有3個(gè)空位置，只要在這三個(gè)空位置中任選兩個(gè)，插入兩塊擋板，即可將4個(gè)小球分成3份，如：●|●|●●；●|●●|●；●●|●|●，故不同的分配方案共有C3變式設(shè)問若將典例2中的條件“不允許有空盒”改為“允許有空盒”，則有15種不同的裝法.[解析]因?yàn)樵试S有空盒，所以擋板可以放在4個(gè)小球空出的前面位置，也可以放在后面的位置，還可以放在兩個(gè)小球間的相鄰位置，所以擋板可放的“位置數(shù)”=“小球數(shù)”+“擋板數(shù)”=6，只要在這6個(gè)位置種選兩個(gè)位置放上擋板即可.如|●●●●|表示0，4，0的分配方法（即第一和第三個(gè)盒子都空，第二個(gè)盒子放4個(gè)小球）；●|●●●|表示1，3，0的分配方法（即第一個(gè)盒子1個(gè)小球，第二個(gè)盒子3個(gè)小球，第三個(gè)盒子空）.故總的分配方法有C相同元素的分組的求解策略1.對于n個(gè)元素分成m組m<n，且每組至少一個(gè)元素的分組問題，可采用“擋板法”解決,n個(gè)元素之間形成n?1個(gè)空，只需放入2.將n個(gè)小球裝入mm<n個(gè)不同的盒子中，允許有空盒的裝法共有Cn+1.[2021·全國乙卷]將5名北京冬奧會志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個(gè)項(xiàng)目進(jìn)行培訓(xùn)，每名志愿者只分配到一個(gè)項(xiàng)目，若每個(gè)項(xiàng)目至少分配一名志愿者，則不同的分配方案共有240種.[解析]不同的分配方案共有C5變式設(shè)問若將本題條件“花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個(gè)項(xiàng)目”改為“花樣滑冰、冰球和冰壺3個(gè)項(xiàng)目”，則不同的