【積分上限函數(shù)及其應(yīng)用探究3300字（論文）】

幾何意義：設(shè)任何有，則表示區(qū)間上上曲邊梯形的面積，見(jiàn)下圖.圖1積分上限函數(shù)的幾何意義2積分上限函數(shù)的性質(zhì)2.1積分上限函數(shù)的分析性質(zhì)2.1.1可導(dǎo)性若在上連續(xù)，則在上可導(dǎo)，并且.定理1[2]如果函數(shù)在上連續(xù)，是可導(dǎo)函數(shù)，且可實(shí)行復(fù)合，則積分上限函數(shù)是可導(dǎo)的，并且.推論設(shè)則設(shè)則2.1.2連續(xù)性若在上可積，則在上連續(xù).2.1.3可積性若在上連續(xù),則在區(qū)間上可積.特別是，若連續(xù),則有.2.2積分上限函數(shù)的初等性質(zhì)2.2.1單調(diào)性若在上可積，若,則在上單調(diào)遞增（減）.證明若，，即若在上，則，因而在上是嚴(yán)格單調(diào)遞增的.若在上，則，因而在上是嚴(yán)格單調(diào)遞減的.故，在上是嚴(yán)格單調(diào).2.2.2奇偶性設(shè)是連續(xù)函數(shù)，且為奇函數(shù)，則是偶函數(shù)；設(shè)是連續(xù)函數(shù)，且為偶函數(shù)，則是奇函數(shù).2.2.3周期性若是連續(xù)函數(shù)，且該函數(shù)的周期為，則是周期函數(shù)，或是周期函數(shù)和線性函數(shù)的和.證明因?yàn)闉榈目煞e函數(shù)令，則，令，所以.所以當(dāng)時(shí)，成立，故時(shí)，函數(shù)是周期為的函數(shù).2.2.4有界性若在上可積，則在上有界.證明由于在上可積，則可得在上有界，即存在，使得，有.即證在上有界.3積分上限函數(shù)的應(yīng)用3.1積分上限函數(shù)部分性質(zhì)的應(yīng)用3.1.1單調(diào)性例1求函數(shù)的極值和單調(diào)區(qū)間. 解因?yàn)?，所以，令?又，則，所以可得是極大值.而，因此為極小值.又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，的單調(diào)遞增區(qū)間為.3.1.2周期性例2[3]設(shè)是以為周期的連續(xù)函數(shù)，證明：對(duì)任意實(shí)數(shù)，都有.證明設(shè)，兩邊分別對(duì)變量求導(dǎo)，則，所以.因?yàn)?，因?，即證.3.1.3奇偶性例3[4]1）若是不間斷的奇函數(shù)，證明：是偶函數(shù)；2）若是不間斷的偶函數(shù)，證明：是偶函數(shù).證明1），即證是偶函數(shù).注：同理可證，若是連續(xù)的偶函數(shù)，則是奇函數(shù).因此是偶函數(shù).注：同理可證，若是連續(xù)的奇函數(shù)，也是奇函數(shù).3.1.4連續(xù)性例4[5]討論下列函數(shù)的連續(xù)性解當(dāng)時(shí)，，，.當(dāng)時(shí)，顯然連續(xù)，當(dāng)時(shí)，，由于是連續(xù)的，也是連續(xù)的，因此是連續(xù)的.綜上，該函數(shù)僅在處不連續(xù).3.1.5可導(dǎo)性例5求由含有參數(shù)的方程所確定的函數(shù)對(duì)的導(dǎo)數(shù)解例6設(shè)滿足方程，求.解原方程為，代入，得上式兩端對(duì)求導(dǎo)，得，代入，得上式兩端再對(duì)求導(dǎo)，得.故滿足初值問(wèn)題,解得代入初始條件可得故3.2證明中值定理3.2.1微分中值定理定理2[6]在連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，則在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得.證明，即，，將上式兩邊均取積分，有，，令，顯然，而在內(nèi)連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，由羅爾定理可得，至少存在一點(diǎn)，使，而，故.3.2.2積分中值定理定理3[6]若函數(shù)在中不間斷，則至少存在一點(diǎn)，使得.證明設(shè)，由于在連續(xù)，可得也在上連續(xù)，由拉格朗日中值定理可得，至少存在一點(diǎn)，使得，則.3.3證明牛頓-萊布尼茲公式REF_Ref16429\r\h牛頓-萊布尼茨公式[7]：設(shè)是的一個(gè)原函數(shù)，則.證明因?yàn)闉榈囊粋€(gè)原函數(shù),又是的一個(gè)原函數(shù),根據(jù)原函數(shù)族定理,所以有.

令,則，所以，即.令，則，即.3.4在極限中的應(yīng)用

例7求極限：1)；2)；3)[4].解1)時(shí)，，由洛必達(dá)法則有；2)由洛必達(dá)法則與原函數(shù)存在定理可得由于當(dāng)時(shí)，記,

顯然則當(dāng)時(shí)，有，因此時(shí)，，所求極限為型，由洛必達(dá)法則可得.例8已知曲線在處的切線方程為，求極限.解由已知可得且.對(duì)極限式中的積分進(jìn)行換元，令，則.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，且.于是.從而3.5在全微分判定方面的應(yīng)用例9REF_Ref16667\r\h[8]驗(yàn)證是全微分,其中是連續(xù)函數(shù).證明令，由于是連續(xù)函數(shù)，故，，且二者都是的連續(xù)函數(shù)，因此.這就證明了是全微分.3.6在定積分計(jì)算方面的應(yīng)用例10REF_Ref16720\r\h[9]求連續(xù)函數(shù)，使其滿足，且.解令，則當(dāng)，時(shí)，時(shí).當(dāng)時(shí)，有，，即.兩邊求導(dǎo)，得.兩邊在上積分，得，即求得.例11若連續(xù)，且.已知，求解令，則.當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)，.由已知可得.求導(dǎo)：令，則從而，即3.7利用積分上限函數(shù)證明不等式與等式例12設(shè)在上單調(diào)遞減且連續(xù)，在此區(qū)間上均為正值，證：證明令則有且已知單調(diào)遞減，上恒正，所以因此即例13[10]設(shè)在上連續(xù)，則證明令因此在上單調(diào)增加，故例14設(shè)在上連續(xù)，證明在上至少存在一點(diǎn)，使得證明即需證，令，因?yàn)樵谏线B續(xù)，因此在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，并且有，由羅爾定理可得，至少存在一點(diǎn)，使得，而，由此可得.3.8積分上限函數(shù)求最值例15求在區(qū)間上的最大值.解所以函數(shù)在上沒(méi)有導(dǎo)數(shù)等于0的點(diǎn)，且無(wú)不可導(dǎo)點(diǎn).由于其導(dǎo)數(shù)大于0，因此其最大值為例16設(shè)是正值函數(shù)，且在上連續(xù)，求函數(shù)的最小值點(diǎn).解則由于在上，因此，當(dāng)時(shí)，令，得，解得唯一駐點(diǎn)當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，所以在點(diǎn)處取得極小值,又因?yàn)槭俏ㄒ坏臉O值點(diǎn)，所以是的最小值點(diǎn)，最小值為

結(jié)束語(yǔ)本論文首先詳細(xì)介紹了積分上限函數(shù)的各種性質(zhì)，并簡(jiǎn)單的證明了一些性質(zhì).在通過(guò)這段時(shí)間研究函數(shù)的應(yīng)用，并且查閱了大量文獻(xiàn)、期刊之后，系統(tǒng)的羅列了一些積分上限函數(shù)的相關(guān)應(yīng)用.其中包括了證明中值定理，證明等式與不等式的成立等，和一些計(jì)算方面的應(yīng)用，如求導(dǎo)數(shù)、求最值以及求極限和計(jì)算定積分等.積分上限函數(shù)的應(yīng)用真可謂豐富多樣，可用于證明、計(jì)算等方面.證明定理和性質(zhì)的過(guò)程，正是體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，證明過(guò)程中需要我們用嚴(yán)密的邏輯思維去驗(yàn)證；也可以使用積分上限函數(shù)進(jìn)行計(jì)算，在掌握足夠多的知識(shí)后，我們就可以選擇更容易解開(kāi)題目的方法，也為解決問(wèn)題提供了多種多樣的方法.參考文獻(xiàn)[1]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.《數(shù)學(xué)分析》（第四版）（上冊(cè)）[M].北京：高等教育出版社，2010:223-224.[2]景慧麗,陳磊,屈娜.積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求法探討[J].河南教育學(xué)院學(xué)報(bào),2017,26(01):59-61.[3]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（上冊(cè)）[M].北京：高等教育出版社，2007:237-249.[4]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（附冊(cè)學(xué)習(xí)輔導(dǎo)與習(xí)題選解）[M].北京：高等教育出版社，2007:111-127.[5]甄晨光,齊曉東.關(guān)于積分上限函數(shù)的若干探討[J].中小企業(yè)管理與科技(中旬刊),2015(02):282-283.[6]劉玉璉《數(shù)學(xué)分析》（第二版）東北師范大學(xué)數(shù)學(xué)系[M].高等教育出版社，1994,10.[7]陳少云.經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)[M].北京:高等教育出版社,2016:136-145.[8]