安徽中考研究之-五函數(shù)的應(yīng)用

專題復(fù)習(xí)五函數(shù)的應(yīng)用

題型解讀

函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的重點內(nèi)容之一，也是初高中數(shù)學(xué)聯(lián)系的紐帶，它與方程、不等式、幾何等知識有密

切的聯(lián)系，主要考查學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力、閱讀理解能力、分析和解決問題的能力。解函數(shù)應(yīng)用題，第一

步有實際問題抽象出數(shù)學(xué)問題；第二步解決數(shù)學(xué)問題，從而使實際問題得到解決.其間應(yīng)注意轉(zhuǎn)化、數(shù)形

結(jié)合、方程、待定系數(shù)法等思想方法靈活運(yùn)用。函數(shù)的實際應(yīng)用也是安徽中考每年必考題型，成為安徽卷

中亮點題目，題目設(shè)置簡潔流暢，背景鮮活。如2009年第23題是一次函數(shù)與二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，2012

年第21題是一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用，2013年第22題是復(fù)合型函數(shù)的綜合應(yīng)用，預(yù)計2014年

安徽中考仍會出現(xiàn)函數(shù)應(yīng)用的綜合題。

題型例析

類型1一次函數(shù)與反比例函數(shù)的應(yīng)用

例1.(2012?安徽)甲、乙兩家商場進(jìn)行促銷活動，甲商場采用"買200減100"的促銷方式，即購買商品的

總金額滿200元但不足400元，少付100元；滿400元但不足600元，少付200元；…，乙商場按顧客購

買商品的總金額打6折促銷.

(1)若顧客在甲商場購買了510元的商品，付款時應(yīng)付多少錢？

(2)若顧客在甲商場購買商品的總金額為x(400<x<600)元，優(yōu)惠后得到商家的優(yōu)惠率為p

(P拿卷二事)，寫出P與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并說明p隨x的變化情況；

-購Q買&商W品的息金額

(3)品牌、質(zhì)量、規(guī)格等都相同的某種商品，在甲乙兩商場的標(biāo)價都是x(200<x<400)元，你認(rèn)為選擇

哪家商場購買商品花錢較少？請說明理由.

思路點撥：(1)根據(jù)題意直接列出算式510-200即可;

(2)根據(jù)商家的優(yōu)惠率即可列出p與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并能得出p隨x的變化情況；

(3)先設(shè)購買商品的總金額為x元，(200Wx<400),得出甲商場需花x-100元，乙商場需花0.6x元，然

后分三種情況列出不等式和方程即可；

解答：(1)根據(jù)題意得：510-200=310(元)

答：顧客在甲商場購買了510元的商品，付款時應(yīng)付310元.

(2)p與x之間的函數(shù)關(guān)系式為p=2W，p隨x的增大而減?。?/p>

X

(3)設(shè)購買商品的總金額為x元，(200<x<400),則甲商場需花y]=x-100元，乙商場需花y2=0.6x元,

在同一坐標(biāo)系下畫出兩函數(shù)圖象，由x-100=0.6x,得兩函數(shù)圖象交點的橫坐標(biāo)為：x=250,

甲-----

乙……

X

由圖象知250Vx<400,乙商場花錢較少，200Vx<250,甲商場花錢較少，x=250,兩家商場花錢一樣多.

方法歸納：解決這類問題應(yīng)注意審清題目，理清步驟；先根據(jù)點的坐標(biāo)確定解析式，可再根據(jù)一次函數(shù)圖

象直觀地解決實際問題。本題考查了反比例函數(shù)的應(yīng)用，用到的知識點是反比例函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)與

一元一次不等式的關(guān)系等，關(guān)鍵是根據(jù)題意求出函數(shù)的解析式.

類型2一次函數(shù)與二次函數(shù)的應(yīng)用

例2..（2013安慶模擬）某農(nóng)莊計劃在30畝空地上全部種植蔬菜和水果，菜農(nóng)小張和果農(nóng)小李分別承包

了種植蔬菜和水果的任務(wù).小張種植母國蔬菜的工資y（元）與種植面積m（畝）之間的函數(shù)關(guān)系如圖①

所示；小李種植水果所得報酬z（元）與種植面積〃（畝）之間的函數(shù)關(guān)系如圖②所示.

（1）如果種植蔬菜20畝，列小張種植每畝蔬菜的工資是一元，小張應(yīng)得的工資總額是一元；此時，

小李種植水果一畝，小李應(yīng)得的報酬是一元.

（2）當(dāng)/0<〃W30時，求z與"之間的函數(shù)關(guān)系式；

（3）設(shè)農(nóng)莊支付給小張和小李的總費(fèi)用為卬（元），當(dāng)/0<,〃W30時，求W與，〃之間的函數(shù)關(guān)系式.

圖①圖②

第2題

思路點撥：（1）根據(jù)圖象觀察，片20時y的值可得小張種植每畝蔬菜的工資及工資總額；根據(jù)圖象觀察x=10

時z=1500,可得小李應(yīng)得的報酬；

（2）設(shè)z=h?+〃（原0）,由圖象知：它過（10,1500）,（30,3900）,故可利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析

式；

(3)先求出20<w<30時y與m的函數(shù)關(guān)系式，再分①10<加/20時，10<m/20；②20<〃區(qū)30時，0<n<10

兩種情況，根據(jù)總費(fèi)用等于兩人的費(fèi)用之和列式整理得解.

解答：(1)小張種植每畝蔬菜的工資是/40元，小張應(yīng)得的工資總額是2800元；小李種植水果10畝，小

李應(yīng)得的報酬是150()元.

(2)當(dāng)(0<"W30時,z關(guān)于〃的函數(shù)圖象經(jīng)過點(10,1500),(30,3900),

則110%+。=1500,%=120

設(shè)z=kn+b,解得4z=120〃+300(10<〃W30).

'130%+0=3900.6=300,

(3)當(dāng)10<znW30時,廣一2巾+180,'：m+n=30,又：當(dāng)0<〃W10時，z=150n；

當(dāng)/0<〃W20時，z=120n+300,.?.當(dāng)/0<，"W20時，/0<n^20,

/.W=m(—2/n+180)+120/?+300=/M(—2m+180)+120(30-w)+300=—2OT2+60/M+3900.

當(dāng)20<mW30時，0<〃W10,；.W=m(一2m+180)+150〃=皿-2m+180)+150(30-〃?)=-2/M2+30W+4500.

-2m2+6O//7+3900(10</”W20)

W與之間的函數(shù)美系式為：.

-2m2+30/n+4500(20<mW30)

方法歸納：解決此類問題，要充分利用圖中的信息，結(jié)合實際問題情境所含等量關(guān)系，構(gòu)建函數(shù)模型求解

問題。本題主要利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，第三問的難點在于要分情況討論，同時注意〃?、〃的

取值范圍的對應(yīng)關(guān)系，這也是本題易錯的地方.

類型3二次函數(shù)的實際應(yīng)用

例3.(2012安徽)如圖，排球運(yùn)動員站在點O處練習(xí)發(fā)球，將球從O點正上方2〃?的A處發(fā)出，把球看

成點，其運(yùn)行的高度y(加)與運(yùn)行的水平距離x(m)滿足關(guān)系式產(chǎn)“(X—6尸+/?.已知球網(wǎng)與O點的水平距

離為9，小高度為2.43/n,球場的邊界距。點的水平距離為18m。

(1)當(dāng)〃=2.6時，求y與x的關(guān)系式(不要求寫出自變量x的取值范圍)

(2)當(dāng)〃=2.6時，球能否越過球網(wǎng)？球會不會出界？請說明理由；

(3)若球一定能越過球網(wǎng)，又不出邊界，求的取值范圍。

第3題圖

思路點撥：(1)根據(jù)函數(shù)圖象上面的點的坐標(biāo)應(yīng)該滿足函數(shù)解析式，把x=0,y=2,及后2.6代入到y(tǒng)=〃(x

-6)2+/7中即可求函數(shù)解析式；(2)根據(jù)函數(shù)解析式確定函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)，并解決時間問題；(3)先

2-77

把x=0,y=2,代入至I」y=《(%—6尸+/z中求出a=----：然后分別表示出產(chǎn)9年=18時，y的值應(yīng)滿足的條件，解

36

得即可.

解：(1)把x=0,y=2,及〃=2.6代入至lJy=a(x—6)2+//

即2=。(0—6)2+26U=----,\y=-------(x—6)2+2.6

60“60

1

(2)當(dāng)力=2.6時,y=----(工一6)之0+2.6

60

x=9時，產(chǎn)---(9-6)2+2.6=2.45>2.43,，球能越過網(wǎng)

60

后18時，尸---(18-6)2+2.6=0.2>0,，球會過界

60

2-h

(3)x=0,y=2,代入到產(chǎn)。(x—6)?+〃得Q=----；

36

42-A22+3/1?

x=9時，y=-----(9—6)2+/Z=--------->2.43①

364

2-/?

戶18時，尸----(18-6)2+/?8-3/Z>0(2)

36

Q

由①②得生一

3

方法歸納：解決有關(guān)二次函數(shù)的實際問題，首先要學(xué)會確定二次函數(shù)解析式，會用配方法將一般式化為

頂點式，能利用頂點式確定二次函數(shù)的最值，進(jìn)而解決實際問題。本題是二次函數(shù)問題，利用函數(shù)圖象上

點的坐標(biāo)確定函數(shù)解析式，然后根據(jù)函數(shù)性質(zhì)來結(jié)合實際問題求解.

類型4復(fù)合型函數(shù)的應(yīng)用(2013年22題)

例4.(2013安徽)某大學(xué)生利用暑假40天社會實踐參與了一家網(wǎng)店的經(jīng)營，了解到一種成本為20元/件

的新型商品在第x天銷售的相關(guān)信息如下表所示.

銷售量P(件)P=50-x

銷售單價q(元/件)當(dāng)1WXW20時，q=30+-x;

2

525

當(dāng)213x040時，q=20+——

X

(1)請計算第幾天該商品的銷售單價為35元/件；

(2)求該網(wǎng)店第x天獲得的利潤y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；

(3)這40天中該網(wǎng)店第幾天獲得的利潤最大？最大利潤是多少？

思路點撥：(1)本小題是已知函數(shù)值求自變量的取值，一般采用代入法，由于銷售單價Q是關(guān)于第幾天x

的分段函數(shù)，因此要分兩種情況代入求值，并檢驗x的取值是否在取值范圍內(nèi)；(2)根據(jù)“利潤=每件商品

的銷售利潤x銷售的件數(shù)”建立函數(shù)關(guān)系式，這也是一個分段函數(shù)：(3)分兩種情況：當(dāng)?shù)趲滋飓@得的利潤

y是x的二次函數(shù)關(guān)系時，利用配方法配成頂點形式，結(jié)合自變量取值范圍求出函數(shù)最大值；當(dāng)幾天獲得

的利潤y是x的非二次函數(shù)時，結(jié)合自變量x的取值范圍求出函數(shù)最大值，并綜合考慮求出該網(wǎng)店第幾天

獲得的最大利潤.

解答：(1)①對于q=30+」x,當(dāng)q=35時，30+-X=35,解得x=10在1夕三20范圍內(nèi)；②對于q=20+當(dāng)，

22x

525

當(dāng)q=35時，20+——=35,解得x=35在21Wx*0范圍內(nèi).綜上所述，當(dāng)?shù)?0天或第35天該商品的銷售

x

單價為35元/件；(2)①當(dāng)l<x<20時，y=(30+-x-20)(50-x)=--x2+15x+500；②當(dāng)21<x<40時，

——22

52526250,、121,上11

y=(20+----20)(50-x)=-------525；(3)①y=——x~+15x+500=一—(zx-15)'+612.5,由于一一<0,

xx222

拋物線開口向下，且1WXW20,所以當(dāng)x=15時，y屆大=612.5(元)；②丫二”生？一525,受空^越大(即x

xx

越小)y的值越大，由于21WXW40,所以當(dāng)x=21天時，y最大=1250—525=725(元)，綜上所述，這40天中

該網(wǎng)店第21天獲得的利潤最大，最大利潤是725元.

方法歸納：1.對于分段函數(shù)，已知函數(shù)值求自變量取值時，要分別代入各個函數(shù)中，并檢驗求出的自變量

是否在其取值范圍內(nèi)，若不在應(yīng)舍去；2.求函數(shù)最值問題，若函數(shù)是二次函數(shù)，一般運(yùn)用配方法將函數(shù)配

成頂點形式，并結(jié)合自變量取值范圍，確定函數(shù)的極值；若函數(shù)是一次函數(shù)函數(shù)或其他函數(shù)，一般情況下

沒有極值，但自變量的取值范圍有特殊的規(guī)定，如本題中，也可以確定函數(shù)的極值.本題主要涉及的數(shù)學(xué)

思想方法有：1.代入法，2.分類討論，3.配方法.本題是運(yùn)用分段函數(shù)解決實際問題，三個小題都分兩種情

況進(jìn)行討論，最后綜合得出結(jié)論.

題型精煉

類型I一次函數(shù)與反比例函數(shù)的應(yīng)用

1.(2013?益陽)我市某蔬菜生產(chǎn)基地在氣溫較低時，用裝有恒溫系統(tǒng)的大棚栽培一種在自然光照且溫度

為18℃的條件下生長最快的新品種.圖是某天恒溫系統(tǒng)從開啟到關(guān)閉及關(guān)閉后，大棚內(nèi)溫度y(℃)隨時

間x(小時)變化的函數(shù)圖象，其中BC段是雙曲線y=V的一部分.請根據(jù)圖中信息解答下列問題：

x

(1)恒溫系統(tǒng)在這天保持大棚內(nèi)溫度18C的時間有多少小時？

(2)求k的值；

(3)當(dāng)x=16時，大棚內(nèi)的溫度約為多少度？

J?

解：(1)恒溫系統(tǒng)在這天保持大棚溫度18℃的時間為10小時.

kk

(2);點B(12,18)在雙曲線丫=一上，.?.18=—,...解得：k=216.

x12

216一

(3)當(dāng)x=16時，y=------=13.5,

16

所以當(dāng)x=16時，大棚內(nèi)的溫度約為13.5C.

2.(2013防城港)工匠制作某種金屬工具要進(jìn)行材料燃燒和鍛造兩個共需，即需要將材料煨燒到800℃,然

后停止煨燒進(jìn)行鍛造操作.第8min時，材料溫度降為600℃,煨燒時，溫度y(℃)與時間x(min)成一次函數(shù)

關(guān)系；鍛造時，溫度》(七)與時間x(min)成反比例關(guān)系(如圖)，已知該材料初始溫度是32℃.

(1)分別求出材料煨燒和鍛造時y與x的函數(shù)關(guān)系式，并且寫出自變量x的取值范圍；

(2)根據(jù)工藝要求，當(dāng)材料溫度低于480C時，須停止操作，那么鍛造的操作時間有多長？

解答：解：(1)停止加熱時，設(shè)y="(k#0),由題意得600=",解得k=4800,

x8

當(dāng)y=800時，竺竺=800解得x=6,...點B的坐標(biāo)為(6,800)

x

材料加熱時，設(shè)丫=2*+32(a,0),由題意得800=6a+32,解得a=128,

二材料加熱時，y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=128x+32(0<x<6).

...停止加熱進(jìn)行操作時y與x的函數(shù)關(guān)系式為丫=幽(6<x<20)；

X

(2)把y=480代入y=竺四，得x=10,

X

故從開始加熱到停止操作，共經(jīng)歷了10分鐘.

答：從開始加熱到停止操作，共經(jīng)歷了10分鐘.

3.（2013.淮北模擬）近年來，我國煤礦安全事故頻頻發(fā)生，其中危害最大的是瓦斯，其主要成分是CO.在

一次礦難事件的調(diào)查中發(fā)現(xiàn)：從零時起，井內(nèi)空氣中CO的濃度達(dá)到4mg/L,此后濃度呈直線型增加，在

第7小時達(dá)到最高值46mg/L,發(fā)生爆炸；爆炸后，空氣中的CO濃度成反比例下降.如圖所示，根據(jù)題

中相關(guān)信息回答下列問題：

（1）求爆炸前后空氣中CO濃度y與時間x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出相應(yīng)的自變量取值范圍；

（2）當(dāng)空氣中的CO濃度達(dá)到34mg/L時，井下3km的礦工接到自動報警信號，這時他們至少要以多少

km/h的速度撤離才能在爆炸前逃生？

（3）礦工只有在空氣中的CO濃度降到4mg/L及以下時，才能回到礦井開展生產(chǎn)自救，求礦工至少在爆

所以可設(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系式為丫=卜a+5（k#0）,

由圖象知丫=1<杯+13過點（0,4）與（7,46）,則b=4,7kl+b=46,解得k1=6,b=4,

則y=6x+4,此時自變量x的取值范圍是0WXV7.

（不取x=0不扣分，x=7可放在第二段函數(shù)中）

???爆炸后濃度成反比例下降，.?.可設(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=4—WO）.

X

k322

由圖象知y==過點（7,46）,k2=322,?\y=-----，此時自變量x的取值范圍是x>7.

xx

（2）當(dāng)y=34時,由y=6x+4得，6x+4=34,x=5.二撤離的最長時間為7-5=2（小時）????撤離的最小

速度為3+2=1.5（km/h）.

322

（3）當(dāng)y=4時，由y=-----得，x=80.5,

x

80.5-7=73.5（小時）.

???礦工至少在爆炸后73.5小時才能下井.

4.心理學(xué)家研究發(fā)現(xiàn)，一般情況下，一節(jié)課40分鐘中，學(xué)生的注意力隨教師講課的變化而變化.開始上

課時，學(xué)生的注意力逐步增強(qiáng)，中間有一段時間學(xué)生的注意力保持較為理想的穩(wěn)定狀態(tài)，隨后學(xué)生的注意

力開始分散.經(jīng)過實驗分析可知，學(xué)生的注意力指標(biāo)數(shù)y隨時間x（分鐘）的變化規(guī)律如右圖所示（其中

AB、BC分別為線段，CD為雙曲線的一部分）：

（1）開始上課后第五分鐘時與第三十分鐘時相比較，何時學(xué)生的注意力更集中？

（2）一道數(shù)學(xué)競賽題，需要講19分鐘，為了效果較好，要求學(xué)生的注意力指標(biāo)數(shù)最低達(dá)到36,那么經(jīng)

過適當(dāng)安排，老師能否在學(xué)生注意力達(dá)到所需的狀態(tài)下講解完這道題目？

解：（1）設(shè)線段AB所在的直線的解析式為yi=k1x+20,

把B（10,40）代入得，ki=2,.*.y1=2x+20.

設(shè)C、D所在雙曲線的解析式為y2=-,

X

把C（25,40）代入得，k2=1000,/.y2=^^

X

當(dāng)x『5時，y[=2x5+20=30,當(dāng)X2=30時，y2=1000-30=,

?“<丫2,第30分鐘注意力更集中.

（2）令yi=36,/.36=2x+20,."=8

令y2=36,/.36=1000-x,Ax2=1000-36=27.8

V27.8-8=19.8>19,

.?.經(jīng)過適當(dāng)安排，老師能在學(xué)生注意力達(dá)到所需的狀態(tài)下講解完這道題目.

類型2-次函數(shù)與二次函數(shù)的應(yīng)用

5.（2013?鐵嶺）某商家獨家銷售具有地方特色的某種商品，每件進(jìn)價為40元.經(jīng)過市場調(diào)查，一周的

銷售量y件與銷售單價x（x>50）元/件的關(guān)系如下表：

銷售單價X（元/件）55607075

一周的銷售量y（件）450400300250

（1）直接寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式：

（2）設(shè)一周的銷售利潤為S元，請求出S與x的函數(shù)關(guān)系式，并確定當(dāng)銷售單價在什么范圍內(nèi)變化時,

一周的銷售利潤隨著銷售單價的增大而增大？

（3）雅安地震牽動億萬人民的心，商家決定將商品一周的銷售利潤全部寄往災(zāi)區(qū)，在商家購進(jìn)該商品的

貸款不超過10000元情況下，請你求出該商家最大捐款數(shù)額是多少元？

解：（1）設(shè)丫=6+13,由題意得，55k+b=450,60k+b=400,

解得：k=-10,b=1000,

則函數(shù)關(guān)系式為：y=-1Ox+1000；

（2）由題意得,S=（x-40）y=（x-40）（-10x+1000）

=-10X2+1400X-40000=-10（X-70）2+9000,

?.?-10V0,.?.函數(shù)圖象開口向下，對稱軸為x=70,

當(dāng)40<x<70時，銷售利潤隨著銷售單價的增大而增大：

（3）當(dāng)購進(jìn)該商品的貸款為10000元時,

y=--------=250（件），此時x=75,

40

由（2）得當(dāng)X270時，S隨X的增大而減小，

.?.當(dāng)x=70時，銷售利潤最大，

止匕時S=9000,

即該商家最大捐款數(shù)額是9000元.

6.（2013?烏魯木齊）某公司銷售一種進(jìn)價為20元/個的計算機(jī)，其銷售量y（萬個）與銷售價格x（元/個）

的變化如下表：

價格X（元/個）...304050<60...

銷售量y（萬個）...543：2...

同時，銷售過程中的其他開支（不含造價）總計40萬元.

（1）觀察并分析表中的y與x之間的對應(yīng)關(guān)系，用所學(xué)過的一次函數(shù)，反比例函數(shù)或二次函數(shù)的有關(guān)知識

寫出y（萬個）與x（元/個）的函數(shù)解析式.

（2）求出該公司銷售這種計算器的凈得利潤z（萬個）與銷售價格x（元/個）的函數(shù)解析式，銷售價格定

為多少元時凈得利潤最大，最大值是多少？

（3）該公司要求凈得利潤不能低于40萬元，請寫出銷售價格x（元/個）的取值范圍，若還需考慮銷售量

盡可能大，銷售價格應(yīng)定為多少元？

解：（1）根據(jù)表格中數(shù)據(jù)可得出：y與x是一次函數(shù)關(guān)系，

設(shè)解析式為：y=ax+b,貝ij[30a+b=5,解得：Ja=一五,

140a+b=4,_c

故函數(shù)解析式為：--Xr+8：

10

(2)根據(jù)題意得出：

z=(x-20)y-40=(x-20)(--+8)-40=--Xr2+10.r-200,=-A(?-100x)-200=-』(x-

10101010

50)2-2500]-200=-J-(x-50)2+50,

10

故銷售價格定為50元/個時凈得利潤最大，最大值是50萬元.

（3）當(dāng)公司要求凈得利潤為40萬元時,BP-—（%-50）2+50=40,解得:x\=40,必=60.

如上圖，通過觀察函數(shù)尸-

10

銷售價格的取值范圍為：40sxs60.

而y與x的函數(shù)關(guān)系式為：尸-」u+8,y隨x的增大而減少，

10

因此，若還需考慮銷售量盡可能大，銷售價格應(yīng)定為40元/個.

（2013?淮北一模）為喜迎“五一”佳節(jié)，某食品公司推出一種新禮盒，每盒成本20元，在“五一”節(jié)前20天

進(jìn)行銷售后發(fā)現(xiàn)，該禮盒在這20天內(nèi)的日銷售量p（盒）與時間x（天）的關(guān)系如下表：

時間X（天）第1天第2天第3天第4天第5天第…天

日銷售量P（盒）7876747270

在這20天內(nèi)，前10天每天的銷售價格力（元/盒）與時間x（天）的函數(shù)關(guān)系式為丫尸-x+25（1<x<10,

4

且x為整數(shù)），后10天每天的銷售價格丫2（元/盒）與時間x（天）的函數(shù)關(guān)系式為y2=-1x+40（11<x<20,

且x為整數(shù)），

（1）直接寫出日銷售量p（盒）與時間x（天）之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）請求出這20天中哪天的日銷售利潤最大？最大日銷售利潤是多少？

（3）“五一”當(dāng)天，銷售價格（元/盒）比第20天的銷售價格降低a元（a>0）,而日銷售量比第20天提

高了a盒，日銷售額比前20天中的最大日銷售利潤多284元，求a的值.

注：銷售利潤=（售價-成本價）x銷售量.

解：（1）設(shè)日銷售量p（盒）與時間x（天）之間的函數(shù)關(guān)系式為p=kx+b,

把（1,78）,（2,76）代入得：78=k+b,76=2k+b,

k=-2,b=80,

即日銷售量p（盒）與時間x（天）之間的函數(shù)關(guān)系式為p=-2x+80.

(2)設(shè)日銷售利潤為w元，

當(dāng)14x410時,w=(-2X+80)(-x+25-20)=--(x-10)2+450；

42

當(dāng)114x420時，w=(-2X+80)(--x+40-20)=(x-40)2,

2

Vw=--(x-10)2+450(1<X<10)的對稱軸為X=10,

2

...當(dāng)x=10時，w取得最大值，最大值是450；

Vw=(x-40)2(11<x<20)的對稱軸為x=40,且當(dāng)114x420時w隨x的增大而減小，

.?.當(dāng)x=11時，w取得最大值，最大值是841；

綜合上述：當(dāng)x=11時，利潤最大，最大值是841元，

即第11天的利潤最大，最大值是841元.

(3)當(dāng)x=20時，銷售價格y2=-；x+40=30,日銷量p=-2x+80=40,則(30-a)(40+a)=841+284,

整理得：a2+10a-75=0,解得：a=5或a=-15(不合題意，舍去)，

即a=5.

7.(2013黃岡)某公司生產(chǎn)的一種健身產(chǎn)品在市場上受到普遍歡迎，每年可在國內(nèi)、國外市場上全部售完,

該公司的年產(chǎn)量為6千件，若在國內(nèi)市場銷售，平均每件產(chǎn)品的利潤為(元)與國內(nèi)銷售數(shù)量x(千件)的

關(guān)系為：X=p5.r+90{0<A-<2),若在國外銷售，平均每件產(chǎn)品的利潤丫式元)與國外的銷售數(shù)量,(千

l-5x+130(2<x<6)

“…七、L[100(0<r<2)

件)的關(guān)系為：力"八,,

[-5?+110(2</<6)

(1)用X的代數(shù)式表示f為：t=；當(dāng)0<爛4時，丫2與X的函數(shù)關(guān)系為：>2=___；

當(dāng)______<r<時，>2=100；

(2)求每年該公司銷售這種健身產(chǎn)品的總利潤w(千元)與國內(nèi)的銷售數(shù)量x(千件)的函數(shù)關(guān)系式，并指出

x的取值范圍；

(3)該公司每年國內(nèi)、國外的銷售量各為多少時，可使公司每年的總利潤最大？最大值為多少？

解：(1)U6一左當(dāng)0<爛4時，y2=-5(6-x)+110=5x+80.當(dāng)4%<6時，y2=W0.

(2)當(dāng)0<x<2時，w=(15x+90)x+(5x+80)(6-x)=10?+40x+480;

當(dāng)2<x<4時，w=(-5x+130)x+(5x+80)(6-x)=-10f+80x+480;

當(dāng)4<x<6時，w=(-5x+130)x+100(6-x)=-5?+30.r+600.

10X2+40X+480(0<X<2)

即w=--10x2+80^+480(2<x<4)

-5X2+30X+600(4<X<6)

(3)當(dāng)0〈爛2時，w=10?+40x+480=10(x+2)2+440,止匕時42時，wa水=600.

當(dāng)2<x<4時,w=—I0X2+80X+480=—10(x—4)2+640,止匕時時，w最人=64().

當(dāng)4cx<6時，w=—5X2+30X+600=—5(x—3)2+645,4Vx<6時，w<640,，x=4時，w提人=640.

答：國內(nèi)4千件，國外2千件，最大利潤為64萬元.

8.（2013“l(fā)照）一汽車租賃公司擁有某種型號的汽車100輛.公司在經(jīng)營中發(fā)現(xiàn)每輛車的月租金x（元）

與每月租出的車輛數(shù)（y）有如下關(guān)系：

X3000320035004000

y100969080

（1）觀察表格，用所學(xué)過的一次函數(shù)、反比例函數(shù)或二次函數(shù)的有關(guān)知識求出每月租出的車輛數(shù)y（輛）

與每輛車的月租金x（元）之間的關(guān)系式.

（2）已知租出的車每輛每月需要維護(hù)費(fèi)150元，未租出的車每輛每月需要維護(hù)費(fèi)50元.用含x（x23000）

的代數(shù)式填表：

租出的車輛數(shù)未租出的車輛數(shù)

租出每輛車的月收益所有未租出的車輛每月的維護(hù)費(fèi)

（3）若你是該公司的經(jīng)理，你會將每輛車的月租金定為多少元，才能使公司獲得最大月收益？請求出公

司的最大月收益是多少元.

解：（1）由表格數(shù)據(jù)可知y與x是一次函數(shù)關(guān)系，

設(shè)其解析式為y=kx+b.

由題：3000k+b=100,3200k+b=96

解之得：k=--,b=160,

.,?y與x間的函數(shù)關(guān)系是y=--^-x+160.

（2）如下表：

租出的車輛數(shù)-----x+160未租出的車輛數(shù)—x-60

5050

租出的車每輛的月收益x-150所有未租出的車輛每月的維護(hù)費(fèi)x-3000

(3)設(shè)租賃公司獲得的月收益為W元，依題意可得:

W=—x+160)(x-150)-(x-3000)

50

=(--X2+163X-24000)-(x-3000)

150

X2+162X-21000

51O

(x-4050)2+30705

5O

當(dāng)x=4050時，Wmax=307050,

即：當(dāng)每輛車的月租金為4050元時，公司獲得最大月收益307050元.

故答案為：x+160,—x-60.

5050

類型3二次函數(shù)的實際應(yīng)用

9.（2013?哈爾濱）某水渠的橫截面呈拋物線，水面的寬度為AB（單位：米），現(xiàn)以AB所在直線為x軸，

以拋物線的對稱軸為y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)坐標(biāo)原點為O已知AB=8米，設(shè)拋物線解

析式為y=ax2-4.

（1）求a的值；

（2）點C（-1,m）是拋物線上一點，點C關(guān)于原點O的對稱點為點D,連接CD,BC,BD,求ABCD

的面積.

.?.B(4,0),把B點坐標(biāo)代入解析式得：16a-4=0,解得：a=-:

4

(2)過點C作CE1AB于E,過點D作DF_LAB于F,

1111515、

?a=一,??y=—x2-4,令x=-1,??m=—x(-1)2-4=-----，??C(-1,------),

44444

關(guān)于原點對稱點為D,；.D的坐標(biāo)為(1,—),則CE=DF=",

44

11115115

SABCD=SZ\BOD+SABOC=-OB*DF+—OB*CE=-x4x—+—x4x—=15,

222424

???△BCD的面積為15平方米.

10.（2013?莆田）如圖所示，某學(xué)校擬建一個含內(nèi)接矩形的菱形花壇（花壇為軸對稱圖形）.矩形的四個

頂點分別在菱形四條邊上，菱形ABCD的邊長AB=4米，NABC=60。.設(shè)AE=x米（0。＜4）,矩形EFGH

的面積為S米2.

（1）求S與X的函數(shù)關(guān)系式：

（2）學(xué)校準(zhǔn)備在矩形內(nèi)種植紅色花草，四個三角形內(nèi)種植黃色花草.已知紅色花草的價格為20元/米2,

黃色花草的價格為40元/米2.當(dāng)x為何值時，購買花草所需的總費(fèi)用最低，并求出最低總費(fèi)用（結(jié)果保

留根號）？

解：（1）連接AC、BD,

?花壇為軸對稱圖形，；.EH〃BD,EF〃AC,.-.ABEF^ABAC,

VZABC=60°,...△ABC、ABEF是等邊三角形，AEF=BE=AB-AE=4-x,

在Rt^AEM中，ZAEM=ZABD=30°,則EM=AEcosNAEM=±x,.'.EH=2EM=V3x,

2

故可得S=(4-x)xV3x=-A/3X2+4V3X.

(2)易求得菱形ABCD的面積為8石cnf,由°)得，矩形ABCD的面積為Kx2,則可得四個三角

形的面積為(873+73X2-4V3X),

設(shè)總費(fèi)用為W,則W=20(-gx2+4J5x)+40(8V3+V3X2-4V3X)

=20島2_8O島+320G=206(x-2)2+2405/3,

*.'0<x<4,.??當(dāng)x=2時，W取得最小，W城小=240兀.

即當(dāng)x為2時，購買花草所需的總費(fèi)用最低，最低費(fèi)用為240G元.

如圖是運(yùn)動會開幕式火炬點燃方式在平面直角坐標(biāo)系中的示意圖，位于點0正上方2米處的發(fā)射裝置A

可以向目標(biāo)點火炬盆C發(fā)射一個火球點燃火炬，該火球運(yùn)行的軌跡為一拋物線，當(dāng)火球運(yùn)行到距出發(fā)點A

水平距離為12米時達(dá)到離地面最大高度20米（圖中B點）.火炬盆C距發(fā)射裝置A的水平距離為20

米，在A點處測得目標(biāo)點火炬盆C的仰角為a,且tana=

2

（1）求火球運(yùn)行軌跡的拋物線對應(yīng)的函數(shù)解析式；

（2）說明按（1）中軌跡運(yùn)行的火球能否點燃目標(biāo)C?

解：（1）由題意可知拋物線的頂點B坐標(biāo)為（12,20）可設(shè)火球運(yùn)行拋物線解析式為:

y=a（x-12）2+20,把點A（0,2）代入解析式得：2=a（0-12）2+20,解得：a=--,

8

.?.火球運(yùn)行軌跡的拋物線對應(yīng)的函數(shù)解析式為：y=--（x-12）2+20=--X2+3X+2；

88

（2）設(shè)C（xi,yi）,作CF^x軸，垂足為F,作AE_LCF于E,連接AC,

則NCAE=a,AE=20米,

?CEi?

Vtano=—.-----=—,/.CE=10,CF=12＞，點C坐標(biāo)為：（20,12,）,代入y=—x?+3x+2得，

2AE28

左右相等，所以點C在拋物線上，故能點燃目標(biāo).

11.（2013.淮北模擬）許多家庭以燃?xì)庾鳛闊鲲埖娜剂?，?jié)約用氣是我們?nèi)粘Ｉ钪蟹浅，F(xiàn)實的問

題.某款燃?xì)庠钚o位置從0度到90度（如圖），燃?xì)怅P(guān)閉時，燃?xì)庠钚o的位置為。度，旋鈕角度越大，

燃?xì)饬髁吭酱?，燃?xì)忾_到最大時，旋鈕角度為90度.為測試燃?xì)庠钚o在不同位置上的燃?xì)庥昧?，在?/p>

同條件下，選擇在燃?xì)庠钚o的5個不同位置上分別燒開一壺水（當(dāng)旋鈕角度太小時;其火力不能夠?qū)⑺疅?/p>

開，故選擇旋鈕角度x度的范圍是18M90）,記錄相關(guān)數(shù)據(jù)得到下表：

旋鈕角度（度）2050708090

所用燃?xì)饬浚ㄉ?3678397115

（1）請你從所學(xué)習(xí)過的一次函數(shù)、反比例函數(shù)和二次函數(shù)中確定哪種函數(shù)能表示所用燃?xì)饬縴升與旋鈕

角度x度的變化規(guī)律?說明確定是這種函數(shù)而不是其它函數(shù)的理由，并求出它的解析式;

（2）當(dāng)旋鈕角度為多少時，燒開一壺水所用燃?xì)饬孔钌?最少是多少？

（3）某家庭使用此款燃?xì)庠睿郧傲?xí)慣把燃?xì)忾_到最大，現(xiàn)采用最節(jié)省燃?xì)獾男o角度，每月平均能節(jié)

約燃?xì)?0立方米，求該家庭以前每月的平均燃?xì)庥昧?

解：（1）若設(shè)廠（原0）,

解得k=T

73=20k+b

由1y=——x+77o

67=50k+b5

b=77

把470代入得產(chǎn)65#3,...一次函數(shù)不符合。

若設(shè)y=K（叵0）,由73=1-解得"1460。丫=反竺。

x20x

把x=50代入得產(chǎn)29.2彳67,...反比例函數(shù)不符合。

若設(shè)y=cu^+bx+cf

1

a=一

73=400a4-20b+c50

由［67=2500a+5()b+c解得;L818

b=—.*.y=—x29——x+97(18<^<90)o

5505——

83=4900a+70b+c

c=97

把尸80代入得產(chǎn)97,把490代入得產(chǎn)115,符合題意。

，二次函數(shù)能表示所用燃?xì)饬縴升與旋鈕角度x度的變化規(guī)律。

1Q1

（2）由（1）得：）=—x2——x+97=—（X—40）2+65,

50550

J當(dāng)440時，y取得最小值65。

答：當(dāng)旋鈕角度為40。時，燒開一壺水所用燃?xì)饬孔钌?，最少?5升。

（3）由（2）及表格知，采用最節(jié)省燃?xì)獾男o角度40度比把燃?xì)忾_到最大時燒開一壺水節(jié)

約用氣115—65=50（升），設(shè)該家庭以前每月平均用氣量為。立方米，則由題意得:

--a=10,解得4=23。

115

答：該家庭以前每月平均用氣量為23立方米。

類型4復(fù)合型函數(shù)的應(yīng)用

12.閱讀材料：若。力都是非負(fù)實數(shù)，則"822旅.當(dāng)且僅當(dāng)?？跁r，“二”成立.

證明：：(4a一4b)2>0,:?a-2a)+bW.

?"+/?22當(dāng)且僅當(dāng)。=6時，“=”成立.

舉例應(yīng)用：

已知心>0,求函數(shù)y=2x+—的最小值.

x

解：)=2X+Z222X?2=4.當(dāng)且僅當(dāng)2戶2,即x=l時，"=”成立.

X\XX

???當(dāng)x=l時，函數(shù)取得最小值，y最小=4.

問題解決:

汽車的經(jīng)濟(jì)時速是汽車最省油的行駛速度.某種汽車在每小時70-110公里之間行駛時(含70公

1450

110公里)，每公里耗油(=+F)升.若該汽車以每小時x公里的速度勻速行駛，1小時的耗

里和