陜西省延安市第一中學2024-2025學年高二數(shù)學下學期6月月考試題理含解析

PAGEPAGE19陜西省延安市第一中學2024-2025學年高二數(shù)學下學期6月月考試題理（含解析）一、選擇題（每小題5分，共60分）1.在空間直角坐標系中，已知點，過點作平面的垂線，垂足為，則點的坐標為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由過點作平面的垂線，垂足的坐標為，即可求出結(jié)果.【詳解】因為過點作平面的垂線，垂足為，所以可得兩點的橫坐標與豎坐標相同，只縱坐標不同，且在平面中全部點的縱坐標都是0，因為，所以有.故選C【點睛】本題主要考查空間中的點的坐標，屬于基礎(chǔ)題型.2.已知，，若，則等于（）A.-26 B.-10 C.2 D.10【答案】A【解析】試題分析：依據(jù)題意，由于，，且有，則可知，故可知選A.考點：向量垂直點評：主要是考查了向量垂直的坐標公式的運用，屬于基礎(chǔ)題．3.假如三點，，在同一條直線上，則()A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由三點共線可知為共線向量，依據(jù)向量共線的坐標運算可構(gòu)造方程求得結(jié)果.【詳解】三點共線為共線向量又，，解得：，本題正確選項：【點睛】本題考查利用共線向量解決三點共線的問題，關(guān)鍵是能夠明確三點共線與共線向量之間的關(guān)系.4.小明同學喜愛籃球，假設(shè)他每一次投籃投中的概率為，則小明投籃四次，恰好兩次投中的概率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：利用二項分布的概率計算公式：概率即可得出．詳解：：∵每次投籃命中的概率是，

∴在連續(xù)四次投籃中，恰有兩次投中的概率．

故在連續(xù)四次投籃中，恰有兩次投中的概率是．故選D.點睛：本題考查了二項分布的概率計算公式，屬于基礎(chǔ)題．5.如圖，空間四邊形OABC中，，點M是OA的中點，點N在BC上，且，設(shè)，則x，y，z的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】將表示為以為基底的向量，由此求得的值.【詳解】依題意，所以.故選：C.【點睛】本小題主要考查空間中，用基底表示向量，考查空間向量的線性運算，屬于基礎(chǔ)題.6.已知隨機變量的分布列為130.160.440.40則（）.A.1.32 B.1.71 C.2.94 D.7.64【答案】D【解析】【分析】先由隨機變量的分布列求出，再由期望的性質(zhì)，即可求出結(jié)果.【詳解】由題意可得，隨機變量的期望為，所以故選：D.【點睛】本題主要考查期望性質(zhì)的應(yīng)用，熟記期望的性質(zhì)即可，屬于基礎(chǔ)題型.7.某校約有1000人參與模塊考試,其數(shù)學考試成果聽從正態(tài)分布N(90,a2)(a>0),統(tǒng)計結(jié)果顯示數(shù)學考試成果在70分到110分之間的人數(shù)約為總?cè)藬?shù)的0.6,則此次數(shù)學考試成果不低于110分的學生人數(shù)約為（）A.600 B.400C.300 D.200【答案】D【解析】分析】70分到110分之間人數(shù)約為總?cè)藬?shù)的0.6，依據(jù)正態(tài)分布知，90分到110分之間的約為總數(shù)的0.3，所以可知110分以上的約為總數(shù)的.【詳解】依據(jù)正態(tài)分布知，其均值為90分，又70分到110分之間人數(shù)約為總?cè)藬?shù)的0.6，依據(jù)對稱性知90分到110分之間的約為總數(shù)的0.3，所以可知110分以上的約為總數(shù)的，故有大約人，選D.【點睛】本題主要考查了正態(tài)分布，利用正態(tài)分布的對稱性解題，屬于中檔題.8.同時拋擲兩枚勻稱的硬幣10次，設(shè)兩枚硬幣同時出現(xiàn)反面的次數(shù)為ξ，則D(ξ)＝()A. B.C. D.5【答案】A【解析】兩枚同時出現(xiàn)反面的概率為，所以為次獨立重復試驗，屬于二項分布，方差為.9.如圖，在三棱錐中，底面為正三角形，側(cè)棱垂直于底面，．若是棱上的點，且，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】以C為原點，CA為x軸，在平面ABC中過作AC的垂線為y軸，CC1為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出異面直線A1E與所成角的余弦值．【詳解】以C為原點，CA為x軸，在平面ABC中過作AC的垂線為y軸，CC1為z軸，建立空間直角坐標系，∵在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面為正三角形，側(cè)棱垂直底面，AB＝4，AA1＝6，E，F(xiàn)分別是棱BB1，CC1上的點，且BE＝B1E，∴A1（4，0，6），E（2，2，3），A（4，0，0），（﹣2，2，﹣3），（-4，0，6），設(shè)異面直線與所成角所成角為θ，則cosθ．∴異面直線A1E與AF所成角的余弦值為．故選A．【點睛】求空間兩條異面直線所成角的大小是立體幾何中最為常見的基本題型之一．這類問題的求解一般有兩條途徑：其一是平移其中的一條直線或兩條直線，將其轉(zhuǎn)化為共面直線所成角，然后再構(gòu)造三角形，通過解三角形來獲得答案；其二是建立空間直角坐標系，借助空間向量的數(shù)量積公式，求出兩向量的夾角的大小來獲解.10.已知0，，0，，2，，則點A到直線BC的距離為A. B.1 C. D.【答案】A【解析】【分析】首先寫出和的坐標，再求出，最終利用公式，即可求值.【詳解】解：0，，0，，2，，0，，2，，點A到直線BC的距離為：．故選A．【點睛】運用空間向量求點到直線的距離，首先寫出直線的方向向量，在直線上選取一點和已知點構(gòu)造一個新的向量，運用兩個向量的數(shù)量積公式求出夾角的余弦，再數(shù)形結(jié)合，結(jié)合直角三角形運用勾股定理求出距離.11.四棱柱的底面為矩形，，，，，則的長為（）A. B.46 C. D.32【答案】C【解析】試題分析：由,.由底面為矩形得；，，另；，,考點：空間向量的運算及幾何意義.12.在棱長為2的正方體中，，分別為棱、的中點，為棱上的一點，且，設(shè)點為的中點，則點到平面的距離為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出點M到平面D1EF的距離,N到面的距離是M到該面距離的一半．【詳解】解：以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標系，則M（2，λ，2），D1（0，0，2），E（2，0，1），F(xiàn)（2，2，1），＝（﹣2，0，1），＝（0，2，0），＝（0，λ，1），設(shè)平面D1EF的法向量＝（x，y，z），則，取x＝1，得＝（1，0，2），∴點M到平面D1EF的距離為：d＝，N為EM中點，所以N到該面的距離為，選D．【點睛】本題考查點到平面的距離的求法，空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)學問，考查運算求解實力，以及數(shù)形結(jié)合思想．二、填空題（每小題5分，共20分）13.已知隨機變量，且，則________.【答案】0.75【解析】【分析】依據(jù)正態(tài)分布的對稱性，先得到，進而可求出結(jié)果.【詳解】因為，由正態(tài)分布的對稱性，可得：，所以.故答案為：.【點睛】本題主要考查由正態(tài)分布求指定區(qū)間的概率，屬于基礎(chǔ)題型.14.已知，，若，，則的值是________.【答案】或1【解析】【分析】依據(jù)題意，由向量模的坐標表示，以及向量數(shù)量積的坐標表示，列出方程組求解，即可得出結(jié)果.【詳解】因為，，，，所以，解得：或，因此或.故答案為：或1.【點睛】本題主要考查由空間向量的模與數(shù)量積求參數(shù)的問題，屬于基礎(chǔ)題型.15.已知點，，為線段上一點且，則點的坐標為________.【答案】【解析】【分析】先設(shè)，依據(jù)題意，得到，再由向量的坐標表示，列出方程組求解，即可得出結(jié)果.【詳解】設(shè)，因為為線段上一點且，所以，又，，所以，因此，解得：，所以.故答案為：.【點睛】本題主要考查由向量的坐標表示求參數(shù)的問題，屬于基礎(chǔ)題型.16.將4個不同的小球隨意放入3個不同的盒子中，則每個盒子中至少有1個小球的概率為________．【答案】【解析】試題分析：將個不同的小球隨意放入個不同的盒子中，每個小球有種不同的放法，共有種放法，每個盒子中至少有個小球的放法有種，故所求的概率.考點：1、排列組合；2、隨機變量的概率.三、解答題（共70分）17.在一個袋中，裝有大小、形態(tài)完全相同的3個紅球、2個黃球.現(xiàn)從中任取2個球，設(shè)隨機變量為取得紅球的個數(shù).（1）求的分布列；（2）求的數(shù)學期望和方差.【答案】（1）詳見解析（2），【解析】【分析】（1）聽從超幾何分布，依據(jù)古典概型概率公式簡單求出分布列；（2）利用期望和方差定義干脆計算.【詳解】解：（1）的取值為0,1,2.，，，則的分布列為：012（2），.【點睛】本題考查超幾何分布、期望和方差，是高考重點考查學問點，屬于基礎(chǔ)題.18.現(xiàn)有個人去參與某消遣活動，該活動有甲、乙兩個嬉戲可供參與者選擇．為增加趣味性，約定：每個人通過擲一枚質(zhì)地勻稱的骰子確定自己去參與哪個嬉戲，擲出點數(shù)為或的人去參與甲嬉戲，擲出點數(shù)大于的人去參與乙嬉戲．（1）求這個人中恰有個人去參與甲嬉戲的概率；（2）求這個人中去參與甲嬉戲的人數(shù)大于去參與乙嬉戲的人數(shù)的概率．【答案】（1）；（2）.【解析】試題分析：（Ⅰ）依題意，這4個人中，每個人去參與甲嬉戲的概率為，去參與乙嬉戲的人數(shù)的概率為．設(shè)“這4個人中恰有i人去參與甲嬉戲”為事務(wù)Ai（i=0，1，2，3，4），故．由此能求出這4個人中恰有2人去參與甲嬉戲的概率．（Ⅱ）依據(jù)題意分成兩類，同第一問分別求出即可．試題解析：（1）每個人參與甲嬉戲的概率為，參與乙嬉戲的概率為，設(shè)“個人中恰有個人去參與甲嬉戲”為事務(wù)，則．所以這個人中恰有個人去參與甲嬉戲的概率為．（2）設(shè)“個人中去參與甲嬉戲的人數(shù)大于去參與乙嬉戲的人數(shù)”為事務(wù)，其中包含事務(wù)：“人參與甲嬉戲，個人參與乙嬉戲”和事務(wù)：“個人均參與甲嬉戲”，和互斥．．所以個人中去參與甲嬉戲的人數(shù)大于去參與乙嬉戲的人數(shù)的概率為．19.如圖，直棱柱的底面中，，，棱，如圖，以為原點，分別以，，為軸建立空間直角坐標系（1）求平面的法向量；（2）求直線與平面夾角的正弦值.【答案】（1）；（2）.【解析】【詳解】分析：（1）設(shè)處平面的法向量的坐標，利用向量的數(shù)量積為，即可求解平面的一個法向量；（2）取出向量，利用向量的夾角公式，即可求解直線與平面所成角的正弦值.詳解：（1）由題意可知故設(shè)為平面的法向量，則，令，則（2）設(shè)直線與平面夾角為，點睛：本題考查了平面法向量的求解，以及直線與平面所成的角，著重考查了空間想象實力，以及推理與運算實力，在高考對空間向量與立體幾何的考查主要體現(xiàn)在以下幾個方面：①求異面直線所成的角，關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為兩直線的方向向量的夾角；②求直線與平面所成的角，關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化直線的方向向量和平面的法向量的夾角；③求二面角，關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為兩平面的法向量的夾角.建立空間直角坐標系和表示出所需點的坐標是解題的關(guān)鍵.20.如圖，以棱長為1的正方體的具有公共頂點的三條棱所在直線為坐標軸，建立空間直角坐標系Oxyz，點P在對角線AB上運動，點Q在棱CD上運動．(1)當P是AB的中點，且2|CQ|＝|QD|時，求|PQ|的值；(2)當Q是棱CD的中點時，試求|PQ|的最小值及此時點P的坐標．【答案】(1)(2)點P的坐標為(),最小值為.【解析】【分析】(1)依據(jù)正方體的性質(zhì)可得的坐標，由兩點間的距離公式計算可得結(jié)果；(2)依據(jù)題意，設(shè)點的橫坐標為,得＝．由，可得＝＝，可得的坐標為，進而可以用表示的長，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)分析可得結(jié)果.【詳解】(1)因為正方體的棱長為1，P是AB的中點，所以P().因為2|CQ|＝|QD|，所以|CQ|＝，所以Q(0,1,).由兩點間的距離公式得：|PQ|＝＝.(2)如圖，過點P作PE⊥OA于點E，則PE垂直于坐標平面xOy.設(shè)點P的橫坐標為x，則由正方體的性質(zhì)可得點P的縱坐標也為x.由正方體的棱長為1，得|AE|＝(1－x)．因為，所以|PE|＝＝1－x，所以P(x，x1－x)．又因為Q(0,1,)，所以|PQ|＝所以當x＝時，|PQ|min＝，即當點P的坐標為()，即P為AB的中點時，|PQ|的值最小，最小值為.【點睛】本題主要考查正方體的性質(zhì)、空間兩點間的距離公式以及最值問題，屬于中檔題.最值問題一般有兩種方法：一是幾何意義，特殊是用曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來解決，特別奇妙；二是將最值問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，然后依據(jù)函數(shù)的特征選用參數(shù)法、配方法、判別式法、三角函數(shù)有界法、函數(shù)單調(diào)性法以及均值不等式法求解.21.如圖，在三棱錐中，，，°,平面平面，分別為中點.（1）求證：平面;（2）求二面的大小.【答案】（1）詳見解析（2）【解析】【分析】（1）由三角形的中位線定理可得，進而由線面平行的判定定理，即可正面的結(jié)論；（2）以D為原點建立空間空間直角坐標系，分別求出平面PBE的法向量和平面PAB的法向量，代入向量的夾角公式，即可求解二面角的大?。驹斀狻浚?）在中，D、E分別為AB、AC的中點，所以，又由平面平面，所以平面．（2）連接PD，因為PA=PB，E為AB的中點，所以，因為，，所以，以D為原點建立空間直角坐標系，如圖所示，由，所以所以,設(shè)平面PBE的法向量為，則，即，令，得，因為平面，所以平面PAB的法向量為，設(shè)二面角的大小為，所以，所以，即二面角的大小為．【點睛】本題考查了立體幾何中的線面平行的判定和二面角的求解問題，意在考查學生的空間想象實力和邏輯推理實力；解答本題關(guān)鍵在于能利用直線與直線、直線與平面、平面與平面關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，通過嚴密推理，明確角的構(gòu)成，同時對于立體幾何中角的計算問題，往往可以利用空間向量法，通過求解平面的法向量，利用向量的夾角公式求解.22.如圖，在三棱錐中，底面，，，分別是的中點，F(xiàn)在SE上，且.（1）求證：平面；（2）在線段上是否存在點，使二面角的大小為？若存在，求出的長；若不存在