2024-2025學年新教材高中數(shù)學 第6章 導數(shù)及其應(yīng)用 6.3 利用導數(shù)解決實際問題教案 新人教B版選擇性必修第三冊

2024-2025學年新教材高中數(shù)學第6章導數(shù)及其應(yīng)用6.3利用導數(shù)解決實際問題教案新人教B版選擇性必修第三冊主備人備課成員教學內(nèi)容分析本節(jié)課的主要教學內(nèi)容為《2024-2025學年新教材高中數(shù)學第6章導數(shù)及其應(yīng)用6.3利用導數(shù)解決實際問題》，側(cè)重于讓學生掌握如何將導數(shù)應(yīng)用于解決現(xiàn)實生活中的優(yōu)化問題。教學內(nèi)容與學生已有知識的聯(lián)系在于，學生在之前的學習中掌握了導數(shù)的概念、性質(zhì)及其運算規(guī)則，并對實際問題的數(shù)學模型有所了解。本節(jié)課將在此基礎(chǔ)上，引導學生運用導數(shù)知識分析并解決諸如最大利潤、最小成本等實際問題，從而加深對導數(shù)應(yīng)用的理解，提高數(shù)學思維能力和解決實際問題的能力。具體內(nèi)容包括：運用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值，并結(jié)合實際案例進行講解和練習。核心素養(yǎng)目標本節(jié)課旨在培養(yǎng)學生以下核心素養(yǎng)：通過實際問題情境的探究，提升數(shù)學抽象和邏輯推理能力，增強數(shù)學建模和數(shù)學運算素養(yǎng)。學生將能夠運用導數(shù)知識對現(xiàn)實問題進行合理建模，準確求解模型的極值和最值，從而培養(yǎng)解決實際問題的能力。同時，通過小組合作與討論，提高學生的數(shù)學交流與合作素養(yǎng)，培養(yǎng)嚴謹?shù)目茖W態(tài)度和勇于探索的精神。學習者分析1.學生已經(jīng)掌握了導數(shù)的定義、計算法則以及導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系等基礎(chǔ)知識。他們能夠運用導數(shù)解決一些簡單的數(shù)學問題，并對極值和最值的概念有了初步的理解。

2.學生普遍對數(shù)學學科具有一定的興趣，尤其在解決實際問題時表現(xiàn)出較高的積極性。他們在邏輯推理和數(shù)學運算方面具備一定能力，但部分學生在數(shù)學建模和問題分析上仍需加強。學生的學習風格多樣，有的擅長獨立思考，有的則更傾向于合作交流。

3.學生在解決實際問題時可能遇到的困難和挑戰(zhàn)包括：將現(xiàn)實問題抽象為數(shù)學模型的能力不足；在運用導數(shù)求解極值和最值時，可能會對條件判斷和運算過程感到困惑；此外，對于如何將數(shù)學知識應(yīng)用到不同情境中，學生也可能感到無所適從。因此，教學中需要針對這些難點進行重點講解和指導。學具準備多媒體課型新授課教法學法講授法課時第一課時師生互動設(shè)計二次備課教學方法與手段1.教學方法：

-講授法：通過講解導數(shù)在實際問題中的應(yīng)用原理，為學生提供清晰的理論框架。

-討論法：組織學生進行小組討論，共同分析實際案例，培養(yǎng)學生的合作能力和問題解決能力。

-實踐法：設(shè)計實踐活動，讓學生親自動手解決實際問題，加深對導數(shù)應(yīng)用的理解。

2.教學手段：

-多媒體設(shè)備：利用PPT和視頻資料展示實際案例，增強直觀感受，提高學生的學習興趣。

-教學軟件：運用數(shù)學軟件輔助教學，如幾何畫板等，幫助學生直觀理解導數(shù)的概念和計算。

-網(wǎng)絡(luò)資源：引導學生在課后使用網(wǎng)絡(luò)資源進行拓展學習，提高信息素養(yǎng)和自主學習能力。教學過程設(shè)計本節(jié)課共計45分鐘，教學過程設(shè)計如下：

1.導入環(huán)節(jié)（5分鐘）

創(chuàng)設(shè)情境：教師展示一個實際生活中的問題，如“如何確定一個最大容積的箱子尺寸，使得所需材料最少？”通過這個問題，引發(fā)學生對導數(shù)在實際問題中應(yīng)用的思考。

提出問題：讓學生思考并討論以下問題：

-導數(shù)在解決實際問題中有什么作用？

-如何將現(xiàn)實問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學模型？

2.講授新課（15分鐘）

教師以講解、舉例等方式，向?qū)W生闡述以下知識點：

-導數(shù)在實際問題中的意義和作用；

-如何將實際問題抽象為導數(shù)的數(shù)學模型；

-求解實際問題的極值和最值方法。

在講解過程中，教師要注意突出重點、難點，并通過實例進行演示。

3.鞏固練習（10分鐘）

設(shè)計以下練習題，讓學生獨立完成：

1.已知某函數(shù)的導數(shù)，判斷其單調(diào)性，并求出極值和最值。

2.將實際問題轉(zhuǎn)化為導數(shù)的數(shù)學模型，并求解。

學生完成后，組織學生進行小組討論，相互交流答案和解題思路。

4.課堂提問（5分鐘）

教師針對學生的解答和討論，進行提問，了解學生的掌握情況，并對以下問題進行重點講解：

-如何判斷函數(shù)的單調(diào)性？

-求解極值和最值的方法有哪些？

-在實際問題中，如何確定導數(shù)的符號？

5.師生互動環(huán)節(jié)（5分鐘）

教師邀請幾名學生上臺展示他們的解題過程和答案，并讓其他學生進行評價和討論。在此過程中，教師引導學生關(guān)注以下幾點：

-解題思路是否清晰？

-導數(shù)在問題解決中的作用是否明確？

-數(shù)學模型是否正確？

6.教學創(chuàng)新（5分鐘）

教師提出一個更具挑戰(zhàn)性的實際問題，讓學生在課后進行思考和研究，如：

-如何確定一個最大面積的矩形，使其周長不超過一定值？

學生通過自主學習、合作探究，培養(yǎng)解決實際問題的能力。

7.總結(jié)與拓展（5分鐘）

教師對本節(jié)課的知識點進行總結(jié)，強調(diào)導數(shù)在實際問題中的應(yīng)用。同時，布置一道拓展題，讓學生在課后進一步鞏固所學知識。知識點梳理1.導數(shù)的定義及其幾何意義

-導數(shù)的定義：函數(shù)在某一點的導數(shù)表示函數(shù)圖像在該點切線的斜率。

-導數(shù)的幾何意義：導數(shù)表示曲線在某一點的切線斜率，正值表示曲線上升，負值表示曲線下降。

2.導數(shù)的計算法則

-基本導數(shù)公式：冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的導數(shù)。

-導數(shù)的四則運算法則：和、差、積、商的導數(shù)計算方法。

3.函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值

-利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性：導數(shù)的正負與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系。

-函數(shù)的極值：導數(shù)為0的點可能是函數(shù)的極值點，需要通過二階導數(shù)判斷是極大值還是極小值。

-函數(shù)的最值：求解閉區(qū)間上函數(shù)的最值，結(jié)合導數(shù)和極值點進行判斷。

4.導數(shù)在實際問題中的應(yīng)用

-優(yōu)化問題：求解最大值或最小值問題，如最大面積、最小成本等。

-函數(shù)圖像分析：通過導數(shù)分析函數(shù)圖像的凹凸性、拐點等。

-線性規(guī)劃：導數(shù)在求解線性規(guī)劃問題中的應(yīng)用。

5.實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學模型的方法

-確定變量：明確實際問題中的自變量和因變量。

-建立關(guān)系式：根據(jù)問題情境，建立函數(shù)關(guān)系式。

-求解模型：利用導數(shù)求解數(shù)學模型的極值和最值。

6.本節(jié)課的重點與難點

-重點：掌握導數(shù)在實際問題中的應(yīng)用方法，如優(yōu)化問題求解。

-難點：將實際問題抽象為數(shù)學模型，并運用導數(shù)知識求解。教學評價與反饋1.課堂表現(xiàn)：觀察學生在課堂上的參與程度、積極性和互動情況，評價學生對于導數(shù)在實際問題中應(yīng)用的理解和掌握程度。

2.小組討論成果展示：評估學生在小組討論中的表現(xiàn)，包括問題分析能力、解決方案的提出以及合作交流的效率。

-是否能準確抽象出實際問題中的數(shù)學模型；

-是否能合理運用導數(shù)知識求解問題；

-是否在小組內(nèi)進行了有效的溝通和知識共享。

3.隨堂測試：通過設(shè)計相關(guān)的隨堂練習題，測試學生對導數(shù)應(yīng)用的掌握情況，包括對導數(shù)的計算、單調(diào)性判斷、極值和最值的求解等。

-練習題完成情況；

-學生解題思路的清晰度和正確性；

-對實際問題的數(shù)學建模能力。

4.課后作業(yè)：布置與課堂內(nèi)容相關(guān)的作業(yè)，評價學生在課后對知識點的復習和鞏固情況。

-作業(yè)完成質(zhì)量；

-對難點知識的理解和應(yīng)用；

-是否能獨立解決實際問題。

5.教師評價與反饋：針對學生的表現(xiàn)，教師應(yīng)及時給予評價和反饋，幫助學生明確學習目標，改進學習方法。

-對學生在課堂上的表現(xiàn)給予肯定和鼓勵，對存在的問題進行指導；

-針對學生的個性化差異，提供有針對性的學習建議；

-收集學生的反饋意見，不斷調(diào)整和優(yōu)化教學方法，提高教學效果。課后拓展1.拓展內(nèi)容：

-閱讀材料：《導數(shù)在物理學中的應(yīng)用》，介紹導數(shù)在描述物體運動、變化率等方面的應(yīng)用。

-視頻資源：《生活中的優(yōu)化問題》，展示導數(shù)在實際生活中的應(yīng)用案例，如最大利潤、最小成本等。

-實踐項目：自行選擇一個實際生活中的問題，嘗試運用導數(shù)知識進行建模和求解。

2.拓展要求：

-鼓勵學生