湘教版初中數學八年級上冊 2.1 三角形 同步分層訓練培優(yōu)卷（含答案解析）

湘教版初中數學八年級上冊2.1三角形同步分層訓練培優(yōu)卷班級：姓名：同學們：練習開始了，希望你認真審題，細致做題，運用所學知識解決本練習。祝你收獲滿滿，學習進步，榜上有名！一、選擇題1．三角形的兩邊分別為3，5，那么它的第三邊可以是（）A．1 B．2 C．3 D．82．若一個直角三角形其中一個銳角為40°，則該直角三角形的另一個銳角是（）A．60° B．50° C．40° D．30°3．如圖，在△ABC中，∠A=60°，∠ABC=80°，BD是△ABC的高線，BE是△ABC的角平分線，則A．10° B．12° C．15° D．18°4．如圖，∠BOC＝9°，點A在OB上，且OA＝1，按下列要求畫圖：以A為圓心，1為半徑向右畫弧交OC于點A1，得第1條線段AA1；再以A1為圓心，1為半徑向右畫弧交OB于點A2，得第2條線段A1A2；再以A2為圓心，1為半徑向右畫弧交OC于點A3，得第3條線段A2A3…這樣畫下去，直到得第n條線段，之后就不能再畫出符合要求的線段了，則n＝（）A．10 B．9 C．8 D．75．長度分別為3cm，5cm，7cm，9cm的四根木棒，能搭成（首尾連接）三角形的個數為（）A．1 B．2 C．3 D．46．如圖，D為△ABC邊BC延長線上一點，∠ABC與∠ACD的平分線交于點A1，∠A1BC與∠A1CD的平分線交于點A2，???，∠A．2022α B．2023α C．22022α 7．用12根等長的火柴棒拼成一個三角形，火柴棒不允許剩余，重疊和折斷，則能擺出不同的三角形的個數是（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個8．如圖，在△ABC中，已知點D，E，F分別為邊BC，AD，CE中點，且△ABC的面積等于4cm2，則陰影部分圖形面積等于（）.A．1cm2 B．2cm2 C．0.5cm2 D．1.5cm2二、填空題9．如圖，直線AB∥CD，且AC⊥CB于點C，若∠BAC=35°，則∠BCD的度數為.10．如圖，OA=22，∠AOP=45°，點B在射線OP上，若△AOB為鈍角三角形，則線段OB長的取值范圍是11．如圖，在銳角三角形ABC中，AC=6，S△ABC=24，CD平分∠ACB，若P、Q分別是CD、BC上的動點，則BP+PQ的最小值是已知△ABC中，∠A=12∠B=13∠C，則△ABC是三、解答題13．小明在學習過程中，對教材中的一個有趣問題做如下探究：【習題回顧】已知：如圖1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AE是角平分線，CD是高，AE、CD相交于點F．求證：∠CFE＝∠CEF；【變式思考】如圖2，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB邊上的高，若△ABC的外角∠BAG的平分線交CD的延長線于點F，其反向延長線與BC邊的延長線交于點E，則∠CFE與∠CEF還相等嗎？說明理由；【探究延伸】如圖3，在△ABC中，在AB上存在一點D，使得∠ACD＝∠B，角平分線AE交CD于點F．△ABC的外角∠BAG的平分線所在直線MN與BC的延長線交于點M．試判斷∠M與∠CFE的數量關系，并說明理由．14．學習了平行線的判定與性質后，某興趣小組提出如下問題：已知：如圖，AB//CD．【初步感知】如圖1，若∠C=3∠B，求∠B的度數；【拓展延伸】如圖2，當點E、F在兩平行線之間，且在位于BC異側時，求證：∠B+∠E=∠C+∠F；【類比探究】如圖3，若∠ABE=3∠EBP，∠CFE=3∠EFP，若∠E=88°，∠C=130°，直接寫出∠BPF的度數．四、綜合題15．綜合與探究：（1）【情境引入】如圖1，BD，CD分別是△ABC的內角∠ABC，∠ACB的平分線，說明∠D=90°+1（2）【深入探究】①如圖2，BD，CD分別是△ABC的兩個外角∠EBC，∠FCB的平分線，∠D與∠A之間的等量關系是；②如圖3，BD，CD分別是△ABC的一個內角∠ABC和一個外角∠ACE的平分線，BD，CD交于點D，探究∠D與∠A之間的等量關系，并說明理由.16．（1）如圖，把△ABC沿DE折疊，使點A落在點A1處，試探究∠1、∠2與∠A（2）如圖2，若∠1=140°，∠2=80°，作∠ABC的平分線BN，與∠ACB的外角平分線CN交于點N，求∠BNC的度數；（3）如圖3，若點A1落在△ABC內部，作∠ABC，∠ACB的平分線交于點A1，此時∠1，∠2，

1．【答案】C【解析】【解答】解：設第三邊長為x，根據題意得

5-3＜x＜5+3即2＜x＜8

故答案為：C

【分析】利用三角形的三邊關系定理，設第三邊長為x，可得到關于x的不等式組，求出不等式組的解集，可得到符合題意的選項.2．【答案】B【解析】【解答】解：∵直角三角形的一個銳角為40°，

∴另一個銳角為90°-40°=50°.

故答案為：B

【分析】利用直角三角形的兩銳角互余，可求出另一個銳角的度數.3．【答案】A【解析】【解答】解：∵BE是△ABC的角平分線，∴∠ABE=∠CBE=1∵BD是△ABC的高，∴∠ADB=90°.在△ABD中，∠ADB=90°，∴∠ABD=180°?∠ADB?∠A=180°?90°?60°=30°，∴∠DBE=∠ABE?∠ABD=40°?30°=10°，∴∠DBE的度數為10°故答案為：A.【分析】根據角平分線的概念可得∠ABE=∠CBE=124．【答案】B【解析】【解答】解：由題意可知：AO＝A1A，A1A＝A2A1，…，則∠AOA1＝∠OA1A，∠A1OA2＝∠A1A2A，…，∵∠BOC＝9°，∴∠A1AB＝18°，∠A2A1C＝27°，∠A3A2B＝36°的度數，∠A4A3C＝45°，…，∴9°n＜90°，解得n＜10．由于n為整數，故n＝9.故答案為：B.【分析】由題意可知：AO＝A1A，A1A＝A2A1，…，根據等腰三角形的性質以及外角的性質可得∠A1AB＝18°，∠A2A1C＝27°，∠A3A2B＝36°，∠A4A3C＝45°，…，令9°n＜90°，求出n的范圍，結合n為整數可得n的最大值.5．【答案】C【解析】【解答】解：能搭成三角形的有：3，5，8；5，7，9；3，7，9，一共3個.

故答案為：C

【分析】利用較小的兩邊之和大于第三邊，可得到能構成的三角形的個數.6．【答案】D【解析】【解答】解：在△ABC中，∠A=∠ACD-∠ABC，

∵∠ABC的角平分線與∠ACD的平分線交于點A1，

∴∠A1=∠A1CD-∠A1BC=12∠ACD?∠ABC=12∠A，

同理可得∠A2=12∠A1=122∠A，

∠A3=127．【答案】C【解析】【解答】解：設擺出的三角形的三邊有兩邊是x根，y根，則第三邊是（12-x-y）根，

∴x+y＞12-x-y，x+12-x-y＞y，y+12-x-y＞x，

∴x＜6，y＜6，x+y＞6

又∵x，y是整數，

∴同時滿足以上三式的x，y的分別值是（不計順序）：

2，5；3，4；3，5；4，4；4，5；5，5，

∴第三邊對應的值是：5；5；4；4；3；2，

∴三邊的值可能是：2，5，5；或3，4，5；或4，4，4共三種情況，

∴能擺出不同的三角形的個數是3．

故答案為：C．

【分析】設擺出的三角形的三邊有兩邊是x根，y根，則第三邊是（12-x-y）根，由三角形的三邊關系定理得到x、y的不等式組，從而求出三邊滿足的條件，再根據三邊長是整數，進而求解即可．8．【答案】A【解析】【解答】解：∵點D，E分別為邊BC，AD中點，∴S∴S∵F是EC的中點，S△BEF∴S∵△ABC的面積等于4cm2，∴S△BEF=1cm2，即陰影部分的面積為1cm2，故答案為：A．

【分析】由D，E分別為邊BC，AD中點，可得S△ABD=12S△ABC，9．【答案】55°【解析】【解答】解：∵AB∥CD，∴∠ABC=∠BCD.在△ABC中，∠BAC=35°，AC⊥CB，∴∠ACB=90°，∴∠ABC=180°?∠BAC?∠ACB=180°?35°?90°=55°.∵∠ABC=∠BCD，∴∠BCD=55°.故答案為：55°.【分析】根據平行線的性質可得∠ABC=∠BCD，根據內角和定理可得∠ABC=55°，據此計算.10．【答案】0<OB<2或OB>4【解析】【解答】解：依題意，OA=22，∠AOP=45°當∠AOB=90°時，OB=AB且OB∴BO=2，∴當∠ABO>90°時，0<OB<2，當∠OAB=90°時，AB=OA=22∴BO=A∴當∠OAB>90°時，OB>4，綜上所述，0<OB<2或OB>4，故答案為0<OB<2或OB>4.

【分析】分類討論：①當∠AOB=90°時，②當∠OAB=90°時，再分別畫出圖象并求解即可。11．【答案】8【解析】【解答】解：過點B作BE⊥AC于點E，交CD于點P，過點P作PQ⊥BC于Q，∵CD平分∠ACB，∴PE=PQ，∴BE=BP+PE=BP+PQ，即BE為BP+PQ的最小值，∵AC=6，S△ABC∴12∴BE=8，即BP+PQ的最小值為8．故答案為：8．

【分析】過點B作BE⊥AC于點E，交CD于點P，過點P作PQ⊥BC于Q，根據AC=6，S△ABC=24，可得12×6×BE=24，最后求出12．【答案】直角【解析】【解答】解：設∠A=x°，則∠B=2x°，∠C=3x°，∵∠A+∠B+∠C=180°∴x°+2x°+3x°=180°∴x°=30°∴∠C=3x°=90°∴△ABC是直角三角形故答案為直角

【分析】設∠A=x°，則∠B=2x°，∠C=3x°，利用三角形的內角和可得x°+2x°+3x°=180°，再求出x°=30°，可得∠C=3x°=90°，即可得到△ABC是直角三角形。13．【答案】解：【習題回顧】證明：∵∠ACB＝90°，CD是高，∴∠B+∠CAB＝90°，∠ACD+∠CAB＝90°，∴∠B＝∠ACD，∵AE是角平分線，∴∠CAF＝∠DAF，∵∠CFE＝∠CAF+∠ACD，

∠CEF＝∠DAF+∠B，∴∠CEF＝∠CFE；【變式思考】∠CEF＝∠CFE證明：∵AF為∠BAG的角平分線，∴∠GAF＝∠DAF，∵CD為AB邊上的高，∴∠ADC＝90°，∴∠ADF＝∠ACE＝90°，又∵∠CAE＝∠GAF，∴∠CEF＝∠CFE；【探究延伸】∠M+∠CFE＝90°，證明：∵C、A、G三點共線AE、AN為角平分線，∴∠EAN＝90°，又∵∠GAN＝∠CAM，∴∠M+∠CEF＝90°，∵∠CEF＝∠EAB+∠B，∠CFE＝∠EAC+∠ACD，∠ACD＝∠B，∴∠CEF＝∠CFE，∴∠M+∠CFE＝90°．【解析】【分析】【習題回顧】根據同角的余角相等得∠B＝∠ACD，根據角平分線的定義得∠CAF＝∠DAF，根據三角形外角性質得∠CFE＝∠CAF+∠ACD，∠CEF＝∠DAF+∠B，據此即可得出答案；

【變式思考】根據角平分線的定義得∠GAF＝∠DAF，根據三角形高線定義得∠ADF＝∠ACE＝90°，根據對頂角相等得∠CAE＝∠GAF，根據三角形的內角和定理得∠CEF＝∠CFE；

【探究延伸】根據平角的定義及角平分線的定義得∠EAN＝90°，結合對頂角相等得∠GAN＝∠CAM，根據直角三角形兩銳角互余得∠M+∠CEF＝90°，根據三角形外角性質得∠CEF＝∠EAB+∠B，∠CFE＝∠EAC+∠ACD，結合∠ACD＝∠B，可得∠CEF＝∠CFE，再等量代換即可得出∠M+∠CFE＝90°.14．【答案】解：【初步感知】解：∵AB//CD，∴∠B+∠C=180°，∵∠C=3∠B，∴∠B+3∠B=180°，∴∠B=45°；【拓展延伸】證明：過點E作EM//AB，過點F作FN//AB，∵AB//CD，∴AB//CD//EM//FN，∴∠B+∠BEF+∠FEM=180°，∠EFN+∠EFC+∠C=180°，∠EFN=∠FEM，∴∠B+∠BEF=∠C+∠CFE；【類比探究】102°【解析】【解答】【類比探究】上結論知，如圖：

∠ABE+∠E=∠CFE+∠C，∴∠ABE?∠CFE=∠C?∠E=130°?88°=42°，∵∠ABE=3∠EBP，∠CFE=3∠EFP，∴∠EBP?∠EFP=14°，∵∠EBO+∠E+∠BOE=∠POF+∠EFP+∠P=180°，∵∠BOE=∠FOP，∠E=88°，∴∠EBO+88°=∠P+∠EFP，∴∠P=88°+∠EBO?∠EFP=88°+14°=102°．【分析】【初步感知】根據平行線的性質可得∠B+∠C=180°，結合∠C=3∠B就可求出∠B的度數；

【拓展延伸】過點E作EM∥AB，過點F作FN∥AB，根據平行于同一直線的兩條直線互相平行可得AB∥CD∥EM∥FN，則∠B+∠BEF+∠FEM=180°，∠EFN+∠EFC+∠C=180°，∠EFN=∠FEM，據此解答；

【類比探究】上結論知∠ABE+∠E=∠CFE+∠C，則∠ABE-∠CFE=∠C-∠E=42°，結合已知條件可得∠EBP-∠EFP=14°，根據內角和定理可得∠EBO+∠E+∠BOE=∠POF+∠EFP+∠P=180°，結合對頂角的性質可得∠EBO+88°=∠P+∠EFP，據此求解.15．【答案】（1）解：∵BD，CD分別是∠ABC，∠ACB的平分線，∴∠1=12∠ABC∴∠1+∠2=1∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∠1+∠2+∠D=180°，∴∠D=180°?∠1?∠2=180°?1∴∠D=90°+1（2）解：①∠D=90°+1∵BD，CD分別是△ABC的兩個外角∠EBC，∠FCB的平分線，∴∠DBC=12∠EBC=∵∠DBC+∠DCB+∠D=180°，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠D=180°?∠DBC?∠DCB=180°?=180°?=90°?1故答案為：∠D=90°+1②∠D與∠A之間的等量關系是：∠D=1∵BD，CD分別是△ABC的一個內角∠ABC和一個外角∠ACE的平分線，∠DCE=∠DBC+∠D，∠A+2∠DBC=2∠DCE，∴∠A+2∠DBC=2∠DBC+2∠D，∴∠A=2∠D，∴∠D=1【解析】【分析】（1）由角平分線的定義得∠1=12∠ABC，∠2=12∠ACB，根據三角形的內角和定理得∠ABC+∠ACB=180°-∠A，∠D=180°-（∠1+∠2），從而代入并逆用乘法分配律變形化簡得出答案；

（2）①∠D=90°+12∠A，理由如下：根據三角形的一個外角等于與之不相鄰的兩個內角的和及角平分線的定義可得∠DBC=1216．【答案】（1）解：∠1=2∠A+∠2，理由如下，

由折疊的性質可知∠AED=∠A1ED，∠ADE=∠A1DE，

∴∠ADE=∠A1DE=180°?∠12=90°?12∠1，∠2=2∠AED-180°，

∴∠AED=12∠2+90°，

∵∠A+∠AED=∠ED