經(jīng)濟數(shù)學(xué)題庫(上)

練習(xí)一函數(shù)

填空題

1.函數(shù)>=行二+「二的定義域是

什[sinx-2<x<0pin

2.右皿<2'則嗎)=——

2

3.若y=e?"),g=a+cosx,則>(g)=

單項選擇題

1.若函數(shù)y=/(x)的定義域是[0,1],則/(Inx)的定義域是().

A.(0,+8)B.[l,+oo)C.[1,e]D.[0,1]

2.函數(shù)y=1川sin時的值域是().

A.[-1,1]B.[0,1]C.(-00,0)D.(-00,0]

3.若函數(shù)〃e、)=x+l,則〃x)=().

A?e'+lB?R+1C.lnx+1D.ln(x+1)

4.下列各對函數(shù)中，()中的兩個函數(shù)相等.

A.y=xln(1-X)^g=ln(1-^B.y=ln"g=21nx

XX

C.y=J1-sin?x與g=cosxD.y=Jx(x-1)與y=6J(x-1)

5.下列函數(shù)中y=()是偶函數(shù).

A.|/(x)|B./(|x|)C./2(x)D./(x)-/(-x)

解答題

,[x0<x<14

1.設(shè)“x)=,,,求：

Inx1<x<e

(1)/(X)的定義域；(2)/(0),/(I),/(2)o

2.某廠產(chǎn)品日產(chǎn)量為1500噸，每噸定價為150元，銷售量不超過1000噸

的部分按原價出售，超過1000噸的部分按9折出售，若將銷售總收入看作

銷售量的函數(shù)，試寫出函數(shù)表達式?

四、證明題

設(shè)/(x)=ln(x+Jx?+1),試證/(x)是奇函數(shù).

練習(xí)二極限的概念

填空題：

1、設(shè)f(x)是定義在(-8,+8)內(nèi)的奇函數(shù)，且limf(x)=A#0,則limf(x)=

XTO-x->0

2、若limf(x)=A,則limf(x)=

A-->0.sO+

二、寫出下列數(shù)列的前5項:

?n

1、a”----

'l2"，

1?

2、a“=(1+；)；

1+(—1)"

3、二

2，

12n

4、a”-----J------+???-4-,

=n2n2n2，

三、觀察下列數(shù)列的變化趨勢，寫出它們的極限

1

a—,rlim。一

1、"-2""-

2、a?-i)H-,lima?=

=(n,is

〃一1

3、a~~---Jima,,=

"~n+\"TOO

4、a“=(T)”〃，陰明

四:判斷l(xiāng)im是否存在，若將極限過程改為xfo呢?

練習(xí)三無窮小、無窮大、極限運算法則

一、是非題：

1、當XfX。時，/（九）是一個無窮小，則/（%）在X。的某領(lǐng)域內(nèi)有界.（）

2、一個無窮小除以一個非零的有界函數(shù)仍是無窮小.（）

3、一個無窮大除以一個非零的有界函數(shù)仍是無窮大.（）

4、若lim/（x）存在，而limg（x）不存在，則］im"（x）±g（x）］可能存在.（）

x->xoX—>xoXTXo

5、非常小的數(shù)是無窮?。ǎ?/p>

6、零是無窮?。ǎ?/p>

7、無窮小是一個函數(shù)（）

二、計算題：

1、計算下列極限：

x"+2%+5

(2)limx-sinx

⑴!吧x2+1

x3+3x2+2x+3x?+2x

(3)lim(4)H嗎

x->-2_x_6x-?-2%2_x_6

「cosx

lim------------

(5)(6)lim---------

，%.1X—>+oo]—4，

2cos——sin

22

⑺好中A1、

⑻*E

2n+1.3"

x2+2x-3,x<1;

2,設(shè)/(x)=,x,1<無<2求lim，(x),lim/(%),limf(x).

x—>1x-?2XT3

2x-2,x>2

練習(xí)四兩個重要極限

一、計算題:

1、計算下列極限:

「sinmx

(1)lim------5w0);(2)

sin〃x—osin5x

x

(3)limxcotx;（4）!吧2"sin牙（％為不等于零的常數(shù)）;

x->0

(5)lim(l+-),!+5;(6)lim11-2%;

〃一>8nx—>0

lim(l+cosx)secx;

⑺則（E；(8)7T

2

(9)lim以V+2\

nsn+TTri+2%n+n7r

二、證明題：

設(shè).=G,=j2+%,i,證明數(shù)列%的極限存在，并求其極限。

練習(xí)五無窮小比較，等價無窮小

填空題:

2

x+ax+h八

1、若崛==2,則a,b=

往+11

2、若lim------ax-b=0,貝!Ja=___________,b=

Xf8(X+l)

二、利用等價無窮小的性質(zhì)，求下列極限:

sin%

lim

⑵2

⑴iosin5%I。1+%

ln(l+x)1而后二

⑶lim---------(4)L

x-osin2x'“0tg2x'

tgx-sinx1-Jcos%

⑸理⑹崛Fb

Incosxsin(%")

⑺物―；⑻理（m,n均為自然數(shù)）;

(sin%)"'

練習(xí)七函數(shù)的連續(xù)性，函數(shù)的間斷點

一、指出下列函數(shù)的間斷點，并判別其類型.

./、+3——x~3

1、

2、

1+x,-co<x<0

2",0<x<-Foo

1,x>0

4/(x)=\x

x<0

Isinx

I—x

二、討論函數(shù)八%)已吧b"的連續(xù)性,若有間斷點,則判別其類型.

sinx

x<0;

X

三、如何選取數(shù)a,b,使函數(shù)/(%)=<ayX=。；在尤=0處連續(xù).

卜_____

一(Jl+x—1),x>0.

1X

練習(xí)七常用經(jīng)濟函數(shù)

1.收音機每臺售價為90元，成本為60元.廠方為鼓勵銷售商大量采購,

決定凡是定購量超過100臺以上的，每多定購1臺就降低1分，但最

低價為每臺75元.

(1)將每臺的實際售價p表示為定購量x的函數(shù)；

(2)將廠方所獲的利潤p表示成定購量x的函數(shù)；

(3)某一商行定購了1000臺,廠方可獲多少利潤？

2.設(shè)某商品的成本函數(shù)和收入函數(shù)分別為:

C(q)=1+2q+q2

R(q)-10g

試求：(1)該商品的利潤函數(shù)；

(2)銷售為4時的總利潤及平均利潤

(3)銷售量為10時是盈利還是虧損.

3.某商品的需求函數(shù)和供給函數(shù)分別為：

0f=，14——Iu5n(其中價格的單位為元)

S=4〃一5,

求：(1)市場均衡價格’

(2)若每銷售一單位商品，政府征稅1元，此時的均衡價格

階段自測題（一）函數(shù)，極限，連續(xù)

一、是非題（10分）：

1、函數(shù)>=1（）1-2的反函數(shù)為y=l+lg（x+2）（）

2、在自變量的同一變化過程中，函數(shù)可表示為一個常數(shù)與一個無窮小

之和.（）

3、在定義區(qū)間不連續(xù)的函數(shù)一定不是初等函數(shù).（）

4、若㈣/（/+?）-/（/山）］=0,則函數(shù)外）在工。處是連續(xù)的.（）

5、若/㈤在3力）內(nèi)單調(diào)，則人光）在3,。）內(nèi)至多有一個零點.（）

二、選擇題：（30分）

1、在區(qū)間（-1,0）內(nèi)，由（）所給出的函數(shù)是單調(diào)上升的。

（A）y=兇+1;（B）y=k|-2%;

（C）y=-4x+3（D）y=5x-2

2、當xf+oo時，函數(shù)/（x）=xsin光是（）

（A）無窮大量（B）無窮小量

（C）無界函數(shù)（D）有界函數(shù)

3、當x~T時，/（x）=?^~^，e（x）=1-我都是無窮小，則治）是9（》）的（）

1+X

（A）高階無窮?。˙）低階無窮小

（C）同階無窮小（D）等階無窮小

4、x=0是函數(shù)小)=的貯的()

(A)可去間斷點(B)跳躍間斷點;

(C)振蕩間斷點(D)無窮間斷點

5、下列的正確結(jié)論是()

(A)1可/(工)若存在，則/(%)有界;

(B)若在％的某鄰域內(nèi)，有g(shù)(x)W/(%)0](%),且limg(x),limh(x)

.V—>xoXfX()

都存在，則lim/(%),也存在；

(C)若f(x)在閉區(qū)間3,切上連續(xù)，且/⑷則方程/(x)=0,

在(a,份內(nèi)有唯一的實根；

ieinx

(D)當％->8時，a(x)=—,/(x)=——都是無窮小，但。(x)與伏尤)卻不能比.

XX

6.下列極限存在的是().

y1

A.lim-----B.lim-------C.limtanxD.lime'

X-?OCX，—]Xf02"—1A->00A->0

7.當x->0+時，()不是無窮小量.

2

A.inxB.ln(l+x)C.1-cosxD.y[xsin—

x

8.已知/(x)=l-皿，若/(x)為無窮小量，貝心的趨向必須是().

X

A.Xf+00B?x->—ooC.31D.%-0

9.下列極限計算正確的是()

A.limxsin—=1B.limxsin—=1

10

x98x

￡

C.+—)x=eD.lim(l+x)A=e

10xx->00

.當時，/(%)=J-,又在處連續(xù)，貝⑴

10XH1/(X)X=1IJ/=()

sin(x-1)

A.-1B._1C.1D.1

22

(D)

二、填空題(10分)

1x-sinx

1.lim---------=,

isx+cosx

2.設(shè)/(又)=―則lim/(x)=_____,lim/(x)=_______?

2x+x-lex”

3.若lim(l+ax)'="2,貝Ua=.

XTO

1-I.

4.已知/*)=<x-l?若/(x)在(-8,+8)內(nèi)連續(xù)，貝1Jk

[kx=l

5.函數(shù)/(x)=―二的間斷點是.

l-e1^

三、計算題：(30分)

1、計算下列各式極限：

.1

x3sin

(1)lim(7-x2+1-7.x2-1)

(2)lim----------

xf01-cos%

Ineos%

(3)limsin3%cos2x(4)%"

x70

3

(5)limln(l+2A)ln(l+-)

XT8X

2、確定常數(shù)a,b,使函數(shù)

a+arccosx,-1<x<1

f(x)=<b,x=-l在x=-l處連續(xù).

J廠-1,—oo<x<—1

四、應(yīng)用題：(10

設(shè)某產(chǎn)品每此售10000件時，每件售價為50元，若每次多售2000件，則每件相

應(yīng)地降價2元，如果生產(chǎn)這種產(chǎn)品的固定成本為60000元，變動成本為每件20

元，最低產(chǎn)量為10000件，求：

(1)成本函數(shù);(2)收入函數(shù);(3)利潤函數(shù)

五、證明題：

設(shè)/(x)在閉區(qū)間［a,上連續(xù)，Ma<f(x)<b,證明在(a,b)內(nèi)至少有一點J,

使/?)=久

練習(xí)八導(dǎo)數(shù)的概念

1、從直線運動方程S=2/_f2+i,求t=i,△t=0.1時的平均速度.

2、按導(dǎo)數(shù)定義求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

1

（1）丁=：⑵y=

Jl+x-1

3、試證：/a）=Gx在x=o右連續(xù)，但￡（。）不存在.

0x=Q

x<1,

4、設(shè)/⑴=4"J；為了使函數(shù)/⑺在x=l處連續(xù)且可導(dǎo),a,b

應(yīng)取什么值?

sinx,x<0;

5、已知/(%)=I］酒求1(x).

6、若/(x)是偶函數(shù)，且廣(0)存在，求尸(0).

7、設(shè)顏囹第旃題)),r

練習(xí)九導(dǎo)數(shù)的四則運算

1、求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

(1)y=3/-5x+l(2)y=2V7--+V3

X

3

⑶y=y/2(x—y[x+1)(4)y=(v+l)2(v-l)

ax3+bx~+c

⑸廣(a+A)x(6)y=sm%+cosx

Xtgx

y=------y=

⑺l-cosx⑻X

xsinx

y=(p^\n(p+COS(p(10)

⑼)-1+tgx

(11)y=x~log3x(12)y=xlnx

x-1

(13))=log2%(14)y=xsinrIrir

1-Inx

(15)'1+lnx

2、求下列函數(shù)在給定點處的導(dǎo)數(shù):

1

⑴y=%sin%+—cos%,y

⑵“')二向’八4)=-----------------

3、求拋物線y=Gx2+8x+c上具有水平切線的點的坐標.

練習(xí)十復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)

一、.求下列函數(shù)導(dǎo)數(shù)：

361+廠、5

(1)y=(x-x)(2)y=()

1+x

(3)y=3sin(3x+5)(4)y=cos2x

.2%X

(5)y=sin—cot—(6)y=sin/!xcosnx

■32

(7)y=sin"2x—l)(8)y-Jl+x(lnx)2

1

⑼，=1暇1一3一+X）（10）片］於

(11)y=(lnx2)3(12)y=lnlnlnx

二、設(shè)小）可導(dǎo)，求下列函數(shù)導(dǎo)數(shù)今

⑴日2(2)y=/W(x)))

三、求導(dǎo)數(shù):

X

⑴y=^(2)y=xlOv

(3)y=e^(4)y=Jl+e"

(5)y=2,"nx(6)y=-csc2(e3x)

(7)y=e^xcos3x(8)y=xe'(sinx+cos%)

2

(9)y=arccos—

x

四、求導(dǎo)數(shù)：

x

（i）arccos-------；⑵arccot-,

練習(xí)十一隱函數(shù)導(dǎo)數(shù)、對數(shù)求導(dǎo)法

1、求?

ax

(1)y3+3y=y；(2)y-sin=%(0<￡,<1).

2、利用對數(shù)求生

ax

1-%

(i)y=(2)y=(九+J1+無I".

1+x'

3、求由方程sin(盯)+ln(y-x)=%所確定的隱函數(shù)y=y(x)在x=0處

的導(dǎo)數(shù)小

x=0,

練習(xí)十二高階導(dǎo)數(shù)

1、y=1-，一/,求y”,y，”；2、/(x)=(x+10)6,求尸”(2)；

3、y=xcos尤,,求y",y"';4、/(x)=e2，T,求尸”(o)；

d4p

5、y=x3Inx,求/⑷（%）6、x7=asin2°,求

d6'

7、x2+y2=求y”.

xnsin—;%w0

8、問自然數(shù)〃至少是多大，才能使/(%)=%

0;x=0

有一”(0),并求其值.

9、設(shè)y=(arcsin%)?,證明：(1-x2)y"-3^"-y'=0.

i。、求方程L=，右所確定的隱數(shù)y的二階導(dǎo)數(shù)倍

練習(xí)十三函數(shù)的微分

一.填空：

dx

(1)d()=一；⑵d()=e'dx；

X

(3)d()=cosxdx；(4)d()=sinxdx;

、dx、dx

(5)(6)d()1--—,

一1+廠2，VT7'

(7)d()=adx;⑻八)=3x2Jx；

(9)d()=yfxdx;(10)d()=e2xdx；

、dx

(11)d((12)d()=e~xdx;

dx

(13)d()------(14)d()=sin2xdx

2%'

二.求下列函數(shù)的微分dy

2

(1)(2)y=(l+x-x2)8；

cosx

(4)y=exsin*"x;

(6)p=/(1一2%)+$由/(%),其中/(無)可導(dǎo).

三.求產(chǎn)tg%當%由45°i(r時增量的近似值.

四.求下列各數(shù)的近似值:

(1)Igll(2)V1.02

五.當|x|很小時，證明:

(1)Jl+x=1+);(2)tgx^x.

階段自測題(二)導(dǎo)數(shù)與微分

一、是非題：

()1、若>4(尤)在點x=x0可微，則必在該點連續(xù).

()2、若危),g(x)都在點x=x°可導(dǎo)，則/(x)±g(x),/(x)g(x),坐都

g(x)

在該點可導(dǎo).

()3、若y4U),在點x=x0的切線平行坐標軸，則必有廣(%)存在

且等于0.

()4、設(shè)y或X)在點x=x()可微，則其微分辦=/'(%)-WAy

二、填空題：

1、設(shè)尸(與)存在，則"a-5+')=___；

TO，t

X2,X>1

2、/(%)=S23八,貝射3=_______________；

-X,X<1

13

3、設(shè)”…，則d產(chǎn);

4、設(shè)y=%"sinx(x>0),貝I］蟲=_____________;

dx

5、廣汽%)為方程xsiny+ye，=0確定的隱函數(shù)，貝|/'(。)=.

三、選擇題：

1、/(x)=ln(l+a-2x),(a>0)則/(0)的值為()

(A)-Ina(B)Ina(C)glna(D)|

2、設(shè)曲線>=/*與直線x=-l相交于點P,曲線過點P處的切線方程為

()

(A)2x-y-2=0(B)2x+y+l=0(C)2x+y-3=0(D)2x-y+3=0

e"x<0

3、設(shè)/(%)=處處可導(dǎo)，則()

/?(l-x2),x>0

(A)a=h=\(B)(2=-2,/?=-!(C)a=0,h=\(D)a=2,/?=1

4、若/(尤)在點x可微，則1沛二也的值為()

A10Ax

(A)1(B)0(C)-l(D)不確定

5、設(shè)yMsinx),/(x)為可導(dǎo)函數(shù)，則dy的表達式為()

(A)/'(sin%)dx(B)/"(cosx)dx

(C)/'(sinx)cosx(D)/'(sinx)cosxdx

四、計算題：

1、設(shè)對一切實數(shù)％有加+止與⑴，且((0)=0,求產(chǎn)⑴

xcos—,XWOz/

2、若g(x)=，％又/(x)在x=0處可導(dǎo)，求7/㈢⑶)Jo

0,x=0dx

3、?x)在x=a處連續(xù),Q(x)=sin(x-a)f(x),求(p\a)

1dy

4、設(shè)％=/+廣"='+')2,求加

5、計算再次的近似值.

五、證明題：

1、設(shè)/(尤)是以外為周期的可導(dǎo)函數(shù)，證明/(%)也是以①為周期函數(shù);

2、設(shè)/(%)=4,證明

(1)八工)在原點連續(xù)；

(2)/(x)在原點不可導(dǎo).

練習(xí)十四中值定理

1、驗證函數(shù)/(x)=d+4%2_7x-10在區(qū)間［-1,2］上滿足羅爾定理，

并找出相應(yīng)的點八使八門=0.

2、驗證函數(shù)/(x)=lnx在區(qū)間［l,e］上滿足拉格朗日定理，并找出相應(yīng)的

占產(chǎn)代/⑥一/⑴

點f,使-----:—=于(9

e-l

a-b-aa-b

----WIri—4--------

3應(yīng)用拉格朗日中值定理，證明當OGWa時，不等式。一〃一匕成

立，

4證明不等式：當x>l時.，-〉心工

aaa?

5已知4+丁+彳+…+「=。，應(yīng)用羅爾定理，證明方程：

23n+\

n

a0+a1x+a2x"+--+anx=0在(0,1)內(nèi)至少有一實根.

6不用求出函數(shù)=(%-1)(/2)(%-3)(尤-4)的導(dǎo)數(shù)，說明方程/a)=o有幾個實

根，并指出它們所在的區(qū)間.

7證明方程/+x-1=0只有一個正根.

練習(xí)十五羅必塔法則

一、判斷題

()1、

()2、lim()=oo—oo=0

A->1x-1Inx

()3、

2?sin3xz"3cos3x3

5

..ts5x,.cos?Sr5

()4、lim-......=lim°'=lim------------------

X^Lsin3xXT乃生3cos3xcos5x-cos3x

如果外)和可導(dǎo)，且］，存在，那么必有

()5、8(%)limg(%)=0lim?

fg(x)

limUim也

-g(%)-a

二、填空題：

2

1ln(l+x)

(1)lim--————二⑵hm---------------=；

1。xex+exsecx-cos%

11、

(3)limz(^—-------)=:⑷lim(l+-)A=

—/_]x-iXfoo尤----------------

1

hmx2ex=

x-0-------------

1

—sinx

三、說明極限li”——存在，但不能用羅必塔法則.

iosinx

四周羅必塔法則求極限（先判別該題屬于哪種不定型，再求極限）.

..ln(l+x)Insinx

(1)lim------------⑵lim-----------

10x”,,/(乃一2幻2

「x-sinxtanx

⑶lim----------⑷lim

i°x-tanx兀tan3x

四、用羅必塔法則求極限（先判別該題屬于哪種不定型，再求極限）.

11

);⑵

⑴x-1In%

aJTXtan一

lim(l+-)v;(4)lim(tan—)2

X—>00XX—>14

函數(shù)單調(diào)性判定法、極值及其求法、最值問題

練習(xí)十六

一、求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：

（1）y=x3-3x2-9x+14;（2）y=x-ex.

二、求下列函數(shù)的極值點和極值:

（1）y=12x5+15x4-40x3;（2）y=x^e~x.

IJI

三、試問a為何值時，函數(shù)/(x)=asinx+§sin3x在x=§處取得極值,

是極大值還是極小值？并求出其極值.

四、求下列函數(shù)在所給閉區(qū)間上的最大值和最小值：

(1))=(%—2)2(1+1)%,[-2,2];(2)y=7100-x2,[6,8].

五、一球的半徑為R作內(nèi)接球的圓錐，試求其最大的體積.

練習(xí)十七導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟分析中的應(yīng)用

1.某商品的總成本函數(shù)為C（Q）=100+3Q,又需求函數(shù)Q=-100P+1000（其

中P為該商品單價），求能使利潤最大的P的值。

（1）生產(chǎn)數(shù)量為多少時，可使平均成本最??？

（2）求出邊際成本，并驗證當平均成本達到最小時邊際成本等于平均成

本。

2、某產(chǎn)品的需求函數(shù)為尸=10-3Q,平均成本6=。，問當產(chǎn)品的需求

量為多少時可以使利潤最大，并求最大利潤.

3、某化工廠日產(chǎn)能力最高為1000噸，每日產(chǎn)品的總成本。(單位:

元)是日產(chǎn)量x(單位：噸)的函數(shù)

C=C(x)=1000+7x+50Vx,xe[0,l000]

(1)求當日產(chǎn)量為100噸時的邊際成本；

(2)求當日產(chǎn)量為100噸時的平均單位成本.

4、某產(chǎn)品生產(chǎn)x個單位的總成本C是x的函數(shù)

C=C(x)=1100+^X2.

求(1)生產(chǎn)900個單位時的總成本和平均單位成本；

(2)生產(chǎn)900到1000個單位時總成本的平均變化率；

(3)生產(chǎn)900個單位和1000個單位時的邊際成本，并說明經(jīng)濟意

5、設(shè)某商品生產(chǎn)％個單位的總收益R為x的函數(shù)

R=R(x)=200x-0.01尤2

求：生產(chǎn)50單位時的總收益及平均單位產(chǎn)品的收益和邊際收益.

6、某企業(yè)的成本函數(shù)和收入函數(shù)分別為:

C(x)=1000+5x+備(元)，R(x)=200蟠(元).

求(1)邊際成本，邊際收入，邊際利潤；

(2)已經(jīng)生產(chǎn)并且銷售25個單位產(chǎn)品，銷售第26個單位產(chǎn)品約有

多少利潤？

7、某商店以每臺價格350元的價格每周可能售出CD唱機200臺，市場調(diào)

查指出，當價格每降低10元時，一周的銷售可增加20臺，求出價格函數(shù)

和銷售額函數(shù)，商店要達到最大銷售額，應(yīng)把價格降低多少元？

8.設(shè)某商品的需求函數(shù)為。=10-1求：

(1)需求彈性；

(2)當P=3時的需求彈性；

(3)在P=3時一，若價格上漲1%,總收益增加還是減少？它將變化百分只

幾？

9.設(shè)某種商品的銷售額y與價格P之間的關(guān)系為y=P(88-30P),求在1.00

元,1.50元的價格水平下此函數(shù)的彈性，并說明其意義.

10.某種商品的需求量Q為價格P的函數(shù)。=150-222,求:

(1)當P=6時的邊際需求，并說明其經(jīng)濟意義；

(2)當P=6時的需求彈性，并說明其經(jīng)濟意義；

(3)當P=6時，若價格下降2%,總收益變化百分之幾？是增加還是減少？

練習(xí)十八利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)

一、求下列曲線的凹向區(qū)間及拐點：

(1)y(2)y=a-^lx-b.

X+1

二、描繪函數(shù)丁=々"、的圖形(填空)

(1)、所給函數(shù)的定義域為

(2)、y'=,駐點

⑶、y'=；

⑷、歹表

X(—8,2)-2(-2,-10(―1,+°°)

y'

y”

y

cx

(5)、因為hm=____所以——為鉛直漸近線;

x-Tx+1___—

因為hm=_____所以——為水平漸近線.

Xf+8X+1—

(6)、作圖：

i

■

o

三、描繪函數(shù)y=ln(/+i)的圖形.

四、利用凹函數(shù)的/(晝)</(X)；()’)性質(zhì),證明下列不等式:

/+/也

(1)--->e2,(%wy)；

(2)g(%"+y")>(^1^)"(%wy,x,y>O,">l)

階段自測題(三)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

一、填空題：

1、函數(shù)/(%)=arctanx在［0,1］上使拉格朗日中值定理結(jié)論成立的4=

ax-h1

2、若lim，e.c，=彳則a=_________,h=__________；

°sin2x2

3、設(shè)/(%)有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且/(0)=r(0)=1則lim粵察必=_______

1。ln/(x)

4、y=e*sinx的極大值為,極小值為;

1—X

5、y=arctg--(OWxWl)的最大值為___,最小值為_____.

1+x

二、選擇題：

1、如果。力是方程人外=0的兩個根，函數(shù)/㈤在出,以上滿足羅爾定理條

件，那么方程廣(力=0在(。力)內(nèi)()

(A)僅有一個根；(B)至少有一個根；

(C)沒有根；(D)以上結(jié)論都不對。

2、函數(shù)/(x)引sinx|在區(qū)間號,§上()

(A)滿足羅爾定理的條件，且4=0;

(B)滿足羅爾定理的條件，但無法求

(C)不滿足羅爾定理的條件，但有J能滿足該定理的結(jié)論；

(D)不滿足羅爾定理的條件

3、如果一個連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上既有極大值，又有極小值，則()

(A)極大值一定是最大值；

(B)極小值一定是最小值；

(C)極大值一定比極小值大；

(D)極在值不一定是最大值，極小值不一定是最小值。

4、設(shè)段)在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，則/(x)<0是/)在(a,3內(nèi)為減函數(shù)的()

(A)充分條件；(B)必要條件；

(C)充要條件；(D)既非充分又非必要條件。

5、若?x)在(見。)上兩次可導(dǎo)，且()，則/(九)在(a,份內(nèi)單調(diào)增加

且是上凹的。

(A)/'(x)>0,/"(x)>0；(B)/'(x)>0,/"(x)<0;;

(C)；(D)/,(x)<0,/"(x)>0

三、計算題:

】、求:⑴酰占V⑵吧^

2、求過曲線產(chǎn)疣一，上的極大值點和拐點的連線的中點，并垂直于直線

x=0的直線方程.

四、應(yīng)用題：

通過研究一組學(xué)生的學(xué)習(xí)行為，心理學(xué)家發(fā)現(xiàn)接受能力（即學(xué)生掌握一

個概念的能力）依賴于在概念引人之前老師提出和描述問題所用的時間，

講座開始時，學(xué)生的興趣激增，分析結(jié)果表明，學(xué)生掌握概念的能力由下

式給出：

6(%)=-0.1/+2.6%+43

其中G(x)是接受能力的一種度量，％是提出概念所用的時間(單位:

min)

(a)、無是何值時，學(xué)生接受能力增強或降低？

(b)、第10分鐘時，學(xué)生的人趣是增長還是注意力下降？

(c)、最難的概念應(yīng)該在何時講授？

(d)、一個概念需要55的接受能力，它適于對這組學(xué)生講授嗎？

五、證明題：

證明不等式2%arctan%2ln(l+A：2)

練習(xí)十九不定積分概念及性質(zhì)

一、填空題:

(1)fsinxdx=;(2)[sec2xdx=

dxdx

(3)(4)

l+x2

(5)a'dx=(6)?>xexdx=

(7)

已知一個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)/(%)=下=，并當時，這個函數(shù)值等于

(8)x=l

V1-X2

―,則這個函數(shù)為

二、求下不列不定積分：

⑵J(x2+l)2J^;

⑶7a

cos2x,

(5)「江,一衛(wèi)6(6)---------------dx;

J3、cosx-sinx

rCOS2x,

⑺

三.設(shè)某商品得需求量Q是價格P的函數(shù)，該商品的最大需求量為1000

（即p=0時,Q=1000）,已知需求量的變化率（邊際需求）為：

2，（P）=-10001n3-（1）p

求需求量Q與價格P的函數(shù)關(guān)系

練習(xí)二十換元積分法

在下列各式等號右端的空白處填入適當?shù)南禂?shù)，使等式成立（例如）

dx=(-)d(4x+l).

4

?31/3

(1)xdx=()弟；⑵sin—xdx=()t/(cos-x);

2

dx.

⑶-=()t/(3-51nx);(4)1+9/=()d(arctg3x);

X

dxxdx.

(5)/----=()J(l-arcsinx);(6)一/=T=(

A/1-X2n-x2

計算下列不定積分（其中。力,外0均為常數(shù)）：

rdxX

(2)j(sinac-)dx;

⑴

(4)fxcosx2dx;

(5)[cos2+(p)sin(iyf+(p}dt\(6)sin2%cos3^

rarctgy/x,f尤2dx

⑺\~T7x—*

Jvx(l+x)⑻JR；

Pdxrdx

⑼七小，(10)LE

rdx(12)J百人

(11)L.E

練習(xí)二十一分部積分

一、填空題：

(1)FInxdx=_______

_______,

（2）Jarctanxdx=；

（3）Jarcsinxdx=-

（4）\xf\x）dx=；

（5）若f（x）的一個原函數(shù)為三二則［^〃（刈公二

二、求下列不定積分：

（1）J（arcsinx）2dx;（2）fxsin2xdx\

⑶Jx2aAdx;（4）Jx"Inxdx\

⑸Jecosxndx\

⑹JxsinxcosMx;

（7）fexsin2xdx\

1+sinx,

⑻ax.

1+COSX

練習(xí)二十二微分方程初步

一.求方程＞，+工〉=皿的通解

XX

二.驗證函數(shù)y-(x2+C)sinx是方程電-ycotx-2xsinx=0的通解，并求滿足初

dx

始條件ye)=0的特解.

三.某公司，年凈資產(chǎn)由W⑺(百萬元)，并且本身以每年5%的速度增長，同時

該公司每年要以300百萬的數(shù)額連續(xù)支付職工工資.

(1)給出的微分方程；

⑵求解方程，這時假設(shè)初始凈資產(chǎn)為環(huán)；

⑶討論在三種情況下,⑺變化特點

Wo=5OO,6OO,7OOW

階段自測題(四)不定積分

一、選擇題：

1、設(shè)/(%)可微，則/■(%)=()

(A)j4(x))(B)

(C)(J/(xW(D)\f\x)dx

2、若F(x)是/(x)的一個原函數(shù)，則cF(x)()/(x)的原函數(shù)

(A)是(B)不是(C)不一定是

3、若=/(%)+c,貝！JJ/(ax+b)dx=()

(A)aF(ax+b)+c(B)—F(ax+b)+c

a

(C)—F(x)+c(D)aF(x)+c

a

4、設(shè)/(x)在[a,句上連續(xù)，則在(a,b)內(nèi)/(x)必有()

(A)導(dǎo)函數(shù)(B)原函數(shù)

(C)極值(D)最大值或最大值

5、下列函數(shù)對中是同一函數(shù)的原函數(shù)的有()

(C)后e2x(￡))-^n--cotx+-----