第十一章　第五節(jié)　離散型隨機(jī)變量及其分布列、均值與方差

PAGE溫馨提示：此套題為Word版，請(qǐng)按住Ctrl,滑動(dòng)鼠標(biāo)滾軸，調(diào)節(jié)合適的觀看比例，答案解析附后。板塊。第五節(jié)離散型隨機(jī)變量及其分布列、均值與方差【課標(biāo)解讀】【課程標(biāo)準(zhǔn)】1.理解取有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量及其分布列的概念.2.理解并會(huì)求離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征.【核心素養(yǎng)】數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理.【命題說(shuō)明】考向考法離散型隨機(jī)變量的分布列是高考考查重點(diǎn),常以實(shí)際問(wèn)題為背景,與排列組合結(jié)合在一起交匯命題,各種題型均有考查.預(yù)測(cè)預(yù)計(jì)2025年高考仍會(huì)在離散型隨機(jī)變量、分布列出題,其中期望與方差的應(yīng)用命題更加靈活、多變.【必備知識(shí)·逐點(diǎn)夯實(shí)】知識(shí)梳理·歸納1.離散型隨機(jī)變量一般地,對(duì)于隨機(jī)試驗(yàn)樣本空間Ω中的每個(gè)樣本點(diǎn)ω,都有唯一的實(shí)數(shù)X(ω)與之對(duì)應(yīng),我們稱X為隨機(jī)變量;可能取值為有限個(gè)或可以一一列舉的隨機(jī)變量稱為離散型隨機(jī)變量.2.離散型隨機(jī)變量的分布列一般地,設(shè)離散型隨機(jī)變量X的可能取值為x1,x2,…,xn,稱X取每一個(gè)值xi的概率P(X=xi)=pi,i=1,2,…,n為X的概率分布列,簡(jiǎn)稱分布列.3.離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)①pi≥0,i=1,2,…,n;②p1+p2+…+pn=1.微點(diǎn)撥分布列性質(zhì)的兩個(gè)作用(1)利用分布列中各事件概率之和為1可求參數(shù)的值.(2)隨機(jī)變量X所取的值分別對(duì)應(yīng)的事件是兩兩互斥的,利用這一點(diǎn)可以求相關(guān)事件的概率.4.離散型隨機(jī)變量的均值與方差一般地,若離散型隨機(jī)變量X的分布列為Xx1x2…xnPp1p2…pn(1)均值:E(X)=x1p1+x2p2+…+xnpn=∑i=1nxipi為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望,數(shù)學(xué)期望簡(jiǎn)稱期望.(2)方差D(X)=(x1-E(X))2p1+(x2-E(X))2p2+…+(xn-E(X))2pn=∑i=1n(xi-E(X))2pi為隨機(jī)變量X的方差,并稱D(X)為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差,記為微點(diǎn)撥(1)E(X)是一個(gè)實(shí)數(shù),由X的分布列唯一確定.隨機(jī)變量X是可變的,可取不同的值,E(X)描述X取值的平均狀態(tài).(2)變量的方差與標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機(jī)變量取值的穩(wěn)定與波動(dòng)、集中與離散的程度,其中標(biāo)準(zhǔn)差與隨機(jī)變量本身具有相同的單位.5.均值與方差的性質(zhì)(1)E(aX+b)=aE(X)+b.(2)D(aX+b)=a2D(X)(a,b為常數(shù)).(3)E(X1+X2)=E(X1)+E(X2).(4)D(X)=E(X2)-(E(X))2.(5)若X1,X2相互獨(dú)立,則E(X1X2)=E(X1)·E(X2).基礎(chǔ)診斷·自測(cè)類型辨析改編易錯(cuò)高考題號(hào)12431.(思考辨析)(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)(1)在離散型隨機(jī)變量的分布列中,隨機(jī)變量取各個(gè)值的概率之和可以小于1.(×)提示:離散型隨機(jī)變量所有取值的并事件是必然事件,故各概率之和等于1.(2)離散型隨機(jī)變量的各個(gè)可能值表示的事件是彼此互斥的.(√)(3)如果隨機(jī)變量X的分布列由下表給出,X25P0.30.7則它服從兩點(diǎn)分布.(×)提示:X的取值不是0,1,故不是兩點(diǎn)分布.(4)方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小,則隨機(jī)變量的偏離程度越小.(√)2.(選擇性必修三P63例1改編)在籃球比賽中,罰球命中1次得1分,不中得0分.如果某籃球運(yùn)動(dòng)員罰球命中的概率為0.8,那么他罰球1次的得分X的均值為()A.0.2 B.0.4 C.0.8 D.1【解析】選C.某籃球運(yùn)動(dòng)員罰球1次的得分為X,X的取值可能為0,1,P(X=0)=1-0.8=0.2,P(X=1)=0.8,E(X)=0×0.2+1×0.8=0.8.3.(2020·全國(guó)Ⅲ卷)在一組樣本數(shù)據(jù)中,1,2,3,4出現(xiàn)的頻率分別為p1,p2,p3,p4,且∑i=1npiA.p1=p4=0.1,p2=p3=0.4B.p1=p4=0.4,p2=p3=0.1C.p1=p4=0.2,p2=p3=0.3D.p1=p4=0.3,p2=p3=0.2【解析】選B.對(duì)于A,該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為(1+4)×0.1+(2+3)×0.4=2.5,方差為(1-2.5)2×0.1+(2-2.5)2×0.4+(3-2.5)2×0.4+(4-2.5)2×0.1=0.65;對(duì)于B,該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為(1+4)×0.4+(2+3)×0.1=2.5,方差為(1-2.5)2×0.4+(2-2.5)2×0.1+(3-2.5)2×0.1+(4-2.5)2×0.4=1.85;對(duì)于C,該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為(1+4)×0.2+(2+3)×0.3=2.5,方差為(1-2.5)2×0.2+(2-2.5)2×0.3+(3-2.5)2×0.3+(4-2.5)2×0.2=1.05;對(duì)于D,該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為(1+4)×0.3+(2+3)×0.2=2.5,方差為(1-2.5)2×0.3+(2-2.5)2×0.2+(3-2.5)2×0.2+(4-2.5)2×0.3=1.45.所以B這一組的標(biāo)準(zhǔn)差最大.4.(均值性質(zhì)應(yīng)用錯(cuò)誤)已知隨機(jī)變量X的分布列如表:X-101P111若Y=2X+3,則E(Y)的值為.

【解析】E(X)=-12+16=-則E(Y)=E(2X+3)=2E(X)+3=-23+3=7答案:7【核心考點(diǎn)·分類突破】考點(diǎn)一離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)[例1](1)隨機(jī)變量X的概率分布規(guī)律為P(X=n)=an(n+1)(n=1,2,3,4),其中a為常數(shù),則P(54<A.23 B.34 C.45 【解析】選D.因?yàn)镻(X=n)=an(n+1)(n=1,2,3,4),所以a2+a6+a所以P(54<X<134)=P(X=2)+P(X=3)=54×16+54(2)設(shè)X是一個(gè)離散型隨機(jī)變量,其分布列為X-101P12-3qq2則q的值為()A.1 B.32±C.32-336 D.3【解析】選C.由分布列的性質(zhì)知0≤2-3q≤23,解題技法離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)的應(yīng)用(1)利用“概率之和為1”可以求相關(guān)參數(shù)的值.(2)利用“在某個(gè)范圍內(nèi)的概率等于它取這個(gè)范圍內(nèi)各個(gè)值的概率之和”求某些特定事件的概率.(3)可以根據(jù)性質(zhì)判斷所得分布列結(jié)果是否正確.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1.若隨機(jī)變量X的分布列為X-2-10123P0.10.20.20.30.10.1則當(dāng)P(X<a)=0.8時(shí),實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.(-∞,2] B.[1,2]C.(1,2] D.(1,2)【解析】選C.由隨機(jī)變量X的分布列知,P(X<1)=0.5,P(X<2)=0.8,故當(dāng)P(X<a)=0.8時(shí),實(shí)數(shù)a的取值范圍是(1,2].2.設(shè)隨機(jī)變量X滿足P(X=i)=k2i(i=1,2,3),則k=;P(X≥2)=【解析】由已知得隨機(jī)變量X的分布列為X123Pkkk所以k2+k4+k8=1,所以k所以隨機(jī)變量X的分布列為X123P421所以P(X≥2)=P(X=2)+P(X=3)=27+17=答案:873.隨機(jī)變量X的分布列如下:X-101Pabc其中a,b,c成等差數(shù)列,則P(|X|=1)=,公差d的取值范圍是.

【解析】因?yàn)閍,b,c成等差數(shù)列,所以2b=a+c.又a+b+c=1,所以b=13,所以P(|X|=1)=a+c=2又a=13-d,c=13+根據(jù)分布列的性質(zhì),得0≤13-d≤23,0≤13+d≤23,所以-13答案:23[-13,【加練備選】設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為X01234P0.20.10.10.3m(1)求2X+1的分布列;(2)求隨機(jī)變量η=|X-1|的分布列.【解析】(1)由分布列的性質(zhì)知,0.2+0.1+0.1+0.3+m=1,得m=0.3.列表為X012342X+113579從而2X+1的分布列為2X+113579P0.20.10.10.30.3【解析】(2)由(1)知m=0.3,列表為X01234η10123所以P(η=1)=P(X=0)+P(X=2)=0.2+0.1=0.3,P(η=0)=P(X=1)=0.1,P(η=2)=P(X=3)=0.3,P(η=3)=P(X=4)=0.3,故η=|X-1|的分布列為η0123P0.10.30.30.3考點(diǎn)二均值與方差的簡(jiǎn)單計(jì)算[例2](1)(多選題)已知隨機(jī)變量X的分布列為X-101P1m3m下列結(jié)論正確的有()A.m=16 B.E(X)=C.E(2X-1)=13 D.D(X)=【解析】選ABD.由分布列的性質(zhì)得,13+4m=1,解得m=1E(X)=-1×13+0×16+1×12E(2X-1)=2E(X)-1=-23D(X)=13×(-1-16)2+16×(0-16)2+12×(1-16(2)(多選題)設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為:X01234Pq0.40.10.20.2若離散型隨機(jī)變量Y滿足Y=2X+1,則下列結(jié)果正確的有()A.q=0.1B.E(X)=2,D(X)=1.4C.E(X)=2,D(X)=1.8D.E(Y)=5,D(Y)=7.2【解析】選ACD.因?yàn)閝+0.4+0.1+0.2+0.2=1,所以q=0.1,故A正確;又E(X)=0×0.1+1×0.4+2×0.1+3×0.2+4×0.2=2,D(X)=(0-2)2×0.1+(1-2)2×0.4+(2-2)2×0.1+(3-2)2×0.2+(4-2)2×0.2=1.8,故C正確,B錯(cuò)誤;因?yàn)閅=2X+1,所以E(Y)=2E(X)+1=5,D(Y)=4D(X)=7.2,故D正確.(3)已知隨機(jī)變量X的分布列如表:Xa234P1b11若E(X)=2,則a=,D(X)=.

【解析】由題意知,13+b+16+14=1,所以b又E(X)=a×13+2×14+3×16+4×1所以D(X)=(0-2)2×13+(2-2)2×14+(3-2)2×16+(4-2)2×1答案:05解題技法均值與方差的簡(jiǎn)單計(jì)算方法(1)對(duì)于一般的離散型隨機(jī)變量的均值與方差的計(jì)算,要分清各數(shù)據(jù),選擇公式,代入計(jì)算.(2)由已知期望或方差求參數(shù)值.可依據(jù)條件利用期望、方差公式得出含有參數(shù)的方程(組),解方程(組)即可求出參數(shù)值.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1.設(shè)0<m<1,隨機(jī)變量ξ的分布列為:ξ0m1Pa12a則當(dāng)m在(0,1)上增大時(shí)()A.D(ξ)單調(diào)遞增,最大值為1B.D(ξ)先增后減,最大值為1C.D(ξ)單調(diào)遞減,最小值為2D.D(ξ)先減后增,最小值為1【解析】選D.由題知a3+13+2a-13=1,解得a=1,所以E(ξ)=0+所以D(ξ)=(m+13)2×13+(m-m+13)2×13+(1-m+13)2×13=29(m2-m+1)=2由二次函數(shù)性質(zhì)可知,D(ξ)在(0,12)上單調(diào)遞減,在(1所以當(dāng)m=12時(shí),D(ξ)有最小值12.已知m,n為正常數(shù),離散型隨機(jī)變量X的分布列如表:X-101Pm1n若隨機(jī)變量X的均值E(X)=712,則mn=,P(X≤0)=【解析】由題意知m+n+14=1,n-m=712,解得m=答案:118考點(diǎn)三離散型隨機(jī)變量的分布列[例3]袋中有5個(gè)同樣的球,其中有3個(gè)紅球,2個(gè)黃球,現(xiàn)從中隨機(jī)且不放回地取球,每次取1個(gè),當(dāng)兩種顏色的球都被取到時(shí),即停止取球,記隨機(jī)變量X為此時(shí)已取球的次數(shù),求:(1)P(X=2)的值;(2)隨機(jī)變量X的分布列.【解析】(1)由已知可得從袋中不放回地取球兩次的所有取法有C51C41種,事件X=2表示第一次取到紅球第二次取到黃球或第一次取到黃球第二次取到紅球,故事件X=2包含C31C21+(2)隨機(jī)變量X的可能取值為2,3,4.P(X=2)=35,P(X=3)=A22P(X=4)=A33C所以隨機(jī)變量X的分布列為X234P331解題技法離散型隨機(jī)變量分布列的求解步驟對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練甲同學(xué)參加化學(xué)競(jìng)賽初賽,考試分為筆試、口試、實(shí)驗(yàn)三個(gè)項(xiàng)目,各單項(xiàng)通過(guò)考試的概率依次為34,23,12.記甲同學(xué)三個(gè)項(xiàng)目中通過(guò)考試的個(gè)數(shù)為X,求隨機(jī)變量【解析】隨機(jī)變量X的所有可能取值為0,1,2,3.P(X=0)=(1-34)×(1-23)×(1-12P(X=1)=14×13×12+14×23×12+34×13×12=14,P(X=2)=14×23×12+34×13×12+34×2所以隨機(jī)變量X的分布列為X0123P11111【加練備選】有編號(hào)為1,2,3,…,n的n個(gè)學(xué)生,入座編號(hào)為1,2,3,…,n的n個(gè)座位,每個(gè)學(xué)生規(guī)定坐一個(gè)座位,設(shè)學(xué)生所坐的座位號(hào)與該生的編號(hào)不同的學(xué)生人數(shù)為X,已知X=2時(shí),共有6種坐法.(1)求n的值;(2)求隨機(jī)變量X的分布列.【解析】(1)因?yàn)楫?dāng)X=2時(shí),有Cn因?yàn)镃n2=6,即n(n-1解得n=4或n=-3(舍去),所以n=4.(2)因?yàn)閷W(xué)生所坐的座位號(hào)與該生的編號(hào)不同的學(xué)生人數(shù)為X,由題意可知X的可能取值是0,2,3,4,所以P(X=0)=1A44=124,P(X=2)=P(X=3)=C43×2A44=13,P(X=4)=1-1所以X的分布列為X0234P1113考點(diǎn)四離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征(規(guī)范答題)[例4](1)從1,2,3,4,5這組數(shù)據(jù)中,隨機(jī)取出三個(gè)不同的數(shù),用X表示取出的數(shù)字的最小數(shù),則隨機(jī)變量X的均值E(X)等于()A.32 B.53 C.74 【解析】選A.由題意知,X的可能取值為1,2,3,而隨機(jī)取3個(gè)數(shù)的取法有C5當(dāng)X=1時(shí),取法有C42種,即P(X=1)=C4當(dāng)X=2時(shí),取法有C32種,即P(X=2)=C3當(dāng)X=3時(shí),取法有C22種,即P(X=3)=C2所以E(X)=1×35+2×310+3×110(2)(12分)(2023·新高考Ⅰ卷)甲、乙兩人投籃,每次由其中一人投籃,規(guī)則如下:若命中則此人繼續(xù)投籃,若未命中則換為對(duì)方投籃.無(wú)論之前投籃情況如何,甲每次投籃的命中率均為0.6,乙每次投籃的命中率均為0.8,由抽簽決定第一次投籃的人選,第一次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5.①求第2次投籃的人是乙的概率.②求第i次投籃的人是甲的概率.③已知:若隨機(jī)變量Xi服從兩點(diǎn)分布,且PXi=1=1-PXi=0=qi,i=1,2,…,n,則E(∑i=1nXi)=∑i=1nqi,記前n審題導(dǎo)思破題點(diǎn)·柳暗花明①思路:第2次投籃的人是乙包含兩個(gè)子事件:“第1次投籃的人是甲且甲未命中”和事件“第1次投籃的人是乙且乙命中”,兩子事件互斥求出概率.②思路:記第i次投籃的人是甲的概率為pi,可以用與①類似的思路去尋找pi+1與pi之間的關(guān)系,建立數(shù)列{pi}的遞推式來(lái)計(jì)算pi.③思路:題設(shè)中給出了n個(gè)隨機(jī)變量之和的數(shù)學(xué)期望的計(jì)算公式,啟發(fā)我們構(gòu)造兩點(diǎn)分布的隨機(jī)變量Xi,以利用公式結(jié)合②進(jìn)行作答.規(guī)范答題微敲點(diǎn)·水到渠成【解析】①記“第2次投籃的人是乙”為事件A,“第1次投籃的人是甲”為事件B.則A=BA+BA, ……1分所以P(A)=P(BA+BA)=P(BA)+P(BA)=P(B)P(A|B)+P(B)P(A|B)=0.5×(1-0.6)+0.5×0.8=0.6.……4分指點(diǎn)迷津根據(jù)全概率公式求解.根據(jù)題設(shè)中的投籃規(guī)則,若命中則繼續(xù)投,若未命中則換為對(duì)方投;只要輪到甲投,甲的命中率總是0.6,只要輪到乙投,乙的命中率總是0.8;第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5.②設(shè)第i次投籃的人是甲的概率為pi,由題意可知,p1=12pi+1=pi×0.6+1-pi即pi+1=0.4pi+0.2=25pi+15, 情境探源本題源自選擇性必修第三冊(cè)P91拓廣探索T10,根據(jù)全概率公式確定pi+1與pi的遞推關(guān)系,構(gòu)造等比數(shù)列{pi+λ}.設(shè)pi+1+λ=25pi+λ所以pi+1-13=25pi關(guān)鍵點(diǎn)由遞推公式構(gòu)造等比數(shù)列.又p1=12,p1-13=12-1所以數(shù)列pi-13是以16為首項(xiàng),25為公比的等比數(shù)列,所以pi-所以pi=13+16×25i③設(shè)隨機(jī)變量Xi=1(i=1,2,…,n),則Xi服從兩點(diǎn)分布.指點(diǎn)迷津PXi=1=pi,PXi=0=1-pi,所以EXi=pi.表示出第i次投籃時(shí)甲的數(shù)學(xué)期望.又Y=X1+X2+X則E(Y)=EX=p1+p2+p3+…+pn.由②知,P(Xi=1)=13+16×25i所以E(Y)=E(∑i=1nXi)=p1+p2+p3=n3+16×[1+25+252=n3+16×1-25n1-25關(guān)鍵點(diǎn)根據(jù)分組求和法,求出數(shù)列的前n項(xiàng)和,得出結(jié)果.解題技法求離散型隨機(jī)變量ξ的均值與方差的步驟(1)理解ξ的意義,寫出ξ可能的全部取值;(2)求ξ取每個(gè)值的概率;(3)寫出ξ的分布列;(4)由均值的定義求E(ξ);(5)由方差的定義求D(ξ).對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1.(多選題)袋內(nèi)有大小完全相同的2個(gè)黑球和3個(gè)白球,從中不放回地每次任取1個(gè)小球,直至取到白球后停止取球,設(shè)取球次數(shù)為ξ,則()A.抽取2次后停止取球的概率為3B.停止取球時(shí),取出的白球個(gè)數(shù)不少于黑球的概率為9C.取球次數(shù)ξ的期望為2D.取球次數(shù)ξ的方差為9【解析】選BD.由題可知隨機(jī)變量ξ的可能取值有1,2,3,則P(ξ=1)=35,P(ξ=2)=25×34=310,P(ξ=3)=25對(duì)于A,抽取2次后停止取球的概率為P(ξ=2)=310對(duì)于B,停止取球時(shí),取出的白球個(gè)數(shù)不少于黑球的概率為P(ξ=1)+P(ξ=2)=35+310=對(duì)于C,取球次數(shù)ξ的期望為E(ξ)=1×35+2×310+3×110對(duì)于D,取球次數(shù)ξ的方差為D(ξ)=(1-32)2×35+(2-32)2×310+(3-32)2×2.(2024·泉州模擬)某技術(shù)部門對(duì)工程師進(jìn)行達(dá)標(biāo)等級(jí)考核,需要進(jìn)行兩輪測(cè)試,每輪測(cè)試的成績(jī)?cè)?0分及以上的定為該輪測(cè)試通過(guò),只有通過(guò)第一輪測(cè)試的人員才能進(jìn)行第二輪測(cè)試,兩輪測(cè)試的過(guò)程相互獨(dú)立,并規(guī)定:①兩