第九章　第七節(jié)　拋物線

PAGE溫馨提示：此套題為Word版，請按住Ctrl,滑動鼠標(biāo)滾軸，調(diào)節(jié)合適的觀看比例，答案解析附后。板塊。第七節(jié)拋物線【課標(biāo)解讀】【課程標(biāo)準(zhǔn)】1.了解拋物線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程,以及它們的幾何性質(zhì).(范圍、對稱性、頂點、離心率)2.通過拋物線與方程的學(xué)習(xí),進一步體會數(shù)形結(jié)合思想.3.了解拋物線幾何性質(zhì)的簡單應(yīng)用.【核心素養(yǎng)】數(shù)學(xué)運算、邏輯推理、直觀想象.【命題說明】考向考法拋物線的方程與性質(zhì)是高考常考內(nèi)容,多以選擇題或填空題的形式出現(xiàn),直線與拋物線的位置關(guān)系常以解答題的形式出現(xiàn),試題難度中等.預(yù)測預(yù)計2025高考拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)仍會出題.一般在選擇題或填空題中出現(xiàn),直線與拋物線的考查比較靈活,各種題型都可能涉及.【必備知識·逐點夯實】知識梳理·歸納1.拋物線的定義平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l(l不經(jīng)過點F)的距離相等的點的軌跡叫做拋物線.點F叫做拋物線的焦點,直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線.微點撥若點F在直線l上,則點的軌跡是過點F且與直線l垂直的直線.2.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)p的幾何意義:焦點F到準(zhǔn)線l的距離圖形頂點坐標(biāo)O(0,0)對稱軸x軸y軸焦點坐標(biāo)F(p2,0F(-p2,0F(0,p2F(0,-p2離心率e=1準(zhǔn)線方程x=-px=py=-py=p范圍x≥0,y∈Rx≤0,y∈Ry≥0,x∈Ry≤0,x∈R開口方向向右向左向上向下微思考開口向上或向下的拋物線的切線的斜率利用什么知識解決較簡單?提示:利用導(dǎo)數(shù)求解較簡單.微點撥四種不同拋物線方程的共同點(1)原點都在拋物線上;(2)焦點都在坐標(biāo)軸上;(3)準(zhǔn)線與焦點所在坐標(biāo)軸垂直,垂足與焦點關(guān)于原點對稱,它們與原點的距離都等于一次項系數(shù)的絕對值的14,即2p4常用結(jié)論1.焦半徑:拋物線y2=2px(p>0)上一點P(x0,y0)到焦點F(p2,0)的距離|PF|=x0+p2.通徑:過焦點垂直于對稱軸的弦,長等于2p,通徑是過焦點最短的弦.基礎(chǔ)診斷·自測類型辨析改編易錯高考題號13241.(思考辨析)(正確的打“√”,錯誤的打“×”)(1)拋物線關(guān)于頂點對稱.(×)提示:(1)拋物線是軸對稱圖形,不是中心對稱圖形;(2)拋物線只有一個焦點,一條對稱軸,無對稱中心.(√)提示:(2)拋物線只有一個焦點,一條對稱軸,無對稱中心;(3)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程雖然各不相同,但是其離心率都相同.(√)提示:(3)所有拋物線的離心率為1,所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程雖然各不相同,但是其離心率都相同;(4)拋物線x2=4y,y2=4x的x,y的范圍是不同的,但是其焦點到準(zhǔn)線的距離是相同的,離心率也相同.(√)提示:(4)拋物線x2=4y,y2=4x的x,y的范圍是不同的,但是其焦點到準(zhǔn)線的距離是相同的,都為2,離心率也相同.2.(弄錯焦點位置)拋物線x2=2py(p>0)上縱坐標(biāo)為2的點到焦點的距離為5,則該拋物線的方程為()A.x2=12y B.x2=10yC.x2=8y D.x2=6y【解析】選A.因為拋物線x2=2py(p>0)上縱坐標(biāo)為2的點到焦點的距離為5,則根據(jù)拋物線的定義可得2+p2=5,解得p所以拋物線的方程為x2=12y.3.(人A選擇性必修第一冊P138習(xí)題3.3T1變條件)拋物線x=14ay2的焦點坐標(biāo)為(A.(116a,0) B.(C.(0,116a) D.(0,【解析】選B.拋物線x=14ay2可化為y2=4ax,它的焦點坐標(biāo)是(a4.(2023·全國乙卷)已知點A(1,5)在拋物線C:y2=2px上,則A到C的準(zhǔn)線的距離為________.

【解析】由題意可得:(5)2=2p×1,則2p=5,拋物線的方程為y2=5x,準(zhǔn)線方程為x=-54,點A到C的準(zhǔn)線的距離為1-(-答案:9【核心考點·分類突破】考點一拋物線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程[例1](1)(一題多法)(2022·全國乙卷)設(shè)F為拋物線C:y2=4x的焦點,點A在C上,點B(3,0),若|AF|=|BF|,則|AB|=()A.2 B.22 C.3 D.32【解析】選B.方法一:由題意可知F(1,0),準(zhǔn)線方程為x=-1,設(shè)A(y024,由拋物線的定義可知|AF|=y024由|AF|=|BF|,可得y024+1=2,解得所以A(1,2)或A(1,-2),不妨取A(1,2),故|AB|=(1-3方法二:由題意可知F(1,0),|BF|=2,所以|AF|=2,拋物線通徑為4,所以|AF|=2為通徑的一半,所以AF⊥x軸,所以|AB|=22+2(2)設(shè)圓C與圓x2+(y-3)2=1外切,與直線y=0相切,則圓心C的軌跡為()A.拋物線 B.雙曲線 C.橢圓 D.圓【解析】選A.由題意知,圓C的圓心到點(0,3)的距離比到直線y=0的距離大1,即圓C的圓心到點(0,3)的距離與到直線y=-1的距離相等,根據(jù)拋物線的定義可知,所求軌跡是一條拋物線.(3)(2024·沈陽模擬)已知P為拋物線y2=4x上的任意一點,F為拋物線的焦點,點A坐標(biāo)為(3,2),則|PA|+|PF|的最小值為()A.4 B.3 C.22 D.13【解析】選A.由拋物線y2=4x知p=2,則F(1,0),準(zhǔn)線l方程為x=-1.如圖所示,點A在拋物線內(nèi),過點P作拋物線準(zhǔn)線l的垂線段,垂足為點P',過點A作AH⊥l于點H.由拋物線的定義得|PF|=|PP'|,所以|PA|+|PF|=|PA|+|PP'|≥|AH|,當(dāng)且僅當(dāng)點P是線段AH與拋物線的交點(即A,P,H三點共線)時取等號.故|PA|+|PF|的最小值為|AH|=3+p2=4解題技法1.利用拋物線的定義可解決的常見問題(1)軌跡問題:用拋物線的定義可以確定動點與定點、定直線距離有關(guān)的軌跡是否為拋物線.(2)距離問題:涉及拋物線上的點到焦點的距離和到準(zhǔn)線的距離問題時,注意在解題中利用兩者之間的關(guān)系相互轉(zhuǎn)化.2.求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法(1)因為拋物線方程有四種標(biāo)準(zhǔn)形式,因此求拋物線方程時,需先定位,再定量.(2)因為未知數(shù)只有p,所以只需利用待定系數(shù)法確定p的值.對點訓(xùn)練1.(2024·青島模擬)設(shè)拋物線C:x2=2py的焦點為F,M(x,4)在C上,|MF|=5,則C的方程為()A.x2=4y B.x2=-4yC.x2=-2y D.x2=2y【解析】選A.拋物線x2=2py的開口向上,由于M(x,4)在C上,且|MF|=5,根據(jù)拋物線的定義可知4+p2=5,p=2,所以拋物線C的方程為x2=42.(2024·北京模擬)已知拋物線C:y2=8x的焦點為F,點M在C上.若M到直線x=-1的距離為3,則|MF|=()A.4 B.5 C.6 D.7【解析】選A.如圖所示:根據(jù)題意可得拋物線的準(zhǔn)線方程為x=-2,若M到直線x=-1的距離為MM2=3,則M到拋物線的準(zhǔn)線x=-2的距離為MM1=4,利用拋物線定義可知MF=MM1=4.3.(2023·岳陽模擬)已知拋物線y=14x2的焦點為F,P為拋物線上一動點,點Q(1,1),當(dāng)△PQF的周長最小時,點P的坐標(biāo)為________【解析】如圖,設(shè)l:y=-1是拋物線的準(zhǔn)線,過P作PH⊥l于H,作QN⊥l于N,則PF=PH,F(0,1),FQ=1,PF+PQ=PQ+PH,易知當(dāng)Q,P,H三點共線時,PQ+PH的值最小,且最小值為1+1=2,所以△PQF的周長最小值為3,此時xP=1,yP=14,即P(1,14答案:(1,14【加練備選】1.(2024·杭州模擬)頂點在原點、坐標(biāo)軸為對稱軸的拋物線,過點(-1,2),則它的方程是()A.x2=12y或y2=-4B.y2=-4x或x2=2yC.x2=-12D.y2=-4x【解析】選A.當(dāng)拋物線的焦點在x軸上時,設(shè)拋物線的方程為y2=-2px(p>0).因為拋物線過點(-1,2),記為點P,如圖,所以22=-2p·(-1),所以p=2,所以拋物線的方程為y2=-4x;當(dāng)拋物線的焦點在y軸上時,設(shè)拋物線的方程為x2=2py(p>0).因為拋物線過點(-1,2),所以(-1)2=2p·2,所以p=14,所以拋物線的方程為x2=12.已知F是拋物線C:y2=8x的焦點,M是C上一點,FM的延長線交y軸于點N.若M為FN的中點,則|FN|=________.

【解析】方法一:依題意可知,拋物線的焦點F(2,0),設(shè)N(0,t),由中點坐標(biāo)公式得M(1,t2),|MF|=2+1=3,所以|FN|=2|MF|=6方法二:如圖,過M,N分別作拋物線準(zhǔn)線的垂線,垂足分別為M1,N1,設(shè)拋物線的準(zhǔn)線與x軸的交點為F1,則|NN1|=|OF1|=2,|FF1|=4.因為M為FN的中點,所以|MM1|=3,由拋物線的定義知|FM|=|MM1|=3,從而|FN|=2|FM|=6.答案:6考點二拋物線的幾何性質(zhì)[例2](1)已知點F為拋物線y2=2px(p>0)的焦點,點P在拋物線上且橫坐標(biāo)為8,O為坐標(biāo)原點,若△OFP的面積為22,則該拋物線的準(zhǔn)線方程為()A.x=-12 B.xC.x=-2 D.x=-4【解析】選B.拋物線y2=2px(p>0)的焦點F(p2由y2=16p,可得y=±4p,不妨令P(8,4p),則S△OFP=12×p2×4p=pp=22,解得p=2,則拋物線方程為y2=4x,其準(zhǔn)線方程為x(2)已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F,O為坐標(biāo)原點.拋物線上有M,N兩點,若△MON為正三角形,則△MON的邊長為________.

【解析】因為△MON為正三角形,所以|OM|=|ON|=|MN|,由拋物線對稱性可知MN⊥x軸,設(shè)MN:x=t,則y2=2pt,解得y1=2pt,y2=-2pt.所以|MN|=2所以tan30°=12|MN|t解得t=6p.所以|MN|=43p.答案:43p(3)(2021·新高考Ⅰ卷)已知O為坐標(biāo)原點,拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F,P為C上一點,PF與x軸垂直,Q為x軸上一點,且PQ⊥OP.若|FQ|=6,則C的準(zhǔn)線方程為______________.

【解析】由題易得|OF|=p2,|PF|=p,∠OPF=∠PQF,所以tan∠OPF=tan∠PQF所以|OF||PF|=|PF||FQ|,即p2答案:x=-3解題技法應(yīng)用拋物線幾何性質(zhì)的技巧涉及拋物線幾何性質(zhì)的問題常結(jié)合圖形思考,通過圖形可以直觀地看出拋物線的頂點、對稱軸、開口方向等幾何特征,體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想.對點訓(xùn)練1.(2021·新高考Ⅱ卷)若拋物線y2=2px(p>0)的焦點到直線y=x+1的距離為2,則p=()A.1 B.2 C.22 D.4【解析】選B.拋物線的焦點坐標(biāo)為p2其到直線x-y+1=0的距離d=p2-0+1解得p=2(p=-6舍去).2.(多選題)設(shè)拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F,準(zhǔn)線為l,A為C上一點,以F為圓心,|FA|為半徑的圓交l于B,D兩點,若∠ABD=90°,且△ABF的面積為93,則下列選項正確的是()A.|BF|=3B.△ABF是等邊三角形C.點F到準(zhǔn)線的距離為3D.拋物線C的方程為y2=12x【解析】選BC.根據(jù)題意,作出滿足題意的幾何圖形如圖所示,由拋物線及圓的定義可得|AB|=|AF|=|BF|,所以△ABF是等邊三角形,故B正確;由△ABF的面積為34|BF|2=93可知|BF|=6.故A錯誤;∠FBD=30°,又點F到準(zhǔn)線的距離為|BF|sin30°=3=p,故C正確;該拋物線的方程為y2=6x.故D錯誤.考點三拋物線的綜合問題考情提示拋物線的綜合問題一直是高考命題的熱點,重點考查直線與拋物線的位置關(guān)系,常與函數(shù)、方程、不等式等內(nèi)容相結(jié)合.角度1焦點弦問題[例3](2024·貴陽模擬)直線l經(jīng)過拋物線y2=6x的焦點F,且與拋物線交于A,B兩點.若|AF|=3|BF|,則|AB|=()A.4 B.92 C.8 D.【解析】選C.拋物線的焦點坐標(biāo)為(32,0),準(zhǔn)線方程為x=-3設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),y12=6x1,y22因為|AF|=3|BF|,所以x1+32=3(x2+32),得x1=3x2因為|AF|=3|BF|,所以|y1|=3|y2|,即x1=9x2,②由方程①②可得x1=92,x2=1所以|AB|=x1+32+x2+32=x1+x2解題技法關(guān)于焦點弦的幾個常用技巧(1)過拋物線y2=2px的焦點的直線方程常設(shè)為x=my+p2(2)拋物線的焦點弦長為2psin2(3)過拋物線的焦點弦的兩個端點作拋物線的切線,兩條切線的交點在準(zhǔn)線上.角度2直線與拋物線的相交問題[例4](2024·濰坊模擬)傾斜角為60°的直線l過拋物線C:y2=4x的焦點,且與C交于A,B兩點,(1)求拋物線的準(zhǔn)線方程;(2)求△OAB的面積(O為坐標(biāo)原點).【解析】(1)由已知可得,p=2,焦點在x軸上,所以,拋物線的準(zhǔn)線方程為x=-1.(2)因為拋物線的方程為y2=4x,所以拋物線的焦點坐標(biāo)為F(1,0).又因為傾斜角為60°的直線l,所以斜率為3,所以直線AB的方程為y=3(x-1).代入拋物線方程消去y并化簡得3x2-10x+3=0.方法一:解得x1=13,x2=3,所以|AB|=1+k2|x1-x2|=1+3×|3-1又點O到直線3x-y-3=0的距離為d=32所以S△OAB=12|AB|·d=12×163×3方法二:Δ=100-36=64>0,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=103,過A,B分別作準(zhǔn)線x=-1的垂線,設(shè)垂足分別為E,D如圖所示|AB|=|AF|+|BF|=|AE|+|BD|=x1+1+x2+1=x1+x2+2=163點O到直線3x-y-3=0的距離為d=32所以S△OAB=12|AB|·d=12×163×3解題技法(1)直線與拋物線的弦長問題注意直線是否過拋物線的焦點.若過拋物線的焦點,可直接使用公式|AB|=x1+x2+p;若不過焦點,則必須用一般弦長公式.(2)涉及拋物線的弦長、中點、距離等相關(guān)問題時,一般利用根與系數(shù)的關(guān)系采用“設(shè)而不求”“整體代入”等解法.提醒:涉及弦的中點、斜率時一般用“點差法”求解.對點訓(xùn)練1.(2024·湛江模擬)已知F為拋物線C:x2=8y的焦點,過F的直線l與拋物線C交于A,B兩點,與圓x2+(y-2)2=4交于D,E兩點,A,D在y軸的同側(cè),則|AD|·|BE|=()A.1 B.4 C.8 D.16【解析】選B.由題可知F(0,2),直線l的斜率存在.設(shè)直線l的方程為y=kx+2,A(x1,y1),B(x2,y2).由y=kx+2,x2=8y,得x2又y1=x128,y2所以y1y2=(x1x2)264=4.圓x2+(y所以|AD|=|AF|-r=|AF|-2,|BE|=|BF|-r=|BF|-2.又|AF|=y1+2,|BF|=y2+2,所以|AD|=y1+2-2=y1,|BE|=y2+2-2=y2,所以|AD|·|BE|=y1y2=4.2.已知拋物線方程為y2=4x,直線l:x+y+2=0,拋物線上一動點P到直線l的距離的最小值為________________.

【解析】設(shè)與直線l平行且與拋物線相切的直線方程為x+y+m=0,由x+y+m=0y2=4則Δ=16-16m=0,得m=1,所以切線方程為x+y+1=0,所以拋物線上一動點P到直線l的距離的最小值為d=2-12答案:2【加練備選】(2024·西安模擬)已知拋物線y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線方程是x=-12(1)求拋物線的方程;【解析】(1)因為拋物線y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線方程為x=-p2,所以-p2=-12所以拋物線的方程為y2=2x.(2)設(shè)直線y=k(x-2)(k≠0)與拋物線相交于M,N兩點,若|MN|=210,求實數(shù)k的值.【解析】(2)如圖,設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2).將y=k(x-2)代入y2=2x,消去y整理得k2x2-2(2k2+1)x+4k2=0.當(dāng)Δ=4(2k2+1)2-4k2·4k2>0時,x1+x2=2(2k|MN|=1+k2|x1-x2|=1+k2(化簡得:(1+k2)(16k2+4)=40k4,解得k2=1,經(jīng)檢驗,此時Δ>0,故k=±1.重難突破拋物線的結(jié)論及其應(yīng)用【考情分析】(1)過拋物線焦點的直線與拋物線的關(guān)系尤為重點,這是因為在這一關(guān)系中具有很多性質(zhì),并通過這些性質(zhì)及運算推導(dǎo)出很多有用的結(jié)論,常常是高考命題的切入點.(2)熟悉并記住拋物線焦點弦的結(jié)論,在解選擇題、填空題時可直接運用,減少運算量;在做解答題時也可迅速打開解題思路.【常用結(jié)論】我們以拋物線y2=2px(p>0)為例來研究【探究】已知AB是過拋物線y2=2px(p>0)焦點F的弦,α為直線AB與x軸正半軸的夾角,若A(x1,y1),B(x2,y2),則有下列結(jié)論:結(jié)論1:y1y2=-p2,x1x2=p2結(jié)論2:|AB|=x1+x2+p=2p結(jié)論3:1|AF|+1結(jié)論4:|AF|=x1+p2=p1-cosα,|BF|=x2結(jié)論5:S△AOB=12|OF|·|y1-y2|=p【結(jié)論證明】通常在證明上述結(jié)論時,設(shè)出直線的方程與拋物線方程聯(lián)立,利用根與系數(shù)關(guān)系求解,特別地,還要討論斜率存在與否的情況,過程煩瑣,運算量大.下面我們提供比較簡單的證明結(jié)論的方法:【證明】由圖可知|AF|-|AF|cosα=p,得|AF|=p1同理可得|BF|=p1+cosα1|AF|+1|BF|=|AB|=|AF|+|BF|=p1-cosα+p由圖可知y1=|AF|sinα,y2=-|BF|sinα,則y1y2=-|AF||BF|sin2α=-p1-cosα·p1+cosαsinS△AOB=12|AB|×p2sinα=12×2psin2【典例研習(xí)】類型一1|AF|+1[例1]已知拋物線y2=4x,過焦點F的直線與拋物線交于A,B兩點,則2|AF|+|BF|最小值為()A.2 B.26+3C.4 D.3+22【解析】選D.因為p=2,所以1|AF|+1所以2|AF|+|BF|=(2|AF|+|BF|)·(1|AF|+1|BF|)=3+2|當(dāng)且僅當(dāng)|BF|=2|AF|時,等號成立,因此,2|AF|+|BF|的最小值為3+22.類型二焦半徑、弦長問題[例2]已知F是拋物線C:y2=4x的焦點,過點F作兩條相互垂直的直線l1,l2,直線l1與C相交于A,B兩點,直線l2與C相交于D,E兩點,則|AB|+|DE|的最小值為()A.16 B.14 C.12 D.10【解析】選A.如圖,設(shè)直線l1的傾斜角為θ,θ∈(0,π2),則直線l2的傾斜角為π2+由拋物線的焦點弦弦長公式知|AB|=2psin2θ=4sin所以|AB|+|DE|=4sin2θ+4co當(dāng)且僅當(dāng)sin2θ=1,即θ=π4時取等號所以|AB|+|DE|的最小值為16.類型三面積問題[例3]設(shè)F為拋物線C:y2=3x的焦點,過F且傾斜角為30°的直線交C于A,B兩點,O為坐標(biāo)原點,則△OAB的面積為()A.334 B.938 C.6332【解析】選D.由2p=3,及|AB|=2得|AB|=2psin2原點到直線AB的距離d=|OF|·sin30°=38故S△AOB=12|AB|·d=12×12×38對點訓(xùn)練1.(2023·福州聯(lián)考)已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F,過F且傾斜角為π3的直線交C于A,B兩點,線段AB中點的縱坐標(biāo)為3,則|AB|=(A.83 B.4 C.8 D.【解析】選C.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),所以kAB=y1-y2x因為線段AB中點的縱坐標(biāo)為3,所以y1+y2=23,又直線AB的傾斜角為π3,所以kAB=3,即2p23=3,得p=3.所以拋物線C的方程為y2=6x,所以|AB|=22.設(shè)拋物線E:y2=6x的弦AB過焦點F,|AF|=3|BF|,過A,B分別作E的準(zhǔn)線的垂線,垂足分別是A',B',則四邊形AA'B'B的面