新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義命題方向全歸類能力拓展08利用導(dǎo)數(shù)多維度證明不等式(13種考向)(原卷版+解析)

能力拓展08利用導(dǎo)數(shù)多維度證明不等式【命題方向目錄】命題方向一：直接法命題方向二：構(gòu)造函數(shù)（差構(gòu)造、變形構(gòu)造、換元構(gòu)造、遞推構(gòu)造）命題方向三：分析法命題方向四：凹凸反轉(zhuǎn)、拆分函數(shù)命題方向五：對數(shù)單身狗，指數(shù)找朋友命題方向六：放縮法命題方向七：虛設(shè)零點(diǎn)命題方向八：同構(gòu)法命題方向九：泰勒展式和拉格朗日中值定理命題方向十：分段分析法、主元法、估算法命題方向十一：割線法證明零點(diǎn)差大于某值，切線法證明零點(diǎn)差小于某值命題方向十二：函數(shù)與數(shù)列不等式問題命題方向十三：三角函數(shù)【方法技巧與總結(jié)】利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題，方法如下：（1）直接構(gòu)造函數(shù)法：證明不等式（或）轉(zhuǎn)化為證明（或），進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)；（2）適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮；二是利用常見放縮結(jié)論；（3）構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).（4）對數(shù)單身狗，指數(shù)找基友（5）凹凸反轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)化為最值問題（6）同構(gòu)變形【典例例題】命題方向一：直接法例1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，(1)證明：；(2)證明：．例2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）（1）證明：；（2）證明：；（3）證明：.命題方向二：構(gòu)造函數(shù)（差構(gòu)造、變形構(gòu)造、換元構(gòu)造、遞推構(gòu)造）例3．（2023·吉林通化·梅河口市第五中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)．(1)證明：；(2)討論的單調(diào)性，并證明：當(dāng)時(shí)，．例4．已知曲線與曲線在公共點(diǎn)處的切線相同，（Ⅰ）求實(shí)數(shù)的值；（Ⅱ）求證：當(dāng)時(shí)，．命題方向三：分析法例5．已知函數(shù)，已知是函數(shù)的極值點(diǎn)．（1）求；（2）設(shè)函數(shù)．證明：．例6．（2023·山東泰安·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)(1)求在處的切線;(2)若，證明當(dāng)時(shí)，.命題方向四：凹凸反轉(zhuǎn)、拆分函數(shù)例7．（2023·北京·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，當(dāng)，時(shí)，證明：任意的，都有恒成立.例8．（2023·河南開封·?？寄M預(yù)測）設(shè)函數(shù)，．(1)若函數(shù)在上存在最大值，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)當(dāng)時(shí)，求證：．命題方向五：對數(shù)單身狗，指數(shù)找朋友例9．已知函數(shù)．（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求在，上最大值及最小值；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求證．例10．已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)，（1）處的切線方程為．（1）求、的值；（2）當(dāng)且時(shí)．求證：．命題方向六：放縮法例11．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，，．(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；(2)當(dāng)時(shí)，求證：．例12．（2023·湖南常德·常德市一中校考二模）已知函數(shù)（，為自然對數(shù)的底數(shù)）．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，求證：.命題方向七：虛設(shè)零點(diǎn)例13．（2023·廣東佛山·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知函數(shù)，其中，.（1）證明：函數(shù)有唯一零點(diǎn)；（2）設(shè)為函數(shù)的零點(diǎn).①證明；②寫出一個(gè)代數(shù)式，使，并證明這一結(jié)論.例14．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)，，其中.(1)若，證明：當(dāng)時(shí)，；(2)設(shè)，且，其中是自然對數(shù)的底數(shù).①證明恰有兩個(gè)零點(diǎn)；②設(shè)如為的極值點(diǎn)，為的零點(diǎn)，且，證明：.命題方向八：同構(gòu)法例15．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知過點(diǎn)可以作曲線的兩條切線，切點(diǎn)分別為、，線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，其中是自然對數(shù)的底數(shù).(1)若，證明：；(2)若，證明：例16．已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，求證：在上恒成立；（3）求證：當(dāng)時(shí)，．命題方向九：泰勒展式和拉格朗日中值定理例17．（2023·全國·高三專題練習(xí)）證明不等式：．例18．（2023·全國·高三專題練習(xí)）證明：例19．已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若，對，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）當(dāng)時(shí)．若正實(shí)數(shù)，滿足，，，，證明：．命題方向十：分段分析法、主元法、估算法例20．（2023·遼寧大連·統(tǒng)考三模）（1）非零實(shí)數(shù)，滿足：.證明不等式：.（2）證明不等式：.例21．（2023·貴州安順·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性；（2）若，求證：對，恒成立．例22．（2023·浙江金華·浙江金華第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知函數(shù).(1)證明：當(dāng)時(shí)，；(2)設(shè)為正實(shí)數(shù)且.（i）若，證明：；（ii）若，證明：.命題方向十一：割線法證明零點(diǎn)差大于某值，切線法證明零點(diǎn)差小于某值例23．（2023·吉林長春·長春吉大附中實(shí)驗(yàn)學(xué)校校考模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)討論的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)；(2)若有兩個(gè)極值點(diǎn)，直線過點(diǎn).（i）證明：；（ii）證明：.例24．已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為．（1）求，的值；（2）證明：；（3）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，，證明．命題方向十二：函數(shù)與數(shù)列不等式問題例25．（2023·重慶北碚·高三西南大學(xué)附中?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)f(x)＝a（cosx﹣1）﹣blnx+xsinx．（1）若a＝1，b＝0，證明：f(x)在區(qū)間（0，π）內(nèi)存在唯一零點(diǎn)；（2）若a＝0，b＝π，①證明：時(shí)，f(x)＞0；②證明：＞π[ln（n+1）﹣ln2]（其中n≥2，且n∈N+）．例26．（2023·浙江紹興·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，其中.（1）證明：；（2）證明：對任意的，存在，使得；（3）在（2）的條件下，證明：.例27．（2023·山東·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為．（1）當(dāng)時(shí)，證明：；（2）設(shè)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，證明：；（3）若數(shù)列滿足：，，．證明：．命題方向十三：三角函數(shù)例28．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù).(1)若，求的單調(diào)區(qū)間；(2)證明：；(3)若，證明：.例29．（2023·全國·高三專題練習(xí)）（1）證明：當(dāng)時(shí)，．（2）證明：當(dāng)時(shí)，．【過關(guān)測試】1．（2023·湖南長沙·長沙一中?？寄M預(yù)測）已知函數(shù).(1)若函數(shù)，討論的單調(diào)性；(2)從下面①②兩個(gè)問題中任意選擇一個(gè)證明，若兩個(gè)都證明，則按第一個(gè)證明計(jì)分.①若函數(shù)，，且，證明：.②若函數(shù)，證明：.2．（2023·海南·高三海南中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，，(1)若，證明：．(2)若，①證明：函數(shù)存在唯一的極值點(diǎn)．②若，且，證明：．3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，．（Ⅰ）證明：；（Ⅱ）證明：；（Ⅲ）若，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：．4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)．(1)求曲線在處切線的斜率；(2)當(dāng)時(shí)，證明：；(3)證明：．5．（2023·天津津南·天津市咸水沽第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)，其中.(1)若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若，（i）證明：；（ii）判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并證明.6．（2023·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，證明：恒成立；(2)當(dāng)時(shí)，證明：．7．（2023·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，，為自然對數(shù)的底數(shù).(1)證明：函數(shù)存在唯一的極值點(diǎn)；(2)在（1）的條件下，若，且，證明：.8．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考二模）設(shè)函數(shù)，其中.(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的值域；(2)設(shè)，當(dāng)時(shí)，①證明：函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)；②若為函數(shù)的極值點(diǎn)，為函數(shù)的零點(diǎn)，且，證明：.9．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第六中學(xué)校?？级＃┮阎瘮?shù)，其中，為自然對數(shù)的底數(shù)．(1)若在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)當(dāng)，時(shí)，①證明：方程恰有一個(gè)根；②設(shè)為的極小值點(diǎn)，為的零點(diǎn)，證明：．參考數(shù)據(jù)：．10．（2023·陜西安康·陜西省安康中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知函數(shù)(1)判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；(2)證明：當(dāng)時(shí)，證明：11．（2023·全國·校聯(lián)考模擬預(yù)測）在數(shù)學(xué)中常有“數(shù)形結(jié)合”的思想，即找到代數(shù)式的幾何意義，比如：的幾何意義便是拋物線上的點(diǎn)P到點(diǎn)和點(diǎn)的距離之和，進(jìn)而可以簡化計(jì)算．現(xiàn)在，已知函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)分別為．(1)當(dāng)a＝1時(shí)，證明：；(2)當(dāng)a≥1時(shí)，證明：．12．（2023·貴州黔東南·凱里一中校考三模）已知函數(shù)．(1)證明：；(2)證明：，．13．（2023·貴州黔東南·凱里一中?？既＃┮阎瘮?shù).(1)證明：；(2)證明：.14．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，．(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)證明：；(3)設(shè)，，證明：．15．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，．(1)若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．(2)若，①證明：函數(shù)存在唯一的極值點(diǎn)．②若，且，證明：．16．（2023·北京·高三校考強(qiáng)基計(jì)劃）已知函數(shù)，其中．(1)證明：有唯一零點(diǎn)．(2)設(shè)為函數(shù)的零點(diǎn)，證明：①；②．參考數(shù)據(jù)：．17．（2023·上海寶山·高三上海交大附中?？奸_學(xué)考試）已知．(1)若關(guān)于x的方程有解，求實(shí)數(shù)a的最小值；(2)證明不等式；(3)類比（2）中不等式的證明方法，嘗試證明：（，e為自然對數(shù)的底數(shù)）18．（2023·北京·高三北京市陳經(jīng)綸中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知函數(shù)，.(1)求在處的切線方程；(2)判斷函數(shù)在區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并證明；(3)函數(shù)在區(qū)間上的極值點(diǎn)從小到大分別為，證明：.19．（2023·全國·開灤第二中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的極值；(2)當(dāng)時(shí)，若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)．①證明：；②證明：．20．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)若方程在區(qū)間內(nèi)有且僅有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解.①求實(shí)數(shù)a的取值范圍；②證明：.(2)設(shè)函數(shù)的零點(diǎn)按從小到大的順序依次為，極值點(diǎn)按從小到大的順序依次為，證明：.21．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)(1)證明：；(2)證明：．22．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的最小值和的最大值相等.(1)求；(2)證明：；(3)已知是正整數(shù)，證明：.23．（2023·廣東·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，證明：對任意的，都有；(2)證明：．24．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù).(1)若是函數(shù)的極值點(diǎn)，證明：；(2)證明：對于，存在的極值點(diǎn)，滿足.

能力拓展08利用導(dǎo)數(shù)多維度證明不等式【命題方向目錄】命題方向一：直接法命題方向二：構(gòu)造函數(shù)（差構(gòu)造、變形構(gòu)造、換元構(gòu)造、遞推構(gòu)造）命題方向三：分析法命題方向四：凹凸反轉(zhuǎn)、拆分函數(shù)命題方向五：對數(shù)單身狗，指數(shù)找朋友命題方向六：放縮法命題方向七：虛設(shè)零點(diǎn)命題方向八：同構(gòu)法命題方向九：泰勒展式和拉格朗日中值定理命題方向十：分段分析法、主元法、估算法命題方向十一：割線法證明零點(diǎn)差大于某值，切線法證明零點(diǎn)差小于某值命題方向十二：函數(shù)與數(shù)列不等式問題命題方向十三：三角函數(shù)【方法技巧與總結(jié)】利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題，方法如下：（1）直接構(gòu)造函數(shù)法：證明不等式（或）轉(zhuǎn)化為證明（或），進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)；（2）適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮；二是利用常見放縮結(jié)論；（3）構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).（4）對數(shù)單身狗，指數(shù)找基友（5）凹凸反轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)化為最值問題（6）同構(gòu)變形【典例例題】命題方向一：直接法例1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，(1)證明：；(2)證明：．【解析】（1）證明：令，則，當(dāng)時(shí)，即函數(shù)在遞減，則，所以；（2）由（1）知用代換得，再以代換得，即，即，則令，因?yàn)椋?，即則例2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）（1）證明：；（2）證明：；（3）證明：.【解析】證明：（1）令，則有.令得，，令得，所以在單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增.所以，即.所以.（2）令，則.令得，，令得，.所以在單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，所以，即，所以.（3）由（1）得，所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號）①.由（2）得，所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號）②因?yàn)棰偈脚c②式取等號的條件不同，所以.命題方向二：構(gòu)造函數(shù)（差構(gòu)造、變形構(gòu)造、換元構(gòu)造、遞推構(gòu)造）例3．（2023·吉林通化·梅河口市第五中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)．(1)證明：；(2)討論的單調(diào)性，并證明：當(dāng)時(shí)，．【解析】（1）證明：令，則，所以在上單調(diào)遞減，所以，即．令，則有，所以，所以，即．（2）由可得，令，則，令，則，所以在上單調(diào)遞增，．令，則有，所以在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，所以對于，有，所以，所以，即，整理得：．例4．已知曲線與曲線在公共點(diǎn)處的切線相同，（Ⅰ）求實(shí)數(shù)的值；（Ⅱ）求證：當(dāng)時(shí)，．【解析】（Ⅰ）解：，，依題意（1）（1），；（Ⅱ）證明：由，得，令，則，時(shí)，，遞減；時(shí)，，遞增．時(shí)，（1），即，綜上所述，時(shí)，．命題方向三：分析法例5．已知函數(shù)，已知是函數(shù)的極值點(diǎn)．（1）求；（2）設(shè)函數(shù)．證明：．【解析】（1）解：由題意，的定義域?yàn)?，令，則，，則，因?yàn)槭呛瘮?shù)的極值點(diǎn)，則有，即，所以，當(dāng)時(shí)，，且，因?yàn)?，則在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以時(shí)，是函數(shù)的一個(gè)極大值點(diǎn)．綜上所述，；（2）證明：由（1）可知，，要證，即需證明，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以需證明，即，令，則，所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以為的極小值點(diǎn)，所以，即，故，所以．例6．（2023·山東泰安·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)(1)求在處的切線;(2)若，證明當(dāng)時(shí)，.【解析】（1）因?yàn)?，所以，切線斜率為因?yàn)?，所以切點(diǎn)為切線方程為即（2）法一：令，所以，所以在單調(diào)遞增，，所以，所以，所以要證只需證明變形得因?yàn)樗灾恍枳C明，即兩邊同取對數(shù)得：令，則顯然在遞增，所以存在當(dāng)時(shí)遞減，當(dāng)時(shí)遞增;因?yàn)樗栽谏虾愠闪?，所以原命題成立法二：設(shè)則，要證：需證：即證：因?yàn)?，需證，即證：①時(shí)必然成立②時(shí)，因?yàn)樗灾恍枳C明，令，，令，∴在上為增函數(shù)因?yàn)?，所以所以存在，使得∴在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)∴綜上可知，不等式成立命題方向四：凹凸反轉(zhuǎn)、拆分函數(shù)例7．（2023·北京·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，當(dāng)，時(shí)，證明：任意的，都有恒成立.【解析】由題設(shè)有，設(shè)，，要證即證.下面證明：當(dāng)時(shí)，.此時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，故在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，故在上，有，，故當(dāng)時(shí)，.當(dāng)，，，當(dāng)時(shí)，要證即證即證，設(shè)，其中，故，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，故在上，，故，所以當(dāng)時(shí)，成立.綜上，任意的，都有恒成立.例8．（2023·河南開封·?？寄M預(yù)測）設(shè)函數(shù)，．(1)若函數(shù)在上存在最大值，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)當(dāng)時(shí)，求證：．【解析】（1）（1）由得：（），①當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在不存在最大值，②當(dāng)時(shí)，令，解得：，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，所以在時(shí)，取得最大值，又由函數(shù)在上存在最大值，因此，解得：，所以的取值范圍為.（2）證明：當(dāng)時(shí)，，且函數(shù)的定義域?yàn)?，要證明，即證明時(shí)，，只需要證明：時(shí)，，因?yàn)?，所以不等式等價(jià)于設(shè)（），則，令得：，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，且當(dāng)時(shí)，等號成立；又設(shè)（），則，令得：，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故，且當(dāng)時(shí)，等號成立；綜上可得：時(shí)，，且等號不同時(shí)成立，所以時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，得證.命題方向五：對數(shù)單身狗，指數(shù)找朋友例9．已知函數(shù)．（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求在，上最大值及最小值；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求證．【解析】解：（Ⅰ），；時(shí)，；，時(shí)，；（1）是函數(shù)的極小值，即的最小值；又，（2）；的最大值是；函數(shù)在上的最小值是0，最大值是；（Ⅱ），要證明原不等式成立，只要證明；設(shè)，則；函數(shù)在上是增函數(shù)，（1）；；原不等式成立．例10．已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)，（1）處的切線方程為．（1）求、的值；（2）當(dāng)且時(shí)．求證：．【解析】解：（1）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，曲線在點(diǎn)，（1）處的切線方程為，可得（1），（1），解得；（2）證明：當(dāng)時(shí)，，即為，即，當(dāng)時(shí)，，即為，設(shè)，，可得在遞增，當(dāng)時(shí)，（1），即有；當(dāng)時(shí)，（1），即有．綜上可得，當(dāng)且時(shí)，都成立．命題方向六：放縮法例11．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，，．(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；(2)當(dāng)時(shí)，求證：．【解析】（1），當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減，故函數(shù)不存在極值；當(dāng)時(shí)，令，得，x+0-增函數(shù)極大值減函數(shù)故，無極小值.綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)不存在極值；當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極大值，，不存在極小值．（2）顯然，要證：，即證：，即證：，即證：．令，故只須證：．設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，即，所以，從而有．故，即．例12．（2023·湖南常德·常德市一中校考二模）已知函數(shù)（，為自然對數(shù)的底數(shù)）．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，求證：.【解析】（1），（?。┊?dāng)時(shí)，，所以，，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（ⅱ）當(dāng)時(shí)，令，得，①時(shí)，，所以或，，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；②時(shí)，，則在上單調(diào)遞增；③時(shí)，，所以或，，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．綜上，時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；時(shí)，在上單調(diào)遞增；時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（2）方法一：等價(jià)于，當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，，則，令，令，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上都是增函數(shù)，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，∵，∴存在，使得，即，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，∴，∴，故.方法二：當(dāng)時(shí)，，令，令，則，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴在區(qū)間上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，∴，即，∴.命題方向七：虛設(shè)零點(diǎn)例13．（2023·廣東佛山·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知函數(shù)，其中，.（1）證明：函數(shù)有唯一零點(diǎn)；（2）設(shè)為函數(shù)的零點(diǎn).①證明；②寫出一個(gè)代數(shù)式，使，并證明這一結(jié)論.【解析】證明：（1）由，則定義域?yàn)椋?，因?yàn)?，所以，所以函?shù)在遞增，又，，所以函數(shù)在上有唯一零點(diǎn)，又因函數(shù)在遞增，所以函數(shù)有唯一零點(diǎn)；（2）①因?yàn)闉楹瘮?shù)的零點(diǎn)，則，因?yàn)?，所以，，令，則，因?yàn)?，所以，則，所以函數(shù)在上遞減，所以，所以又，函數(shù)在遞增，所以；②，因?yàn)?，則，，，令，則，因?yàn)?，則，，所以，所以函數(shù)在上遞增，所以，所以，又，函數(shù)在遞增，所以，即.例14．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)，，其中.(1)若，證明：當(dāng)時(shí)，；(2)設(shè)，且，其中是自然對數(shù)的底數(shù).①證明恰有兩個(gè)零點(diǎn)；②設(shè)如為的極值點(diǎn)，為的零點(diǎn)，且，證明：.【解析】令當(dāng)時(shí)，，所以在上遞減，又在上連續(xù)，所以當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，(2)證明：①，得令，由，可知在內(nèi)單調(diào)遞減，又，且.故在有唯一解，從而在內(nèi)有唯一解，不妨設(shè)為，則當(dāng)時(shí)，，所以在內(nèi)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，所以在內(nèi)單調(diào)遞減，因此是的唯一極值點(diǎn).由(1)知.從而又因?yàn)?，所以在?nèi)有唯一零點(diǎn).又在內(nèi)有唯一零點(diǎn)，從而在內(nèi)恰有兩個(gè)零點(diǎn).②由題意，，即，從而，即.因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，又，故兩邊取對數(shù)，得，于是整理得.命題方向八：同構(gòu)法例15．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知過點(diǎn)可以作曲線的兩條切線，切點(diǎn)分別為、，線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，其中是自然對數(shù)的底數(shù).(1)若，證明：；(2)若，證明：【解析】（1）證明：函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為.設(shè)、，則曲線在處的切線方程為.因?yàn)榍芯€過點(diǎn)，所以，①同理可得，②所以、是方程的兩個(gè)不等實(shí)根.當(dāng)時(shí)，，設(shè)，則直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)遞增；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)遞減.所以，函數(shù)的極大值為，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，如下圖所示：

由圖可知，當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，綜上所述，.（2）證明：由①②可知，，于是，不妨設(shè)，則，則.又，所以.設(shè)，其中，則，所以在區(qū)間上是增函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，.（*）而，所以.又由和，得.而.所以，一方面，由（*）可知，當(dāng)時(shí)，，結(jié)合可知，.另一方面，設(shè)，，則，令，其中，則，所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，故當(dāng)時(shí)，，即，所以當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間上是增函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，，所以.故，即.綜上所述，.例16．已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，求證：在上恒成立；（3）求證：當(dāng)時(shí)，．【解析】（1）解：函數(shù)的定義域?yàn)?，，令，即，△，解得或，若，此時(shí)△，在恒成立，所以在單調(diào)遞增．若，此時(shí)△，方程的兩根為：，且，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．若，此時(shí)△，方程的兩根為：，且，，所以在上單調(diào)遞增．綜上所述：若，在單調(diào)遞增；若，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（2）證明：由（1）可知當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以（1），所以在上恒成立．（3）證明：由（2）可知在恒成立，所以在恒成立，下面證，即證2，設(shè)，，設(shè)，，易知在恒成立，所以在單調(diào)遞增，所以，所以在單調(diào)遞增，所以，所以，即當(dāng)時(shí)，．法二：，即，令，則原不等式等價(jià)于，，令，則，遞減，故，，遞減，又，故，原結(jié)論成立．命題方向九：泰勒展式和拉格朗日中值定理例17．（2023·全國·高三專題練習(xí)）證明不等式：．【解析】設(shè)，則，，代入的二階泰勒公式，有，．所以原題得證．例18．（2023·全國·高三專題練習(xí)）證明：【解析】證明：設(shè)，則在處帶有拉格朗日余項(xiàng)．三階泰勒公式例19．已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若，對，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）當(dāng)時(shí)．若正實(shí)數(shù)，滿足，，，，證明：．【解析】解：（1），，△，①時(shí)，恒成立，故函數(shù)在遞增，無遞減區(qū)間，②時(shí)，或，故函數(shù)在，，遞增，在，遞減，綜上，時(shí)，函數(shù)在遞增，無遞減區(qū)間，時(shí)，函數(shù)在，，遞增，在，遞減，（2），對，恒成立，即，時(shí)，恒成立，令，，則，令，則，在遞減且（1），時(shí)，，，遞增，當(dāng)，，，遞減，（1），綜上，的范圍是，．（3）證明：當(dāng)時(shí)，，，不妨設(shè)，下先證：存在，，使得，構(gòu)造函數(shù)，顯然，且，則由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，存在，，使得，即存在，，使得，又為增函數(shù)，，即，設(shè)，則，，①，②，由①②得，，即．命題方向十：分段分析法、主元法、估算法例20．（2023·遼寧大連·統(tǒng)考三模）（1）非零實(shí)數(shù)，滿足：.證明不等式：.（2）證明不等式：.【解析】證明：（1）顯然：且且，原不等式，.令且，則，令，則，當(dāng)時(shí)，在遞增，，時(shí)，在遞減，，在上遞減，在上遞減，在時(shí)，，在時(shí)，.∴.（2）∵，，原不等式等價(jià)為，即證，在（1）中，令，則，在（1）中，令，則，.例21．（2023·貴州安順·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性；（2）若，求證：對，恒成立．【解析】（1）由已知可得，，設(shè)，則．當(dāng)時(shí)，有恒成立，所以，即在R上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，由可得，．由可得，，所以，即在上單調(diào)遞減；由可得，，所以，即在上單調(diào)遞增．綜上所述，當(dāng)時(shí)，在R上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．（2）因?yàn)?，所以對，有．設(shè)，則．解可得，或或．由可得，，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增；由可得，或，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減．所以，在處取得極大值，在處取得極小值．又，所以，即．所以，有，整理可得，，所以，有，恒成立．例22．（2023·浙江金華·浙江金華第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知函數(shù).(1)證明：當(dāng)時(shí)，；(2)設(shè)為正實(shí)數(shù)且.（i）若，證明：；（ii）若，證明：.【解析】（1）令且，則，所以在上遞減，故，即，所以時(shí).（2）（i）設(shè)，證明：，不妨設(shè)，且，則，.設(shè)，則，.設(shè)，則.于是，在內(nèi)單調(diào)遞增，當(dāng)趨向于時(shí)，趨向于，故.由得：，則在內(nèi)單調(diào)遞減，當(dāng)趨向于時(shí)，趨向于e，故.因此，.（ii）證明：，其中，由對稱性知：不妨設(shè)，令，此時(shí)，令且，則，即遞減，所以，即，故，則單調(diào)遞增，則，于是，令，此時(shí)，單調(diào)遞增，則令，此時(shí)，令，則，所以遞增，即遞增，則，于是，單調(diào)遞增，則.命題方向十一：割線法證明零點(diǎn)差大于某值，切線法證明零點(diǎn)差小于某值例23．（2023·吉林長春·長春吉大附中實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？寄M預(yù)測）已知函數(shù).(1)討論的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)；(2)若有兩個(gè)極值點(diǎn)，直線過點(diǎn).（i）證明：；（ii）證明：.【解析】（1）因?yàn)槎x域?yàn)?，且，?dāng)時(shí)，恒成立，在上單調(diào)遞增，極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為；當(dāng)時(shí)，對于函數(shù)，，所以恒成立，所以在上單調(diào)遞增，極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為；當(dāng)時(shí)，由得，或，由得，或；由得，.所以單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.所以為極大值點(diǎn)，為極小值點(diǎn)，極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為.綜上，當(dāng)時(shí)，極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為；當(dāng)時(shí)，極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.（2）（i）由（1）知，，不妨設(shè)，則，，所以，要證成立，只需證明，只需證明，令，則，所以在上單調(diào)遞減，所以，所以成立.所以.（ii）由得，要證成立，只需證明，因?yàn)?，所以只需證明，只需證明，只需證明，即，因?yàn)槌闪?，所以成?例24．已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為．（1）求，的值；（2）證明：；（3）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，，證明．【解答】（1）解：函數(shù)的定義域?yàn)?，，?），曲線在點(diǎn)處的切線方程為即，，；（2）證明：令，則，令，則，單調(diào)遞增，又（1），當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，（1），，，（3）證明：的兩個(gè)零點(diǎn)，，即為的兩根，不妨設(shè)，由題知，曲線在處的切線方程為，令，即即的根為，則，由（2）知，，單調(diào)遞增，，設(shè)曲線在處的切線方程為，，，設(shè)方程即的根為，則，令，由（2）同理可得，即，，又單調(diào)遞減，，．命題方向十二：函數(shù)與數(shù)列不等式問題例25．（2023·重慶北碚·高三西南大學(xué)附中?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)f(x)＝a（cosx﹣1）﹣blnx+xsinx．（1）若a＝1，b＝0，證明：f(x)在區(qū)間（0，π）內(nèi)存在唯一零點(diǎn)；（2）若a＝0，b＝π，①證明：時(shí)，f(x)＞0；②證明：＞π[ln（n+1）﹣ln2]（其中n≥2，且n∈N+）．【解析】（1）若a＝1，b＝0，則f(x)＝cosx﹣1+xsinx，f′(x)＝xcosx，當(dāng)時(shí)，f′(x)＞0，當(dāng)時(shí)，f′(x)＜0，∴f(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，∴f(x)在區(qū)間（0，π）內(nèi)存在唯一零點(diǎn)；（2）若a＝0，b＝π，則，①，令，易知g(x)在上單調(diào)遞增，∴，即f′(x)＜0，∴f(x)在上單調(diào)遞減，∴，即得證；②當(dāng)n≥2，n∈時(shí)，，又，故，則，由①知，時(shí)，xsinx＞πl(wèi)nx，令，，∴，以上各式相加得，，即，即，即得證．例26．（2023·浙江紹興·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，其中.（1）證明：；（2）證明：對任意的，存在，使得；（3）在（2）的條件下，證明：.【解析】（1）定義域是，設(shè)，則，時(shí)，，時(shí)，，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以，即.（2）證明：，所以在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，且，由（1）可知，取，，由以上知在存在唯一的非零實(shí)數(shù)根.（3）當(dāng)時(shí)，，即，設(shè)，設(shè)，，∵，所以函數(shù)單調(diào)遞減，所以等價(jià)于證明，等價(jià)于，即，設(shè)，，由（1）可知，所以，，所以當(dāng)時(shí)，，故在單調(diào)遞減，所以，故.例27．（2023·山東·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為．（1）當(dāng)時(shí)，證明：；（2）設(shè)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，證明：；（3）若數(shù)列滿足：，，．證明：．【解析】（1）由題知：，所以，所以，令，則，當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞減；所以，即所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以又因?yàn)?，所以，所以綜上知：當(dāng)時(shí)，（2）由題意，因?yàn)樗杂桑?）知：在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，所以，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以由（1）可知：，又，∴綜上可知：（3）由（1）（2）知：若，，若，因?yàn)?，∴，，所以，，?dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以，從而命題方向十三：三角函數(shù)例28．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù).(1)若，求的單調(diào)區(qū)間；(2)證明：；(3)若，證明：.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，其中，所以，且，因?yàn)楹瘮?shù)和都是減函數(shù)，故也是減函數(shù).所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是.（2）根據(jù)題意可知，，設(shè)，則單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以.（3）法一：若，則，由（2）可知，，所以，故，此時(shí)，故，所以，其中.當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，若，則，若，則，故，所以當(dāng)時(shí)，成立，故在單調(diào)遞增，所以.設(shè)，則，因?yàn)楹瘮?shù)和都是減函數(shù)，故也是減函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以.綜上，當(dāng)時(shí)，.法二：若，則，由（2）可知，，所以，故，此時(shí)，故，所以，其中，.成立，故在單調(diào)遞增，所以.設(shè)，則，因?yàn)楹瘮?shù)和都是減函數(shù)，故也是減函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以.綜上，當(dāng)時(shí)，.例29．（2023·全國·高三專題練習(xí)）（1）證明：當(dāng)時(shí)，．（2）證明：當(dāng)時(shí)，．【解析】（1）設(shè)，則.令，則.令，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，所以，即在上單調(diào)遞增，因此，所以在上單調(diào)遞增，即，故．（2）當(dāng)時(shí)，等價(jià)于．設(shè)．∵當(dāng)時(shí)，，則．因此在上單調(diào)遞增，∴，即當(dāng)時(shí)，．【過關(guān)測試】1．（2023·湖南長沙·長沙一中校考模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)若函數(shù)，討論的單調(diào)性；(2)從下面①②兩個(gè)問題中任意選擇一個(gè)證明，若兩個(gè)都證明，則按第一個(gè)證明計(jì)分.①若函數(shù)，，且，證明：.②若函數(shù)，證明：.【解析】（1）因?yàn)?，所以，的定義域?yàn)椋?當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，若，，單調(diào)遞減；若，，單調(diào)遞增.綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）證明：選①因?yàn)?，所以，的定義域?yàn)?，?當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.不妨設(shè)，則，由，可知.當(dāng)時(shí)，顯然成立.當(dāng)時(shí)，，由，且，可知，則，.設(shè)，，，在上單調(diào)遞增，所以，所以成立.綜上所述，.選②.設(shè)，則.當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.所以，，因此，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立.設(shè)，，則.當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.因此，從而，則，因?yàn)?，所以中的等號不成立，?2．（2023·海南·高三海南中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，，(1)若，證明：．(2)若，①證明：函數(shù)存在唯一的極值點(diǎn)．②若，且，證明：．【解析】（1）證明：令，則所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以所以，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍柍闪?即：.（2）①證明：函數(shù)的定義域?yàn)?，則，，令，，則在上恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減．因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，所以，由零點(diǎn)存在性定理可知，在上存在唯一零點(diǎn)．又當(dāng)時(shí)，，即，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，即，函數(shù)單調(diào)遞減，所以函數(shù)在處取得極大值，即函數(shù)存在唯一的極值點(diǎn)．②證明：由①知，，則，即，則（*），由，，知，又因?yàn)?，即，所以?*），所以由（*）（**）可得，由（1）知時(shí)，，所以，所以，所以，即，所以，即．3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，．（Ⅰ）證明：；（Ⅱ）證明：；（Ⅲ）若，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：．【解析】（Ⅰ）設(shè)，其中，，所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，則.再用數(shù)學(xué)歸納法證明.①因?yàn)?，所以，由知；②假設(shè)當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，由得，綜上由①②知對一切恒成立；（Ⅱ）要證，即證，其中，令，則，所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，從而，即，得證；（Ⅲ）由（Ⅰ）（Ⅱ）知，.因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，又，所以，所以，構(gòu)造數(shù)列，則，即，所以，數(shù)列從第項(xiàng)開始單調(diào)遞減，此時(shí)，，則，則，可得，從而，又時(shí)，，所以得證．4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)．(1)求曲線在處切線的斜率；(2)當(dāng)時(shí)，證明：；(3)證明：．【解析】（1），則，所以，故處的切線斜率為；（2）要證時(shí)，即證，令且，則，所以在上遞增，則，即.所以時(shí).（3）設(shè)，，則，由（2）知：，則，所以，故在上遞減，故；下證，令且，則，當(dāng)時(shí)，遞增，當(dāng)時(shí)，遞減，所以，故在上恒成立，則，所以，，…，，累加得：，而，因?yàn)?，所以，則，所以，故；綜上，，即.5．（2023·天津津南·天津市咸水沽第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)，其中.(1)若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若，（i）證明：；（ii）判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并證明.【解析】（1）由題意，，則切線的斜率是，而，于是切線方程為：，即，當(dāng)時(shí)，（2）（i）令，則，再令，則，故時(shí)，，遞減，則，即時(shí)，，于是.，故，又，則，即，得證.（ii），設(shè)，則，由可知，，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的值域可知，，即在上單調(diào)遞增，結(jié)合，注意到，由于，則，于是，類似可得，于是.令，，于是時(shí)，，遞增，于是.故，于是在上遞減.由和可得，.根據(jù)在上遞減可得，，即，結(jié)合可知得證.6．（2023·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，證明：恒成立；(2)當(dāng)時(shí)，證明：．【解析】（1）函數(shù)時(shí),,單調(diào)遞減，當(dāng),單調(diào)遞減，,令,,單調(diào)遞增，,恒成立，當(dāng),所以時(shí)，恒成立；（2）,,單調(diào)遞減，,恒成立,令,,令,可得令,可得令,可得兩邊相加可得7．（2023·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，，為自然對數(shù)的底數(shù).(1)證明：函數(shù)存在唯一的極值點(diǎn)；(2)在（1）的條件下，若，且，證明：.【解析】（1）證明：函數(shù)的定義域?yàn)?，則，令，因?yàn)?，則在恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以，所以，，所以函?shù)在上存在唯一零點(diǎn).又當(dāng)時(shí)，，即，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，即，函數(shù)單調(diào)遞減，所以函數(shù)在處取得極大值，即函數(shù)存在唯一的極值點(diǎn).（2）證明：由（1）知，，，則，即，則.①又，即，則有.②聯(lián)立①②可得，令，則，當(dāng)時(shí)，，即，，所以單調(diào)遞減，則，即在恒成立，所以，所以，則，即，即，即.8．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考二模）設(shè)函數(shù)，其中.(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的值域；(2)設(shè)，當(dāng)時(shí)，①證明：函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)；②若為函數(shù)的極值點(diǎn)，為函數(shù)的零點(diǎn)，且，證明：.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，顯然函數(shù)的定義域?yàn)?令得，令，解得：；令，解得：，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減..且當(dāng)趨近于，趨近于負(fù)無窮，當(dāng)趨近于正無窮，趨近于負(fù)無窮，故函數(shù)的值域是.（2）①顯然，定義域?yàn)?，令，則由可知，在單調(diào)遞減，且當(dāng)趨近于，趨近于.而存在唯一的使得，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，，于是在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，從而.，令，若，可得：；若，可得：，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，當(dāng)時(shí)取等,由知：，，，（注意：且，則，即遞增，故；且且，則，即遞減，故；所以、在上恒成立.）在都各有一個(gè)唯一零點(diǎn)，故恰有兩個(gè)零點(diǎn).②由題意得，由于，要證，即證.，由（1）知，從而，令，則，且，令，令，則；令，則；則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，所以，故.于是在上單調(diào)遞減，故，即，即.9．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第六中學(xué)校?？级＃┮阎瘮?shù)，其中，為自然對數(shù)的底數(shù)．(1)若在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)當(dāng)，時(shí)，①證明：方程恰有一個(gè)根；②設(shè)為的極小值點(diǎn)，為的零點(diǎn)，證明：．參考數(shù)據(jù)：．【解析】（1）在上恒成立，即在上恒成立，即在上恒成立，令，則，由，得，當(dāng)，即時(shí)，，函數(shù)為增函數(shù)，當(dāng)，即時(shí)，，函數(shù)為減函數(shù)，所以所以；（2）當(dāng)時(shí)，，，①（i）當(dāng)時(shí)，，即在上沒有零點(diǎn)，（ii）當(dāng)時(shí)，令，則，所以在上單調(diào)遞增，，，所以在上存在唯一實(shí)根，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又因?yàn)?，，，所以在上沒有零點(diǎn)，在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，綜上，函數(shù)在上恰有一個(gè)零點(diǎn)；②由①得，因?yàn)闉榈臉O值點(diǎn)，所以，即，因?yàn)榈膶?dǎo)函數(shù)為在上恒成立，所以在上單調(diào)遞減，因此恒成立，即對任意成立，所以，，所以有，即，即有成立，令，，，所以在上單調(diào)遞增，又，，所以在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為，而，所以，故，由①，所以，故.10．（2023·陜西安康·陜西省安康中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)(1)判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；(2)證明：當(dāng)時(shí)，證明：【解析】（1）函數(shù)，定義域?yàn)?，，，設(shè)，則，則在上單調(diào)遞減，即在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增，，故函數(shù)無零點(diǎn).下證：當(dāng)時(shí)，，令，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故，也即，故，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，，，所以存在唯一的，使得函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，所以在上存在一個(gè)零點(diǎn).綜上：函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn).（2）由（1）可知，在上恒成立，于是可得，其中，以上各式左右相加得，，所以.11．（2023·全國·校聯(lián)考模擬預(yù)測）在數(shù)學(xué)中常有“數(shù)形結(jié)合”的思想，即找到代數(shù)式的幾何意義，比如：的幾何意義便是拋物線上的點(diǎn)P到點(diǎn)和點(diǎn)的距離之和，進(jìn)而可以簡化計(jì)算．現(xiàn)在，已知函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)分別為．(1)當(dāng)a＝1時(shí)，證明：；(2)當(dāng)a≥1時(shí)，證明：．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，，令，，令，求導(dǎo)得，顯然在上單調(diào)遞增，，，于是存在，使得單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，于是，，因此存在，使得，又，因此存在，使得，從而有，而，所以.（2）當(dāng)時(shí)，，，令，，令，求導(dǎo)得，顯然在上單調(diào)遞增，，，于是存在，使得單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，而，則，使得，即，令，，令，，函數(shù)在上遞增，，即有，函數(shù)在上遞減，，即當(dāng)時(shí)，，因此，，則，使得，令，，函數(shù)在上遞減，則，即，于是，解得，令，則，，其中，令，，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，，由知，，因此橢圓與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，其橫坐標(biāo)分別為，橢圓的焦點(diǎn)，在上任取點(diǎn)，則，從而，而所以.12．（2023·貴州黔東南·凱里一中?？既＃┮阎瘮?shù)．(1)證明：；(2)證明：，．【解析】（1）證明：，令恒成立，解得，當(dāng)時(shí)，解得，當(dāng)，解得，此時(shí)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；所以在取得最小值，，恒成立，即成立．（2）證明：由（1）可知，在上單調(diào)遞增，且，所以在恒成立，即，，當(dāng)時(shí)，令，則，，所以，所以，，……，，所以，即，.得證．13．（2023·貴州黔東南·凱里一中?？既＃┮阎瘮?shù).(1)證明：；(2)證明：.【解析】（1），令，解得，當(dāng)時(shí)，解得；當(dāng)，解得，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；所以在取得最小值，，恒成立，即恒成立.（2）由（1）知，在上單調(diào)遞增，且所以在恒成立，即在恒成立.所以在恒成立.則當(dāng)時(shí)，恒成立,令，則，所以.所以，即.所以，故得證.14．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，．(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)證明：；(3)設(shè)，，證明：．【解析】（1）由得：，解得：或，的定義域?yàn)?；方法一：?dāng)時(shí)，，的單調(diào)遞增區(qū)間為和，無單調(diào)遞減區(qū)間；方法二：由題意得：，在，單調(diào)遞增，為增函數(shù)，的單調(diào)遞增區(qū)間為和，無單調(diào)遞減區(qū)間.（2）定義域?yàn)?，，是偶函?shù)，等價(jià)于當(dāng)時(shí)，；設(shè)，則，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，；即當(dāng)時(shí)，；設(shè)，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，且，，存在唯一，使得，即，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，；當(dāng)時(shí)，；在上恒成立，即；綜上所述：當(dāng)時(shí)，，.（3）由，，可知，，即，其中，又，且由（1）可知在單調(diào)遞增，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，成立，.由（2）可知：當(dāng)時(shí)，，，．15．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，．(1)若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．(2)若，①證明：函數(shù)存在唯一的極值點(diǎn)．②若，且，證明：．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)，定義域?yàn)椋谏虾愠闪?，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間．（2）①函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t，．令，，則在上恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減．因?yàn)?，所以，，，，所以函?shù)在上存在唯一零點(diǎn)．又當(dāng)時(shí)，，即，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，即，函數(shù)單調(diào)遞減，所以函數(shù)在處取得極大值，即函數(shù)存在唯一的極值點(diǎn)．②由①知，，則，即，則（*），由，，知，又，即，則（**），（**）÷（*）得，令，則所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，，即在上恒成立，所以，所以，則，即，即，即．16．（2023·北京·高三?？紡?qiáng)基計(jì)劃）已知函數(shù)，其中．(1)證明：有唯一零點(diǎn)．(2)設(shè)為函數(shù)的零點(diǎn)，證明：①；②．參考數(shù)據(jù)：．【解析】（1）函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，于是函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，又，且，因此函數(shù)有唯一零點(diǎn)．（2）①只需要證明第一個(gè)不等式可以由（且）中令得到．第二個(gè)不等式可以令，則，且不等式左邊為，記為，則其導(dǎo)函數(shù)，因此在時(shí)單調(diào)遞增，因此，命題得證．②根據(jù)題意，有，因此，因此所證明命題即：，整理得到：，而根據(jù)①的結(jié)論，有．根據(jù)不等式（且），右邊不等式得證．接下來證明在上，有，設(shè)，則其導(dǎo)函數(shù)，于是在定義域上是單調(diào)遞增函數(shù)，因此當(dāng)時(shí)，有，因此左邊不等式得證．綜上所述，題中不等式得證．17．（2023·上海寶山·高三上海交大附中?？奸_學(xué)考試）已知．(1)若關(guān)于x的方程有解，求實(shí)數(shù)a的最小值；(2)證明不等式；(3)類比（2）中不等式的證明方法，嘗試證明：（，e為自然對數(shù)的底數(shù)）【解析】（1）定義域是，由已知，時(shí)，，時(shí)，，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，時(shí)，，∴的值域是，即的范圍是，∴的最小值是0；（2）由（1）知時(shí)，，即，分別取得：，，…，，這個(gè)不等式相加得；（3）同樣在不等式中，分別令，得，，…，,相加得，所以，設(shè)，則，時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，即時(shí)，，分別令，得，，…，，相加得，∴，綜上，．18．（2023·北京·高三北京市陳經(jīng)綸中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知函數(shù)，.(1)求在處的切線方程；