2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 講練測第03講 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值（七大題型）（練習(xí)）（含解析）

第03講導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01模擬基礎(chǔ)練 2題型一：求函數(shù)的極值與極值點(diǎn) 2題型二：根據(jù)極值、極值點(diǎn)求參數(shù) 3題型三：求函數(shù)的最值（不含參） 6題型四：求函數(shù)的最值（含參） 7題型五：根據(jù)最值求參數(shù) 11題型六：函數(shù)單調(diào)性、極值、最值的綜合應(yīng)用 13題型七：不等式恒成立與存在性問題 1602重難創(chuàng)新練 1803真題實(shí)戰(zhàn)練 33題型一：求函數(shù)的極值與極值點(diǎn)1．已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，求的極值.【解析】易知的定義域?yàn)?，由可得，?dāng)時(shí)，，令可得；因此當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞增，因此在處取得極小值；所以的極小值為，無極大值.2．（2024·黑龍江·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求在點(diǎn)處的切線方程；(2)討論的單調(diào)性，并求出的極小值．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，則，所以，又知，所以在點(diǎn)處的切線方程為．（2）因?yàn)?，令，則或，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)或時(shí)，．綜上，在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增；所以．3．已知，函數(shù)．證明存在唯一的極值點(diǎn).【解析】令，則，令，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，畫出大致圖像如下：所以當(dāng)時(shí)，與僅有一個(gè)交點(diǎn)，令，則，且，當(dāng)時(shí)，，則，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，則，單調(diào)遞減，為的極大值點(diǎn)，故存在唯一的極值點(diǎn)；題型二：根據(jù)極值、極值點(diǎn)求參數(shù)4．已知函數(shù)在時(shí)有極值0，則．【答案】11【解析】由函數(shù)，得，由題意得，解得或，當(dāng)時(shí)，，僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)在R上單調(diào)遞增，無極值，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，令，則或，令，則，即在上均單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故在處取得極小值，且，則，即符合題意，故，故答案為：115．（2024·陜西銅川·三模）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.【答案】【解析】的定義域?yàn)?，，令，?令，則.令，則，即，即.當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減.，又當(dāng)趨近于0時(shí)，趨近于；當(dāng)趨近于時(shí)，趨近于0，作出的草圖如圖，由圖可知，當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)正根，從而函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn).6．（2024·四川成都·模擬預(yù)測）若函數(shù)在上有2個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【解析】由函數(shù)，可得，因?yàn)楹瘮?shù)在上有2個(gè)極值點(diǎn)，即在上有兩解，即在上有兩解，令且，可得，當(dāng)時(shí)，可得，單調(diào)遞增，不符合題意，（舍去）；當(dāng)時(shí)，令，解得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，當(dāng)時(shí)，取得極小值，極小值為，要使得在上有兩解，則滿足，當(dāng)時(shí)，解得；當(dāng)，即，設(shè)，其中，可得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，又因?yàn)椋?，所以不等式，可得，由可得，解得，綜上可得，實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：.7．已知函數(shù)，其中且．若存在兩個(gè)極值點(diǎn)，，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為．【答案】【解析】對函數(shù)求導(dǎo)得：，因?yàn)榇嬖趦蓚€(gè)極值點(diǎn)，所以有兩個(gè)不同的變號(hào)零點(diǎn)．令，有，令，，所以與有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，，設(shè)過原點(diǎn)的直線與的切點(diǎn)坐標(biāo)為，切線斜率為，所以切線方程為：，將原點(diǎn)坐標(biāo)帶入切線方程得．此時(shí)切線的斜率為：，現(xiàn)在需要有兩個(gè)交點(diǎn)，即，因?yàn)?，有，所以，所以；同理知?dāng)時(shí)，，，即，所以．綜上知：的取值范圍為．故答案為：題型三：求函數(shù)的最值（不含參）8．函數(shù)在區(qū)間上的最大值是．【答案】【解析】，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故.故答案為：.9．（2024·安徽·二模）已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)的最大值與最小值的和為．【答案】【解析】，當(dāng)時(shí)，，遞增；當(dāng)時(shí)，，遞減；，，，故最大值與最小值的和為：．故答案為：10．函數(shù)在區(qū)間上的最大值是；最小值是．【答案】5【解析】由，求導(dǎo)得，而，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，函數(shù)在處取到極小值，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在處取到極大值5所以函數(shù)在區(qū)間上的最大值是5，最小值是.故答案為：5；題型四：求函數(shù)的最值（含參）11．已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的最小值；(2)求函數(shù)在上的最小值.【解析】（1）因?yàn)?，所以，由，得，所以；由，得，所以，所以函?shù)在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故在處取得極小值，也是最小值，所以的最小值為，無最大值．（2）由（1）知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，當(dāng)，即時(shí)，在單調(diào)遞減，；當(dāng)時(shí)，即在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，．當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，；綜上所述.12．已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程；(2)當(dāng)時(shí)，若函數(shù)在上的最小值為0，求實(shí)數(shù)的值.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)?，，又，所以切線方程為（或?qū)懗?（2），定義域?yàn)?，，令得；①?dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，這時(shí)，不合題意，舍去；②當(dāng)，即時(shí)，當(dāng)單調(diào)遞減單調(diào)遞增，這時(shí)，解得；③當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，這時(shí)，解得（舍去），綜上：.13．已知函數(shù)，其中，求函數(shù)在區(qū)間上的最小值．【解析】函數(shù)的定義域?yàn)?，，，令，得或（舍），?dāng)，即時(shí)，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，當(dāng)，即時(shí)，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，當(dāng)，即時(shí)，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，綜上.14．已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)若的最小值不大于0，求的取值范圍.【解析】（1）由函數(shù)，則其定義域?yàn)?，求?dǎo)可得，令，解得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）由（1）可知，當(dāng)時(shí)，無最小值；則當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，則，由題意可得：，由，則，解得.15．（2024·山西呂梁·二模）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間和極值；(2)求在區(qū)間上的最大值.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是，函數(shù)的極大值為，沒有極小值.（2）由題意得.若，當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，此時(shí)的最大值為；若，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，此時(shí)的最大值為；若，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，此時(shí)的最大值為；若，則，當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，此時(shí)的最大值為.綜上可得，.題型五：根據(jù)最值求參數(shù)16．若函數(shù)在區(qū)間上存在最小值，則的取值范圍是.【答案】【解析】由得，所以當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，于是得在和上都單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，取得極小值，因在區(qū)間上存在最小值，而函數(shù)最值不可能在開區(qū)間端點(diǎn)處取得，于是得，且，即，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：17．（2024·上海靜安·二模）已知實(shí)數(shù)，記．若函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，則的值為．【答案】3【解析】當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，故時(shí)，取得最小值，解得，．故答案為：3．18．（2024·高三·吉林長春·開學(xué)考試）函數(shù)在內(nèi)有最小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.【答案】【解析】由題意可得，函數(shù)的定義域?yàn)椋字?，若函?shù)在內(nèi)有最小值，則函數(shù)在內(nèi)必有極值點(diǎn)，又，不妨設(shè)為方程的兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根，則有，不妨令，因此即可；令，根據(jù)零點(diǎn)存在定理可得，解得；經(jīng)檢驗(yàn)在內(nèi)有最小值，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：題型六：函數(shù)單調(diào)性、極值、最值的綜合應(yīng)用19．（2024·高三·浙江杭州·期中）設(shè)，已知函數(shù)，.（Ⅰ）設(shè)，求在上的最大值.（Ⅱ）設(shè)，若的極大值恒小于0，求證：.【解析】（Ⅰ）由題知，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，從而的單調(diào)遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是從而，,于是；當(dāng)時(shí)，，所以;當(dāng)時(shí)，，所以；綜上所得（Ⅱ）依題知，則，因?yàn)榇嬖跇O大值，則關(guān)于x的方程，有兩個(gè)不等的正根，不妨，則，得，且,設(shè)列表如下：+0—0++0—0+單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增從而極大值，又，從而，對恒成立,設(shè)，，則因?yàn)?，所以所以在上遞增，從而所以，,設(shè)，則，又.若，；若，；從而，即.20．已知函數(shù)．(1)當(dāng)在處取得極小值－1時(shí)，求的解析式；(2)當(dāng)時(shí)，求在區(qū)間上的最值；(3)當(dāng)且時(shí)，若，，求a的取值范圍．【解析】（1）因?yàn)?，所以，又在處取得極小值－1，所以，，即，解得所以．此時(shí)，所以在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，在處取得極小值－1，滿足題意．綜上，的解析式為．（2）當(dāng)時(shí)，，．①當(dāng)時(shí)，在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，所以的最小值為．又，，所以，故的最大值為；②當(dāng)時(shí)，在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，所以的最大值為，此時(shí)，故的最小值為．綜上，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上的最小值為，最大值為；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上的最大值為，最小值為．（3）當(dāng)且時(shí)，，．令，解得，所以在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增．①當(dāng)時(shí)，，在內(nèi)單調(diào)遞增，所以；②當(dāng)時(shí)，，在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，所以，不滿足題意，綜上，a的取值范圍為．21．已知，.(1)證明：當(dāng)，有且只有2個(gè)零點(diǎn)；(2)討論是否存在使有極小值？并說明理由.（注：討論過程要完整，有明確的結(jié)論）【解析】（1）因?yàn)椋远x域?yàn)?，，因?yàn)?，所以令得，?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以有最大值為，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，且，所以在上只有一個(gè)零點(diǎn)；因?yàn)楫?dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，且，所以在上只有一個(gè)零點(diǎn)；綜上，當(dāng)，有且只有2個(gè)零點(diǎn).（2）令，則定義域?yàn)?，，令，則，因?yàn)?，所以令得，?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，當(dāng)，即時(shí)，，即恒成立，所以單調(diào)遞減，此時(shí)不滿足題意；當(dāng)，即時(shí)，由于當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以有兩個(gè)解，即有兩個(gè)解，且從遞增到一個(gè)正數(shù)，然后再遞減到，所以存在極小值，即存在使得有極小值.題型七：不等式恒成立與存在性問題22．已知，，若，，使成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【答案】【解析】∵，∴，∴當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，∴在區(qū)間上的最小值為；又∵，∴由二次函數(shù)知識(shí)，在上的最小值為，若，，使成立，等價(jià)于，即，∴實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.23．已知，，若，，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由題意可知：，因?yàn)?，則，注意到，令，解得；令，解得；可知在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，則，又因?yàn)椋啥魏瘮?shù)性質(zhì)可知，可得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：C.24．已知使得不等式成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由題意可得：使得不等式成立.令則.而，由，得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，得，所以，故實(shí)數(shù)a的取值范圍為.故選：B.1．（2024·四川眉山·三模）已知函數(shù)，則的極大值點(diǎn)為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)椋士傻?，令，因?yàn)?，故可得或，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以在區(qū)間單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故的極大值點(diǎn)為.故答案為：.2．（2024·浙江寧波·模擬預(yù)測）若為函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)，則下列圖象一定不可能為函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由于，，則為函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)等價(jià)條件為：，且在的左右兩側(cè)取值異號(hào).對于選項(xiàng)A，，，，且在的左右兩側(cè)取值可能異號(hào)，圖象可能為函數(shù)的圖象.對于選項(xiàng)B，，，，且在的左右兩側(cè)取值可能異號(hào)，圖象可能為函數(shù)的圖象.對于選項(xiàng)C，，，，在的左右兩側(cè)可取異號(hào)，故可能符合條件.對于選項(xiàng)D，，，因此，不滿足條件.故選：D.3．（2024·浙江臺(tái)州·二模）已知函數(shù)，滿足，則（

）A．函數(shù)有2個(gè)極小值點(diǎn)和1個(gè)極大值點(diǎn)B．函數(shù)有2個(gè)極大值點(diǎn)和1個(gè)極小值點(diǎn)C．函數(shù)有可能只有一個(gè)零點(diǎn)D．有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)，使得函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)【答案】A【解析】設(shè)所以設(shè)，由.所以，因?yàn)槎魏瘮?shù)的開口向上，對稱軸方程為.所以方程有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，則設(shè).則令可得或.令可得或.所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.又當(dāng)時(shí)，，又，所以由，所以所以根據(jù)單調(diào)性可知，函數(shù)有2個(gè)極小值點(diǎn)和1個(gè)極大值點(diǎn)，所以選項(xiàng)A正確，B不正確.根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，可畫出函數(shù)的大致草圖如下.當(dāng)時(shí)，函數(shù)沒有零點(diǎn)當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)當(dāng)時(shí)，函數(shù)有四個(gè)零點(diǎn)當(dāng)時(shí)，函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)由上可知選項(xiàng)C,D都不正確.故選：A4．（2024·全國·二模）已知是函數(shù)的極大值點(diǎn)，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】令，則，，當(dāng)時(shí)，時(shí)，，單調(diào)遞減，而，時(shí)，，，且，，即在上單調(diào)遞增，時(shí)，，，且，，即在上單調(diào)遞減，是函數(shù)的極大值點(diǎn)，滿足題意.當(dāng)時(shí)，存在使得，即，，又在上單調(diào)遞減，時(shí)，，，這與是函數(shù)的極大值點(diǎn)矛盾，綜上所述a的取值范圍是.故選：B5．（2024·甘肅蘭州·一模）已知定義在上的函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)，且滿足，，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】將題干中的等式變形為，可得出，并構(gòu)造函數(shù)，可得出，進(jìn)而可得出，利用求得的值，可得出函數(shù)的解析式，進(jìn)而利用導(dǎo)數(shù)可求得函數(shù)的最小值.由，變形得，即，（為常數(shù)），則，，得.，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增.所以，函數(shù)在處取得極小值，亦即最小值，則.故選：D.6．（2024·湖南懷化·二模）若在上恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為A． B． C． D．【答案】A【解析】分離參數(shù)可得，只需，設(shè)，求導(dǎo)函數(shù)，分別令或或，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而求出函數(shù)的最小值即可.，設(shè)，則，令，則，解得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；令，則，解得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減；令，則，解得，所以函數(shù)在處取得極小值，故，所以，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：A7．（2024·四川成都·二模）已知函數(shù)，.若存在，使得成立，則的最大值為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由題意可知，，由可得出，，利用導(dǎo)數(shù)可得出函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，進(jìn)而可得出，由此可得出，可得出，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在上的最大值即可得解.，，由于，則，同理可知，，函數(shù)的定義域?yàn)?，對恒成立，所以，函?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，同理可知，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，，則，，則，構(gòu)造函數(shù)，其中，則.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減.所以，.故選：C.8．（2024·遼寧鞍山·三模）已知函數(shù)有三個(gè)極值點(diǎn)，則的取值范圍是A． B．(,) C． D．(，）【答案】C【解析】函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，若函數(shù)有三個(gè)極值點(diǎn)，等價(jià)為有三個(gè)不同的實(shí)根，即，即，則，則，有兩個(gè)不等于的根，則，設(shè)，則，則由得，由得且，則當(dāng)時(shí)，取得極小值（1），當(dāng)時(shí)，，作出函數(shù)，的圖象如圖，要使有兩個(gè)不同的根，則滿足，即實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選．9．（多選題）定義：設(shè)是的導(dǎo)函數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，若方程有實(shí)數(shù)解，則稱點(diǎn)為函數(shù)的“拐點(diǎn)”.經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個(gè)三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”且“拐點(diǎn)”就是三次函數(shù)圖象的對稱中心.已知函數(shù)圖象的對稱中心為，則下列說法中正確的有（

）A．， B．函數(shù)的極大值與極小值之和為6C．函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn) D．函數(shù)在區(qū)間上的最小值為1【答案】AB【解析】由題意，點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，故；又.由，即.故A正確；所以，所以.由或.所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以的極大值為；極小值為，所以極大值與極小值之和為：，故B正確；因?yàn)楹瘮?shù)的極小值，所以三次函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；又，，所以函數(shù)在上的最小值為，故D錯(cuò).故選：AB10．（多選題）（2024·遼寧大連·二模）已知函數(shù)，則下列命題正確的是（

）A．在上是增函數(shù)B．的值域是C．方程有三個(gè)實(shí)數(shù)解D．對于，（）滿足，則【答案】ACD【解析】，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；綜上可得在上是增函數(shù)，故A正確；，，故B不正確；方程，可得或，，方程共有三個(gè)實(shí)數(shù)解，故C正確；滿足，即，則，化簡得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)令，則，解得，故，故D正確故選：ACD．11．（多選題）已知函數(shù)在上可導(dǎo)且，其導(dǎo)函數(shù)滿足，對于函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（

）A．函數(shù)在上為增函數(shù) B．是函數(shù)的極小值點(diǎn)C．函數(shù)必有2個(gè)零點(diǎn) D．【答案】BD【解析】對函數(shù)求導(dǎo)，求出單調(diào)區(qū)間和極值，可判斷選項(xiàng)A，B；根據(jù)極小值的大小可得函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，判斷選項(xiàng)C；利用在上為增函數(shù)，比較與的大小關(guān)系，判斷出選項(xiàng)D．函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，，故在上為增函數(shù)，A錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，故在單調(diào)遞減，故是函數(shù)g(x)的極小值點(diǎn)，B正確；若，則有兩個(gè)零點(diǎn)，若，則有一個(gè)零點(diǎn)，若，則沒有零點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；在上為增函數(shù)，則，即，化簡得，D正確；故選：BD12．已知，對任意的都有，則的取值范圍為.【答案】【解析】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求得在給定區(qū)間上的最大值，根據(jù)不等式恒成立的意義即得實(shí)數(shù)a的取值范圍.由得或，在區(qū)間[-2,0)上,單調(diào)遞增；在(0,2)內(nèi)時(shí)單調(diào)遞減.又，，，∴，又對于任意的x∈[-2,2]恒成立，∴，即a的取值范圍是故答案為：.13．（2024·山東青島·一模）函數(shù)在處取得極大值，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．【答案】【解析】f（x）的導(dǎo)數(shù)為f′（x）＝[ax2﹣（2a+1）x+2]ex＝（x﹣2）（ax﹣1）ex，若a＝0則x＜2時(shí)，f′（x）＞0，f（x）遞增；x＞2，f′（x）＜0，f（x）遞減．x＝2處f（x）取得極大值，滿足題意；若a，則f′（x）（x﹣2）2ex≥0，f（x）遞增，無極值；若a，則2，f（x）在（，2）遞減；在（2，+∞），（﹣∞，）遞增，可得f（x）在x＝2處取得極小值；不滿足題意．當(dāng)0＜a，則2，f（x）在（2，）遞減；在（，+∞），（﹣∞，2）遞增，可得f（x）在x＝2處取得極大值，滿足題意；若a＜0，則x＜2時(shí)，f′（x）＞0，f（x）遞增；x＞2，f′（x）＜0，f（x）遞減．x＝2處f（x）取得極大值，滿足題意；綜上可得，a的范圍是：（﹣∞，）．故答案為．14．已知函數(shù).若是在上的極小值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【解析】由題意，令，解得，.若,則在上單調(diào)遞增；在內(nèi)單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增，∴在上，是極大值點(diǎn)，是極小值點(diǎn)，不合題意；當(dāng)時(shí)，在上，恒成立，單調(diào)遞增，沒有極值點(diǎn)，不合題意；當(dāng)時(shí)，在內(nèi)單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增，∴是在上的極小值點(diǎn)，符合題意，所以m的取值范圍是.故答案為：.15．（2024·重慶·一模）已知函數(shù)，.(1)當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；(2)若存在唯一極值點(diǎn)，求的取值范圍.【解析】（1）由題知，，即，令，則，故在和上單增，在上單減，又，，所以，或，從而或，，∴在和上單增，在上單減；（2）由題知，，即，令，則，或，，即在和上單增，在上單減，∵且時(shí)，時(shí)，∴在上唯一零點(diǎn)，記為，當(dāng)時(shí)，，，單增，當(dāng)時(shí)，，，單減，∴為的極小值點(diǎn)，由題知有唯一極值點(diǎn)，故在上無極值點(diǎn)，在上，由的單調(diào)性可知，的極大值為，且時(shí)，且時(shí)，故當(dāng)時(shí)，，在上單增，在上無極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)在和內(nèi)各存在一個(gè)零點(diǎn)，分別記為，，則或時(shí)，，單增，時(shí)，，單減，所以為的極大值點(diǎn)，為的極小值點(diǎn)，不合題意，舍去；綜上，，即，化簡得.∴實(shí)數(shù)的取值范圍是.16．已知函數(shù)，（1）求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；（2）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解析】（1），，注意到，①當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；②當(dāng)時(shí)，令，得，，此時(shí)，在及上導(dǎo)數(shù)值大于零，所以在及上遞增；（2）由（1）知，，，，則，由恒成立，即，即，即，記，，則，故在上為增函數(shù)，，故.17．（2024·安徽淮北·二模）已知函數(shù)．（1）若，證明：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．（2）若存在兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：．【解析】解析：（1）當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)?，在定義域上恒成立，所以在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．原命題得證．（2），若存在兩個(gè)極值點(diǎn)，則，解得．由韋達(dá)定理可知，原命題即證：．不妨設(shè)，原命題即證：，由（*）知，齊次化，即證：，不放令，原命題即證：，記，則，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，．原命題得證．18．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測）已知曲線在處的切線方程為，且．（1）求的解析式；（2）求函數(shù)的極值；（3）若時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解析】（1），∴，，，，，切線方程為,即,∴．（2）由（1）知，函數(shù)定義域?yàn)?，所以，故?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以函數(shù)在處取得極大值，極大值為，無極小值．（3）令,，，,當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，所以，即符合題意；當(dāng)時(shí)，設(shè)，①當(dāng)，，，所以在上單調(diào)遞增，，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以符合題意；②當(dāng)時(shí)，，，所以在上遞增，在上遞減，，所以當(dāng)，，所以在上單調(diào)遞減，，所以，，舍去.綜上：.19．已知函數(shù)（，）．（1）當(dāng)，時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程．（2）設(shè)，是的兩個(gè)極值點(diǎn)，是的一個(gè)零點(diǎn)，且，．證明：存在實(shí)數(shù)，使得，，，按某種順序排列后構(gòu)成等差數(shù)列，并求的值．【解析】（1）當(dāng)，時(shí)，，因?yàn)?，故．又，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為（2）因?yàn)?，由于，故，所以的兩個(gè)極值點(diǎn)為，．不妨設(shè)，，因?yàn)?，，且是的零點(diǎn)，故．又，所以，此時(shí)，，，成等差數(shù)列，所以存在實(shí)數(shù)，滿足題意，且．1．（2024年天津高考數(shù)學(xué)真題）設(shè)函數(shù)．(1)求圖象上點(diǎn)處的切線方程；(2)若在時(shí)恒成立，求的值；(3)若，證明．【解析】（1）由于，故.所以，，所以所求的切線經(jīng)過，且斜率為，故其方程為.（2）設(shè)，則，從而當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí).所以在上遞減，在上遞增，這就說明，即，且等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng).設(shè)，則.當(dāng)時(shí)，的取值范圍是，所以命題等價(jià)于對任意，都有.一方面，若對任意，都有，則對有，取，得，故.再取，得，所以.另一方面，若，則對任意都有，滿足條件.綜合以上兩個(gè)方面，知的值是2.（3）先證明一個(gè)結(jié)論：對，有.證明：前面已經(jīng)證明不等式，故，且，所以，即.由，可知當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí).所以在上遞減，在上遞增.不妨設(shè)，下面分三種情況（其中有重合部分）證明本題結(jié)論.情況一：當(dāng)時(shí)，有，結(jié)論成立；情況二：當(dāng)時(shí)，有.對任意的，設(shè)，則.由于單調(diào)遞增，且有，且當(dāng)，時(shí)，由可知.所以在上存在零點(diǎn)，再結(jié)合單調(diào)遞增，即知時(shí)，時(shí).故在上遞減，在上遞增.①當(dāng)時(shí)，有；②當(dāng)時(shí)，由于，故我們可以取.從而當(dāng)時(shí)，由，可得.再根據(jù)在上遞減，即知對都有；綜合①②可知對任意，都有，即.根據(jù)和的任意性，取，，就得到.所以.情況三：當(dāng)時(shí)，根據(jù)情況一和情況二的討論，可得，.而根據(jù)的單調(diào)性，知或.故一定有成立.綜上，結(jié)論成立.2．（2024年新課標(biāo)全國Ⅰ卷數(shù)學(xué)真題）已知函數(shù)(1)若，且，求的最小值；(2)證明：曲線是中心對稱圖形；(3)若當(dāng)且僅當(dāng)，求的取值范圍．【解析】（1）時(shí)，，其中，則，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故，而成立，故即，所以的最小值為.，（2）的定義域?yàn)?，設(shè)為圖象上任意一點(diǎn)，關(guān)于的對稱點(diǎn)為，因?yàn)樵趫D象上，故，而，，所以也在圖象上，由的任意性可得圖象為中心對稱圖形，且對稱中心為.（3）因?yàn)楫?dāng)且僅當(dāng)，故為的一個(gè)解，所以即，先考慮時(shí)，恒成立.此時(shí)即為在上恒成立，設(shè)，則在上恒成立，設(shè)，則，當(dāng)，，故恒成立，故在上為增函數(shù)，故即在上恒成立.當(dāng)時(shí)，，故恒成立，故在上為增函數(shù)，故即在上恒成立.當(dāng)，則當(dāng)時(shí)，故在上為減函數(shù)，故，不合題意，舍；綜上，在上恒成立時(shí).而當(dāng)時(shí)，而時(shí)，由上述過程可得在遞增，故的解為，即的解為.綜上，.3．（2024年上海夏季高考數(shù)學(xué)真題）對于一個(gè)函數(shù)和一個(gè)點(diǎn)，令，若是取到最小值的點(diǎn)，則稱是在的“最近點(diǎn)”．(1)對于，求證：對于點(diǎn)，存在點(diǎn)，使得點(diǎn)是在的“最近點(diǎn)”；(2)對于，請判斷是否存在一個(gè)點(diǎn)，它是在的“最近點(diǎn)”，且直線與在點(diǎn)處的切線垂直；(3)已知在定義域R上存在導(dǎo)函數(shù)，且函數(shù)在定義域R上恒正，設(shè)點(diǎn)，．若對任意的，存在點(diǎn)同時(shí)是在的“最近點(diǎn)”，試判斷的單調(diào)性．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，故對于點(diǎn)，存在點(diǎn)，使得該點(diǎn)是在的“最近點(diǎn)”．（2）由題設(shè)可得，則，因?yàn)榫鶠樯蠁握{(diào)遞增函數(shù)，則在上為嚴(yán)格增函數(shù)，而，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故，此時(shí)，而，故在點(diǎn)處的切線方程為.而，故，故直線與在點(diǎn)處的切線垂直．（3）設(shè)，，而，，若對任意的，存在點(diǎn)同時(shí)是在的“最近點(diǎn)”，設(shè)，則既是的最小值點(diǎn)，也是的最小值點(diǎn)，因?yàn)閮珊瘮?shù)的定義域均為，則也是兩函數(shù)的極小值點(diǎn)，則存在,使得，即①②由①②相等得，即，即，又因?yàn)楹瘮?shù)在定義域R上恒正，則恒成立，接下來證明，因?yàn)榧仁堑淖钚≈迭c(diǎn)，也是的最小值點(diǎn)，則，即，③，④③④得即，因?yàn)閯t，解得，則恒成立，因?yàn)榈娜我庑?，則嚴(yán)格單調(diào)遞減.4．（2024年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求的極值；(2)當(dāng)時(shí)，恒成立，求的取值范圍．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，故，因?yàn)樵谏蠟樵龊瘮?shù)，故在上為增函數(shù)，而，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在處取極小值且極小值為，無極大值.（2），設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，故在上為增函數(shù)，故，即，所以在上為增函數(shù)，故.當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，故在上為減函數(shù)，故在上，即在上即為減函數(shù)，故在上，不合題意，舍.當(dāng)，此時(shí)在上恒成立，同理可得在上恒成立，不合題意，舍；綜上，.5．（2021年全國高考乙卷數(shù)學(xué)（文）試題）設(shè)，若為函數(shù)的極大值點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】若，則為單調(diào)函數(shù)，無極值點(diǎn)，不符合題意，故.有和兩個(gè)不同零點(diǎn)，且在左右附近是不變號(hào)，在左右附近是變號(hào)的.依題意，a為函數(shù)的極大值點(diǎn)，在左右附近都是小于零的.當(dāng)時(shí)，由，，畫出的圖象如下圖所示：由圖可知，，故.當(dāng)時(shí)，由時(shí)，，畫出的圖象如下圖所示：由圖可知，，故.綜上所述，成立.故選：D6．（多選題）（2022年新高考全國I卷數(shù)學(xué)真題）已知函數(shù)，則（

）A．有兩個(gè)極值點(diǎn) B．有三個(gè)零點(diǎn)C．點(diǎn)是曲線的對稱中心 D．直線是曲線的切線【答案】AC【解析】由題，，令得或，令得，所以在，上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，所以是極值點(diǎn)，故A正確；因，，，所以，函數(shù)在上有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上無零點(diǎn)，綜上所述，函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；令，該函數(shù)的定義域?yàn)?，，則是奇函數(shù)，是的對稱中心，將的圖象向上移動(dòng)一個(gè)單位得到的圖象，所以點(diǎn)是曲線的對稱中心，故C正確；令，可得，又，當(dāng)切點(diǎn)為時(shí)，切線方程為，當(dāng)切點(diǎn)為時(shí)，切線方程為，故D錯(cuò)誤.故選：AC.7．（2022年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（理）真題）已知和分別是函數(shù)（且）的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)．若，則a的取值范圍是．【答案】【解析】[方法一]：【最優(yōu)解】轉(zhuǎn)化法，零點(diǎn)的問題轉(zhuǎn)為函數(shù)圖象的交點(diǎn)因?yàn)椋苑匠痰膬蓚€(gè)根為，即方程的兩個(gè)根為，即函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，因?yàn)榉謩e是函數(shù)的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)，所以函數(shù)在和上遞減，在上遞增，所以當(dāng)時(shí)，，即圖象在上方當(dāng)時(shí)，，即圖象在下方，圖象顯然不符合題意，所以．令，則，設(shè)過原點(diǎn)且與函數(shù)的圖象相切的直線的切點(diǎn)為，則切線的斜率為，故切線方程為，則有，解得，則切線的斜率為，因?yàn)楹瘮?shù)與函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以，解得，又，所以，綜上所述，的取值范圍為．[方法二]：【通性通法】構(gòu)造新函數(shù)，二次求導(dǎo)=0的兩個(gè)根為因?yàn)榉謩e是函數(shù)的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)，所以函數(shù)在和上遞減，在上遞增，設(shè)函數(shù)，則，若，則在上單調(diào)遞增，此時(shí)若，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，此時(shí)若有和分別是函數(shù)且的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)，則，不符合題意；若，則在上單調(diào)遞減，此時(shí)若，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，令，則，此時(shí)若有和分別是函數(shù)且的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)，且，則需滿足，，即故，所以.【整體點(diǎn)評(píng)】法一：利用函數(shù)的零點(diǎn)與兩函數(shù)圖象交點(diǎn)的關(guān)系，由數(shù)形結(jié)合解出，突出“小題小做”，是該題的最優(yōu)解；法二：通過構(gòu)造新函數(shù)，多次求導(dǎo)判斷單調(diào)性，根據(jù)極值點(diǎn)的大小關(guān)系得出不等式，解出即可，該法屬于通性通法．8．（2024年新課標(biāo)全國Ⅱ卷數(shù)學(xué)真題）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若有極小值，且極小值小于0，求a的取值范圍．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，則，，可得，，即切點(diǎn)坐標(biāo)為，切線斜率，所以切線方程為，即.（2）解法一：因?yàn)榈亩x域?yàn)?，且，若，則對任意恒成立，可知在上單調(diào)遞增，無極值，不合題意；若，令，解得；令，解得；可知在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，則有極小值，無極大值，由題意可得：，即，構(gòu)建，則，可知在內(nèi)單調(diào)遞增，且，不等式等價(jià)于，解得，所以a的取值范圍為；解法二：因?yàn)榈亩x域?yàn)?，且，若有極小值，則有零點(diǎn)，令，可得，可知與有交點(diǎn)，則，若，令，解得；令，解得；可知在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，則有極小值，無極大值，符合題意，由題意可得：，即，構(gòu)建，因?yàn)閯t在內(nèi)單調(diào)遞增，可知在內(nèi)單調(diào)遞增，且，不等式等價(jià)于，解得，所以a的取值范圍為.9．（2021年全國新高考I卷數(shù)學(xué)試題）函數(shù)的最小值為.【答案】1【解析】由題設(shè)知：定義域?yàn)?，∴?dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，有，此時(shí)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，有，此時(shí)單調(diào)遞增；又在各分段的界點(diǎn)處連續(xù)，∴綜上有：時(shí)，單調(diào)遞減，時(shí)，單調(diào)遞增；∴故答案為：1.10．（2023年北京高考數(shù)學(xué)真題）設(shè)函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為．(1)求的值；(2)設(shè)函數(shù)，求的單調(diào)區(qū)間；(3)求的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)．【解析】（1）因?yàn)?，所以，因?yàn)樵谔幍那芯€方程為，所以，，則，解得，所以.（2）由（1）得，則，令，解得，不妨設(shè)，，則，易知恒成立，所以令，解得或；令，解得或；所以在，上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，即的單調(diào)遞減區(qū)間為和，單調(diào)遞增區(qū)間為和.（3）由（1）得，，由（2）知在，上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，，即所以在上存在唯一零點(diǎn)，不妨設(shè)為，則，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增；所以在上有一個(gè)極小值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，則，故，所以在上存在唯一零點(diǎn)，不妨設(shè)為，則，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減；所以在上有一個(gè)極大值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，則，故，所以在上存在唯一零點(diǎn)，不妨設(shè)為，則，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增；所以在上有一個(gè)極小值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，所以，則單調(diào)遞增，所以在上無極值點(diǎn)；綜上：在和上各有一個(gè)極小值點(diǎn)，在上有一個(gè)極大值點(diǎn)，共有個(gè)極值點(diǎn).11．（2023年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（理）真題）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)是否存在a，b，使得曲線關(guān)于直線對稱，若存在，求a，b的值，若不存在，說明理由.(3)若在存在極值，求a的取值范圍.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，則，據(jù)此可得，函數(shù)在處的切線方程為，即.（2）令，函數(shù)的定義域滿足，即函數(shù)的定義域?yàn)?，定義域關(guān)于直線對稱，由題意可得，由對稱性可知，取可得，即，則，解得，經(jīng)檢驗(yàn)滿