預(yù)習(xí)11講雙曲線2024年高二數(shù)學(xué)暑假預(yù)習(xí)（人教A版2019選擇性）

2024年高二數(shù)學(xué)暑假預(yù)習(xí)（人教A版2019選擇性必修第一冊）預(yù)習(xí)11講雙曲線（精講+精練）①雙曲線的定義及其應(yīng)用②雙曲線的幾何性質(zhì)③求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程④雙曲線的漸近線⑤雙曲線的離心率一、雙曲線的定義1、定義:一般地,我們把平面內(nèi)與兩個定點,的距離的差的絕對值等于非零常數(shù)(小于)的點的軌跡叫做雙曲線.這兩個定點叫做雙曲線的焦點,兩焦點間的距離叫做雙曲線的焦距.2、集合語言表達(dá)式雙曲線就是下列點的集合:.3、說明若將定義中差的絕對值中的絕對值符號去掉,則點的軌跡為雙曲線的一支,具體是哪一支,取決于與的大小.(1)若,則,點的軌跡是靠近定點的那一支;(2)若,則,點的軌跡是靠近定點的那一支.二、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程焦點位置焦點在軸上焦點在軸上標(biāo)準(zhǔn)方程（）（）圖象焦點坐標(biāo)，，的關(guān)系兩種雙曲線，（）的相同點是:它們的形狀、大小都相同,都有,;不同點是:兩種雙曲線的位置不同,它們的焦點坐標(biāo)也不同.三、雙曲線的簡單幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程（）（）圖形性質(zhì)范圍或或?qū)ΨQ性對稱軸：坐標(biāo)軸；對稱中心：原點頂點坐標(biāo)，,漸近線離心率，，a，b，c間的關(guān)系四、等軸雙曲線（，）當(dāng)時稱雙曲線為等軸雙曲線①；②離心率；③兩漸近線互相垂直，分別為；④等軸雙曲線的方程，；五、直線與雙曲線的位置關(guān)系1、代數(shù)法：設(shè)直線，雙曲線聯(lián)立解得：（1）時，，直線與雙曲線交于兩點（左支一個點右支一個點）；，，或k不存在時，直線與雙曲線沒有交點；（2）時，存在時，若，，直線與雙曲線漸近線平行，直線與雙曲線相交于一點；若，時，，直線與雙曲線相交于兩點；時，，直線與雙曲線相離，沒有交點；時，直線與雙曲線有一個交點；相切不存在，時，直線與雙曲線沒有交點；直線與雙曲線相交于兩點；六、弦長公式1、直線被雙曲線截得的弦長公式，設(shè)直線與橢圓交于，兩點，則為直線斜率2、通徑的定義：過焦點且垂直于實軸的直線與雙曲線相交于、兩點，則弦長.①雙曲線的定義及其應(yīng)用策略方法雙曲線定義的應(yīng)用(1)判定滿足某條件的平面內(nèi)動點的軌跡是不是雙曲線，進(jìn)而根據(jù)要求可求出曲線方程．(2)結(jié)合||PF1|－|PF2||＝2a，建立|PF1|與|PF2|的關(guān)系．【題型精練】一、單選題1．（2324高二上·湖北武漢·期中）平面內(nèi)到兩定點、的距離之差等于10的點的軌跡為（

）A．橢圓 B．雙曲線 C．雙曲線的一支 D．以上選項都不對【答案】D【分析】根據(jù)動點滿足的幾何性質(zhì)判斷即可.【詳解】因為、，所以，而平面內(nèi)到兩定點、的距離之差等于的點的軌跡為一條射線.故選：D2．（2324高二上·江西·期末）已知點P是雙曲線：上一點，分別為C的左、右焦點，若，則（

）A．5 B．13 C．5或9 D．5或6【答案】C【分析】由雙曲線的定義求解.【詳解】由題意可知，，，若，則或9．故選：C3．（2324高二下·上?！るA段練習(xí)）設(shè)是雙曲線上一點，分別是雙曲線左右兩個焦點，若，則等于（

）A．1 B．17 C．1或17 D．5或13【答案】B【分析】先求出，然后根據(jù)雙曲線的定義結(jié)合可求得.【詳解】雙曲線的，由雙曲線的定義可得．因為，所以，得或17，若，則在右支上，應(yīng)有，不成立；若，則在左支上，應(yīng)有，成立．故選：B．4．（2324高二上·廣西南寧·期末）已知方程表示雙曲線，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．或【答案】A【分析】由雙曲線的性質(zhì)求出即可.【詳解】方程表示雙曲線，因為恒成立，所以，解得，故選：A．5．（2024·青?！つM預(yù)測）已知，分別是雙曲線C：的左、右焦點，，點P在C的右支上，且的周長為，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】借助雙曲線定義計算即可得.【詳解】由雙曲線定義可知：，則三角形的周長為，故.故選：D.6．（2324高二上·貴州安順·期末）已知雙曲線的左焦點為F，點P在雙曲線C的右支上，M為線段FP的中點，若M到坐標(biāo)原點的距離為7，則（

）A．8或20 B．20 C．6或22 D．22【答案】B【分析】根據(jù)中位線的性質(zhì)和雙曲線的定義，即可求.【詳解】由雙曲線方程可知，，，設(shè)雙曲線的右焦點為，中，點分別是的中點，所以，則，又因為.故選：B②雙曲線的幾何性質(zhì)策略方法處理雙曲線的簡單幾何性質(zhì)問題思路處理雙曲線的問題的時候，如果需要畫圖，注意作圖規(guī)范，結(jié)合圖象分析，另外因為雙曲線有兩條漸近線，所以要分清楚，到底是點在雙曲線上還是漸近線上，切勿搞混．【題型精練】一、解答題1．（2324高二上·新疆喀什·期末）求雙曲線C：的焦點坐標(biāo)、實軸長、虛軸長、漸近線方程和離心率．【答案】答案見解析【分析】根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可得結(jié)果.【詳解】由標(biāo)準(zhǔn)方程知焦點在x軸上，且，所以，故焦點坐標(biāo)，實軸長，虛軸長，漸近線方程，離心率，故雙曲線的焦點坐標(biāo)，實軸長，虛軸長，漸近線方程，離心率.2．（2324高二上·陜西渭南·期中）求雙曲線的實軸和虛軸長，焦點和頂點坐標(biāo)，離心率和漸近線方程.【答案】答案見解析【分析】j將雙曲線方程變形為標(biāo)準(zhǔn)方程，再寫出答案即可.【詳解】雙曲線，則標(biāo)準(zhǔn)方程：，則，故實軸長：；虛軸長：；焦點坐標(biāo)：，；頂點坐標(biāo)：，，離心率：,漸近線方程：.二、單選題3．（2324高二上·遼寧撫順·期中）雙曲線的一個焦點是，則（

）A． B．1 C． D．2【答案】C【分析】先將拋物線方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，從而根據(jù)平方關(guān)系即可得解.【詳解】由題可知雙曲線的焦點在y軸上，所以，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以，解得．故選：C.4．（2324高二上·安徽阜陽·期末）若雙曲線的實軸長為，則正數(shù)（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】依題意可得，解得即可.【詳解】由雙曲線實軸長為，有，又，.故選：A.5．（2324高二下·安徽淮北·開學(xué)考試）若雙曲線的虛軸長與實軸長相等，則的值為（

）A．4 B． C． D．1【答案】C【分析】將雙曲線方程轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)實軸長與虛軸長相等列方程來求得的值.【詳解】依題意，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，即，由于虛軸長與實軸長相等，所以，即，即，解得.故選：C6．（2324高二上·江西景德鎮(zhèn)·期末）共軛雙曲線與，有（

）A．相同的離心率 B．公共焦點C．公共頂點 D．公共漸近線【答案】D【分析】根據(jù)雙曲線的離心率、交點、頂點、漸近線等知識確定正確答案.【詳解】雙曲線的焦點在軸上，雙曲線的焦點在軸上，所以BC選項錯誤.雙曲線對應(yīng)，對應(yīng)離心率為，漸近線方程為.雙曲線對應(yīng)，對應(yīng)離心率為，漸近線方程為，所以A選項錯誤，D選項正確.故選：D7．（2324高二上·廣東廣州·期末）若橢圓（）與雙曲線的焦點相同，則的值為（

）A．25 B．16 C．5 D．4【答案】C【分析】求出雙曲線的焦點坐標(biāo)，再根據(jù)題意即可得解.【詳解】雙曲線的焦點為，因為橢圓（）與雙曲線的焦點相同，所以，解得.故選：C.8．（2324高二上·江蘇·階段練習(xí)）若雙曲線：為等軸雙曲線，其焦點在軸上，則實數(shù)（

）A．1 B． C．2 D．【答案】D【分析】根據(jù)題意寫出焦點在軸的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，再根據(jù)該雙曲線為等軸雙曲線寫出滿足的條件，解得即可.【詳解】由于雙曲線是焦點在軸上的雙曲線，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，又因為雙曲線為等軸雙曲線，所以，解得.故選：.③求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程策略方法求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法(1)定義法：由題目條件判斷出動點軌跡是雙曲線，由雙曲線定義，確定2a,2b或2c，從而求出a2，b2，寫出雙曲線方程．(2)待定系數(shù)法：先確定焦點在x軸還是y軸，設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程，再由條件確定a2，b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦點位置不好確定，可將雙曲線方程設(shè)為eq\f(x2,m2)－eq\f(y2,n2)＝λ(λ≠0)，再根據(jù)條件求λ的值．【題型精練】一、解答題1．（2324高二上·廣東清遠(yuǎn)·階段練習(xí)）求符合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)頂點在軸上，焦距為10，；(2)漸近線方程是，虛軸長為4.【答案】(1)(2)或【分析】（1）先判斷焦點在軸上，再根據(jù)雙曲線的性質(zhì)即可求解；（2）根據(jù)雙曲線的性質(zhì)，分焦點在軸或焦點在軸兩種情況，計算即可求解.【詳解】（1）由題意得，解得，，則，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由題意，當(dāng)雙曲線焦點在軸上時，，解得，，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；當(dāng)雙曲線焦點在軸上時，，解得，，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.綜上所述，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為或.2．（2324高二上·陜西咸陽·期中）求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程:(1)一個焦點為，且離心率為；(2)經(jīng)過兩點.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)雙曲線的焦點位置，結(jié)合雙曲線離心率公式進(jìn)行求解即可；（2）利用待定系數(shù)法進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）依題意可知，雙曲線的焦點在軸上，且，又，故其標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）設(shè)雙曲線方程為，把點與點代入，有，解得，故所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.3．（2024高二·全國·專題練習(xí)）求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)，經(jīng)過點，焦點在軸上；(2)與橢圓有共同的焦點，它們的一個交點的縱坐標(biāo)為.【答案】(1)(2)【分析】結(jié)合題意，利用待定系數(shù)法即可求取雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】（1）因為雙曲線的焦點在軸上，所以可設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由，經(jīng)過點，可得，解得，故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）橢圓的兩個焦點為、，故該雙曲線的焦點在軸上，可設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，令，即有，解得，故有，解得，故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.4．（2324高二上·安徽六安·期末）根據(jù)下列條件求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)過點（2，0），與雙曲線1的離心率相等；(2)與雙曲線1具有相同的漸近線，且過點M（3，﹣2）．【答案】(1)1(2)1【分析】（1）根據(jù)題意求出即可；（2）設(shè)所求雙曲線的方程為k（），代入點求出k即可.【詳解】（1）過點（2，0），可知所求雙曲線的焦點在x軸上，且a＝2，因為所求雙曲線與雙曲線1的離心率相等；所以e，解得c，所以b1，所以雙曲線方程為1．（2）與雙曲線1具有相同的漸近線，且過點M（3，﹣2），則可設(shè)所求雙曲線的方程為k（），把點M（3，﹣2）代入上述方程得k，解得k＝﹣2．所以所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1．5．（2324高二上·全國·課后作業(yè)）已知等軸雙曲線經(jīng)過點，且對稱軸都在坐標(biāo)軸上，求它的標(biāo)準(zhǔn)方程．【答案】【分析】依題意設(shè)雙曲線方程為，代入點的坐標(biāo)求出的值，即可得解.【詳解】依題意設(shè)雙曲線方程為，因為等軸雙曲線經(jīng)過點，所以，解得，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.6．（2324高二上·四川南充·階段練習(xí)）解答下列兩個小題：(1)雙曲線實軸長為2，且雙曲線與橢圓的焦點相同，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知雙曲線：與雙曲線有相同的漸近線，且經(jīng)過點，求雙曲線的方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求出其焦點坐標(biāo)，確定的值，再根據(jù)雙曲線的實軸長確定的值，然后求出，可寫出雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）根據(jù)雙曲線有相同的漸近線設(shè)方程，代入已知點的坐標(biāo)，可求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】（1）對橢圓，因為，所以，所以焦點為，在軸上，設(shè)雙曲線的方程為，所以，且，所以，所以，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）雙曲線與雙曲線有相同的漸近線，所以所求雙曲線方程可設(shè)為：又雙曲線經(jīng)過點，代入方程，，即,雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為即.④雙曲線的漸近線策略方法求雙曲線漸近線方程的方法求雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)或eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)的漸近線方程的方法是令右邊的常數(shù)等于0，即令eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝0，得y＝±eq\f(b,a)x；或令eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝0，得y＝±eq\f(a,b)x．【題型精練】一、單選題1．（2324高二下·陜西安康·期末）雙曲線的漸近線方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)雙曲線方程直接求解即可【詳解】由，得，所以，即雙曲線的漸近線方程為.故選：A2．（2024高二·江蘇·專題練習(xí)）等軸雙曲線的漸近線方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】寫出等軸雙曲線方程，根據(jù)方程即可求出其漸近線方程.【詳解】由題意，若等軸雙曲線方程為，則，則其漸近線方程為；若等軸雙曲線方程為，則，則其漸近線方程為，綜上，等軸雙曲線的漸近線方程為.故選：C3．（2324高二下·山西長治·階段練習(xí)）已知雙曲線與雙曲線有共同的漸近線，則（

）A． B．2 C． D．4【答案】C【分析】分別求出兩雙曲線的漸近線方程，由題意列式計算即可.【詳解】雙曲線的漸近線方程為，雙曲線的漸近線方程為，所以，所以.故選：C4．（2324高二下·內(nèi)蒙古興安盟·期中）已知雙曲線的離心率為，則雙曲線C的漸近線方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】雙曲線的漸近線方程為，離心率，由于，由離心率和漸近線斜率平方，可得出兩者之間的關(guān)系即可解題.【詳解】曲線的漸近線方程為，因為雙曲線C的離心率為，所以.兩邊平方，即，又，所以.解得，則.故雙曲線C的漸近線方程為．故選：C.5．（2324高二下·吉林·期中）若圓M：與雙曲線C：的漸近線相切，則（

）A．1 B．2 C． D．【答案】A【分析】根據(jù)漸近線的公式寫出直線方程，根據(jù)直線與圓相切則圓心到直線的距離等于半徑列出方程求解.【詳解】雙曲線C的漸近線方程為，不妨取，點M到直線的距離為，因為圓M與雙曲線C的漸近線相切，所以．故選：A6．（2324高二上·福建漳州·期末）已知，為雙曲線的兩個焦點，為虛軸的一個端點，，則的漸近線方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由已知得，結(jié)合求出可得答案.【詳解】如圖，因為，所以，可得，即，可得，則的漸近線方程為.故選：A.

⑤雙曲線的離心率策略方法求雙曲線的離心率或其范圍的方法(1)求a，b，c的值，由eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2＋b2,a2)＝1＋eq\f(b2,a2)直接求e．(2)列出含有a，b，c的齊次方程(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，然后轉(zhuǎn)化成關(guān)于e的方程(或不等式)求解．【題型精練】一、單選題1．（2324高二上·甘肅武威·階段練習(xí)）已知雙曲線的離心率為，則實數(shù)的值為（

）A．2 B． C． D．3【答案】B【分析】由雙曲線方程結(jié)合離心率列方程求參數(shù)值.【詳解】由雙曲線，得，所以，則，解得.故選：B2．（2324高二下·湖北恩施·期中）已知雙曲線的一條漸近線方程是，則的離心率是（

）A． B． C．5 D．【答案】B【分析】根據(jù)其漸近線方程列出方程，即可求得離心率.【詳解】因雙曲線的一條漸近線方程為，依題意，，則其離心率為故選：B.3．（2324高二上·遼寧沈陽·階段練習(xí)）已知雙曲線的漸近線與軸的夾角為，則此雙曲線的離心率為（

）A．或 B． C． D．【答案】C【分析】由雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程得出漸近線，再由漸近線與軸夾角即可求出，然后利用雙曲線中的關(guān)系式，即可求出離心率.【詳解】由題知，雙曲線方程為，則漸近線為，因為漸近線與軸的夾角為，所以，即，又，所以，.故選：C4．（2324高三下·江蘇南通·開學(xué)考試）已知雙曲線的左、右焦點分別為，點P在C的左支上，，的周長為，則C的離心率為（

）A．2 B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)綜合條件，結(jié)合雙曲線定義，利用余弦定理計算即得.【詳解】令雙曲線的焦距為，依題意，，解得，在中，，由余弦定理得，整理得，所以雙曲線C的離心率為.

故選：C5．（2324高二下·安徽宣城·期末）已知雙曲線的左右焦點分別為，曲線上存在一點，使得為等腰直角三角形，則雙曲線的離心率是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】畫出圖形，用雙曲線定義和勾股定理構(gòu)造方程求解即可.【詳解】如圖所示，為等腰直角三角形，且，運用勾股定理，知道根據(jù)．由雙曲線定義，知道，即，解得，故離心率為：.故選：C.6．（2324高二下