2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 第5章 數(shù)列章末綜合提升教案 新人教B版選擇性必修第三冊

2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第5章數(shù)列章末綜合提升教案新人教B版選擇性必修第三冊授課內(nèi)容授課時數(shù)授課班級授課人數(shù)授課地點授課時間教學(xué)內(nèi)容分析本節(jié)課的主要教學(xué)內(nèi)容為《2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第5章數(shù)列章末綜合提升教案》，新人教B版選擇性必修第三冊。教學(xué)內(nèi)容主要包括數(shù)列的通項公式、等差數(shù)列與等比數(shù)列的性質(zhì)、數(shù)列求和公式及其應(yīng)用。這些內(nèi)容與學(xué)生在之前學(xué)習(xí)中掌握的數(shù)列基本概念、數(shù)列的遞推關(guān)系、數(shù)列的圖像表示等知識有密切聯(lián)系。

教學(xué)內(nèi)容與學(xué)生已有知識的聯(lián)系在于，學(xué)生在之前的學(xué)習(xí)中已經(jīng)了解了數(shù)列的基本概念，掌握了等差數(shù)列與等比數(shù)列的定義及其簡單性質(zhì)，并學(xué)會了數(shù)列的遞推關(guān)系。在此基礎(chǔ)上，本節(jié)課將引導(dǎo)學(xué)生進一步理解數(shù)列的通項公式，深化對等差數(shù)列與等比數(shù)列性質(zhì)的理解，并學(xué)會運用數(shù)列求和公式解決實際問題。通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生將能更好地運用數(shù)列知識解決高中數(shù)學(xué)問題，為后續(xù)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)打下堅實基礎(chǔ)。核心素養(yǎng)目標(biāo)分析本節(jié)課的核心素養(yǎng)目標(biāo)主要圍繞數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)運算等方面展開。通過學(xué)習(xí)數(shù)列的綜合提升內(nèi)容，使學(xué)生能夠：1）運用數(shù)學(xué)抽象能力，理解數(shù)列通項公式和求和公式的內(nèi)涵，提升對數(shù)列概念的認識；2）運用邏輯推理能力，分析等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)，推導(dǎo)出求和公式，并解決實際問題；3）運用數(shù)學(xué)建模能力，構(gòu)建數(shù)列模型，解決現(xiàn)實生活中的問題；4）提高數(shù)學(xué)運算能力，熟練運用數(shù)列相關(guān)公式進行計算和求解。通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生運用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的素養(yǎng)，提升學(xué)生的綜合數(shù)學(xué)能力。學(xué)習(xí)者分析1.學(xué)生已掌握了數(shù)列的基本概念、數(shù)列的遞推關(guān)系、等差數(shù)列與等比數(shù)列的定義及簡單性質(zhì)、數(shù)列的圖像表示等知識。在此基礎(chǔ)上，學(xué)生對數(shù)列的通項公式、求和公式的推導(dǎo)和應(yīng)用有了初步了解。

2.學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，表現(xiàn)出一定的興趣，具備一定的邏輯推理能力和數(shù)學(xué)運算能力。學(xué)習(xí)風(fēng)格方面，部分學(xué)生喜歡通過具體實例理解抽象概念，而另一部分學(xué)生則擅長從理論推導(dǎo)出發(fā)，逐步深入探討問題。

3.學(xué)生在數(shù)列學(xué)習(xí)中可能遇到的困難和挑戰(zhàn)包括：理解數(shù)列通項公式和求和公式的推導(dǎo)過程、將數(shù)列知識應(yīng)用于解決實際問題、以及在面對復(fù)雜數(shù)列問題時，如何運用所學(xué)知識進行分析和求解。此外，部分學(xué)生在數(shù)學(xué)運算過程中可能存在細節(jié)處理不當(dāng)?shù)膯栴}，需要加強練習(xí)和指導(dǎo)。教學(xué)方法與手段教學(xué)方法：

1.講授法：通過講解數(shù)列通項公式、求和公式的推導(dǎo)過程，使學(xué)生理解數(shù)學(xué)理論，鞏固基礎(chǔ)知識。

2.討論法：針對數(shù)列性質(zhì)和應(yīng)用問題，組織學(xué)生進行小組討論，激發(fā)學(xué)生思考，提高解決問題的能力。

3.實驗法：運用數(shù)學(xué)軟件進行數(shù)列模擬實驗，讓學(xué)生直觀感受數(shù)列變化規(guī)律，增強實際操作能力。

教學(xué)手段：

1.多媒體設(shè)備：利用PPT、視頻等展示數(shù)列圖像、性質(zhì)和求解過程，提高教學(xué)形象性和直觀性。

2.教學(xué)軟件：運用數(shù)學(xué)軟件（如GeoGebra等）輔助教學(xué)，讓學(xué)生通過實際操作探索數(shù)列的性質(zhì)，提高學(xué)習(xí)興趣。

3.網(wǎng)絡(luò)資源：引導(dǎo)學(xué)生利用網(wǎng)絡(luò)資源查閱相關(guān)數(shù)列知識，拓展學(xué)習(xí)視野，培養(yǎng)自主學(xué)習(xí)能力。教學(xué)過程首先，讓我們回顧一下數(shù)列的基本概念和我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過的知識。今天，我們將深入探討數(shù)列的第5章內(nèi)容，特別是數(shù)列的通項公式、等差數(shù)列與等比數(shù)列的性質(zhì)以及數(shù)列求和公式的綜合應(yīng)用。

###1.導(dǎo)入新課

（1）復(fù)習(xí)提問

同學(xué)們，誰能告訴我什么是數(shù)列？數(shù)列有哪些基本類型？它們的特點是什么？（學(xué)生回答）

很好，我們已經(jīng)對數(shù)列有了基本的了解。今天，我們將在此基礎(chǔ)上，進一步探討數(shù)列的更深層次的內(nèi)容。

（2）情景引入

現(xiàn)在，讓我們來看一個實際問題。假設(shè)有一座樓梯，每一階的高度是固定的，如果我想要知道從地面到頂端的總高度，我們應(yīng)該如何計算呢？（學(xué)生思考）

是的，我們可以通過計算每一階的高度之和來得到總高度。這實際上就是一個等差數(shù)列求和的問題。

###2.新課內(nèi)容

（1）數(shù)列的通項公式

首先，我們來討論數(shù)列的通項公式。通項公式能幫助我們找到數(shù)列中任意一項的值。請同學(xué)們翻開課本第5章，我們一起來推導(dǎo)一下等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式。

（學(xué)生跟隨老師一起推導(dǎo)公式）

（2）等差數(shù)列與等比數(shù)列的性質(zhì)

請同學(xué)們觀察課本上的性質(zhì)表格，我們可以看到等差數(shù)列的相鄰兩項之差是常數(shù)，而等比數(shù)列的相鄰兩項之比是常數(shù)。這些性質(zhì)如何幫助我們計算數(shù)列的和呢？

（學(xué)生思考并回答）

（3）數(shù)列求和公式的應(yīng)用

現(xiàn)在，我們已經(jīng)知道了等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式。讓我們通過一些例題來練習(xí)如何應(yīng)用這些公式。

請同學(xué)們看黑板上的例題，我將會演示如何使用求和公式來解決它。

（老師講解例題，學(xué)生跟隨解題過程）

###3.課堂實踐

（1）小組討論

現(xiàn)在，我將給出幾個數(shù)列問題，請同學(xué)們分成小組，討論如何使用我們剛才學(xué)到的知識來解決這些問題。

（學(xué)生分組討論，老師巡回指導(dǎo)）

（2）學(xué)生展示

請每個小組派一名代表來黑板上展示你們的解題過程和答案。

（學(xué)生展示，老師點評并給出建議）

###4.知識鞏固

為了鞏固我們今天學(xué)到的知識，我給同學(xué)們布置一些課后作業(yè)。請同學(xué)們完成課本第5章的練習(xí)題1、2、3。

（學(xué)生記錄作業(yè)）

###5.課堂小結(jié)

今天我們學(xué)習(xí)了數(shù)列的通項公式、等差數(shù)列與等比數(shù)列的性質(zhì)以及數(shù)列求和公式的應(yīng)用。這些知識不僅幫助我們理解數(shù)列的內(nèi)在規(guī)律，而且能解決生活中的實際問題。希望同學(xué)們能夠通過今天的課程，對數(shù)列有一個更深入的理解。

###6.布置作業(yè)

除了課本上的練習(xí)題，我還希望同學(xué)們思考一個問題：在我們的日常生活中，還有哪些情況可以用數(shù)列的知識來解決？請大家課后觀察生活，下節(jié)課我們一起來分享。

（學(xué)生點頭表示理解）

今天的課程就到這里，希望同學(xué)們能夠通過今天的課程，對數(shù)列有更深的認識。下節(jié)課我們將繼續(xù)探討數(shù)列的更多應(yīng)用。同學(xué)們，再見！拓展與延伸1.拓展閱讀材料：

-《數(shù)列在實際問題中的應(yīng)用》

-《數(shù)學(xué)史上的數(shù)列發(fā)展》

-《等差數(shù)列與等比數(shù)列在金融領(lǐng)域的應(yīng)用》

2.課后自主學(xué)習(xí)和探究：

-研究數(shù)列在其他科學(xué)領(lǐng)域的應(yīng)用，如物理中的運動規(guī)律、經(jīng)濟學(xué)中的復(fù)利計算等。

-探索數(shù)列求和公式的更多推導(dǎo)方法，比較它們的優(yōu)缺點，理解數(shù)學(xué)的多樣性。

-調(diào)查生活中遇到的數(shù)列問題，嘗試運用所學(xué)的數(shù)列知識解決實際問題，并撰寫調(diào)查報告。

-研究等差數(shù)列與等比數(shù)列在藝術(shù)和建筑設(shè)計中的應(yīng)用，例如黃金分割比例等。

同學(xué)們，通過對本節(jié)課的學(xué)習(xí)，我們知道了數(shù)列在數(shù)學(xué)以及日常生活的重要性。為了加深對數(shù)列知識的理解，我鼓勵大家利用課后時間進行拓展閱讀和自主探究。以下是針對本節(jié)課內(nèi)容的一些建議：

1.拓展閱讀材料：

-《數(shù)列在實際問題中的應(yīng)用》：通過閱讀這本書，你可以了解到數(shù)列知識在工程、物理、計算機等多個領(lǐng)域的應(yīng)用，拓寬你的視野。

-《數(shù)學(xué)史上的數(shù)列發(fā)展》：了解數(shù)列概念的起源，以及數(shù)學(xué)家們在數(shù)列研究方面的重要成果，感受數(shù)學(xué)發(fā)展的歷程。

-《等差數(shù)列與等比數(shù)列在金融領(lǐng)域的應(yīng)用》：這本書將帶你探索數(shù)列在金融投資、保險等方面的應(yīng)用，讓你明白數(shù)學(xué)與生活的緊密聯(lián)系。

2.課后自主學(xué)習(xí)和探究：

-研究數(shù)列在其他科學(xué)領(lǐng)域的應(yīng)用：例如，在物理學(xué)中，數(shù)列可以描述物體的運動規(guī)律；在經(jīng)濟學(xué)中，數(shù)列可以幫助我們計算復(fù)利。通過對這些應(yīng)用的研究，你可以更深入地理解數(shù)列知識。

-探索數(shù)列求和公式的更多推導(dǎo)方法：除了課本上提到的求和公式推導(dǎo)方法，還有很多其他的方法。比較這些方法，了解它們的優(yōu)缺點，有助于提高你的數(shù)學(xué)思維。

-調(diào)查生活中遇到的數(shù)列問題：觀察周圍的生活環(huán)境，你會發(fā)現(xiàn)許多問題都可以用數(shù)列知識來解決。例如，計算樓梯的總高度、計算貸款的還款額等。將這些實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，并運用所學(xué)的數(shù)列知識解決。

-研究等差數(shù)列與等比數(shù)列在藝術(shù)和建筑設(shè)計中的應(yīng)用：例如，黃金分割比例就是一個典型的等比數(shù)列。了解這些應(yīng)用，你會對數(shù)學(xué)的美感有更深刻的體會。

希望同學(xué)們能夠充分利用課后的時間，通過拓展閱讀和自主探究，不斷提高自己的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，為未來的學(xué)習(xí)和生活打下堅實的基礎(chǔ)。相信在不久的將來，你們會收獲豐碩的成果。加油！典型例題講解###例題1：等差數(shù)列的通項公式應(yīng)用

已知等差數(shù)列的首項為3，公差為2，求第10項的值。

解答：

首項a1=3，公差d=2

第10項a10=a1+(n-1)d=3+(10-1)×2=3+9×2=21

###例題2：等比數(shù)列的通項公式應(yīng)用

已知等比數(shù)列的首項為2，公比為3，求第5項的值。

解答：

首項a1=2，公比q=3

第5項a5=a1×q^(n-1)=2×3^(5-1)=2×3^4=2×81=162

###例題3：等差數(shù)列求和公式應(yīng)用

已知等差數(shù)列的首項為5，末項為35，項數(shù)為7，求該數(shù)列的和。

解答：

首項a1=5，末項an=35，項數(shù)n=7

數(shù)列和S=(a1+an)/2×n=(5+35)/2×7=40/2×7=20×7=140

###例題4：等比數(shù)列求和公式應(yīng)用

已知等比數(shù)列的首項為1，公比為2，項數(shù)為8，求該數(shù)列的和。

解答：

首項a1=1，公比q=2，項數(shù)n=8

數(shù)列和S=a1×(1-q^n)/(1-q)=1×(1-2^8)/(1-2)=1×(1-256)/(-1)=255

###例題5：數(shù)列在實際問題中的應(yīng)用

某公司計劃從第一年開始，每年年底向員工發(fā)放獎金，第一年發(fā)放1000元，之后每年獎金比上一年增加200元。求第10年年底公司應(yīng)發(fā)放的獎金總額。

解答：

這是一個等差數(shù)列問題，首項a1=1000，公差d=200

第10年的獎金a10=a1+(n-1)d=1000+(10-1)×200=1000+9×200=2800

獎金總額S=(a1+a10)/2×n=(1000+2800)/2×10=3800/2×10=19000課堂小結(jié)，當(dāng)堂檢測####課堂小結(jié)：

今天我們主要學(xué)習(xí)了數(shù)列的第5章內(nèi)容，重點包括數(shù)列的通項公式、等差數(shù)列與等比數(shù)列的性質(zhì)以及數(shù)列求和公式的應(yīng)用。通過這些知識的學(xué)習(xí)，我們能夠更深入地理解數(shù)列的規(guī)律，并能解決實際問題。

1.數(shù)列通項公式：我們學(xué)習(xí)了如何通過通項公式找到數(shù)列中任意一項的值，這對于理解數(shù)列的整體結(jié)構(gòu)非常重要。

2.等差數(shù)列與等比數(shù)列的性質(zhì)：我們探討了等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)，并學(xué)習(xí)了如何利用這些性質(zhì)來求解數(shù)列的和。

3.數(shù)列求和公式：我們掌握了幾種常見的數(shù)列求和公式，包括等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和，這些公式在實際問題中有著廣泛的應(yīng)用。

####當(dāng)堂檢測：

為了檢驗同學(xué)們對今天所學(xué)內(nèi)容的掌握程度，下面我將給出幾道當(dāng)堂檢測題。

1.設(shè)數(shù)列{an}是等差數(shù)列，已知a3=12，a7=24，求該數(shù)列的公差d和首項a1。

答案：d=(a7-a3)/(7-3)=(24-12)/4=3，a1=a3-(3-1)d=12-2×3=6

2.設(shè)數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，已知b1=2，b4=16，求該數(shù)列的公比q。

答案：q=√(b4/b1)=√(16/2)=√8=2√2

3.某數(shù)列的前5項和為35，且該數(shù)列是等差數(shù)列，求該數(shù)列的第3項。

答案：設(shè)數(shù)列的首項為a1，公差為d，由題意得5/2*(2a1+(5-1)d)=35，解得a1+