專(zhuān)題3-1三角函數(shù)圖像與性質(zhì)（原卷版）

專(zhuān)題3-1三角函數(shù)圖像與性質(zhì)目錄TOC\o"1-1"\h\u題型01三角函數(shù)單調(diào)性 1題型02求周期 2題型03非同名函數(shù)平移 3題型04對(duì)稱軸最值應(yīng)用 4題型05對(duì)稱中心最值應(yīng)用 5題型06輔助角最值 6題型07正余弦換元型最值 7題型08一元二次型換元最值 8題型09分式型最值 8題型10最值型綜合 9題型11恒等變形：求角 9題型12恒等變形：拆角求值（分式型） 10題型13恒等變形：拆角求值（復(fù)合型） 11題型14恒等變形：拆角求值（正切型對(duì)偶） 11高考練場(chǎng) 12題型01三角函數(shù)單調(diào)性【解題攻略】A，ω，φ對(duì)函數(shù)y＝Asin（ωx＋φ）圖象的影響（1）函數(shù)y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）中參數(shù)A．φ、ω的作用參數(shù)作用AA決定了函數(shù)的值域以及函數(shù)的最大值和最小值，通常稱A為振幅.φφ決定了x=0時(shí)的函數(shù)值，通常稱φ為初相，ωx＋φ為相位.ωω決定了函數(shù)的周期T＝.（2）圖象的變換（1）振幅變換要得到函數(shù)y＝Asinx（A＞0，A≠1）的圖象，只要將函數(shù)y＝sinx的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)（當(dāng)A＞1時(shí)）或縮短（當(dāng)0＜A＜1時(shí)）到原來(lái)的A倍（橫坐標(biāo)不變）即可得到．（2）平移變換要得到函數(shù)y＝sin（x＋φ）的圖象，只要將函數(shù)y＝sinx的圖象上所有點(diǎn)向左（當(dāng)φ＞0時(shí)）或向右（當(dāng)φ＜0時(shí)）平行移動(dòng)|φ|個(gè)單位長(zhǎng)度即可得到．（3）周期變換要得到函數(shù)y＝sinωx（x∈R）（其中ω＞0且ω≠1）的圖象，可以把函數(shù)y＝sinx上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短（當(dāng)ω＞1時(shí)）或伸長(zhǎng)（當(dāng)0＜ω＜1時(shí)）到原來(lái)的_倍（縱坐標(biāo)不變）即可得到．【典例1-1】（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，則使得和都單調(diào)遞增的一個(gè)區(qū)間是（

）A． B． C． D．【典例1-2】已知函數(shù)，則f（x）（

）A．在（0，）單調(diào)遞減 B．在（0，π）單調(diào)遞增C．在（—，0）單調(diào)遞減 D．在（—，0）單調(diào)遞增【變式1-1】（2022上·福建莆田·高三?？迹┖瘮?shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（

）A． B．C． D．【變式1-2】（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)在下列某個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞增，這個(gè)區(qū)間是（

）A． B． C． D．【變式1-3】（2023·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考二模）“”是“函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件.題型02求周期【解題攻略】求周期方法直接法：形如y＝Asin（ωx＋φ）或者y＝Acos（ωx＋φ）函數(shù)的周期T＝.y＝Atan（ωx＋φ）的周期是T＝觀察法：形如

等等諸如此類(lèi)的帶絕對(duì)值型，可以通過(guò)簡(jiǎn)圖判定是否有周期，以及最小正周期的值3.恒等變形轉(zhuǎn)化法。4.定義證明法【典例1-1】（2023下·湖南長(zhǎng)沙·高三長(zhǎng)沙一中?？茧A段練習(xí)）設(shè)函數(shù)，則的最小正周期（

）A．與有關(guān)，且與有關(guān) B．與有關(guān)，但與無(wú)關(guān)C．與無(wú)關(guān)，且與無(wú)關(guān) D．與無(wú)關(guān)，但與有關(guān)【典例1-2】（2023上·福建廈門(mén)·高三福建省廈門(mén)第二中學(xué)校考階段練習(xí)）以下函數(shù)中最小正周期為的個(gè)數(shù)是（

）

A．1 B．2 C．3 D．4【變式1-1】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）下列函數(shù)中是奇函數(shù)，且最小正周期是的函數(shù)是（

）A． B．C． D．【變式1-2】（2023·廣東·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)，的定義域?yàn)镽，則“，為周期函數(shù)”是“為周期函數(shù)”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【變式1-3】（2023上·江蘇·高三專(zhuān)題練習(xí)）在函數(shù)①，②，③，④中，最小正周期為π的函數(shù)有（）A．①③ B．①④C．③④ D．②③題型03非同名函數(shù)平移【解題攻略】平移變換：1.基本法：提系數(shù)（就是直接換x，其余的都不動(dòng)）；2.正到余，余到正：方法一：誘導(dǎo)公式化為同名（盡量化正為余，因?yàn)橛嘞沂桥己瘮?shù)，可以解決系數(shù)是負(fù)的）；方法二：直接第極大值法（通過(guò)快速畫(huà)圖，正弦對(duì)應(yīng)第一極大值軸處。余弦即五點(diǎn)第一點(diǎn)處，本方法是重點(diǎn)）【典例1-1】（2023秋·山東·高三山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谀┮玫胶瘮?shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象（

）A．先向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度B．先向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度C．先向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度D．先向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度【典例1-2】（2021春·河南許昌·高三許昌實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考）要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象（

）A．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 B．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度C．向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度 D．向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度【變式1-1】（2020春·全國(guó)·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象（

）A．向左平移個(gè)單位 B．向右平移個(gè)單位C．向左平移個(gè)單位 D．向右平栘個(gè)單位【變式1-2】（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）為得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)圖象上所有的點(diǎn)（

）A．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 B．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度C．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 D．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度【變式1-3】（2022·河南鶴壁·鶴壁高中?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，為了得到函數(shù)的圖象只需將y=f（x）的圖象（

）A．向右平移個(gè)單位 B．向右平移個(gè)單位C．向左平移個(gè)單位 D．向左平移個(gè)單位題型04對(duì)稱軸最值應(yīng)用【解題攻略】正余弦對(duì)稱軸：最值處，令sin(ωx＋φ)＝1，則ωx＋φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，可求得對(duì)稱軸方程；對(duì)稱軸代入，三角函數(shù)部分必為正負(fù)1，還可以理解為輔助角那個(gè)整體取得最大值或者最小值【典例1-1】已知函數(shù)的最大值為，若存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意實(shí)數(shù)，總有成立，則的最小值為（）A． B． C． D．【典例1-2】（2022屆湘贛十四校高三聯(lián)考第二次考試?yán)頂?shù)試題=）已知函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到的圖象，若為的一條對(duì)稱軸，則__________．【變式1-1】已知把函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把橫坐標(biāo)縮小到原來(lái)一半，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，若，若，，則的最大值為（）A． B． C． D．【變式1-2】（河南省三門(mén)峽市2021-2022學(xué)年高三上學(xué)期階段性檢測(cè)理科數(shù)學(xué)試題）.將函數(shù)的圖象上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的，縱坐標(biāo)不變，再把所得的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，然后再把所得的圖象向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，若，且，則的最大值為（）A． B． C． D．【變式1-3】（2021屆安徽省馬鞍山二中高三下學(xué)期4月高考模擬數(shù)學(xué)試題）將函數(shù)的圖象向左平移（）個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖象，若使成立的a、b有，則下列直線中可以是函數(shù)圖象的對(duì)稱軸的是A． B．C． D．題型05對(duì)稱中心最值應(yīng)用【解題攻略】正余弦對(duì)稱中心：零點(diǎn)處，令sin(ωx＋φ)＝0，ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，可求得對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)對(duì)稱中心橫坐標(biāo)代入，三角函數(shù)那部分必為0【典例1-1】（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)的兩條相鄰對(duì)稱軸之間的距離為，則下列點(diǎn)的坐標(biāo)為的對(duì)稱中心的是（

）A． B． C． D．【典例1-2】（2022·天津南開(kāi)·二模）函數(shù)，其圖象的一個(gè)最低點(diǎn)是，距離點(diǎn)最近的對(duì)稱中心為，則（

）A．B．是函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸C．時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增D．的圖象向右平移個(gè)單位后得到的圖象，若是奇函數(shù)，則的最小值是【變式1-1】．（2022·四川涼山·三模（理））將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，再將縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的4倍（橫坐標(biāo)不變）得到函數(shù)的圖象，且的圖象上一條對(duì)稱軸與一個(gè)對(duì)稱中心的最小距離為，對(duì)于函數(shù)有以下幾個(gè)結(jié)論：（1）；（2）它的圖象關(guān)于直線對(duì)稱；（3）它的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；（4）若，則；則上述結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【變式1-2】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）將函數(shù)的圖象分別向左、向右各平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，所得的兩個(gè)圖象對(duì)稱中心重合，則的最小值為（

）A． B．2 C．3 D．6【變式1-3】（2021·安徽·六安一中高三階段練習(xí)（理））已知的一個(gè)對(duì)稱中心為，把的圖像向右平移個(gè)單位后，可以得到偶函數(shù)的圖象，則的最小值為（

）A． B． C． D．題型06輔助角最值【解題攻略】輔助角范圍滿足：【典例1-1】（江西省上饒市（天佑中學(xué)、余干中學(xué)等）六校2021屆高三下學(xué)期第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題已知函數(shù)，的最小值為，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【典例1-2】已知函數(shù)在上的值域?yàn)?，則的取值范圍為_(kāi)_____.【變式1-1】.已知函數(shù)，周期，，且在處取得最大值，則使得不等式恒成立的實(shí)數(shù)的最小值為（）A． B． C． D．【變式1-2】（浙江省紹興市諸暨市海亮高級(jí)中學(xué)2021-2022學(xué)年高三上學(xué)期12月選考數(shù)學(xué)試題）已知當(dāng)時(shí)，函數(shù)取到最大值，則是（）A．奇函數(shù)，在時(shí)取到最小值； B．偶函數(shù)，在時(shí)取到最小值；C．奇函數(shù)，在時(shí)取到最小值； D．偶函數(shù)，在時(shí)取到最小值；【變式1-3】（江蘇省淮安市淮陰中學(xué)2020屆高三下學(xué)期5月高考模擬數(shù)學(xué)試題）若存在正整數(shù)m使得關(guān)于x的方程在上有兩個(gè)不等實(shí)根，則正整數(shù)n的最小值是______．題型07正余弦換元型最值【解題攻略】與在同一函數(shù)中一般可設(shè)進(jìn)行換元．換元時(shí)注意新元的取值范圍．之間的互化關(guān)系1.2.【典例1-1】（2021下·上海徐匯·高三南洋中學(xué)校考階段練習(xí)）已知函數(shù)，則的值域?yàn)椋镜淅?-2】（2022·高三單元測(cè)試）函數(shù)的值域?yàn)椋咀兪?-1】已知函數(shù)，則的最大值為_(kāi)__________.【變式1-2】（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍為A． B．C． D．【變式1-3】（河南省信陽(yáng)高級(jí)中學(xué)2020-2021學(xué)年高三數(shù)學(xué)試題）已知實(shí)數(shù)a>0，若函數(shù)fx=asinx+cos題型08一元二次型換元最值【典例1-1】（2022·高三單元測(cè)試）若，則函數(shù)的最大值與最小值之和為（

）A． B． C． D．【典例1-2】（2021上·重慶沙坪壩·高三重慶一中?？迹┖瘮?shù)的最小值為（

）A． B． C． D．【變式1-1】（2023下·上海長(zhǎng)寧·高三統(tǒng)考）已知關(guān)于的不等式在內(nèi)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【變式1-2】（2021下·北京·高三?？迹┮阎瘮?shù)，則；的最大值為【變式1-3】（2021·江西·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)的最大值為.題型09分式型最值【解題攻略】分式型求值，主要方向是把分?jǐn)?shù)的分子分母“因式分解”，再通過(guò)“約分”來(lái)達(dá)到求值的目的?！镜淅?-1】（2022上·浙江紹興·高三諸暨中學(xué)階段練習(xí)）函數(shù)的最大值是，最小值為．【典例1-2】（2023上·新疆克拉瑪依·高三校考階段練習(xí)）函數(shù)的值域?yàn)椤咀兪?-1】（2022上·上海徐匯·高三上海市南洋模范中學(xué)?？茧A段練習(xí)）函數(shù)的值域?yàn)?【變式1-2】（2020下·安徽六安·高三六安一中?？茧A段練習(xí)）函數(shù)的值域?yàn)椋咀兪?-3】函數(shù)的最小值是（）A． B． C． D．題型10最值型綜合【典例1-1】（2021·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知，為銳角，，則的最小值為（

）A． B． C． D．【典例1-2】已知銳角滿足，則的最小值為_(kāi)___．【變式1-1】若，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【變式1-2】（2022·山東·高三開(kāi)學(xué)考試）已知，則的最小值為（

）A． B．1 C． D．【變式1-3】已知函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)（0，），最小正周期為，且最小值為－1.若，的值域是，則m的取值范圍是_____.題型11恒等變形：求角【解題攻略】將ωx＋φ看作整體，先求出[0，2π]或[-π,π]的角，再通過(guò)周期推廣到整個(gè)定義域內(nèi)，最后解出x的值或范圍.【典例1-1】（2023上·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在△ABC中，tanA＋tanB＋tanC＝3，tan2B＝tanA·tanC，則角B等于（

）A．30° B．45° C．120° D．60°【典例1-2】（2023上·浙江杭州·高三學(xué)軍中學(xué)校考階段練習(xí)）已知且，則=（

）A． B．C． D．或【變式1-1】（2023上·山東·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，，，且，則的值為（

）A． B． C． D．【變式1-2】（2023上·山西臨汾·高三山西省臨汾市第三中學(xué)校校聯(lián)考）已知，，且，則（

）A． B． C． D．【變式1-3】（2023上·湖南長(zhǎng)沙·高三周南中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知，則（

）A． B． C． D．題型12恒等變形：拆角求值（分式型）【解題攻略】分式型求值，主要方向是把分?jǐn)?shù)的分子分母“因式分解”，再通過(guò)“約分”來(lái)達(dá)到求值的目的?！镜淅?-1】（2021·廣西·統(tǒng)考一模）＝（

）A． B． C． D．【典例1-2】（2022上·云南昆明·高三東川明月中學(xué)?？迹┤?，則的值為（

）A．1 B．4 C． D．2【變式1-1】（2023·四川資陽(yáng)·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）（

）A． B． C． D．1【變式1-2】（2023上·山東泰安·高三新泰市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）（

）A． B．1 C． D．2【變式1-3】（20219上·西藏山南·高三山南二中?？茧A段練習(xí)）求的值（）A．1 B．3 C． D．題型13恒等變形：拆角求值（復(fù)合型）【解題攻略】求復(fù)合型角，以給了函數(shù)值的角度為基角來(lái)拆角。討論基角的范圍，確認(rèn)基角的正余弦值符號(hào)所求復(fù)合型角的范圍，以及對(duì)應(yīng)的正（或者余）弦符號(hào)，確認(rèn)對(duì)應(yīng)復(fù)合型角度【典例1-1】（2023上·云南昆明·高三統(tǒng)考）已知，，，則（

）A． B． C． D．【典例1-2】（2023上·陜西渭南·高三統(tǒng)考）已知,都是銳角,,,則（

）A． B． C． D．【變式1-1】（2020上·江西·高三奉新縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若均為銳角且，則【變式1-2】（2022下·上海閔行·高三上海市七寶中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知，且，則．【變式1-3】（2023上·河北石家莊·高三?？茧A段練習(xí)）若，，，，則.題型14恒等變形：拆角求值（正切型對(duì)偶）【典例1-1】（2023上·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知，則（

）A． B． C． D．【典例1-2】（2023下·江西贛州·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知角，且，則（

）A． B． C． D．-2【變式1-1】（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知，，，，則（

）A． B． C． D．1【變式1-2】（2023上·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知角，且，則（

）A． B． C． D．2【變式1-3】（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知，，則（

）A． B． C． D．高考練場(chǎng)1.（2023·江西九江·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．周期為π，在上單調(diào)遞減B．周期為，在上單調(diào)遞減C．周期為π，在上單調(diào)遞增D．周期為，在上單調(diào)遞增2.（2023下·江西九江·高三?？迹┖瘮?shù)的周期不可能為（

）A． B． C． D．3.（2021秋·江西南昌·高三南昌縣蓮塘第一中學(xué)校考階段練習(xí)）要得到函數(shù)的圖像，只需將函數(shù)的圖像上所有點(diǎn)的A．橫坐標(biāo)縮短到原