2022高3統(tǒng)考數(shù)學(xué)文北師大版1輪教師文檔：第3章 含答案

第三章

DISANZHAMQ

三角函數(shù)、解三角形

第一節(jié)任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù)

^^_回顧教材?夯實(shí)基礎(chǔ)課本溫故追根求源

授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第50頁

I基礎(chǔ)梳理］

1.任意角的概念

(1)我們把角的概念推廣到任意角，任意角包括正角、負(fù)角、零角.

①正角：按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角:

②負(fù)角：按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角;

③零角：如果一條射線沒有作任何旋轉(zhuǎn),我們稱它形成了一個(gè)零角.

(2)終邊相同角：與。終邊相同的角可表示為：(￡16=。+2也，依N1.

2.弧度與角度的互化

(1)1弧度的角：長度等于半徑長的弧所對的圓心角.

(2)角a的弧度數(shù)公式：|旬=々

(3)角度與弧度的換算：-

360=區(qū)rad,1。=喘rad,lrad=(臂鵬57。181

(4)扇形的弧長及面積公式：

弧長公式：

2

面積公式：S=1/Lr=1ar.

3.任意角的三連函數(shù)

(1)定義：設(shè)a是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x,y),則sina=?

(2)幾何表示：三角函數(shù)線可以看作是三角函數(shù)的幾何表示.正弦線的起點(diǎn)都在工

軸上，余弦線的起點(diǎn)都是原點(diǎn)，正切線的起點(diǎn)都是(1,0).如圖中有向線段MP,

OM,AT分別叫作角a的正弦線、余弦線和正切線.

4.終邊相同的角的三角函數(shù)

sin(a+/2兀)=sina,

cos(?+k2it)=cosa,

tan(a+Z?27t)=tana(其中k^Z),

即終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等.

■知識拓展提升思維能力

1.一個(gè)口訣

三角函數(shù)值在各象限的符號：一全正、二正弦、三正切、四余弦.

2.兩個(gè)關(guān)注點(diǎn)

(1)利用扇形的弧長和面積公式解題時(shí)，要注意角的單位必須是弧度.

(2)在同一個(gè)問題中采用的度量制度必須一致，不能混用.

3.三角函數(shù)定義的推廣

設(shè)點(diǎn)P(x,y)是角a終邊上任意一點(diǎn)且不與原點(diǎn)重合，r=\OP\f則sina=；,cosa

Xv

=-,tana—,

rx

4.四種角的終邊關(guān)系

(1)/?,a終邊相同=￡=a+2E,keZ.

(2)四。終邊關(guān)于x軸對稱<=>。=一a+2E,kGZ.

(3)或，a終邊關(guān)于y軸對稱<=>6=兀-a+2E,kGZ.

(4)或，a終邊關(guān)于原點(diǎn)對稱u>8=7t+a+2E,keZ.

［四基自測］

1.(基礎(chǔ)點(diǎn)：弧長公式)單位圓中，200。的圓心角所對的弧長為()

A.10KB.9兀

「邱D—

c109

答案：D

2.(易錯(cuò)點(diǎn)：終邊相同的角的概念)下列與詈的終邊相同的隹的表達(dá)式中正確的

是()

A.2E—45。(左￡2)

9

B.k.360。+押6Z)

C.^360°-315°UeZ)

5兀

D.E+］(Z￡Z)

答案：C

3.(基礎(chǔ)點(diǎn)：象限符號)若角。滿足tanJ>0,sin<9<0,則角。所在的象限是()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

答案：C

4.(基礎(chǔ)點(diǎn)：三角函數(shù)定義)己知角a的終邊過點(diǎn)(一4,3),貝ijcosa+sina=

答案T

^■_考點(diǎn)分類-深度剖析名師導(dǎo)悟以例示法

授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第51頁

考點(diǎn)一終邊相同的角及象限角

挖掘1求寫終邊相同的角或區(qū)域角/自主練透

［例1］(1)(2020?福州模拂與一2010。終邊相同的最小正角是.

［解析］因?yàn)橐?010。=(-6)><360。+150。，

所以150。與一2010。終邊相同，又終邊相同的兩個(gè)角相差360。的整數(shù)倍，所以在

0。?360。中只有150。與一2010。終邊相同，故與一2010。終邊相同的最小正角是

150°.

［答案］150°

(2)用角的集合表示下面各區(qū)域角(陰影部分).

7T1T

［解析］①射線y=x表示a=w的終邊，y軸上半軸表示夕=5的終邊，其區(qū)域角

7T兀

②x軸正半軸表示。=0的終邊，其區(qū)域角為

7T

rrjr

I乙

irjr

④{a|-g+而

［破題技法］1.利用終邊相同的角的集合可以求適合某些條件的角，方法是先寫

出與這個(gè)角的終邊相同的所有角的集合，然后通過對集合中的參數(shù)%賦值來求得

所需角.

2.表示區(qū)間角的三個(gè)步驟

(1)先按逆時(shí)針方向找到區(qū)域的起始和終止邊界.

(2)按由小到大分別標(biāo)出起始和終止邊界對應(yīng)的一360。?360。范圍內(nèi)的角。和人

寫出最簡區(qū)間.

(3)起始、終止邊界對應(yīng)角a,4再加上360。的整數(shù)倍，即得區(qū)間角集合.

挖掘2已知角a的象限，求分角彳的象限/自主練透

［例2］已知sina>0,cosa<0,貝狽所在的象限是()

A.第一象限B.第三象限

C.第一或第三象限D(zhuǎn).第二或第四象限

JT

［解析］因?yàn)閟ina>0,cosa<0,所以a為第二象限角，即5+2EVaV兀+2E,

kGZ,則;+EV&V殲也，&GZ.當(dāng)人為偶數(shù)時(shí)，呼為第一象限角；當(dāng)&為奇

數(shù)時(shí)，為第三象限角，故選C.

［答案］c

［破題技法］象限角的兩種判斷方法

⑴圖像法：在平面直角坐標(biāo)系中，作出已知角并根據(jù)象限角的定義直接判斷已

知角是第幾象限角.

（2）轉(zhuǎn)化法：先將已知角化為k360o+a（0oWaV360。,2￡N）的形式,即找出與已

知角終邊相同的角a,再由角。終邊所在的象限判斷已知角是第幾象限角.

n

［拓展］求藍(lán)或〃次〃￡N,）所在象限的方法

（1）將。的范圍用不等式（含有Q表示.

⑵兩邊同除以〃或乘以幾

（3）對上進(jìn)行討論，得到5或〃仇〃￡N+）所在的象限.

考點(diǎn)二扇形弧長、面積公式的應(yīng)用

挖掘求扇形的弧長、面積、圓心角、半徑/自主練透

［例］（1）（2020?合肥模擬）《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，卷

一《方田》［三三］:“今有宛田，下周三十步，徑十六步.問為田幾何？”譯成

現(xiàn)代漢語其意思為：有一塊扇形的田，弧長30步，其所在圓的直徑是16步，則

這塊田的面積為（）

A.120平方步B.240平方步

C.360平方步D.480平方步

［解析］由題意可得：S=：X8X30=120（平方步）.

［答案］A

⑵（2020?太原模擬）已知2弧度的圓心角所對的弦長為2,那么這個(gè)圓心角所對的

弧長是（）

A.2B.sin2

［解析］如圖：ZAOB=2弧度，過O點(diǎn)作OC_LAB于C,并延長OC交弧AB

于D則N4OZ）=NBOO=1弧度，且AC=%8=1,

AC

在R5OC中，人。=""—sinl，

12

r=-~~r,從而弧AB的長為/=a?r=-：—7.

sin1sin1

［答案］c

(3)(2020?成都模擬)若圓弧長度等于該圓內(nèi)接正方形的邊長，則其圓心角的弧度

數(shù)是.

［解析］設(shè)圓的半徑為R,則圓內(nèi)接正方形的邊長為&R,因此該圓心角的弧度

數(shù)是0='=挈=，1

AA

［答案］

(4)若扇形的周長為20,當(dāng)扇形所在圓的半徑為時(shí)，

扇形面積最大，最大值為.

［解析］由題意知，/+2r=20,即/=20—2-，

故S=2^r=2(20-2r)-r=—(r—5)2+25,

當(dāng)r=5時(shí)，S的最大值為25.

［答案］525

［破題技法］應(yīng)用弧度制解決問題的方法

(1)利用扇形的瓠長和面積公式解題時(shí)，要注意角的單位必須是瓠度.

(2)求扇形面積最大值的問題時(shí)，常轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題，利用配方法使

問題得到解決.

(3)在解決弧長問題和扇形面積問題時(shí)，要合理地利用圓心角所在的三角形.

考占三三角函數(shù)的定義

挖掘1用三角函數(shù)的定義求港/互動探究

［例1］(1)(2020?大同模擬)己知角a的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(—x,—6),且cosa=一總

則x的值為.

—x5

［解析］?.?cosa=^======q—^=一百,

x>0,

?；x225解得x=1.

/+36=769,

［答案］|

3

(2)已知角a的終邊在直線y=-3x上，則10sina+帚的值為

［解析］設(shè)a終邊上任一點(diǎn)為P(A,-3k)f

則r=NR+(-3Q2=①因.

當(dāng)火＞0時(shí)，r=y［Wkf

..Tk3

?應(yīng)2旃=一而‘

_J__血_后

cosa_k

JlOsina+——=-3回+3/=0;

當(dāng)LVO時(shí)，『一回k,

—3k3

sin而'

i

cosa~k

o___

lOsina+------=3^1^—3^15=0.

cosavv

［答案］0

［破題技法］1.利用角a終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)求三角函數(shù)值，由于點(diǎn)P象限不定,

故討論象限位置.

2.已知角a的終邊求三角函數(shù)值，其關(guān)鍵點(diǎn)為：

(1)已知角。終邊上點(diǎn)P的坐標(biāo)

①求P到原點(diǎn)的距離.

②利用三角函數(shù)定義求解.

(2)已知角。終邊所在的直線方程

①根據(jù)象限位置，設(shè)出。的終邊上點(diǎn)尸的坐標(biāo).

②利用三角函數(shù)定義求解.

挖掘2三角函數(shù)值符號的判斷/自主練透

［例2］⑴(2020.懷化模擬)sin2-cos3-tan4的值()

A.小于0B.大于0

C.等于0D.不存在

［解析］*<2<3<7C<4<5兀

Asin2>0,cos3<0,tan4>0.

/.sin2-cos3-tan4<0.

［答案］A

(2)已知點(diǎn)尸(cosa,tan㈤在第三象限，則角a的終邊在()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

cosa<0,［sina>0,

［解析］由題意可得<則1所以角a的終邊在第二象限，故選

Liana<0,［cosa<0,

B.

［答案］B

［破題技法］判斷三角函數(shù)值符號的關(guān)鍵點(diǎn)

(1)確定a的終邊所在的象限位置.

(2)根據(jù)。終邊上尸的坐標(biāo)符號：正弦值與縱坐標(biāo)同號，余弦值與橫坐標(biāo)同號；

橫縱坐標(biāo)同號，正切值為正；異號正切值為負(fù).

考點(diǎn)四三角函數(shù)線的應(yīng)用

［例］(1)(2020?石家莊模擬)若一苧S<一看從單位圓中的三角函數(shù)線觀察sina,

cosa,tana的大小是（）

A.sina<tana<cosaB.cosa<sina<tana

C.sina<cosa<tanaD.tana<sina<cosa

［解析］如圖所示，作出角a的正弦線MR余弦線OM,正切線AT,觀察可得,

AT>OM>MP,故有sina<cosa<tana.

［答案］C

（2）（2018?高考北京卷）在平面直角坐標(biāo)系中翹，CD,EF,徐是圓f+V=l上

的四段?。ㄈ鐖D），點(diǎn)尸在其中一段上，角a以O(shè)x為始邊，。。為終邊.若tana

<cosa<sina,則尸所在的圓弧是（）

A.ABB.CD

C.EFD.GH

［解析］由題知四段弧是單位圓上的第一、二、三象限的弧，

在檢上，tan?>sina,不滿足；

在近）上，tana>sina,不滿足；

在ERE,sina>0,cosa<0,tana<0,且cosa>tana,滿足；在G”上，tana

>0,sina<0,cosa<0,不滿足.

［答案］C________

（3）y=［sinx—乎的定義域?yàn)?

［解析］??飛仙］2坐，作直線y=坐交單位圓于A、B兩點(diǎn)，連接。A、OBf則

OA與OB圍成的區(qū)域（圖中陰影部分）即為角x的終邊的范圍，故滿足條件的角x

的集合為

［答案］卜卜也+全三工W2也+號，AezJ

［破題技法］1.利用三角函數(shù)線可求特殊角的三角函數(shù)值

如sinO=MP=O,cosO=OM=l,tan()=0.

717T

sing=MP=l,cos/=OM=0.

sinn=MP=0,cosn=0M=~\.

2.判斷三角函數(shù)值符號

如：若a在第一象限，sina=M尸與y軸方向一致，為正；cosa=OM與x軸方

向一致，為正；

若a在第二象限，sina=MP與y軸方向一致，為正；

cosa=OM與x軸方向相反，為負(fù).

3.研究三角函數(shù)定義域

如sina,cosa不論a終邊在何處，MP、。用都有意義，故“WR；

7T元

而tana,當(dāng)［=±5時(shí)，作不出正切線，故(左6Z).

K同源異考重在觸類旁通

若?！?0,各，tana、sin。及a的大小如何？

答案：lana>a>sina

第二節(jié)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及誘導(dǎo)公式

^^_回顧教材-夯實(shí)基礎(chǔ)課本溫故追根來源

授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第53頁

［基礎(chǔ)梳理］

1.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式

(1)平方關(guān)系：sin2x+cos2%=1.

⑵商數(shù)關(guān)系：興三她一.

2.三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式

組數(shù)一二三四五六

2E+aTt

角兀+a—a7i—aa

(MN)2~

正弦sina一sins—sinasinacos。cosc

余弦cosa一cosacosc—cos。sina一sina

正切tanatana-tana一tana

一知識拓展提升思維能力

1.“一個(gè)口訣”

誘導(dǎo)公式可簡記為：奇變偶不變，符號看象限.“奇”與“偶”指的是女卷+。

中的整數(shù)人是奇數(shù)還是偶數(shù).“變”與“不變”是指函數(shù)的名稱的變化，若火是

奇數(shù)，則正、余弦互變；若Z為偶數(shù)，則函數(shù)名稱不變.“符號看象限”指的是

TTjr

在6+a中,將a看成銳角時(shí)后+a所在的象限.

2.兩個(gè)注意

(1)在利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式中的平方關(guān)系時(shí)，要根據(jù)角的范圍對開方結(jié)

果進(jìn)行討論.

(2)利用誘導(dǎo)公式化簡時(shí)要對題中整數(shù)A是奇數(shù)或偶數(shù)進(jìn)行討論.

3.兩個(gè)推廣

cosatan(^+a)=cosa

sinasina

［四基自測］

1.(基礎(chǔ)點(diǎn)：同角關(guān)系)已知sina=坐，則tana=()

A.-2B.2

C，2D.—2

答案:D

2.(基礎(chǔ)點(diǎn)：誘導(dǎo)公式內(nèi)吊210。8$120。的值為()

1-近

2A4dB-4

c-3D電

j24

答案：A

3.(基礎(chǔ)點(diǎn)：誘導(dǎo)公式)tan225。=.

答案：1

考點(diǎn)分類-深度剖析名師導(dǎo)悟以例示法

授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第54頁

考點(diǎn)一同角三角函數(shù)關(guān)系的應(yīng)用

挖掘1公式的直接應(yīng)用/自主練透

［例1］(1)(2020?濟(jì)南質(zhì)檢)若sina=一卷，且。為第四象限角，則tana=()

——o——

v1212

i12

［解析］cosa=q1—sii?1=在

sina5

(=?

■■tanzcosa=—1i2c

［答案］D

(2)已知cosa=Z,MR,a仁百，，則sina=()

A.—yj1B.J］一?

C.±\］T一官D.yj1-\~lc

［解析］由cosa=R,&￡R,兀)，可知2V0,設(shè)角a終邊上一點(diǎn)、P(k,y)(y

>0),OP=1,所以［3+丁=1,得y=y］1一9,由三角函數(shù)定義可知sina=yj1—R

［答案］B

”變式訓(xùn)練培養(yǎng)應(yīng)變能力

在本例(1)中，如果只知sina=一卷，則tana=.

答案：*

挖掘2關(guān)于sina、cosa的齊次式問題/互動探究

［例2］(1)(2020?平頂山聯(lián)考)已知：巾"+：85"=5,則高底品2a=()

JCOSasina/

3

AB.

55

C.-3D.3

sina+3cosa

［解析］由~z----------:—=5知tana=2

3cosa-sina

3

cos%+sinacosa1+tana-

cos2a+^sin2a=5

sin2a+cos2a1+tan2a

［答案］A

(2)已知tana=-y求2sin2a+sinacosa—3cos%的值.

［解析］Vsin2a+cos2a=1,cosaWO,

.ZsiMa+sinacosa-3cos2aZtaMa+tana-3

sin2a+cos2a-tan2a+1

挖掘3"sina±cosa”“sinacosa”及"1"之間的轉(zhuǎn)化/自主練透

［例3］⑴已知sin夕+cos夕￡(0,；),則sin6—cos8的值為()

A當(dāng)B.—乎

C.gD.

IA

［解析］因?yàn)?sinO+cosO)2=sin20+cos2O+2sin0?cos0=1+2sinOcos0=豆，所

7

以2sin夕cos9=g,則(sin夕一cos0)2=sin2^+cos2^-2sin6^-cos6=1_2sinBcos0

_2

=9,

又因?yàn)椤！?0,：),所以sinJvcos。，即sin夕一cos9<0,

所以sinO—cos0=一勺.

［答案1B

(2)sin210+sin22°+…+sin289°=.

［解析］因?yàn)閟inio=cos89。，所以sin210+sin2890=cos2890+sin289o=1,同理

sin220+sin288o=l,???,sin244o4-sin246°=1,而sin245o=z.故原式=44+，=

［答案144T

(3)(2018?高考全國卷H)已知sina+cosp=1,cosa+sin￡=0,則sin(a+")=

［解析］：sina+cos夕=1,①

cosa+sin￡=0,②

.???2+②2得1+2(sinacos￡+cosasin尸)+1=1.

sinacos￡+cosasinP=-g,

/.sin(a+^)=—

［答案］-1

［破題技法］同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用技巧

技巧解讀適合題型

主要利用公式tanO=鬻化成正弦、余弦，或者

切弦表達(dá)式中含有sin仇

互化利用公式舞=lan?；烧衏os。與tan夕

C/

jr

力”的1=sin2^+cos2<9=cos2t?(1+tan20=tan^=(sin表達(dá)式中需要利用

變換“1”轉(zhuǎn)化

6^±cos02+2sinJcos0

和積利用(sin出cos6)2=1±2sinOcos。的關(guān)系進(jìn)行變表達(dá)式中含有sin

轉(zhuǎn)換形、轉(zhuǎn)化。上cos0或sinOcos9

(1)對于含有根號的，即形如F(其中A是可以轉(zhuǎn)化

為形如片的三角函數(shù)式)的式子，常把根號下的式

次￥

子化為完全平方式，根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡或求出現(xiàn)根號或高次幕的

升

降

值.結(jié)構(gòu)形式

(2)對于含有高次的三角函數(shù)式，一般借助于因式

分解、約分、構(gòu)造sin2e+cos20=l來降低次數(shù)

考點(diǎn)二誘導(dǎo)公式的應(yīng)用

1)已知cos仁一,=宗貝gSin(a-第=________.

［例］(

sin(a--sin停-a)

［解析］

?！?+0)]=-sin停+a)

=-sir

核備。)]=一。竭—)7

=-sir

［答案］-f2

、r2sin(元+a)cosCn-a)-cos(n+?)

(2)設(shè)式a)=---------------------z^Z""x--------71""x~~(l+2sina^0).

1d-sin2a4-cos(^~+aj-sin^+aj

①化簡Ha)；

②若a=一2鏟37r，求Az)的值.

…(-2sina)?(—cosa)—(-cosa)

［解析］刨。尸-------1+sin^+sina-cos^------------

2sinacosa+cosacosa(2sina+l)

2sin2ot+sinasina(2sin?+1)

cosa1

sinatana

②當(dāng)a=一留時(shí)，式a)=A—半)=——I

tan

111n

tanl-4元+5^

［破題技法］1.誘導(dǎo)公式的作用是異角化同角:

2.應(yīng)用誘導(dǎo)公式時(shí)，注意：

（1）明確函數(shù)名是變，還是不變；

（2）明確函數(shù)值符號是正還是負(fù)；

（3）明確是否直接用公式；

（4）明確各公式的應(yīng)用順序.

3.含2兀整數(shù)倍的誘導(dǎo)公式的應(yīng)用

由終邊相同的角的關(guān)系可知，在計(jì)算含有2兀的整數(shù)倍的三角函數(shù)式中可直接將

2兀的整數(shù)倍去掉后再進(jìn)行運(yùn)算.

L變式訓(xùn)練培養(yǎng)應(yīng)變能力

若本例⑴中條件不變，求si島+a）的值.

考點(diǎn)三同角關(guān)系的誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用

挖掘1以化為“同名”函數(shù)為主線/自主練透

［例1］⑴己知tana=2,則（；05（兀+好85仔+0（）的值為.

［解析］依題意得cos（K+a）cosg+a}=cosasin喙:篙器=i￡fc=|?

[答案]f2

(2)已知QW(0,冷,tana=2,求

sina-

——=2

［解析］由題意得cosa

.sin2a+cosza=1

a￡(0,

?

??sm?a_詬2,cos。__樂L.

Hit...n

=cosacos^+sm?sin^

=%旨如普

挖掘2以化為“同角”函數(shù)為主線/互動探究

[例2](1)已知sinfaIT)+COS"=一坐，則cos[-a

)

A-空B空

A.3氏3

1

C.D.

3

［解析1由sin(a+^)+cosa=一坐，展開化簡可得sin(a+?=

—I，所以8$e一。)=

n

cos2~a+等=sin(a+]J=—1.故選C.

［答案］c

(2)已知〃是第四象限角，且sin

［解析］因?yàn)椤Ｊ堑谒南笙弈希?/p>

且碰+：)=|，

7T

所以0+e為第一象限角，

所以cos(0+；)=之，

_J°V+4j_4

sin（0+￡）'

4

［答案］-3

（3）在平面直角坐標(biāo)系x。），中，角。與角夕均以O(shè)x為始邊，它們的終邊關(guān)于y軸

對稱，若sina=1,則sin.

［解析］a與4的終邊關(guān)于），軸對稱，則a+夕=兀+2也，k^Z.

.??夕=加一a+2E,kwZ.

??sinp=sin（n—a+2kit）=sin

［答案］|

挖掘3以“變式”為主線/互動探究

［例3］⑴已知函數(shù)兀c）=asin（心+。）+慶0式心+協(xié)且式4）=3,則共2019）的值

為（）

A.-1B.1

C.3D.-3

［解析］因?yàn)椋?）=3,所以“sina+bcos6=3,

故人2019）=tzsin（2019n+a）-|-Z?cos（2019兀+夕）

=—?sina—bcos夕=一（asina+/?cos6）=-3.

［答案］D

,JI

（2）（2020?福州調(diào)研）已知a為銳角，且2tan（兀-a）—3cos（5+￡）+5=0,tan（7i+a）

+6sin（7i+￡）—1=0,則sina=.

［解析］由已知得一2tana+3sin4+5=0①

tana—6sin/一1=0②

tan?=3,

即^^=3,又sii?a+cos2a=1,

“看..35

a為銳用，..sina=Jg.

［答案］嚼

［破題技法］1.先用誘導(dǎo)公式將已知式和待求式都轉(zhuǎn)化為角。的三角函數(shù)，然后

再根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求解，用誘導(dǎo)公式時(shí)務(wù)必先使其符合公式形式：

變其角，合其形，求其值.

2.誘導(dǎo)公式與同角關(guān)1式結(jié)合起來，進(jìn)行“三變”，變角、變名、變式

變名：主要是溝通已知與所求函數(shù)名之間的聯(lián)系，進(jìn)行轉(zhuǎn)化，正弦一余弦，切一

弦.

變角：主要溝通已知角與所求角間的聯(lián)系：用已知角表示所求角.

第三節(jié)三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

^^_回顧教材-夯實(shí)基礎(chǔ)課本溫故追根求源

授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第56頁

［基礎(chǔ)梳理］

1.用五點(diǎn)法作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡圖

正弦函數(shù)尸sinx,x￡［0,20的圖像上，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是：（0,0），仔1），（兀，

0）,僧』（2元，0）.

余弦函數(shù)曠=85%,2兀］的圖像上，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是：（0,1）,住0）,（兀，-1）,

（竽,0）,（271,1）.

2.正弦、余弦、正切函數(shù)的圖像與性質(zhì)（下表中女WZ）

函數(shù)y=sinxy=cosxy=tanx

yy

圖像)△2》

\\,7a（可克

｛小￡R,

定義域RRJr

且xWE十m

值域[T，1][-b1]R

周期性2K2兀7t

奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)

（&兀一

2E-2kn+5為增；［2hr,2E+句為

單調(diào)性減；［2E—兀，2kx］

E+宮為增

2E+52kit+苧為減為增

（E+去0）僵,0）

對稱中心(E,0)

對稱軸x=kit

3.周期函數(shù)

（1）周期函數(shù)：對于函數(shù)?r）,如果存在一個(gè)非零常數(shù)7,使得當(dāng)不取定義域內(nèi)的

每一個(gè)值時(shí)，都有yu+7）=/ix）,那么函數(shù)貝1）就叫作周期函數(shù)，非零常數(shù)了叫

作這個(gè)函數(shù)的周期.

（2）最小正周期：如果在周期函數(shù)/U）的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù),那么這

個(gè)最小正數(shù)就叫作用0的最小正周期.

18知識拓展提升思維能力

1.一個(gè)易混點(diǎn)

jr7T

正切函數(shù)y=tan戈的單調(diào)性只能說：在（E一弓，E+5）上女為增函數(shù)，不能說

為：在定義域上為增函數(shù).

2.一個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)

求函數(shù)）,=Asin（cor+9）的單調(diào)區(qū)間時(shí)，應(yīng)注意口的符號，只有當(dāng)8>0時(shí)，才能

把GX十夕看作一個(gè)整體，代入y=sin，的相應(yīng)單調(diào)區(qū)間求解，否則將出現(xiàn)錯(cuò)誤.

3.三角函數(shù)的對稱與周期的關(guān)系

（1）正弦曲線、余弦曲線相鄰兩對稱中心、相鄰兩對稱軸之間的距離是半周期，

相鄰的對稱中心與對稱軸之間的距離是:周期.

（2）正切曲線相鄰兩對稱中心之間的距離是半周期.

4.關(guān)于周期的兩個(gè)結(jié)論

函數(shù)y=|sinx|,y=|cosx\ty=|tanx|的周期為兀，函數(shù)），=sinx］,不是周期函數(shù),

y=tan僅|不是周期函數(shù).

［四基自測］

1.（基礎(chǔ)點(diǎn)：正弦函數(shù)的單調(diào)性）函數(shù)y=gsinx,兀，兀］的單調(diào)性是（）

A.在［―兀，0］上是增函數(shù)，在［0,%］上是減函數(shù)

B.在［一多句上是增函數(shù)，在卜加一句和慘可上都是減函數(shù)

C.在［0,兀］上是增函數(shù)，在［一兀，0］上是減函數(shù)

D.在主兀和一兀，節(jié)上是增函數(shù)，在一會3上是減函數(shù)

答案：B

2.（基礎(chǔ)點(diǎn)：正切函數(shù)的定義域）函數(shù)y=lan2x的定義域是（）

［71］

A.j.vxNE+w，k^Z：

B.LV與+/，

I2oJ

C.,jxksZ;

D.{x丘苧+￡，Awn}

答案：D

3.（易錯(cuò)點(diǎn)：三角函數(shù)的值域）/（x）=cos2x一女osx的最大值為.

答案：4

4.（基礎(chǔ)點(diǎn)：三角函數(shù)大小比較）cos23°,sin68°,cos97。從小到大的順序是

答案：cos970<cos230<sin68°

考點(diǎn)分類-深度剖析名師導(dǎo)悟以例示法

授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第57頁

考點(diǎn)一有關(guān)三角函數(shù)的定義域、值域、最值問題

挖掘1有關(guān)三角函數(shù)的定義域（自主練透

［例1］⑴函數(shù)y=lgsinx+yjcos――亨的定義域?yàn)?

卜inx>0,

［解析］要使函數(shù)有意義，則有《1、八

Icosx2*****。,

sinx>0,

即＜

cos.制,

2kn<x<n-^-2knf

解得7i,...i兀［c,("￡N),

所以2女兀＜工或全+2而，kGZ.

所以函數(shù)的定義域?yàn)椴?EV啟亨+2履，k^Z.

［答案］卜2EVxW+2E,k^z\

⑵函數(shù)於）=----上”的定義域?yàn)?

tan（x+z）

［解析］要使兀0有意義，則有

?\E-］兀VxVE一親或左兀一襲VE+?

［答案］{出兀一驢VjcVE一5或E一5VxVE+三，&￡N}

［破題技法］求三角函數(shù)的定義域?qū)嶋H上就是解簡單的三角不等式，常借助于三

角函數(shù)線或三角函數(shù)圖像來求解.

挖掘2利用單調(diào)性求最值/互動探究

［例2］⑴函數(shù)Ax）=3sin（2_L5）在區(qū)間0,方上的值域?yàn)椋?/p>

)

|,3

B.-

_35

D.2，J

［o,時(shí)，

［*,劄sin(2x一"1

e

2r-汪oT1,

故3sin（2x一季卜卜方，3,即此時(shí)函數(shù)段）的值域是一方，3

［答案］B

⑵已知函數(shù)fix）=sin2x+^/§sinxcosx.

若加）在區(qū)間［一?〃］上的最大值為去求機(jī)的最小值.

［解析］兀0=sin2/+小sinxcos工

I?/3

=2-2C0S標(biāo)+手sin2x

=sin（2x*）+；,由題意知一

所以一次<一工乏加一工

02%020

要使得7U)在區(qū)間一小m上的最大值為方

即sin(2r-1］在區(qū)間—^,m上的最大值為1.

IF71TL

所以2/H—U4即相。

7T

即機(jī)的最小值為太

挖掘3換元法求三角函數(shù)的最值(值域)/互動探究

［例3］(2017?高考全國卷II)函數(shù)y(x)=sin2x+小cosx一芥￡0,牛的最大值是

［解析1段)=1-COS2JV+小cosx-4=_cos2x+V3cosx+^=-l^cos2~l+

1,網(wǎng)為工￡0,微，所以cosx￡「0,1］,所以當(dāng)cosx=半上，函數(shù)取得最大值

1.

［答案］1

［破題技法］1.形如y=4sin(cwx+3^y=Acos(5+e),(A>0)(x￡R)其最值都是

當(dāng)sin(cox+o)=±l或COS(Q)X+S)=±1時(shí)取得的士4.

2.求解三角函數(shù)的值域(最值)常見三種類型：

⑴形如y=asinx+bcosx+c的三角函數(shù)化為y=4sin(a)x+w)+c的形式，再求值

域(最值);

(2)形如y=asin2x+/?sinx+c的三角函數(shù)，可先設(shè)sinx=r,化為關(guān)于f的二次函

數(shù)求值域(最值)；

⑶形如y=asinxcosx+仇sinx±cosx)+c的三角函數(shù)，可先設(shè)f=sinx土cosx,化

為關(guān)于t的二次函數(shù)求值域(最值).

對于(2)(3)類型，主要采用換元法.

令r=sinx或f=cosx,進(jìn)而將三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的函數(shù).形如y=asii?x+

加inx+c,可設(shè)/=sinx,將其轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)丁=〃"+初十武/仁［-1,1］);形如

y=〃sinxcosx+伙sinx±cos%)+c,可設(shè)r=sinx+cosx,貝］?=l±2sinxcosx,即

sinxcosx=±2(l2—1),將其轉(zhuǎn)化為二次函數(shù))=±%(?—1)+4+c(f￡［一啦，

啦］).換元時(shí)一定要注意新元的取值范圍.

考點(diǎn)二三角函數(shù)的單調(diào)性

挖掘1求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間/互動探究

［例1］已知函數(shù)段)=45cos2L2sin2(x—G),其中OVQV看且心)=一市一

1.

(1)求a的值；

⑵求/U)的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間.

［解析］⑴由已知得度)=—仍一2sin2(］—a)=一小一2COS2Q=一小一1,

整理得cos2a=2.

因?yàn)镺VQV會所以cosa=4，a=^.

（2）由⑴知，J（x）=yj3cos2x—2sin2（x-?）=V3coslx—1+cos（2x—5）=V3cos2x+

T4

Tt

sinlx-1=2sin（2x+g）-1.

易知函數(shù)J（x）的最小正周期T=7t.

jr

令，=2x+］,則函數(shù)?r）可轉(zhuǎn)化為y=2sint—\.

顯然函數(shù)y=2sint—1與y=sint的單調(diào)性相同，

jr37r

當(dāng)函數(shù)y=sint單調(diào)遞減時(shí)，■（女￡N）,

即2&九+2<2￥+§《2也+爹（左wZ）,

7T71E

解得E+五WxWE十五（攵￡Z）.

所以函數(shù)於）的單調(diào)遞減區(qū)間為［E+專，E+賴&￡Z）.

［破題技法］求三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的方法

就是將比較復(fù)雜的三角函數(shù)含自變量的代數(shù)式整體當(dāng)作一個(gè)角〃（或。，

代換法

利用基本三角函數(shù)的單調(diào)性列不等式求解

圖像法畫出三角函數(shù)的圖像，結(jié)合圖像求它的單調(diào)區(qū)間

&變式訓(xùn)練培養(yǎng)應(yīng)變能力

本例題中若求函數(shù)段）在［號，爭上的單調(diào)遞減區(qū)間呢？

解析：由本題可得，函數(shù)寅x）=2sin（2r+^）—1的單調(diào)遞減區(qū)間為伙H+吉E+

J14

奇（左￡N）.當(dāng)k=—\時(shí)，函數(shù)外）的單調(diào)遞減區(qū)間為［一皆，—ff］，與給定區(qū)

間的交集為［一會—軟；當(dāng)&=0時(shí)，函數(shù)加）的單調(diào)遞減區(qū)間為哈，居］,與給

定區(qū)間的交集為信，合.所以函數(shù)於）在［一'上的單調(diào)遞減區(qū)間為一居］

和［芨,升

挖掘2利用單調(diào)性比較大小/自主練透

［例2］己知函數(shù)/（x）=2sin（x+令，設(shè)「=若）,十=龍）,c=啟），則■。的

大小關(guān)系是（）

A.a<c<bB.c<a<b

C.bVa〈cD.b〈c<a

［解析］a=畤）=2sin聚,

,?兀、_.71

8=?d)=2sin],

因?yàn)閥=sinx在［0,多上單調(diào)通、,所以cVqVb.

［答案］B

［破題技法］利用三角函數(shù)的單調(diào)性比較兩個(gè)三角函數(shù)值的大小，關(guān)鍵是將這兩

個(gè)三角函數(shù)值化為在同一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)的兩個(gè)角的同名三角函數(shù)值.對于正弦函

數(shù)來說，一般將兩個(gè)角轉(zhuǎn)化至十一去引或其用內(nèi)；對于余弦函數(shù)來說，一般將

兩個(gè)角轉(zhuǎn)化到［一兀,0］或［0,幻內(nèi).

?變式訓(xùn)練培養(yǎng)應(yīng)變能力

將本例題中函數(shù)改為yU)=2cosCr+》，則a,b,c的大小如何？

］3

解析：〃=7弓)=285行兀，

,c兀-兀

b=y(d)=2cos?

nTI

c=_A])=2cosi=0,

挖掘3利用單調(diào)性求參數(shù)/互動探究

［例3］(1)(2018?高考全國卷II)若/(x)=cosx-sinx在［―a,a］是減函數(shù),則。

的最大值是()

.冗B,^

A-4

-3兀_

C.彳D.兀

［解析］/(x)=cosx-sinx

=-V^fsinx-^2

,「兀31c兀「兀兀1,

當(dāng)問一不利即”一片［一子5」時(shí)，

y=sin(x—單調(diào)遞增，y=一啦sin卜一爭單調(diào)遞減.

:函數(shù)/(x)在[―a,a]是減函數(shù),

[~afa]Q

???ov〃W，?"的最大值為;.

故選A.

［答案］A

(2)已知口＞0,函數(shù)貝X)=COS(Q?+；)在修兀)上單調(diào)遞增，則co的取值范圍是

)

一151-

--rl7

?--

A.242

C?

一

一B.471

一39--

-D.3-

-?-

甲424

一

一

［解析］函數(shù)y=cosx的單調(diào)遞增區(qū)間為［—兀+2E,2kn］,則

等+￡2一兀+2々兀,kGZ,

<

①兀+；W2E,keZ,

解得以一|<①又由我一|一3一加0,%￡Z且2—（>0"￡N,

r37-

d--

l24

-

得D

SI

7r7r7T

⑶若函數(shù)外）=sins■（①>0）在［0,上單調(diào)遞增，在區(qū)間中51上單調(diào)遞減，則

3=.

［解析］法一：由于函數(shù)*x）=sincor（切>0）的圖像經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，由已知并結(jié)合

正弦函數(shù)的圖像可知，三為函數(shù)應(yīng)￥）的周期，故號=與，解得/=，.

JT7T

法二：由題意，得7（X）max=AQ）=SinQ①=1.

由已知并結(jié)合正弦函數(shù)圖像可知，*y=^+2E（&￡Z）,解得刃=|+6&（&￡Z）,

3

所以當(dāng)2=0時(shí)，①=,

3

［答案］5

［破題技法已知三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求參數(shù)的取值范圍的三種方法

求出原函數(shù)的相應(yīng)單調(diào)區(qū)間，由已知區(qū)間是所求某區(qū)間的子集，列不

子集法

等式（組）求解

由所給區(qū)間求出整體角的范圍，由該范圍是某相應(yīng)正、余弦函數(shù)的某

反子集法

個(gè)單調(diào)區(qū)間的子集，列不等式（組）求解

周期法由所給區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)到其相應(yīng)對稱中心的距離列不等式（組）求解

考點(diǎn)三三角函數(shù)的奇偶性、對稱性、周期性

挖掘1三角函數(shù)的周期性、奇偶性/互動探究

［例1］（1）（2018?高考全國卷III）函數(shù)於）=般容的最小正周期為（）

11ianx

c兀

B，2

C.itD.2兀

sinxsm%

由已知得/）=常常=COSXCOSX

［解析］-=—2~0=sinx-cosx

2cosXi"sin*x

1+

露）COS2X

sin2xf所以/(x)的最小正周期為7=號=兀

故選C.

［答案］