高考數(shù)學一輪復習(新教材新高考)第05講利用導數(shù)研究恒成立問題專項練習(學生版+解析)

第05講利用導數(shù)研究恒成立問題（核心考點精講精練）1.4年真題考點分布4年考情考題示例考點分析關聯(lián)考點2023年新I卷，第19題,12分利用導數(shù)研究不等式恒成立問題含參分類討論求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間2023年新Ⅱ卷，第22題,12分利用導數(shù)研究不等式恒成立問題利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(不含參)利用導數(shù)研究函數(shù)的零點根據(jù)極值點求參數(shù)2022年新Ⅱ卷，第22題,12分利用導數(shù)研究不等式恒成立問題含參分類討論求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間裂項相消法求和2020年新I卷，第21題,12分利用導數(shù)研究不等式恒成立問題求在曲線上一點處的切線方程2020年新Ⅱ卷，第22題,12分利用導數(shù)研究不等式恒成立問題求在曲線上一點處的切線方程2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，設題穩(wěn)定，難度較大，分值為12分【備考策略】1能用導數(shù)證明函數(shù)的單調(diào)性2能求出函數(shù)的極值或給定區(qū)間的最值3恒成立，恒成立，【命題預測】導數(shù)的綜合應用是高考考查的重點內(nèi)容,也是高考壓軸題之一近幾年高考命題的趨勢，是穩(wěn)中求變、變中求新、新中求活，縱觀近幾年的高考題,導數(shù)的綜合應用題考查多個核心素養(yǎng)以及綜合應用能力,有一定的難度,一般放在解答題的最后位置，對數(shù)學抽象、數(shù)學運算、邏輯推理等多個數(shù)學學科的核心素養(yǎng)都有較深入的考查，需綜合復習知識講解恒成立問題常見類型假設為自變量，其范圍設為，為函數(shù)；為參數(shù)，為其表達式，（1）的值域為①，則只需要，則只需要②，則只需要，則只需要（2）若的值域為①，則只需要，則只需要（注意與（1）中對應情況進行對比）②，則只需要，則只需要（注意與（1）中對應情況進行對比）恒成立問題的解決策略=1\*GB3①構造函數(shù)，分類討論；②部分分離，化為切線；③完全分離，函數(shù)最值；=4\*GB3④換元分離，簡化運算；在求解過程中，力求“腦中有‘形’，心中有‘數(shù)’”.依托端點效應，縮小范圍，借助數(shù)形結合，尋找臨界.一般地，不等式恒成立、方程或不等式有解問題設計獨特，試題形式多樣、變化眾多，涉及到函數(shù)、不等式、方程、導數(shù)、數(shù)列等知識，滲透著函數(shù)與方程、等價轉換、分類討論、換元等思想方法，有一定的綜合性，屬于能力題，在提升學生思維的靈活性、創(chuàng)造性等數(shù)學素養(yǎng)起到了積極的作用，成為高考的一個熱點．考點一、利用導數(shù)解決函數(shù)恒成立問題1．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)(1)當時，討論的單調(diào)性；(2)若恒成立，求a的取值范圍．2．（2020·海南·高考真題）已知函數(shù)．（1）當時，求曲線在點處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積；（2）若不等式恒成立，求a的取值范圍．3．（2020·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù).（1）當a=1時，討論f（x）的單調(diào)性；（2）當x≥0時，f（x）≥x3+1，求a的取值范圍.1．（2023·河北·模擬預測）已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若存在實數(shù)，使得關于的不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.2．（2023·江蘇鹽城·統(tǒng)考三模）已知函數(shù).(1)當時，求的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若恒成立，求的取值范圍.3．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)．(1)討論函數(shù)零點個數(shù)；(2)若恒成立，求a的取值范圍．4．（2023·湖北荊門·荊門市龍泉中學?？寄M預測）設函數(shù)，且．(1)求函數(shù)的單調(diào)性；(2)若恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．5．（2023·山東·山東省實驗中學校聯(lián)考模擬預測）已知函數(shù)，其中．(1)討論方程實數(shù)解的個數(shù)；(2)當時，不等式恒成立，求的取值范圍．【基礎過關】1．（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預測）已知函數(shù)，．(1)當時，求在處的切線方程；(2)若時，恒成立，求的取值范圍．2．（2023·安徽蚌埠·統(tǒng)考三模）已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；（2）函數(shù)，當時，恒成立，求整數(shù)的最小值.3．（2023·安徽滁州·?？家荒＃┮阎瘮?shù)．(1)當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)當時，若關于x的不等式恒成立，試求a的取值范圍．4．（2023·遼寧鞍山·校聯(lián)考一模）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若對任意的，都有成立，求a的取值范圍．5．（2023·廣東惠州·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)．(1)當時，求在處的切線方程；(2)當時，不等式恒成立，求的取值范圍．6．（2023·湖南衡陽·?？寄M預測）已知函數(shù)，．(1)當，求的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)若在恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．7．（2023·浙江寧波·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)，．(1)若，求曲線在點處的切線方程；(2)若在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍．8．（2023·江蘇無錫·輔仁高中校考模擬預測）已知函數(shù)，．(1)求函數(shù)的極值點；(2)若恒成立，求實數(shù)的取值范圍．9．（2023·河北·校聯(lián)考一模）已知函數(shù)．(1)當時，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若，不等式恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．10．（2023·安徽馬鞍山·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)(1)當時，求函數(shù)的極值；(2)當時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【能力提升】1．（2023·湖北武漢·華中師大一附中?？寄M預測）已知函數(shù)．(1)求的零點個數(shù)；(2)當時，恒成立，求的取值范圍．2．（2023·黑龍江齊齊哈爾·齊齊哈爾市實驗中學校考三模）已知函數(shù).(1)當時，求函數(shù)的極值；(2)若恒成立，求實數(shù)的取值范圍.3．（2023·海南·?？寄M預測）已知，函數(shù).(1)當時，求曲線在處的切線方程；(2)若恒成立，求實數(shù)的取值范圍.4．（2023·山東·山東省實驗中學校聯(lián)考模擬預測）已知函數(shù)，其中．(1)討論方程實數(shù)解的個數(shù)；(2)當時，不等式恒成立，求的取值范圍．5．（2023·江蘇無錫·江蘇省天一中學校考模擬預測）已知函數(shù)，.(1)當時，證明：在上恒成立；(2)判斷函數(shù)的零點個數(shù).6．（2023·福建廈門·統(tǒng)考模擬預測）已知函數(shù)．(1)當時，討論在區(qū)間上的單調(diào)性；(2)若，求的值．7．（2023·廣東·校聯(lián)考模擬預測）已知函數(shù)(1)當時，證明：；(2)已知在上恒成立，求的取值范圍.8．（2023·山東菏澤·山東省鄄城縣第一中學?？既＃┮阎瘮?shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求實數(shù)的取值范圍；(3)若，且在上恒成立，證明：．9．（2023·河北滄州·?？寄M預測）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的極值點個數(shù)；(2)若不等式在上恒成立，求可取的最大整數(shù)值.10．（2023·廣東佛山·統(tǒng)考模擬預測）已知函數(shù)，其中.(1)討論函數(shù)極值點的個數(shù)；(2)對任意的，都有，求實數(shù)的取值范圍.【真題感知】1．（北京·高考真題）已知函數(shù)．（Ⅰ）求曲線在點處的切線方程；（Ⅱ）求證：當時，；（Ⅲ）設實數(shù)使得對恒成立，求的最大值．2．（天津·高考真題）已知函數(shù)，其中.（1）曲線在點處的切線方程為，求函數(shù)的解析式；（2）討論函數(shù)的單調(diào)性；（3）若對于任意的，不等式在上恒成立，求b的取值范圍.3．（江西·高考真題）已知函數(shù)f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－與x＝1時都取得極值（1）求a、b的值與函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間（2）若對，不等式恒成立，求c的取值范圍.4．（湖南·高考真題）函數(shù)，記為的從小到大的第個極值點．（Ⅰ）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（Ⅱ）若對一切恒成立，求的取值范圍．5．（四川·高考真題）設函數(shù)f(x)=ax2-a-lnx，其中a∈R.（I）討論f(x)的單調(diào)性；（II）確定a的所有可能取值，使得在區(qū)間（1，+∞）內(nèi)恒成立(e=2.718…為自然對數(shù)的底數(shù))．6．（天津·高考真題）已知函數(shù)，其中.（Ⅰ）若曲線在點處的切線方程為，求函數(shù)的解析式；（Ⅱ）討論函數(shù)的單調(diào)性；（Ⅲ）若對于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范圍.

第05講利用導數(shù)研究恒成立問題（核心考點精講精練）1.4年真題考點分布4年考情考題示例考點分析關聯(lián)考點2023年新I卷，第19題,12分利用導數(shù)研究不等式恒成立問題含參分類討論求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間2023年新Ⅱ卷，第22題,12分利用導數(shù)研究不等式恒成立問題利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(不含參)利用導數(shù)研究函數(shù)的零點根據(jù)極值點求參數(shù)2022年新Ⅱ卷，第22題,12分利用導數(shù)研究不等式恒成立問題含參分類討論求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間裂項相消法求和2020年新I卷，第21題,12分利用導數(shù)研究不等式恒成立問題求在曲線上一點處的切線方程2020年新Ⅱ卷，第22題,12分利用導數(shù)研究不等式恒成立問題求在曲線上一點處的切線方程2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，設題穩(wěn)定，難度較大，分值為12分【備考策略】1能用導數(shù)證明函數(shù)的單調(diào)性2能求出函數(shù)的極值或給定區(qū)間的最值3恒成立，恒成立，【命題預測】導數(shù)的綜合應用是高考考查的重點內(nèi)容,也是高考壓軸題之一近幾年高考命題的趨勢，是穩(wěn)中求變、變中求新、新中求活，縱觀近幾年的高考題,導數(shù)的綜合應用題考查多個核心素養(yǎng)以及綜合應用能力,有一定的難度,一般放在解答題的最后位置，對數(shù)學抽象、數(shù)學運算、邏輯推理等多個數(shù)學學科的核心素養(yǎng)都有較深入的考查，需綜合復習知識講解恒成立問題常見類型假設為自變量，其范圍設為，為函數(shù)；為參數(shù)，為其表達式，（1）的值域為①，則只需要，則只需要②，則只需要，則只需要（2）若的值域為①，則只需要，則只需要（注意與（1）中對應情況進行對比）②，則只需要，則只需要（注意與（1）中對應情況進行對比）恒成立問題的解決策略=1\*GB3①構造函數(shù)，分類討論；②部分分離，化為切線；③完全分離，函數(shù)最值；=4\*GB3④換元分離，簡化運算；在求解過程中，力求“腦中有‘形’，心中有‘數(shù)’”.依托端點效應，縮小范圍，借助數(shù)形結合，尋找臨界.一般地，不等式恒成立、方程或不等式有解問題設計獨特，試題形式多樣、變化眾多，涉及到函數(shù)、不等式、方程、導數(shù)、數(shù)列等知識，滲透著函數(shù)與方程、等價轉換、分類討論、換元等思想方法，有一定的綜合性，屬于能力題，在提升學生思維的靈活性、創(chuàng)造性等數(shù)學素養(yǎng)起到了積極的作用，成為高考的一個熱點．考點一、利用導數(shù)解決函數(shù)恒成立問題1．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)(1)當時，討論的單調(diào)性；(2)若恒成立，求a的取值范圍．【答案】(1)答案見解析.(2)【分析】（1）求導,然后令,討論導數(shù)的符號即可;（2）構造,計算的最大值,然后與0比較大小,得出的分界點,再對討論即可.【詳解】（1）令,則則當當,即.當,即.所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減（2）設設所以.若,即在上單調(diào)遞減,所以.所以當,符合題意.若當,所以..所以,使得,即,使得.當,即當單調(diào)遞增.所以當,不合題意.綜上,的取值范圍為.【點睛】關鍵點點睛:本題采取了換元,注意復合函數(shù)的單調(diào)性在定義域內(nèi)是減函數(shù),若,當,對應當.2．（2020·海南·高考真題）已知函數(shù)．（1）當時，求曲線在點處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積；（2）若不等式恒成立，求a的取值范圍．【答案】（1）（2）【分析】（1）利用導數(shù)的幾何意義求出在點切線方程，即可得到坐標軸交點坐標，最后根據(jù)三角形面積公式得結果；（2）方法一：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，當a=1時，由得,符合題意；當a>1時，可證，從而存在零點，使得，得到，利用零點的條件，結合指數(shù)對數(shù)的運算化簡后，利用基本不等式可以證得恒成立；當時，研究.即可得到不符合題意.綜合可得a的取值范圍.【詳解】（1），，.，∴切點坐標為(1,1+e),∴函數(shù)在點(1,f(1)處的切線方程為,即,切線與坐標軸交點坐標分別為,∴所求三角形面積為．（2）［方法一］：通性通法,，且.設,則∴g(x)在上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增，當時，,∴,∴成立.當時，，，,∴存在唯一，使得，且當時，當時，，，因此>1,∴∴恒成立；當時，∴不是恒成立.綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是[1,+∞).［方法二］【最優(yōu)解】：同構由得，即，而，所以．令，則，所以在R上單調(diào)遞增．由，可知，所以，所以．令，則．所以當時，單調(diào)遞增；當時，單調(diào)遞減．所以，則，即．所以a的取值范圍為．［方法三］：換元同構由題意知，令，所以，所以．于是．由于，而在時為增函數(shù)，故，即，分離參數(shù)后有．令，所以．當時，單調(diào)遞增；當時，單調(diào)遞減．所以當時，取得最大值為．所以．［方法四］：因為定義域為，且，所以，即．令，則，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增．因為，所以時，有，即．下面證明當時，恒成立．令，只需證當時，恒成立．因為，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，則．因此要證明時，恒成立，只需證明即可．由，得．上面兩個不等式兩邊相加可得，故時，恒成立．當時，因為，顯然不滿足恒成立．所以a的取值范圍為．【整體點評】（2）方法一：利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出其最小值，由即可求出，解法雖稍麻煩，但是此類題，也是本題的通性通法；方法二：利用同構思想將原不等式化成，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性以及分離參數(shù)法即可求出，是本題的最優(yōu)解；方法三：通過先換元，令，再同構，可將原不等式化成，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性以及分離參數(shù)法求出；方法四：由特殊到一般，利用可得的取值范圍，再進行充分性證明即可．3．（2020·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù).（1）當a=1時，討論f（x）的單調(diào)性；（2）當x≥0時，f（x）≥x3+1，求a的取值范圍.【答案】（1）當時，單調(diào)遞減，當時，單調(diào)遞增.（2）【分析】(1)由題意首先對函數(shù)二次求導，然后確定導函數(shù)的符號，最后確定原函數(shù)的單調(diào)性即可.(2)方法一：首先討論x=0的情況，然后分離參數(shù)，構造新函數(shù)，結合導函數(shù)研究構造所得的函數(shù)的最大值即可確定實數(shù)a的取值范圍.【詳解】(1)當時，，，由于，故單調(diào)遞增，注意到，故：當時，單調(diào)遞減，當時，單調(diào)遞增.(2)[方法一]【最優(yōu)解】：分離參數(shù)由得，，其中，①.當x=0時，不等式為：，顯然成立，符合題意；②.當時，分離參數(shù)a得，，記，，令，則，，故單調(diào)遞增，，故函數(shù)單調(diào)遞增，，由可得：恒成立，故當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減；因此，,綜上可得，實數(shù)a的取值范圍是.[方法二]：特值探路當時，恒成立．只需證當時，恒成立．當時，．只需證明⑤式成立．⑤式，令，則，所以當時，單調(diào)遞減；當單調(diào)遞增；當單調(diào)遞減．從而，即，⑤式成立．所以當時，恒成立．綜上．[方法三]：指數(shù)集中當時，恒成立，記，，①.當即時，，則當時，，單調(diào)遞增，又，所以當時，，不合題意；②.若即時，則當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，又，所以若滿足，只需，即，所以當時，成立；③當即時，，又由②可知時，成立，所以時，恒成立，所以時，滿足題意.綜上，.【整體點評】導數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學中重要的知識點，本題主要考查利用導數(shù)解決恒成立問題，常用方法技巧有：方法一，分離參數(shù)，優(yōu)勢在于分離后的函數(shù)是具體函數(shù)，容易研究；方法二，特值探路屬于小題方法，可以快速縮小范圍甚至得到結果，但是解答題需要證明，具有風險性；方法三，利用指數(shù)集中，可以在求導后省去研究指數(shù)函數(shù)，有利于進行分類討論，具有一定的技巧性！1．（2023·河北·模擬預測）已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若存在實數(shù)，使得關于的不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)答案見解析.(2)【分析】（1）求導以后對導數(shù)中的參數(shù)進行分類討論，根據(jù)不同的分類判斷函數(shù)的單調(diào)性；（2）根據(jù)第1問的結論，將恒成立問題轉化為函數(shù)的最大（?。┲祮栴}，構造新函數(shù)，求出的范圍.【詳解】（1）函數(shù)，，則，當，即時，恒成立，即在上單調(diào)遞增；當，即時，令，解得，+0↗極大值↘綜上所述，當是，在上單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）等價于，令，當時，，所以不恒成立，不合題意.當時，等價于，由（1）可知，所以，對有解，所以對有解，因此原命題轉化為存在，使得.令，，則，，令，則，所以在上單調(diào)遞增，又，所以當時，，，故在上單調(diào)遞減，當時，，，故在上單調(diào)遞增，所以，所以，即實數(shù)的取值范圍是.【點睛】關鍵點點睛：第二問，問題化為存在，使得，利用導數(shù)研究右側最小值，即可得范圍.2．（2023·江蘇鹽城·統(tǒng)考三模）已知函數(shù).(1)當時，求的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若恒成立，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）代入求導得，再次設導函數(shù)為新函數(shù)進行求導得到其單調(diào)性和其零點，從而得到的單調(diào)增區(qū)間；（2）法一：令，利用導數(shù)和零點存在定理得存在唯一正實數(shù)使得，從而得到，再利用隱零點法得，再次設新函數(shù)進行求導從而得到的范圍；法二：同法一求得，則，利用基本不等式有，從而得到的范圍.【詳解】（1）當時，，，設又，∴在上單調(diào)遞增，又，∴當時，當時，∴的單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）對函數(shù)求導得，，令，則，∴在上單調(diào)遞增，又，當時，故存在唯一正實數(shù)使得，當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，∴，由恒成立，得，由得，∴∴，∴，∴，設，則恒成立，故在上單調(diào)遞增，而，∴，又且函數(shù)在上是增函數(shù)，故的取值范圍為法2：同法一得，由得，∴，當且僅當時等號成立，∴，故的取值范圍為【點睛】關鍵點睛：本題第二問利用零點存在定理及隱零點法得到，從而有，再次重新設函數(shù)，根據(jù)其單調(diào)性和零點得到，從而得到.3．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)．(1)討論函數(shù)零點個數(shù)；(2)若恒成立，求a的取值范圍．【答案】(1)答案見解析；(2).【分析】（1）將零點問題轉化為函數(shù)圖象交點問題，設，求出函數(shù)的導數(shù)，判斷單調(diào)性，作出其大致圖象，數(shù)形結合，即可求得答案.（2）分三種情況分類討論，利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，結合不等式恒成立考慮函數(shù)最值情況或利用單調(diào)性求解不等式，從而求得參數(shù)范圍.【詳解】（1）由，得,設，則，當時，，當時，，所以在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減，所以，據(jù)此可畫出大致圖象如圖，所以（i）當或時，無零點：（ii）當或時，有一個零點；（iii)當時，有兩個零點；（2）①當時，即恒成立，符合題意；②當時，由可得，則，則，即，設，則，當時，，當時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，當時，，即恒成立，即符合題意；③當時，由（1）可知，，在上單調(diào)遞增．又，，所以，使.i）當時，，即，設，則，所以在上單調(diào)遞減，所以時，；ii）當時，，即，設，因為，令，則，又令，則，得在上單調(diào)遞增，有，得在上單調(diào)遞增，有，則，得在上單調(diào)遞增，則時，，又時，，得當時，時，，由上可知，在上單調(diào)遞增，則此時，綜上可知，a的范圍是.【點睛】難點點睛：第二問解答不等式恒成立求解參數(shù)范圍時，需要討論a的正負，看能否保證不等式恒成立，特別是當時，要結合函數(shù)的零點情況，反復構造函數(shù)，判斷函數(shù)單調(diào)性，由此求得參數(shù)a的范圍，計算過程十分復雜，計算量較大，難度很大.4．（2023·湖北荊門·荊門市龍泉中學校考模擬預測）設函數(shù)，且．(1)求函數(shù)的單調(diào)性；(2)若恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)答案見解析(2)【分析】（1）求導后分與兩種情況討論即可；（2）方法一：討論當時成立，當時參變分離可得，再構造函數(shù)，，求導分析最小值即可；方法二：將題意轉化為，再構造函數(shù)，求導分類討論單調(diào)性與最大值即可.【詳解】（1），，當時，恒成立，則在上單調(diào)遞增；當時，時，，則在上單調(diào)遞減；時，，則在上單調(diào)遞增．（2）方法一：在恒成立，則當時，，顯然成立，符合題意；當時，得恒成立，即記，，，構造函數(shù)，，則，故為增函數(shù)，則.故對任意恒成立，則在遞減，在遞增，所以∴．方法二：在上恒成立，即．記，，，當時，在單增，在單減，則，得，舍：當時，在單減，在單增，在單減，，，得；當時，在單減，成立；當時，在單減，在單增，在單減，，，而，顯然成立．綜上所述，．5．（2023·山東·山東省實驗中學校聯(lián)考模擬預測）已知函數(shù)，其中．(1)討論方程實數(shù)解的個數(shù)；(2)當時，不等式恒成立，求的取值范圍．【答案】(1)答案見解析(2)【分析】（1）由即方程有沒有解的問題，轉化為函數(shù)與軸有沒有交點問題，分類討論即可得出結果.（2）不等式可化為：，就、分類討論后可得參數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）由可得，，令，令，可得，當，函數(shù)單調(diào)遞減，當，函數(shù)單調(diào)遞增，所以函數(shù)在時取得最小值，所以當時，方程無實數(shù)解，當時，方程有一個實數(shù)解，當時，，故，而，，設，則，故在上為增函數(shù)，故，故有兩個零點即方程有兩個實數(shù)解.（2）由題意可知，不等式可化為，，即當時，恒成立，所以，即，令，則在上單調(diào)遞增，而，當即時，在上單調(diào)遞增，故，由題設可得，設，則該函數(shù)在上為減函數(shù)，而，故.當即時，因為，故在上有且只有一個零點，當時，，而時，，故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，故，而，故，故因為，故，故符合，綜上所述，實數(shù)的取值范圍為．【點睛】關鍵點睛：本題考查函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導數(shù)應用以及分類討論思想、轉化思想，考查函數(shù)恒成立問題，屬于中檔題.【基礎過關】1．（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預測）已知函數(shù)，．(1)當時，求在處的切線方程；(2)若時，恒成立，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)導數(shù)的幾何意義求出斜率，點斜式求出切線方程；（2）轉化為，對分類討論，利用導數(shù)確定單調(diào)性求解即可.【詳解】（1）當時，，，所以，又，所以在處的切線方程為，即.（2）令，則在上恒成立，則，，，當時，，因為在上單調(diào)遞增，故存在，當時，，即在上單調(diào)遞減，所以時，，與題設矛盾，舍去.當時，由可得，故在上單調(diào)遞增，所以，滿足題意.綜上，的取值范圍為.2．（2023·安徽蚌埠·統(tǒng)考三模）已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；（2）函數(shù)，當時，恒成立，求整數(shù)的最小值.【答案】（1）見解析；（2）2【分析】（1）求導后，分類討論，解不等式可得結果；（2）分離參數(shù)后，構造函數(shù)，分兩種情況利用導數(shù)可得結果.【詳解】（1）因為，當時，，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是；當時，由得，所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是；當時，由得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是；（2）因為，即，因為，所以，令，（1）當時，因為，所以，因此，所以只需；（2）當時，因為，則，所以，因此只需，即，構造函數(shù)，，當時，在上單調(diào)遞減，；當時，，則，不滿足題意；當時，，則，故不滿足題意；綜上可知，整數(shù)的最小值為2.【點睛】本題考查了利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，考查了利用導數(shù)處理不等式恒成立問題，考查了分類討論思想，屬于中檔題.3．（2023·安徽滁州·?？家荒＃┮阎瘮?shù)．(1)當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)當時，若關于x的不等式恒成立，試求a的取值范圍．【答案】(1)的減區(qū)間為，增區(qū)間為(2)【分析】（1）利用導數(shù)求得的單調(diào)區(qū)間.（2）利用分離參數(shù)法，結合構造函數(shù)法以及導數(shù)求得的取值范圍.【詳解】（1）當時，，，所以在區(qū)間遞減；在區(qū)間遞增.所以的減區(qū)間為，增區(qū)間為.（2），恒成立.構造函數(shù)，，，構造函數(shù)，，所以在上遞增，，所以在上成立，所以，所以，即的取值范圍是.4．（2023·遼寧鞍山·校聯(lián)考一模）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若對任意的，都有成立，求a的取值范圍．【答案】(1)答案見解析(2)【分析】（1）求出，分別討論不同范圍下的正負，分別求單調(diào)性；（2）對任意的，都有成立，只需任意的，，然后，結合（1）的單調(diào)性求出即可求解【詳解】（1）該函數(shù)的定義域為，，①當時，恒成立，函數(shù)的遞增區(qū)間為；②當時，令，解得或，所以函數(shù)的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為，所以當時，函數(shù)的遞增區(qū)間為；當時，函數(shù)的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為．（2）對任意的，都有成立，只需任意的，，①當時，在上是增函數(shù)，所以只需，而，所以滿足題意；②當時，，在上是增函數(shù)，所以只需，而，所以滿足題意；③當時，，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，所以只需即可，而，從而不滿足題意；綜上①②③可得：實數(shù)a的取值范圍為．5．（2023·廣東惠州·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)．(1)當時，求在處的切線方程；(2)當時，不等式恒成立，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）求出函數(shù)的導數(shù)后可求切線的斜率，從而可求切線方程.（2）利用參變分離結合導數(shù)可求參數(shù)的取值范圍，我們也可以利用分類討論求出函數(shù)的最值，根據(jù)最值的性質(zhì)討論參數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）當時，．故切線的斜率，又切點為切線方程為，化簡得．（2）法1：當時，恒成立，故，也就是，即，由得，令，則，令，則，可知在單調(diào)遞增，則，即在恒成立，．故在單調(diào)遞增，所以，故在恒成立．所以在單調(diào)遞增，而，所以，故．法2：因為當時，恒成立，故，由，令，得或，①當，即時，在上恒成立，在上單調(diào)遞減，，不合題意，合題意．②當，即時，當時，當時，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，設，則恒成立，在上單調(diào)遞減，故即，合題意．綜上，．法3：因為當時，恒成立，也就是，即恒成立，令，令，恒成立，在上單調(diào)遞增．．①當，即時，在上單調(diào)遞增，，合題意；②當，即時，，因為，，存在，使得，即．在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．，不合題意．綜上，．【點睛】思路點睛：含參數(shù)的函數(shù)不等式的恒成立問題，可以利用參變分離，利用導數(shù)求出新函數(shù)的最值，或者直接對含參數(shù)的函數(shù)就導數(shù)的符號分類討論，從而可求函數(shù)的最值.6．（2023·湖南衡陽·?？寄M預測）已知函數(shù)，．(1)當，求的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)若在恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)單調(diào)遞減區(qū)間為(2)【分析】（1）根據(jù)導函數(shù)和原函數(shù)的單調(diào)性關系，先設求得，得到函數(shù)單調(diào)區(qū)間；（2）把在上恒成立,轉化為在上恒成立，令,即得恒成立求參即可.【詳解】（1）當時，，所以，令，所以，當時，，故為增函數(shù)；當時，，故為減函數(shù)，所以，即，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，無單調(diào)遞增區(qū)間.（2）因為，所以，所以在上恒成立，即在上恒成立，轉化為在上恒成立，令，，則且當時，恒成立，故在上為增函數(shù)，所以，即時不滿足題意；當時，由，得，若，則，故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，所以存在，使得，即時不滿足題意；若，則，故在上為減函數(shù)，所以，所以恒成立，綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.7．（2023·浙江寧波·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)，．(1)若，求曲線在點處的切線方程；(2)若在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）求出函數(shù)的導函數(shù)，即可求出切線的斜率，從而求出切線方程；（2）參變分離可得在上恒成立，令，，利用導數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最小值，即可得解.【詳解】（1）解：當時，，所以，，所以，故所求切線方程為．（2）解：因為在上恒成立，令，，則，令，則，所以在上單調(diào)遞減，因為，，由零點存在定理知，存在唯一，使，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，從而．8．（2023·江蘇無錫·輔仁高中?？寄M預測）已知函數(shù)，．(1)求函數(shù)的極值點；(2)若恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)是的極大值點，無極小值點(2)【分析】（1）首先利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再確定函數(shù)的極值點；（2）解法一，首先構造函數(shù)，，再根據(jù)函數(shù)的導數(shù)，判斷函數(shù)的最大值，即可求解；解法二，首先證明，即可得，即，不等式恒成立，轉化為，即可求解.【詳解】（1）由已知可得，函數(shù)的定義域為，且，當時，；當時，，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，所以是的極大值點，無極小值點．（2）解法一：設，，則，令，，則對任意恒成立，所以在上單調(diào)遞減．又，，所以，使得，即，則，即．因此，當時，，即，則單調(diào)遞增；當時，，即，則單調(diào)遞減，故，解得，所以當時，恒成立．解法二：令，，當時，；當時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，即．因為，所以，當時等號成立，即，當時等號成立，所以的最小值為1．若恒成立，則，所以當時，恒成立．9．（2023·河北·校聯(lián)考一模）已知函數(shù)．(1)當時，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若，不等式恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；(2).【分析】（1）當時，對函數(shù)求二階導可以得到二階導大于等于零，即，，時，，即可得到答案.（2）根據(jù)題意有不等式恒成立．令，則等價于不等式恒成立，①若，不等式（*）顯然成立，此時②若時，不等式（*）等價于.求出的最小值即可得到答案.【詳解】（1），∵，所以是的一個零點．又令，，則，，時，∴在，單調(diào)遞減；在單調(diào)遞增（2）不等式在R上恒成立，即不等式恒成立．令，則等價于不等式恒成立，①若，不等式（*）顯然成立，此時②若時，不等式（*）等價于設，當時，，令，則，，∵，∴在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，∴∴，在單調(diào)遞增，∴綜上所述，滿足題意的實數(shù)a的取值范圍為．10．（2023·安徽馬鞍山·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)(1)當時，求函數(shù)的極值；(2)當時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)極小值為，無極大值(2)【分析】（1）首先求函數(shù)的導數(shù)，判斷導數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)導數(shù)的零點，判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可求解函數(shù)的極值；（2）由不等式參變分離為在恒成立，構造函數(shù)后，利用導數(shù)求函數(shù)的最值，即可求參數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）當時，，

則在上單調(diào)遞增，因為，所以，，單調(diào)遞減，，，單調(diào)遞增，所以函數(shù)的極小值為，無極大值.（2）令，則即，因為即在時恒成立，

令，，故單調(diào)遞增，

所以，故．【能力提升】1．（2023·湖北武漢·華中師大一附中?？寄M預測）已知函數(shù)．(1)求的零點個數(shù)；(2)當時，恒成立，求的取值范圍．【答案】(1)2(2)【分析】（1）容易判斷為偶函數(shù)，求導，利用導數(shù)研究函數(shù)在的上零點個數(shù)，再由對稱性求解即可.（2）原式化簡，得，構造新函數(shù)求導，利用導數(shù)求函數(shù)最值，分類討論值得出答案.【詳解】（1）∵，∴，定義域R,為偶函數(shù).則只需討論在上的零點即可，，令，則恒成立，在上單調(diào)遞增，，在上單調(diào)遞增，又，必然存在使得，綜上所述的零點個數(shù)為2．（2），令則，∴在上單調(diào)遞增．①當時，在上單調(diào)遞增，則，∴．②時，恒成立，③時，在上單調(diào)遞減，即，綜上所述，的取值范圍為．【點睛】關鍵點睛：對于第（2）問，難點在于函數(shù)的分割，這個可以構造的函數(shù)形式比較多，找到構造是關鍵.2．（2023·黑龍江齊齊哈爾·齊齊哈爾市實驗中學?？既＃┮阎瘮?shù).(1)當時，求函數(shù)的極值；(2)若恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)極小值為，沒有極大值(2)【分析】（1）對函數(shù)進行求導、列表、判斷函數(shù)的單調(diào)性，最后根據(jù)函數(shù)極值的定義進行求解即可；（2）通過不等式的性質(zhì)把原恒成立問題轉化為不等式恒成立，然后構造新函數(shù)，對新函數(shù)進行求導，判斷其單調(diào)性，進而求出新函數(shù)的最值，最后根據(jù)題意求出的取值范圍即可.【詳解】（1）函數(shù)的定義域為，當時，，，令，可得，當變化時，，的變化情況如下表-0+單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增所以在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，所以函數(shù)的極小值為，沒有極大值.（2）由恒成立，取，有，有，又由函數(shù)單調(diào)遞增，且，可得，下面證明當時，恒成立，由可化為，又由，，有，故只需證明：不等式恒成立，令，有，上述不等式等價于，令，有，又由（當且僅當時取等號），有，令，可得，令，可得，可得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為，所以有，可得不等式成立，若恒成立，則的取值范圍為.【點睛】方法點睛：根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構造的新函數(shù)能直接求出最值點的情況，進行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別.3．（2023·海南·?？寄M預測）已知，函數(shù).(1)當時，求曲線在處的切線方程；(2)若恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)導數(shù)的幾何意義即可求出切線方程；(2)將原不等式變形為，設，構造函數(shù)，根據(jù)導數(shù)研究函數(shù)m(t)的最小值和零點的存在性定理可得(當且僅當時“=”成立)，進而求出結果.【詳解】（1）當時，，所以所以，所以切線方程為，即.（2）由題意得，即，因為，所以設，令，則在區(qū)間上恒成立，即在區(qū)間上單調(diào)遞增，又時，，又時，，所以存在，使，令，因為，所以當時，，即在區(qū)間上單調(diào)遞減，當時，，即在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，所以，即，得到，當且僅當時取等號，所以，當且僅當時取等號，所以，又，所以a的取值范圍是.【點睛】解恒（能）成立問題，通常通過構造函數(shù)，轉化成求函數(shù)的最值來求解.4．（2023·山東·山東省實驗中學校聯(lián)考模擬預測）已知函數(shù)，其中．(1)討論方程實數(shù)解的個數(shù)；(2)當時，不等式恒成立，求的取值范圍．【答案】(1)答案見解析(2)【分析】（1）由即方程有沒有解的問題，轉化為函數(shù)與軸有沒有交點問題，分類討論即可得出結果.（2）不等式可化為：，就、分類討論后可得參數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）由可得，，令，令，可得，當，函數(shù)單調(diào)遞減，當，函數(shù)單調(diào)遞增，所以函數(shù)在時取得最小值，所以當時，方程無實數(shù)解，當時，方程有一個實數(shù)解，當時，，故，而，，設，則，故在上為增函數(shù)，故，故有兩個零點即方程有兩個實數(shù)解.（2）由題意可知，不等式可化為，，即當時，恒成立，所以，即，令，則在上單調(diào)遞增，而，當即時，在上單調(diào)遞增，故，由題設可得，設，則該函數(shù)在上為減函數(shù)，而，故.當即時，因為，故在上有且只有一個零點，當時，，而時，，故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，故，而，故，故因為，故，故符合，綜上所述，實數(shù)的取值范圍為．【點睛】關鍵點睛：本題考查函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導數(shù)應用以及分類討論思想、轉化思想，考查函數(shù)恒成立問題，屬于中檔題.5．（2023·江蘇無錫·江蘇省天一中學校考模擬預測）已知函數(shù)，.(1)當時，證明：在上恒成立；(2)判斷函數(shù)的零點個數(shù).【答案】(1)證明見詳解(2)答案見詳解【分析】（1）證明不等式恒成立轉化為求函數(shù)的最小值，最小值大于等于零即可求證；（2）利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，極值最值，取極限從而分析函數(shù)零點的個數(shù).含參要注意進行分類討論.【詳解】（1）當時，，所以，所以在上單調(diào)遞增.故，所以，即在上恒成立.（2），其定義域為：..當時，令得：.若，，所以為減函數(shù)；若，，所以為增函數(shù).所以，所以此時沒有零點；當時，令得：，或.若，，所以為增函數(shù)；若，，所以為減函數(shù)；若，，所以為增函數(shù).所以的極大值為，極小值為.此時時，，時，.所以此時有個零點；當時，，所以在單調(diào)遞增.此時時，；時，.所以此時有個零點；當時，令得：，或.若，，所以為增函數(shù)；若，，所以為減函數(shù)；若，，所以為增函數(shù).所以的極大值為，極小值為.此時時，，時，，所以有個零點.綜上所述：當時，沒有零點；當時，有個零點.【點睛】判斷函數(shù)零點的個數(shù)，就是利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，極值最值，取極限從而分析函數(shù)零點的個數(shù).含參要注意進行分類討論.6．（2023·福建廈門·統(tǒng)考模擬預測）已知函數(shù)．(1)當時，討論在區(qū)間上的單調(diào)性；(2)若，求的值．【答案】(1)在區(qū)間上的單調(diào)遞增(2)1【分析】（1）代入，再根據(jù)結合指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)的范圍判斷導函數(shù)的正負即可；（2）注意到，進而可得則，再分析當時，求導分析導函數(shù)的正負與單調(diào)性，進而可得的最小值為0判斷即可.【詳解】（1）當時，．因為，所以．所以在區(qū)間上的單調(diào)遞增．（2），當時，，所以存在，當時，則在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以當時，，不滿足題意當時，，所以存在，當時，則在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以當時，，不滿足題意所以．下面證明時，由（1）知，在區(qū)間上的單調(diào)遞增，所以當時，所以只要證明.令令，則①當時，，得所以，所以，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增且，所以，使得.且當時，；當時，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增且，所以當時，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以當時，②當時，因為，所以，所以所以在區(qū)間上單調(diào)遞減且所以，使得當時，；當時，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減且所以當時，綜上，的值為1.【點睛】本題主要考查了根據(jù)導數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性問題，同時也考查了利用導數(shù)分析函數(shù)的恒成立問題.需要根據(jù)函數(shù)的結構，注意以特殊點為突破口，不斷對導數(shù)進行求導，結合三角函數(shù)的范圍分區(qū)間討論函數(shù)的正負與單調(diào)性，進而可得導數(shù)的正負與原函數(shù)的單調(diào)性與最值.屬于難題.7．（2023·廣東·校聯(lián)考模擬預測）已知函數(shù)(1)當時，證明：；(2)已知在上恒成立，求的取值范圍.【答案】(1)證明見解析(2)或【分析】（1）令，對求導，得到的單調(diào)性和最值，即可證明；（2）分類討論當時，不等式恒成立；當時，，可得，即，令，證明在上恒成立即可；當時，令，由題意可知與條件不符，即可求解.【詳解】（1）當時，，令令可得，令可得，∴在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，∴，即，結論得證.（2）當時，當，，，所以在上恒成立；當時，∵，∴令，∴，當時，，令，，∵，∴在單調(diào)遞增，∴時，，∴，∴成立.當時，令，使得時，，∴在遞減，與條件不符，綜上：的取值范圍為或.【點睛】方法點睛：利用導數(shù)證明不等式或解決導數(shù)恒成立問題，（1）直接構造函數(shù)法：證明不等式（或）轉化為證明（或），進而構造輔助函數(shù)；（2）適當放縮構造法：一是根據(jù)已知條件適當放縮；二是利用常見放縮結論；（3）構造“形似”函數(shù)，稍作變形再構造，對原不等式同解變形，根據(jù)相似結構構造輔助函數(shù).8．（2023·山東菏澤·山東省鄄城縣第一中學?？既＃┮阎瘮?shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求實數(shù)的取值范圍；(3)若，且在上恒成立，證明：．【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為(2)(3)證明見解析【分析】（1）求出函數(shù)的導函數(shù)，再解關于導函數(shù)的不等式，即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）依題意可得在上恒成立，參變分離可得在上恒成立，求出的最小值，即可得解；（3）依題意可得，參變分離可得在上恒成立，令，，求出函數(shù)的導函數(shù)，分、兩種情況討論，即可得到，令，，利用導數(shù)求出的最小值，即可得證.【詳解】（1）函數(shù)的定義域為，且，令，令，解得，因為，，所以當時，即，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為；當時，即，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以在上恒成立，令，則，即在上恒成立，令，，因為在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞減，所以，所以，則，即實數(shù)的取值范圍為.（3）因為，所以，解得，所以，又在上恒成立，即在上恒成立，令，，則，所以當時，則在上單調(diào)遞增，此時顯然不恒成立；當時，則當時，時，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以時，所以，因為，所以，令，，則，所以當時，即單調(diào)遞減，當時，即單調(diào)遞增，所以，所以.【點睛】方法點睛：導函數(shù)中常用的兩種常用的轉化方法：一是利用導數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}．注意分類討論與數(shù)形結合思想的應用；二是函數(shù)的零點、不等式證明常轉化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理．9．（2023·河北滄州·?？寄M預測）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的極值點個數(shù)；(2)若不等式在上恒成立，求可取的最大整數(shù)值.【答案】(1)極值點個數(shù)為1(2)4【分析】（1）求出，然后證明只有一個變號零點即可；（2）條件不等式可轉化為，然后求出，分、兩種情況得到的單調(diào)性，然后可得到成立，然后利用導數(shù)可分析出答案.【詳解】（1）已知，可得令，則，函數(shù)單調(diào)遞減，且當時，，故函數(shù)先增后減，當時，，其中，∴，∴當時，，∴函數(shù)只有一個零點，∴函數(shù)的極值點個數(shù)為1.（2）變形，得，整理得，令，則，∵，∴，若，則恒成立，即在區(qū)間上單調(diào)遞增，由，∴，∴，∴，此時可取的最大整數(shù)為2，若，令，則，令，則，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以在區(qū)間上有最小值，，于是問題轉化為成立，求的最大值，令，則，∵當時，，單調(diào)遞減，當時，單調(diào)遞增，∴在處取得最大值，∵，∴，∵，，，此時可取的最大整數(shù)為4.綜上，可取的最大整數(shù)為4.10．（2023·廣東佛山·統(tǒng)考模擬預測）已知函數(shù)，其中.(1)討論函數(shù)極值點的個數(shù)；(2)對任意的，都有，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)答案見解析(2)【分析】（1）求導后，將問題轉化為與交點情況的討論問題，利用導數(shù)可求得的單調(diào)性和極值，進而確定圖象，采用數(shù)形結合的方式可求得結果；（2）將恒成立的不等式轉化為，構造函數(shù)，利用導數(shù)可證得，由此得到，進而確定的取值范圍.【詳解】（1）由題意知：定義域為，，令，則，令，則，當時，；當時，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，當時，恒成立，大致圖象如下圖所示，

則當時，恒成立，即恒成立，在上單調(diào)遞減，無極值點；當時，與有兩個不同交點，此時有兩個變號零點，有兩個極值點；當時，與有且僅有一個交點，此時有且僅有一個變號零點，有且僅有一個極值點；綜上所述：當時，無極值點；當時，有兩個極值點；當時，有且僅有一個極值點.（2）由題意知：當時，恒成立；設，則，當時，；當時，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，即，，又恒成立，，即實數(shù)的取值范圍為.【點睛】關鍵點點睛：本題對于含參函數(shù)極值點的討論的解題關鍵是能夠?qū)栴}轉化為導函數(shù)零點個數(shù)的討論，通過參變分離的方式進一步將問題轉化為曲線與直線交點個數(shù)的問題，從而采用數(shù)形結合的方式來進行求解.【真題感知】1．（北京·高考真題）已知函數(shù)．（Ⅰ）求曲線在點處的切線方程；（Ⅱ）求證：當時，；（Ⅲ）設實數(shù)使得對恒成立，求的最大值．【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）證明見解析，（Ⅲ）的最大值為2.【詳解】試題分析：（1）求導：，利用導數(shù)幾何意義得切線斜率：，又，由點斜式得切線方程：（2）利用導數(shù)證明不等式，實質(zhì)利用導數(shù)求對應函數(shù)最值：，令，只需證（3）恒成立問題，一般利用變量分離轉化為對應函數(shù)最值，這較繁且難，本題由（2）知時在（0，1）上恒成立，只需證明當時，在（0，1）上不恒成立，這樣就簡單多了．試題解析：（1），利用導數(shù)幾何意義得切線斜率：，又，由點斜式得切線方程：（2），結論成立（3）由（2）知時在（0，1）上恒成立當時，令則當時，，即當時，在（0，1）上不恒成立k的最大值為2．考點：導數(shù)幾何意義,利用導數(shù)證明不等式，利用導數(shù)求數(shù)最值【名師點睛】導數(shù)及其應用通常圍繞四個點進行命題．第一個點是圍繞導數(shù)的幾何意義展開，設計求曲線的切線方程，根據(jù)切線方程求參數(shù)值等問題，這類試題在考查導數(shù)的幾何意義的同時也考查導數(shù)的運算、函數(shù)等知識，試題的難度不大；第二個點是圍繞利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值（最值）展開，設計求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值，已知單調(diào)區(qū)間求參數(shù)或者參數(shù)范圍等問題，在考查導數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的同時考查分類與整合思想、化歸與轉化思想等數(shù)學思想方法；第三個點是圍繞導數(shù)研究不等式、方程展開，涉及不等式的證明、不等式的恒成立、討論方程根等問題，主要考查通過轉化使用導數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)并把函數(shù)性質(zhì)用來分析不等式和方程等問題的能力，該點和第二個點一般是解答題中的兩個設問，考查的核心是導數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的方法和函數(shù)性質(zhì)的應用；第四個點是圍數(shù)性質(zhì)并把函數(shù)性質(zhì)用來分析不等式和方程等問題的能力，該點和第二個點一般是解答題中的兩個設問，考查的核心是導數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的方法和函數(shù)性質(zhì)的應用．2．（天津·高考真題）已知函數(shù)，其中.（1）曲線在點處的切線方程為，求函數(shù)的解析式；（2）討論函數(shù)的單調(diào)性；（3）若對于任意的，不等式在上恒成立，求b的取值范圍.【答案】（1）；（2）答案見解析；（3）【分析】（1）有導數(shù)的幾何意義，列方程求解，即可得出結果.（2）對函數(shù)求導，分類討論和，即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.（3）不等式在上恒成立，而對于任意的，無論與的關系如何，最大值都在端點處取得.經(jīng)過計