高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)導(dǎo)學(xué)案(新高考)第50講直線與平面、平面與平面平行(原卷版+解析)

第50講直線與平面、平面與平面平行知識梳理1.直線與平面平行(1)直線與平面平行的定義直線l與平面α沒有公共點(diǎn)，則稱直線l與平面α平行．(2)判定定理與性質(zhì)定理文字語言圖形表示符號表示判定定理平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線平行于此平面a∥b?a∥α性質(zhì)定理一條直線和一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行α∩β＝b?a∥b2.平面與平面平行(1)平面與平面平行的定義沒有公共點(diǎn)的兩個平面叫做平行平面．(2)判定定理與性質(zhì)定理文字語言圖形表示符號表示判定定理一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行a∩b＝P，a∥β，b∥β?α∥β性質(zhì)定理兩個平面平行，則其中一個平面內(nèi)的直線平行于另一個平面如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行3.與垂直相關(guān)的平行的判定(1)a⊥α，b⊥α?．(2)a⊥α，a⊥β?1、【2019年新課標(biāo)2卷理科】設(shè)，為兩個平面，則的充要條件是A．內(nèi)有無數(shù)條直線與平行B．內(nèi)有兩條相交直線與平行C．，平行于同一條直線D．，垂直于同一平面2、【2019年高考北京卷】已知l，m是平面外的兩條不同直線．給出下列三個論斷：①l⊥m； ②m∥； ③l⊥．以其中的兩個論斷作為條件，余下的一個論斷作為結(jié)論，寫出一個正確的命題：__________．3、【2022年全國甲卷】小明同學(xué)參加綜合實(shí)踐活動，設(shè)計了一個封閉的包裝盒，包裝盒如圖所示：底面ABCD是邊長為8（單位：cm）的正方形，△EAB,△FBC,△GCD,△HDA均為正三角形，且它們所在的平面都與平面ABCD垂直．(1)證明：EF//平面ABCD；(2)求該包裝盒的容積（不計包裝盒材料的厚度）．4、【2022年新高考2卷】如圖，PO是三棱錐P?ABC的高，PA=PB，AB⊥AC，E是PB的中點(diǎn)．(1)證明：OE//平面PAC；1、（2022·湖北·恩施土家族苗族高中高三期末）在下列命題中，假命題是（）A．若平面α內(nèi)的一條直線垂直于平面β內(nèi)的任一直線，則α⊥βB．若平面α內(nèi)任一直線平行于平面β，則α∥βC．若平面α⊥平面β，任取直線lα，則必有l(wèi)⊥βD．若平面α∥平面β，任取直線lα，則必有l(wèi)∥β2、（2022·江蘇海安·高三期末）（多選題）設(shè)，為兩個平面，下列是“”的充分條件是（）A．，與平面都垂直B．內(nèi)有兩條相交直線與平面均無交點(diǎn)C．異面直線，滿足，D．內(nèi)有個點(diǎn)（任意三點(diǎn)不共線）到的距離相等3、（2022·江蘇如東·高三期末）（多選題）已知m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，則（）A．若m//n，nα，則m//α B．若m⊥n，nα，則m⊥αC．若m⊥α，n⊥α，則m//n D．若m//α，m//β，α∩β＝n，則m//n4、（2023·江蘇南京·?？家荒＃ǘ噙x題）對于兩條不同直線和兩個不同平面，下列選項中正確的為（

）A．若，則 B．若，則或C．若，則或 D．若，則或考向一直線與平面平行的判定與性質(zhì)例1、如圖，在四棱錐P-ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝eq\f(1,2)AD，E，F(xiàn)，H分別為線段AD，PC，CD的中點(diǎn)，AC與BE相交于點(diǎn)O，G是線段OF上的一點(diǎn)．求證：(1)AP∥平面BEF；(2)GH∥平面PAD.變式1、如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，E，F(xiàn)分別是BC，PD的中點(diǎn)，求證：(1)PB∥平面ACF；(2)EF∥平面PAB.變式2、如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，四邊形ABCD是平行四邊形，M是PC的中點(diǎn)，在DM上取一點(diǎn)G，過G和PA作平面交BD于點(diǎn)H.求證：PA∥GH.方法總結(jié)：線面平行問題的解題關(guān)鍵(1)證明直線與平面平行的關(guān)鍵是設(shè)法在平面內(nèi)找到一條與已知直線平行的直線，解題的思路是利用幾何體的特征，合理利用中位線定理、線面平行的性質(zhì)，或者構(gòu)造平行四邊形、尋找比例式證明兩直線平行，從而證明直線與平面平行．(2)應(yīng)用線面平行性質(zhì)定理的關(guān)鍵是確定交線的位置，有時需要經(jīng)過已知直線作輔助平面來確定交線．考向二面面平行的判定與性質(zhì)例2、如圖，四邊形ABCD與四邊形ADEF都為平行四邊形，M，N，G分別是AB，AD，EF的中點(diǎn)．求證：(1)BE∥平面DMF；(2)平面BDE∥平面MNG.變式1、如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F(xiàn)，G分別為B1C1，A1B1，AB的中點(diǎn)．(1)求證：平面A1C1G∥平面BEF；(2)若平面A1C1G∩BC＝H，求證：H為BC的中點(diǎn)．方法總結(jié)：證明面面平行的常用方法(1)面面平行的定義，即證兩個平面沒有公共點(diǎn)(不常用)；(2)面面平行的判定定理：如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行(主要方法)；(3)利用垂直于同一條直線的兩個平面平行(客觀題常用)；(4)如果兩個平面同時平行于第三個平面，那么這兩個平面平行(客觀題常用)；(5)利用“線線平行”“線面平行”“面面平行”的相互轉(zhuǎn)化進(jìn)行證明．考向三平行關(guān)系的探索性問題例3、如圖，已知在三棱柱ABC-A1B1C1中，D是棱CC1的中點(diǎn)，試問在棱AB上是否存在一點(diǎn)E，使得DE∥平面AB1C1？若存在，請確定點(diǎn)E的位置；若不存在，請說明理由．變式1、如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，F(xiàn)是AB的中點(diǎn)，E是PD的中點(diǎn)．(1)求證：PB∥平面AEC；(2)在PC上求一點(diǎn)G，使FG∥平面AEC，并證明你的結(jié)論．變式2、如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為DD1的中點(diǎn)．(1)求證：BD1∥平面AEC；(2)CC1上是否存在一點(diǎn)F，使得平面AEC∥平面BFD1，若存在，請說明理由．方法總結(jié)：（1）利用線面平行或面面平行的性質(zhì)，可以實(shí)現(xiàn)與線線平行的轉(zhuǎn)化，尤其在截面圖的畫法中，常用來確定交線的位置．對于線段長或線段比例問題，常用平行線對應(yīng)線段成比例或相似三角形來解決．（2）探索性問題要根據(jù)題目確立成立的條件，然后當(dāng)成已知進(jìn)行證明。1、(2022·蘇州期初考試)已知m，n為兩條不同的直線，α，β，γ為三個不同的平面，則下列命題正確的是A．若m∥α，n∥α，則m∥nB．若α⊥β，γ⊥β，且α∩γ＝m，則m⊥βC．若mα，nα，m∥β，n∥β，則α∥βD．若m⊥α，n∥β，α⊥β，則m⊥n2、(2022·青島期初考試)(多選題)在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F(xiàn)，G，H分別為線段AA1，A1C1，C1B1，BB1的中點(diǎn)，下列說法正確的是A．E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面B．平面EGH∥平面ABC1C．直線A1A與FH異面D．直線BC與平面AFH平行3、(2022·南京9月學(xué)情【零?！?(多選題)已知m，n是兩條不同的直線，β，γ是三個不同的平面．下列說法中正確的是A．若m∥α，mβ，α∩β＝n，則m∥nB．若m∥n，m∥α，則n∥αC．若α∩β＝n，α⊥γ，β⊥γ，則n⊥γD．若m⊥α，m⊥β，α∥γ，則β∥γ4、（2022年江蘇省高三模擬試卷）在棱長為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，正方形ABCD的中心為E，且圓E是正方形ABCD的內(nèi)切圓.F為圓E上一點(diǎn)，G為棱BB1上一點(diǎn)（不可與B，B1重合），H為棱A1B1的中點(diǎn)，則（）A.|HF|∈[2,] B.△B1EG面積的取值范圍為(0,]C.EH和FG是異面直線 D.EG和FH可能是共面直線5、（2022年江蘇省高三模擬試卷）已知平面α和平面β是空間中距離為2的兩平行平面，球面M與平面α、平面β的交線分別為圓A、圓B．（1）若平面γ與平面α、平面β的交線分別為，，證明：；（2）若球面M的半徑為2，求以圓A為上底面，圓B為下底面的幾何體AB的體積的最大值．6、（2022年廣州附屬中學(xué)高三模擬試卷）如圖，在多面體中，四邊形是菱形，，，，平面，，，是的中點(diǎn)．（1）求證：平面平面；第50講直線與平面、平面與平面平行知識梳理1.直線與平面平行(1)直線與平面平行的定義直線l與平面α沒有公共點(diǎn)，則稱直線l與平面α平行．(2)判定定理與性質(zhì)定理文字語言圖形表示符號表示判定定理平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線平行于此平面a?α，b?α，a∥b?a∥α性質(zhì)定理一條直線和一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行a∥α，a?β，α∩β＝b?a∥b2.平面與平面平行(1)平面與平面平行的定義沒有公共點(diǎn)的兩個平面叫做平行平面．(2)判定定理與性質(zhì)定理文字語言圖形表示符號表示判定定理一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行a?α，b?α，a∩b＝P，a∥β，b∥β?α∥β性質(zhì)定理兩個平面平行，則其中一個平面內(nèi)的直線平行于另一個平面α∥β，a?α?a∥β如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b3.與垂直相關(guān)的平行的判定(1)a⊥α，b⊥α?a∥b．(2)a⊥α，a⊥β?α∥β．1、【2019年新課標(biāo)2卷理科】設(shè)，為兩個平面，則的充要條件是A．內(nèi)有無數(shù)條直線與平行B．內(nèi)有兩條相交直線與平行C．，平行于同一條直線D．，垂直于同一平面【答案】B【解析】【分析】本題考查了空間兩個平面的判定與性質(zhì)及充要條件，滲透直觀想象、邏輯推理素養(yǎng)，利用面面平行的判定定理與性質(zhì)定理即可作出判斷．【詳解】由面面平行的判定定理知：內(nèi)兩條相交直線都與平行是的充分條件，由面面平行性質(zhì)定理知，若，則內(nèi)任意一條直線都與平行，所以內(nèi)兩條相交直線都與平行是的必要條件，故選B．2、【2019年高考北京卷】已知l，m是平面外的兩條不同直線．給出下列三個論斷：①l⊥m； ②m∥； ③l⊥．以其中的兩個論斷作為條件，余下的一個論斷作為結(jié)論，寫出一個正確的命題：__________．【答案】如果l⊥α，m∥α，則l⊥m.【解析】將所給論斷，分別作為條件、結(jié)論，得到如下三個命題：（1）如果l⊥α，m∥α，則l⊥m，正確；（2）如果l⊥α，l⊥m，則m∥α，不正確，有可能m在平面α內(nèi)；（3）如果l⊥m，m∥α，則l⊥α，不正確，有可能l與α斜交、l∥α.故答案為：如果l⊥α，m∥α，則l⊥m.3、【2022年全國甲卷】小明同學(xué)參加綜合實(shí)踐活動，設(shè)計了一個封閉的包裝盒，包裝盒如圖所示：底面ABCD是邊長為8（單位：cm）的正方形，△EAB,△FBC,△GCD,△HDA均為正三角形，且它們所在的平面都與平面ABCD垂直．(1)證明：EF//平面ABCD；(2)求該包裝盒的容積（不計包裝盒材料的厚度）．【解析】(1)如圖所示：，分別取AB,BC的中點(diǎn)M,N，連接MN，因?yàn)椤鱁AB,△FBC為全等的正三角形，所以EM⊥AB,FN⊥BC，EM=FN，又平面EAB⊥平面ABCD，平面EAB∩平面ABCD=AB，EM?平面EAB，所以EM⊥平面ABCD，同理可得FN⊥平面ABCD，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理可知EM//FN，而EM=FN，所以四邊形EMNF為平行四邊形，所以EF//MN，又EF?平面ABCD，MN?平面ABCD，所以EF//平面ABCD．(2)如圖所示：，分別取AD,DC中點(diǎn)K,L，由（1）知，EF//MN且EF=MN，同理有，HE//KM,HE=KM，HG//KL,HG=KL，GF//LN,GF=LN，由平面知識可知，BD⊥MN，MN⊥MK，KM=MN=NL=LK，所以該幾何體的體積等于長方體KMNL?EFGH的體積加上四棱錐B?MNFE體積的4倍．因?yàn)镸N=NL=LK=KM=42，EM=8sin60°=43，點(diǎn)B到平面MNFE的距離即為點(diǎn)B到直線MN的距離4、【2022年新高考2卷】如圖，PO是三棱錐P?ABC的高，PA=PB，AB⊥AC，E是PB的中點(diǎn)．(1)證明：OE//平面PAC；【解析】(1)證明：連接BO并延長交AC于點(diǎn)D，連接OA、PD，因?yàn)镻O是三棱錐P?ABC的高，所以PO⊥平面ABC，AO,BO?平面ABC，所以PO⊥AO、PO⊥BO，又PA=PB，所以△POA?△POB，即OA=OB，所以∠OAB=∠OBA，又AB⊥AC，即∠BAC=90°，所以∠OAB+∠OAD=90°，∠OBA+∠ODA=90°，所以∠ODA=∠OAD所以AO=DO，即AO=DO=OB，所以O(shè)為BD的中點(diǎn)，又E為PB的中點(diǎn)，所以O(shè)E//又OE?平面PAC，PD?平面PAC，所以O(shè)E//平面1、（2022·湖北·恩施土家族苗族高中高三期末）在下列命題中，假命題是（）A．若平面α內(nèi)的一條直線垂直于平面β內(nèi)的任一直線，則α⊥βB．若平面α內(nèi)任一直線平行于平面β，則α∥βC．若平面α⊥平面β，任取直線lα，則必有l(wèi)⊥βD．若平面α∥平面β，任取直線lα，則必有l(wèi)∥β【答案】C【分析】對于A：利用線面垂直的定義和面面垂直的判定定理進(jìn)行證明；對于B：利用面面平行的定義進(jìn)行證明；對于C：在正方體中取反例否定結(jié)論；對于D：利用線面平行的定義進(jìn)行判斷.【詳解】對于A：根據(jù)線面垂直的定義，若平面α內(nèi)的一條直線垂直于平面β內(nèi)的任一直線，則這條直線垂直于平面β，又有面面垂直的判定定理，即可證明α⊥β.故A成立.對于B：若平面α內(nèi)任一直線平行于平面β，則直線與平面β沒有公共點(diǎn)，所以平面α與平面β沒有公共點(diǎn)，所以α∥β.故B成立.對于C：如圖示：在正方體中取面為平面α、面為平面β和直線為直線l，滿足平面α⊥平面β，直線lα，但是l∥β.故C不成立.對于D：若平面α∥平面β，則平面α與平面β沒有公共點(diǎn)，任取直線lα，則直線l與平面β沒有公共點(diǎn)，所以l∥β.故D成立.故選：C2、（2022·江蘇海安·高三期末）（多選題）設(shè)，為兩個平面，下列是“”的充分條件是（）A．，與平面都垂直B．內(nèi)有兩條相交直線與平面均無交點(diǎn)C．異面直線，滿足，D．內(nèi)有個點(diǎn)（任意三點(diǎn)不共線）到的距離相等【答案】BD【分析】舉反例可判斷A，C；由平面的性質(zhì)，面面平行的判定定理結(jié)合充分條件的定義可判斷B，D；進(jìn)而可得正確選項.【詳解】對于A：如圖正方體中：平面為平面，平面為平面，平面為平面，此時滿足，與平面都垂直，但平面與平面相交，所以，與平面都垂直得不出，所以，與平面都垂直不是的充分條件，故選項A不正確；對于B：內(nèi)有兩條相交直線與平面均無交點(diǎn)即內(nèi)有兩條相交直線與平面平行，由面面平行的判定定理可得，所以由內(nèi)有兩條相交直線與平面均無交點(diǎn)可得出，故內(nèi)有兩條相交直線與平面均無交點(diǎn)是“”的充分條件，故選項B正確；對于C：如圖正方體中：直線為，直線為，平面為平面，平面為平面，此時符合異面直線，滿足，，但平面與平面相交，所以異面直線，滿足，得不出，異面直線，滿足，不是的充分條件，故選項C不正確；對于D：若內(nèi)有個點(diǎn)（任意三點(diǎn)不共線）到的距離相等，則，所以內(nèi)有個點(diǎn)（任意三點(diǎn)不共線）到的距離相等是“”的充分條件，故選項D正確，故選：BD.3、（2022·江蘇如東·高三期末）（多選題）已知m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，則（）A．若m//n，nα，則m//α B．若m⊥n，nα，則m⊥αC．若m⊥α，n⊥α，則m//n D．若m//α，m//β，α∩β＝n，則m//n【答案】CD【分析】根據(jù)空間直線、平面間的位置關(guān)系判斷．【詳解】m//n，nα?xí)r，或，A錯；m⊥n，nα，與可能平行，也可能有或相交，不一定垂直，B錯；若m⊥α，n⊥α，由線面垂直性質(zhì)定理知，C正確；m//α，m//β，α∩β＝n，如圖，過作平面交于直線，由得，同理過作平面與交于直線，得，所以，而，所以，又．，則，所以．D正確．故選：CD．4、（2023·江蘇南京·?？家荒＃ǘ噙x題）對于兩條不同直線和兩個不同平面，下列選項中正確的為（

）A．若，則 B．若，則或C．若，則或 D．若，則或【答案】ACD【分析】根據(jù)空間直線、平面間的位置關(guān)系判斷．【詳解】若，的方向向量是的法向量，的方向向量是的法向量，，則的方向向量垂直，所以的方向向量與的方向向量垂直，則，A正確；若，可平行，可相交，可異面，不一定垂直，B錯；若，則或，與不相交，C正確；若，則或，與不相交，D正確．故選：ACD．考向一直線與平面平行的判定與性質(zhì)例1、如圖，在四棱錐P-ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝eq\f(1,2)AD，E，F(xiàn)，H分別為線段AD，PC，CD的中點(diǎn)，AC與BE相交于點(diǎn)O，G是線段OF上的一點(diǎn)．求證：(1)AP∥平面BEF；(2)GH∥平面PAD.【解析】(1)連接EC.因?yàn)锳D∥BC，BC＝eq\f(1,2)AD，E為AD的中點(diǎn)，所以BC＝AE，BC∥AE，所以四邊形ABCE是平行四邊形，所以O(shè)為AC的中點(diǎn)．又因?yàn)镕是PC的中點(diǎn)，所以FO∥AP.因?yàn)镕O?平面BEF，AP?平面BEF，所以AP∥平面BEF.(2)連接FH，OH.因?yàn)镕，H分別是PC，CD的中點(diǎn)，所以FH∥PD.又因?yàn)镕H?平面PAD，PD?平面PAD，所以FH∥平面PAD.又因?yàn)镺是BE的中點(diǎn)，H是CD的中點(diǎn)，所以O(shè)H∥AD.又因?yàn)镺H?平面PAD，AD?平面PAD，所以O(shè)H∥平面PAD.又FH∩OH＝H，F(xiàn)H?平面OHF，OH?平面OHF，所以平面OHF∥平面PAD.又因?yàn)镚H?平面OHF，所以GH∥平面PAD.變式1、如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，E，F(xiàn)分別是BC，PD的中點(diǎn)，求證：(1)PB∥平面ACF；(2)EF∥平面PAB.證明(1)如圖，連接BD交AC于O，連接OF，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴O是BD的中點(diǎn)，又∵F是PD的中點(diǎn)，∴OF∥PB，又∵OF?平面ACF，PB?平面ACF，∴PB∥平面ACF.(2)取PA的中點(diǎn)G，連接GF，BG.∵F是PD的中點(diǎn)，∴GF是△PAD的中位線，∴GF綉eq\f(1,2)AD，∵底面ABCD是平行四邊形，E是BC的中點(diǎn)，∴BE綉eq\f(1,2)AD，∴GF綉B(tài)E，∴四邊形BEFG是平行四邊形，∴EF∥BG，又∵EF?平面PAB，BG?平面PAB，∴EF∥平面PAB.變式2、如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，四邊形ABCD是平行四邊形，M是PC的中點(diǎn)，在DM上取一點(diǎn)G，過G和PA作平面交BD于點(diǎn)H.求證：PA∥GH.證明如圖所示，連接AC交BD于點(diǎn)O，連接OM，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴O是AC的中點(diǎn)，又M是PC的中點(diǎn)，∴PA∥OM，又OM?平面BMD，PA?平面BMD，∴PA∥平面BMD，又平面PAHG∩平面BMD＝GH，∴PA∥GH.方法總結(jié)：線面平行問題的解題關(guān)鍵(1)證明直線與平面平行的關(guān)鍵是設(shè)法在平面內(nèi)找到一條與已知直線平行的直線，解題的思路是利用幾何體的特征，合理利用中位線定理、線面平行的性質(zhì)，或者構(gòu)造平行四邊形、尋找比例式證明兩直線平行，從而證明直線與平面平行．(2)應(yīng)用線面平行性質(zhì)定理的關(guān)鍵是確定交線的位置，有時需要經(jīng)過已知直線作輔助平面來確定交線．考向二面面平行的判定與性質(zhì)例2、如圖，四邊形ABCD與四邊形ADEF都為平行四邊形，M，N，G分別是AB，AD，EF的中點(diǎn)．求證：(1)BE∥平面DMF；(2)平面BDE∥平面MNG.【解析】(1)如圖，設(shè)DF與GN交于點(diǎn)O，連接AE，在平行四邊形ADEF中，G，N分別為EF，AD的中點(diǎn)，所以AE必過點(diǎn)O，且O為AE的中點(diǎn)．連接MO.因?yàn)镸為AB的中點(diǎn)，所以MO為△ABE的中位線，所以BE∥MO.因?yàn)锽E?平面DMF，MO?平面DMF，所以BE∥平面DMF.(2)因?yàn)镹，G分別為平行四邊形ADEF的邊AD，EF的中點(diǎn)，所以DE∥GN.因?yàn)镈E?平面MNG，GN?平面MNG，所以DE∥平面MNG.因?yàn)镸為AB的中點(diǎn)，所以MN為△ABD的中位線，所以BD∥MN.因?yàn)锽D?平面MNG，MN?平面MNG，所以BD∥平面MNG.因?yàn)镈E與BD為平面BDE內(nèi)的兩條相交直線，所以平面BDE∥平面MNG.變式1、如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F(xiàn)，G分別為B1C1，A1B1，AB的中點(diǎn)．(1)求證：平面A1C1G∥平面BEF；(2)若平面A1C1G∩BC＝H，求證：H為BC的中點(diǎn)．證明(1)∵E，F(xiàn)分別為B1C1，A1B1的中點(diǎn)，∴EF∥A1C1，∵A1C1?平面A1C1G，EF?平面A1C1G，∴EF∥平面A1C1G，又F，G分別為A1B1，AB的中點(diǎn)，∴A1F＝BG，又A1F∥BG，∴四邊形A1GBF為平行四邊形，則BF∥A1G，∵A1G?平面A1C1G，BF?平面A1C1G，∴BF∥平面A1C1G，又EF∩BF＝F，EF，BF?平面BEF，∴平面A1C1G∥平面BEF.(2)∵平面ABC∥平面A1B1C1，平面A1C1G∩平面A1B1C1＝A1C1，平面A1C1G與平面ABC有公共點(diǎn)G，則有經(jīng)過G的直線，設(shè)交BC于點(diǎn)H，如圖，則A1C1∥GH，得GH∥AC，∵G為AB的中點(diǎn)，∴H為BC的中點(diǎn)．方法總結(jié)：證明面面平行的常用方法(1)面面平行的定義，即證兩個平面沒有公共點(diǎn)(不常用)；(2)面面平行的判定定理：如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行(主要方法)；(3)利用垂直于同一條直線的兩個平面平行(客觀題常用)；(4)如果兩個平面同時平行于第三個平面，那么這兩個平面平行(客觀題常用)；(5)利用“線線平行”“線面平行”“面面平行”的相互轉(zhuǎn)化進(jìn)行證明．考向三平行關(guān)系的探索性問題例3、如圖，已知在三棱柱ABC-A1B1C1中，D是棱CC1的中點(diǎn)，試問在棱AB上是否存在一點(diǎn)E，使得DE∥平面AB1C1？若存在，請確定點(diǎn)E的位置；若不存在，請說明理由．【解析】存在點(diǎn)E，當(dāng)E為AB的中點(diǎn)時，DE∥平面AB1C1.如圖，取BB1的中點(diǎn)F，連接DF，則DF∥B1C1.因?yàn)镈F?平面AB1C1，B1C1?平面AB1C1，所以DF∥平面AB1C1.因?yàn)镋為AB的中點(diǎn)，連接EF，ED，所以EF∥AB1.因?yàn)镋F?平面AB1C1，AB1?平面AB1C1，所以EF∥平面AB1C1.因?yàn)镈F∩EF＝F，EF?平面DEF，DF?平面DEF，所以平面DEF∥平面AB1C1.因?yàn)镈E?平面DEF，所以DE∥平面AB1C1.變式1、如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，F(xiàn)是AB的中點(diǎn)，E是PD的中點(diǎn)．(1)求證：PB∥平面AEC；(2)在PC上求一點(diǎn)G，使FG∥平面AEC，并證明你的結(jié)論．【解析】(1)連接BD交AC于點(diǎn)O，連接EO.因?yàn)樗倪呅蜛BCD為矩形，所以O(shè)為BD的中點(diǎn)．又E為PD的中點(diǎn)，所以EO∥PB.因?yàn)镋O?平面AEC，PB?平面AEC，所以PB∥平面AEC.(2)PC的中點(diǎn)G即為所求的點(diǎn)．證明如下：連接GE，F(xiàn)G.因?yàn)镋為PD的中點(diǎn)，所以GE∥CD，GE＝eq\f(1,2)CD.又F為AB的中點(diǎn)，且四邊形ABCD為矩形，所以FA∥CD，F(xiàn)A＝eq\f(1,2)CD，所以FA＝GE，F(xiàn)A∥GE，所以四邊形AFGE為平行四邊形，所以FG∥AE.又FG?平面AEC，AE?平面AEC，所以FG∥平面AEC.變式2、如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為DD1的中點(diǎn)．(1)求證：BD1∥平面AEC；(2)CC1上是否存在一點(diǎn)F，使得平面AEC∥平面BFD1，若存在，請說明理由．(1)證明如圖，連接BD交AC于O，連接EO.因?yàn)锳BCD－A1B1C1D1為正方體，底面ABCD為正方形，對角線AC，BD交于O點(diǎn)，所以O(shè)為BD的中點(diǎn)，又因?yàn)镋為DD1的中點(diǎn)，所以在△DBD1中，OE是△DBD1的中位線，所以O(shè)E∥BD1.又因?yàn)镺E?平面AEC，BD1?平面AEC，所以BD1∥平面AEC.(2)解當(dāng)CC1上的點(diǎn)F為中點(diǎn)時，即滿足平面AEC∥平面BFD1.連接BF，D1F，因?yàn)镕為CC1的中點(diǎn)，E為DD1的中點(diǎn)，所以CF綉ED1，所以四邊形CFD1E為平行四邊形，所以D1F∥EC，又因?yàn)镋C?平面AEC，D1F?平面AEC，所以D1F∥平面AEC.由(1)知BD1∥平面AEC，又因?yàn)锽D1∩D1F＝D1，BD1，D1F?平面BFD1，所以平面AEC∥平面BFD1.方法總結(jié)：（1）利用線面平行或面面平行的性質(zhì)，可以實(shí)現(xiàn)與線線平行的轉(zhuǎn)化，尤其在截面圖的畫法中，常用來確定交線的位置．對于線段長或線段比例問題，常用平行線對應(yīng)線段成比例或相似三角形來解決．（2）探索性問題要根據(jù)題目確立成立的條件，然后當(dāng)成已知進(jìn)行證明。1、(2022·蘇州期初考試)已知m，n為兩條不同的直線，α，β，γ為三個不同的平面，則下列命題正確的是A．若m∥α，n∥α，則m∥nB．若α⊥β，γ⊥β，且α∩γ＝m，則m⊥βC．若mα，nα，m∥β，n∥β，則α∥βD．若m⊥α，n∥β，α⊥β，則m⊥n【答案】B【解答】對于選項A，若m∥α，n∥α，則m∥n，相交，或?yàn)楫惷嬷本€，故選項A錯誤；對于選項B，若α⊥β，γ⊥β且α∩y＝m，則m⊥β，故選項B正確；對于選項C，若mα，nα，m∥β，n∥β，則α與β不一定平行，故選項C錯誤；對于選項D，若m⊥α，n∥β，α⊥β，則m與n不一定垂直，故選項D錯誤．綜上，答案選B．2、(2022·青島期初考試)(多選題)在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F(xiàn)，G，H分別為線段AA1，A1C1，C1B1，BB1的中點(diǎn)，下列說法正確的是A．E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面B．平面EGH∥平面ABC1C．直線A1A與FH異面D．直線BC與平面AFH平行【答案】ABC【解析】由題意，對于選項A，連接EH，F(xiàn)G，易得EH∥A1B1，F(xiàn)G∥A1B1，所以EH∥FG，故E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面，故選項A正確；對于選項B，連接AG，BG，EG，HG，因?yàn)镋，H分為AA1，BB1的中點(diǎn)，所以HG∥BC1，綜上可得，平面EGH∥平面ABC1，故選項B正確；對于選項C，異面直線是不在任何一個平面內(nèi)的兩條直線，已知點(diǎn)H在平面AA1B1B內(nèi)，點(diǎn)F在平面AA1B1B外，且平面內(nèi)直線AA1不經(jīng)過H點(diǎn)，故可得出直線