1 1．3.1　空間直角坐標(biāo)系

1．3空間向量及其運(yùn)算的坐標(biāo)表示1．3.1空間直角坐標(biāo)系第一章空間向量與立體幾何學(xué)習(xí)指導(dǎo)核心素養(yǎng)1.在平面直角坐標(biāo)系的基礎(chǔ)上，了解空間直角坐標(biāo)系，感受建立空間直角坐標(biāo)系的必要性，會(huì)用空間直角坐標(biāo)系刻畫(huà)點(diǎn)的位置．2．掌握空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示．?dāng)?shù)學(xué)抽象：空間直角坐標(biāo)系的建系方式．直觀(guān)想象：空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示．01必備知識(shí)落實(shí)知識(shí)點(diǎn)一空間直角坐標(biāo)系(1)空間直角坐標(biāo)系在空間選定一點(diǎn)O和一個(gè)單位正交基底{i，j，k}．以點(diǎn)O為原點(diǎn)，分別以i，j，k的方向?yàn)檎较颉⒁运鼈兊拈L(zhǎng)為單位長(zhǎng)度建立三條數(shù)軸：________、________、________，它們都叫做坐標(biāo)軸，這時(shí)就建立了一個(gè)空間直角坐標(biāo)系________．x軸y軸z軸Oxyz(2)相關(guān)概念______叫做原點(diǎn)，i，j，k都叫做__________，通過(guò)每?jī)蓷l坐標(biāo)軸的平面叫做坐標(biāo)平面，分別稱(chēng)為_(kāi)_____平面，______平面，______平面，它們把空間分成八個(gè)部分．(3)右手直角坐標(biāo)系在空間直角坐標(biāo)系中，讓右手拇指指向______的正方向，食指指向______的正方向，如果中指指向______的正方向，則稱(chēng)這個(gè)坐標(biāo)系為右手直角坐標(biāo)系．O坐標(biāo)向量OxyOyzOzxx軸y軸z軸(x，y，z)與向量坐標(biāo)有關(guān)的重要結(jié)論(1)向量a的坐標(biāo)實(shí)質(zhì)是向量a的單位正交分解的系數(shù)．(2)兩向量相等等價(jià)于它們對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)相等，即設(shè)a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，則a＝b?x1＝x2，y1＝y(tǒng)2，z1＝z2.解析：觀(guān)察題中圖形，知點(diǎn)B1的坐標(biāo)為(2，3，1)，故選C.√02關(guān)鍵能力提升用坐標(biāo)表示空間向量的步驟考點(diǎn)二空間中點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題

在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)P(－2，1，4).(1)求點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)；【解】

由于點(diǎn)P關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)后，它在x軸的分量不變，在y軸、z軸的分量變?yōu)樵瓉?lái)的相反數(shù)，所以對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為P1(－2，－1，－4).(2)求點(diǎn)P關(guān)于Oxy平面的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)；【解】

由于點(diǎn)P關(guān)于Oxy平面對(duì)稱(chēng)后，它在x軸、y軸的分量不變，在z軸的分量變?yōu)樵瓉?lái)的相反數(shù)，所以對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為P2(－2，1，－4).(3)求點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)M(2，－1，－4)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)．【解】

設(shè)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為P3(x，y，z)，則點(diǎn)M為線(xiàn)段PP3的中點(diǎn)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，可得x＝2×2－(－2)＝6，y＝2×(－1)－1＝－3，z＝2×(－4)－4＝－12，所以

P3(6，－3，－12).求空間中點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題的方法

關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)，橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)、豎坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的相反數(shù)；關(guān)于Oxy坐標(biāo)平面對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)，橫、縱坐標(biāo)不變，豎坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的相反數(shù)．

已知點(diǎn)P(2，3，－1)關(guān)于坐標(biāo)平面Oxy的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為P1，點(diǎn)P1關(guān)于坐標(biāo)平面Oyz的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為P2，點(diǎn)P2關(guān)于z軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為P3，則點(diǎn)P3的坐標(biāo)為_(kāi)_______．解析：點(diǎn)P(2，3，－1)關(guān)于坐標(biāo)平面Oxy的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P1的坐標(biāo)為(2，3，1)，點(diǎn)P1關(guān)于坐標(biāo)平面Oyz的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P2的坐標(biāo)為(－2，3，1)，點(diǎn)P2關(guān)于z軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P3的坐標(biāo)是(2，－3，1).答案：(2，－3，1)03課堂鞏固自測(cè)1．設(shè){e1，e2，e3}是空間向量的一個(gè)單位正交基底，a＝4e1－8e2＋3e3，b＝－2e1－3e2＋7e3，則a＋b的坐標(biāo)為(

)A．(2，－11，10) B．(－2，11，－10)C．(－2，11，10) D．(2，11，－10)解析：a＋b＝2e1－11e2＋10e3，由于{e1，e2，e3}是空間向量的一個(gè)單位正交基底，所以a＋b＝(2，－11，10).√2341√23413．設(shè){i，j，k}是空間向量的一個(gè)單位正交基底，則向量a＝3i＋2j－k，b＝－2i＋4j＋2k的坐標(biāo)分別是________．解析：因?yàn)閧i，j，k}是單位正交基底，根據(jù)空間向量坐標(biāo)的概念知a＝(3，2，－1)，b＝(－2，4，2).答案：(3，2，－1)，(－2，4，2)2341234104課后達(dá)標(biāo)檢測(cè)√234567891012．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(2，－2，4)與點(diǎn)B(－2，－2，－4)關(guān)于(

)A．原點(diǎn)對(duì)稱(chēng) B．x軸對(duì)稱(chēng)C．y軸對(duì)稱(chēng) D．z軸對(duì)稱(chēng)解析：因?yàn)辄c(diǎn)A和點(diǎn)B的縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)和豎坐標(biāo)都互為相反數(shù)，所以點(diǎn)A和點(diǎn)B關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)．√23456789101√23456789101解析：因?yàn)锳點(diǎn)不一定為坐標(biāo)原點(diǎn)，所以A不正確；同理，B，C都不正確；234567891014．點(diǎn)P(2，3，4)在三條坐標(biāo)軸上的射影的坐標(biāo)分別是________，________，________．解析：P(2，3，4)在x軸上的射影為(2，0，0)，在y軸上的射影為(0，3，0)，在z軸上的射影為(0，0，4).答案：(2，0，0)

(0，3，0)

(0，0，4)23456789101234567891012345678910123456789101[B能力提升]7．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P(4，3，－1)關(guān)于Oxz平面對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是(

)A．(4，－3，－1)

B．(4，3，－1)C．(3，－4，1) D．(－4，－3，1)解析：過(guò)點(diǎn)P向Oxz平面作垂線(xiàn)，垂足為N(圖略)，則N就是點(diǎn)P與其關(guān)于Oxz平面對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)P′連線(xiàn)的中點(diǎn)．又N