高二數(shù)學(xué)開學(xué)摸底考試卷02（考試范圍人教A版2019）

20242025學(xué)年高二數(shù)學(xué)開學(xué)摸底考試卷02（考試時(shí)間：120分鐘；滿分：150分）注意事項(xiàng)：1.本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上；2.回答第Ⅰ卷時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。寫在本試卷上無(wú)效；3.回答第Ⅱ卷時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無(wú)效；4.測(cè)試范圍：必修第一冊(cè)+必修第二冊(cè)全冊(cè)；5.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.第I卷（選擇題）一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的。1．（5分）（2324高一下·遼寧葫蘆島·開學(xué)考試）已知集合A=x∈Nx≤3,B={?1,0,1,3,5}，則A．{1,3} B．{0,1,3} C．{?1,0,1,3} D．{【解題思路】根據(jù)交集的含義即可得到答案.【解答過(guò)程】因?yàn)锳=x∈Nx≤3所以根據(jù)交集的定義得A∩B={0,1,3}.故選：B.2．（5分）（2324高三下·湖北·開學(xué)考試）已知復(fù)數(shù)z滿足z?z=23?2i，則復(fù)數(shù)A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【解題思路】設(shè)復(fù)數(shù)z=a+bia,b∈R，代入【解答過(guò)程】設(shè)復(fù)數(shù)z=a+bi因?yàn)閦?z=2所以a2可得aa2+b2則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限.故選：D.3．（5分）（2324高一下·廣西·開學(xué)考試）某人用記錄了他連續(xù)10周每周的走路里程（單位：公里），其數(shù)據(jù)分別為12,15,9,8,14,11,17,10,7,16，則這組數(shù)據(jù)的60%分位數(shù)是（

A．7 B．12 C．13 D．14【解題思路】先將數(shù)據(jù)按從小到大順序排列，再利用百分位計(jì)算.【解答過(guò)程】將這組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為7,8,9,10,11,12,14,15,16,17.因?yàn)?0×60%則這組數(shù)據(jù)的60%分位數(shù)是這組數(shù)據(jù)中的第6個(gè)和第7個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)，即12+14故選：C.4．（5分）（2324高三下·江西·開學(xué)考試）研究表明，地震時(shí)釋放的能量E（單位：焦耳）與地震里氏震級(jí)M之間的關(guān)系為lgE=4.8+1.5M.2023年12月18日在甘肅積石山縣發(fā)生了里氏6.2級(jí)地震，2024年1月4日在斐濟(jì)群島發(fā)生了里氏5.7級(jí)地震，若前后這兩個(gè)地震釋放的能量之比是n，則n的整數(shù)部分為（

A．3 B．4 C．5 D．6【解題思路】根據(jù)題意結(jié)合指、對(duì)數(shù)運(yùn)算求解.【解答過(guò)程】設(shè)前后兩次地震釋放的能量分別為E1由已知得lgE1=4.8+1.5×6.2則n=E因?yàn)?4<1000<64，則所以n的整數(shù)部分為5.故選：C.5．（5分）（2324高一下·廣西南寧·開學(xué)考試）已知a>0,b>0，且a+3b=2，則1a+1+1A．23 B．1 C．43【解題思路】依題意可得a+1+3b=3，再利用乘“1”法及基本不等式計(jì)算可得.【解答過(guò)程】因?yàn)閍>0,b>0，且a+3b=2，所以a+1+3b=3，所以1=132+當(dāng)且僅當(dāng)3ba+1=a+1所以1a+1+1故選：C．6．（5分）（2324高三下·四川雅安·開學(xué)考試）已知非零向量a，b滿足a=3b，且a+2b⊥a?4A．112 B．16 C．14【解題思路】根據(jù)題意，由數(shù)量積的運(yùn)算律，代入計(jì)算，結(jié)合平面向量的夾角計(jì)算公式，即可得到結(jié)果.【解答過(guò)程】因?yàn)閍+2所以a+2設(shè)a與b的夾角為θ，則cosθ=故選：B.7．（5分）（2324高三下·江西·開學(xué)考試）已知一正方體木塊ABCD?A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為4，點(diǎn)E在棱A．426 B．517 C．226【解題思路】如圖，在CC1上取一點(diǎn)F，使得CF=1，連接B1F,DF，則四邊形DEB【解答過(guò)程】如圖，在CC1上取一點(diǎn)F，使得CF=1，連接因?yàn)锳E//C1F且AE=所以EF與AC1相交于O且O為又O在B1D上，所以EF與B1D相交于O，且O平分所以四點(diǎn)D,E,B1,F所以過(guò)D,E,B1三點(diǎn)的截面是平行四邊形∵DE=A∴cos∴sin故截面面積為S=2S故選：A.8．（5分）（2324高一下·江西宜春·開學(xué)考試）已知函數(shù)fx=sinωx?2A．fxB．fxC．ω的取值范圍是8D．fx在區(qū)間0,【解題思路】畫出y=sin【解答過(guò)程】∵ω>0，當(dāng)x∈0,π時(shí)，由于函數(shù)y=fx在0,故2π≤π設(shè)ωx?2π3如下圖作出函數(shù)y=sin則y=sint在?2有一個(gè)或兩個(gè)最大值點(diǎn)（最大值為1），所以fx+1有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)x∈0,π21由83≤ω<11而y=sint在?2故fx在0,故選：D.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。9．（5分）（2324高一上·湖南·期中）已知a，b為正實(shí)數(shù)，且a>1,b>1,(a?1)(b?1)=1，則（

）A．a(chǎn)b的最大值為4 B．2a+b的最小值為3+2C．a(chǎn)+b的最小值為3?22 D．1【解題思路】根據(jù)基本不等式及“1”代換即可判斷各選項(xiàng).【解答過(guò)程】對(duì)于A，∵(a?1)(b?1)=1,∴ab=a+b，因?yàn)閍b=a+b≥2ab,ab所以ab的最小值為4，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由ab=a+b，得1a+1對(duì)于C，(a+b)1a+對(duì)于D，∵(a?1)(b?1)=1,∴1a?1+故選：BD．10．（5分）（2324高一上·山東日照·期末）一個(gè)袋子中有標(biāo)號(hào)分別為1，2，3，4的4個(gè)小球，除標(biāo)號(hào)外無(wú)差異．不放回地取兩次，每次取出一個(gè)．事件A=“兩次取出球的標(biāo)號(hào)為1和4”，事件B=“第二次取出球的標(biāo)號(hào)為4”，事件C=“兩次取出球的標(biāo)號(hào)之和為5”，則（

）A．PA=1C．事件A與C不互斥 D．事件B與C相互獨(dú)立【解題思路】先利用古典概率公式分別計(jì)算PA，PB，PC，P【解答過(guò)程】設(shè)采用不放回方式從中任意摸球兩次，每次取出一個(gè)球，全部的基本事件有：1,2，1,3，1,4，2,1，2,3，2,4，3,1，3,2，3,4，4,1，4,2，4,3共12個(gè)，事件A發(fā)生包含的基本事件有：1,4，4,1有2個(gè)，事件B發(fā)生包含的基本事件有：1,4，2,4，3,4有3個(gè)，所以PA事件C發(fā)生包含的基本事件：1,4，2,3，3,2，4,1有4個(gè)，PC事件AB發(fā)生包含的基本事件：1,4有1個(gè)，PAB事件AC發(fā)生包含的基本事件：1,4，4,1有2個(gè)，故事件A與C不互斥，故C正確；事件BC發(fā)生包含的基本事件：1,4有1個(gè)，PBC因?yàn)镻BPC=1故選：BCD.11．（5分）（2324高一下·江西·開學(xué)考試）已知fx是定義在R上的奇函數(shù)，且f4?x=fx，若對(duì)于任意的x1，xA．fx的圖象關(guān)于點(diǎn)?2,0中心對(duì)稱 B．C．fx在區(qū)間?2,2上單調(diào)遞增 D．fx在【解題思路】根據(jù)函數(shù)奇偶性、對(duì)稱性、周期性、單調(diào)性的定義和性質(zhì)，對(duì)每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析，即可判斷和選擇.【解答過(guò)程】對(duì)A：由f4?x=fx，得f又fx是定義在R上的奇函數(shù)，所以函數(shù)f由對(duì)稱性可知，函數(shù)fx的圖象關(guān)于點(diǎn)4,0再根據(jù)f(x)是奇函數(shù)可得，函數(shù)fx的圖象關(guān)于點(diǎn)?4,0對(duì)B：由f?x=?fx得f4+x=f?x對(duì)C：因?yàn)閷?duì)于任意的x1，x2∈2,4，都有x1又函數(shù)fx的圖象關(guān)于點(diǎn)4,0中心對(duì)稱，則fx在因?yàn)閒x的圖像關(guān)于直線x=2對(duì)稱，則fx在區(qū)間對(duì)D：由C可知，fx在x=2處取得最大值，f則fx在x=66故選：BCD.12．（5分）（2324高三下·河南·開學(xué)考試）如圖，在三棱錐P?ABC中，底面ABC為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，BP⊥PC,BP=PC，二面角P?BC?A的平面角為θ，則（

）A．當(dāng)AP⊥平面PBC時(shí)，三棱錐P?ABC為正三棱錐B．當(dāng)AP=2時(shí)，平面BPC⊥平面ABCC．當(dāng)三棱錐P?ABC的體積為36時(shí)，θ=πD．當(dāng)π6≤θ≤π3【解題思路】根據(jù)線面垂直得線線垂直，即可根據(jù)勾股定理求解長(zhǎng)度，結(jié)合正三棱錐的定義即可判斷A，根據(jù)二面角的幾何法，結(jié)合三角形邊角關(guān)系即可求解B，根據(jù)體積公式以及線面垂直，即可判斷C，根據(jù)三棱錐的特征，可的球心位置，進(jìn)而結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)以及球的表面積公式即可求解.【解答過(guò)程】由BP⊥PC,BP=PC,BC=2，可得BP=PC=2對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)AP⊥平面PBC時(shí)，PB?平面PBC,故PA⊥PB，由AB=2,BP=2，可得AP=又由AP=BP=PC=2,AB=BC=AC=2，可得三棱錐對(duì)于B選項(xiàng)，如圖，取BC的中點(diǎn)D，連接PD,AD，由BD=CD,AB=AC,BP=PC，可得PD⊥BC,AD⊥BC，所以∠ADP為二面角P?BC?A的平面角θ，又由AD=3,PD=1,AP=2，可得PD⊥AD，可得θ為直角，即平面BPC⊥平面

對(duì)于C選項(xiàng)，設(shè)點(diǎn)P到平面ABC的距離為?，由S△ABC=3可得?=12，由B選項(xiàng)可知此時(shí)當(dāng)θ為銳角時(shí)，如圖，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥AD，垂足為H，由于PD⊥BC,AD⊥BC，PD∩AD=D,PD,AD?平面PAD，所以BC⊥平面PAD，PH?平面PAD，可得BC⊥PH，又由PH⊥AD，BC∩AD=D,BC,AD?平面ABC可得PH⊥平面ABC，可得PH=1又由PD=1，可得θ=π當(dāng)θ為鈍角時(shí)，同理可得θ=5π對(duì)于D選項(xiàng)，如圖，在AD上取一點(diǎn)E，使得AE=2DE，在△APD中，過(guò)點(diǎn)E作平面ABC的垂線，過(guò)點(diǎn)D作平面PBC的垂線，相交于點(diǎn)O，由△ABC為等邊三角形，△PBC為等腰直角三角形，可得O為三棱錐P?ABC的外接球的半徑，又由∠ODE=π有OE=33tanπ2又由π6≤θ≤π3，有π6有139≤OC≤73，可得三棱錐故選:ABD．第II卷（非選擇題）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．（5分）（2324高一下·山東濟(jì)寧·開學(xué)考試）已知α,β∈0,π2，若?1665【解題思路】由誘導(dǎo)公式可得sinα+π2=cosα=45，由【解答過(guò)程】由題意得sinα+π2=cos由cosβ=513，β∈(0,所以cosα+β故答案為：?1614．（5分）（2324高一下·河南·開學(xué)考試）甲、乙兩個(gè)籃球隊(duì)進(jìn)行比賽，獲勝隊(duì)將代表所在區(qū)參加市級(jí)比賽，他們約定，先贏四場(chǎng)比賽的隊(duì)伍獲勝．假設(shè)每場(chǎng)甲、乙兩隊(duì)獲勝的概率均為12，每場(chǎng)比賽不存在平局且比賽結(jié)果相互獨(dú)立，若在前三場(chǎng)比賽中，甲隊(duì)贏了兩場(chǎng)，乙隊(duì)贏了一場(chǎng)，則最終甲隊(duì)獲勝的概率為1116【解題思路】考慮先贏四場(chǎng)比賽的隊(duì)伍獲勝，甲隊(duì)已經(jīng)贏了兩場(chǎng)，故只需再先贏兩場(chǎng)則獲勝，分析得到甲在隨后進(jìn)行的場(chǎng)次可以有兩場(chǎng)連勝，也可輸一場(chǎng)贏兩場(chǎng)（含兩種情況），還可以輸兩場(chǎng)贏兩場(chǎng)（含三種情況），分別計(jì)算概率，再利用互斥事件的概率加法公式即得.【解答過(guò)程】由題意得甲、乙兩隊(duì)獲勝的概率均為12則①再進(jìn)行兩場(chǎng)比賽甲隊(duì)獲勝的概率為12②再進(jìn)行三場(chǎng)比賽甲隊(duì)獲勝的概率為12③再進(jìn)行四場(chǎng)比賽甲隊(duì)獲勝的概率為12由互斥事件的概率加法公式，可得最終甲隊(duì)獲勝的概率為14故答案為111615．（5分）（2324高三上·河南·期中）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，且滿足2sinAcosB?C+sin2A=23，記△ABC的面積為S1【解題思路】先根據(jù)兩角和與差正弦公式化簡(jiǎn)，再利用正弦定理求面積比值.【解答過(guò)程】因?yàn)?sinAcosB?C+所以sinA設(shè)△ABC外接圓的半徑為R，則S1故答案為：13π16．（5分）（2324高一下·廣東湛江·開學(xué)考試）已知函數(shù)fx=log2x,0<x<412x2?132【解題思路】作出函數(shù)fx的圖象，根據(jù)題意，得到0<a<2，由fx1=fx2，求得x1x2=1，再由x3【解答過(guò)程】作出函數(shù)fx由函數(shù)gx=fx結(jié)合圖形可知0<a<2，且0<x1<1<因?yàn)閒x1=fx2，可得?又因?yàn)閤3，x4是方程12x2因?yàn)閤1x2又因?yàn)?<a<2，可得?6<?2a?2<?2，所以x1故答案為：?6,?2.四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程及驗(yàn)算步驟。17．（10分）（2324高一上·湖北恩施·期末）已知集合A=x4≤x≤6，B=x(1)求A∪B，?R(2)若“x∈A”是“x∈C”的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【解題思路】（1）利用并集概念求解A∪B，先求出?RA，然后再求解（2）根據(jù)題意知集合C是集合A的真子集，分C=?和C≠?討論求解即可.【解答過(guò)程】（1）因?yàn)榧螦=x4≤x≤6，B=x又?RA=xx<4或（2）因?yàn)閤∈A是x∈C的必要不充分條件，所以集合C是集合A的真子集，當(dāng)C=?時(shí)，2a?3>a+1，解得a>4，滿足題意；當(dāng)C≠?時(shí)，由題意a+1≤62a?3>4a≤4或a+1<62a?3≥4綜上所述：a的取值范圍為7218．（12分）（2324高三下·青海西寧·開學(xué)考試）某新能源汽車配件廠生產(chǎn)一種新能源汽車精密零件，為提高產(chǎn)品質(zhì)量引入了一套新生產(chǎn)線，為檢驗(yàn)新生產(chǎn)線所生產(chǎn)出來(lái)的零件質(zhì)量有無(wú)顯著提高，現(xiàn)同時(shí)用舊生產(chǎn)線和新生產(chǎn)線各生產(chǎn)了10個(gè)零件，得到各個(gè)零件的質(zhì)量指標(biāo)的數(shù)據(jù)如下：舊生產(chǎn)線5.24.84.85.05.05.25.14.85.15.0新生產(chǎn)線5.05.25.35.15.45.25.25.35.25.1設(shè)舊生產(chǎn)線和新生產(chǎn)線所生產(chǎn)零件的質(zhì)量指標(biāo)的樣本平均數(shù)分別為x1和x2，樣本方差分別為s1(1)求x1，x2及(2)若x2?x【解題思路】（1）根據(jù)平均數(shù)以及方差的計(jì)算公式，即可求得答案；（2）分別計(jì)算x2【解答過(guò)程】（1）由題意得x1x2s2（2）由（1）可得x2s1因?yàn)?.04>0.0034，所以故新生產(chǎn)線生產(chǎn)的零件質(zhì)量較舊生產(chǎn)線生產(chǎn)的零件質(zhì)量有顯著提高.19．（12分）（2324高一下·浙江杭州·開學(xué)考試）已知函數(shù)fx=cos(1)求函數(shù)y=fx(2)若對(duì)任意的x∈?π12,5【解題思路】（1）利用二倍角公式及兩角和的余弦公式化簡(jiǎn)，再根據(jù)周期公式求出ω，即可得到函數(shù)解析式，最后根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)求出單調(diào)遞增區(qū)間；（2）由x的取值范圍求出2x+π3的范圍，即可求出fx的值域，由m?2≤f【解答過(guò)程】（1）因?yàn)閒====2=2cos又ω>0且函數(shù)的最小正周期是π，所以T=2π2ω所以fx令?π+2kπ所以函數(shù)y=fx的單調(diào)遞增區(qū)間為?（2）當(dāng)x∈?π12所以cos2x+π3因?yàn)閷?duì)任意的x∈?π12即對(duì)任意的x∈?π12即對(duì)任意的x∈?π12所以m+2≥3m?2≤?2，解得即m的取值范圍為3?2,020．（12分）（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四棱錐P?ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，AD∥BC，AC⊥BD．

(1)求證：平面PAC⊥平面PBD；(2)若AD=4，BC=2，直線PD與平面PAC所成的角為30°，求四棱錐P?ABCD的體積．【解題思路】（1）先證BD⊥平面PAC，再證面面垂直；（2）根據(jù)條件，求四棱錐的底面積和高，進(jìn)而求其體積.【解答過(guò)程】（1）∵PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，所以PA⊥BD．∵AC⊥BD，PA，AC?平面PAC且PA∩AC=A，所以BD⊥平面PAC，又BD?平面PBD，所以：平面PAC⊥平面PBD．（2）設(shè)AC和BD相交于點(diǎn)O，連接PO．如圖：

由（1）知，BD⊥平面PAC，所以∠DPO是直線PD與平面PAC所成的角，∴∠DPO=30°，所以PD=2OD．∵四邊形ABCD為等腰梯形，AC⊥BD，∴△AOD，△BOC均為等腰直角三角形，∴梯形ABCD的高為12∴梯形ABCD的面積為SABCD在等腰三角形AOD中，AD=4，∴OA=OD=22∴PD=2OD=42，PA=∴四棱錐P?ABCD的體積為V=121．（12分）（2324高三下·遼寧錦州·開學(xué)考試）若銳角△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，其外接圓的半徑為3，且acos(1)求角A的大小；(2)求b2【解題思路】