6.3二項式定理課件高二下學期數(shù)學人教A版選擇性

6.3.1二項式定理德宏州民族第一中學(1)組合數(shù)的概念:從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同組合的個數(shù),叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù),用符號

表示.(2)組合數(shù)公式:課前回顧德宏州民族第一中學答案:(1)B

(2)0課前回顧德宏州民族第一中學1.能用計數(shù)原理證明二項式定理.2.掌握二項式定理及其展開式的通項公式.3.解決與二項式定理有關(guān)的簡單問題.德宏州民族第一中學學習目標探究德宏州民族第一中學德宏州民族第一中學下面我們對上述猜想的正確性予以說明．德宏州民族第一中學德宏州民族第一中學運用二項式定理的解題策略(1)正用:求形式簡單的二項展開式時可直接由二項式定理展開,展開時注意二項展開式的特點,前一個字母是降冪,后一個字母是升冪.形如(a-b)n的展開式中會出現(xiàn)正負間隔的情況.對較繁雜的式子,先化簡再用二項式定理展開.(2)逆用:逆用二項式定理可將多項式化簡,對于這類問題的求解,要熟悉二項式公式的特點、項數(shù)、各項冪指數(shù)的規(guī)律以及各項的系數(shù).德宏州民族第一中學因此，展開式第4項的系數(shù)是280．德宏州民族第一中學德宏州民族第一中學德宏州民族第一中學1.求某項的二項式系數(shù)、系數(shù)或展開式中含xr的項的系數(shù),主要是利用通項公式求出相應的項,特別要注意某項的二項式系數(shù)與系數(shù)兩者的區(qū)別.2.二項式系數(shù)與項的系數(shù)是兩個不同的概念,前者僅與二項式的指數(shù)及項數(shù)有關(guān),與二項式無關(guān),后者與二項式、二項式的指數(shù)及項數(shù)均有關(guān).德宏州民族第一中學(1)n的值;(2)展開式中含x3的項.德宏州民族第一中學變式訓練1：本例條件不變,求二項展開式中的常數(shù)項.變式訓練2.本例條件不變,求二項展開式中的所有有理項.德宏州民族第一中學求二項展開式的特定項常見題型及處理措施(2)求常數(shù)項.對于常數(shù)項,隱含條件是字母的指數(shù)為0(即0次項).(3)求有理項.對于有理項,一般是根據(jù)通項公式所得到的項,其所有的字母的指數(shù)恰好都是整數(shù)的項.解這類問題必須合并通項公式中同一字母的指數(shù),根據(jù)具體要求,令其屬于整數(shù),再根據(jù)數(shù)的整除性來求解.(4)求整式項,求二項展開式中的整式項,其通項公式中同一字母的指數(shù)應是非負整數(shù),求解方式與求有理項一致.德宏州民族第一中學【例4】

(1)(x+y)(2x+y)5的展開式中x3y3的系數(shù)為(

)A.80 B.120 C.240

D.320(2)若(a+x)(1+x)4的展開式中x的奇數(shù)次冪項的系數(shù)之和為32,則a=

.

解析:(1)(x+y)(2x+y)5=(x+y)(32x5+80x4y+80x3y2+40x2y3+10xy4+y5),故展開式中x3y3的系數(shù)為40+80=120.(2)由已知得(1+x)4=1+4x+6x2+4x3+x4,故(a+x)(1+x)4的展開式中x的奇數(shù)次冪項分別為4ax,4ax3,x,6x3,x5,其系數(shù)之和為4a+4a+1+6+1=32,解得a=3.答案:(1)B

(2)3德宏州民族第一中學1.兩個二項展開式乘積的展開式中的特定項問題(1)分別對每個二項展開式進行分析,發(fā)現(xiàn)它們各自項的特點.(2)找到構(gòu)成展開式中特定項的組成部分.(3)分別求解后相乘,求和即得.2.三項或三項以上的展開問題應根據(jù)式子的特點,轉(zhuǎn)化為二項式來解決(有些題目也可轉(zhuǎn)化為計數(shù)問題解決),轉(zhuǎn)化的方法通常為配方、因式分解、項與項結(jié)合,項與項結(jié)合時要注意合理性和簡捷性.德宏州民族第一中學【變式訓練】

(1)已知(1+ax)(1+x)5的展開式中x2的系數(shù)為5,則a等于(

)A.-4 B.-3 C.-2 D.-1(2)在(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)的展開式中,含x4的項的系數(shù)是(

)A.-15 B.85 C.-120 D.274(2)展開式中含x4的項應從5個括號中選4個x,1個常數(shù),故x4的系數(shù)為(-1)+(-2)+(-3)+(-4)+(-5)=-15.答案:(1)D

(2)A德宏州民族第一中學第31頁當堂檢測練習（第31頁）D德宏州民族第一中學課堂小結(jié)課后作業(yè)習題6.3（第34頁）DB06.3.2二項式系數(shù)的性質(zhì)德宏州民族第一中學德宏州民族第一中學課前回顧課前回顧德宏州民族第一中學課前回顧德宏州民族第一中學1.能運用函數(shù)思想分析處理二項式系數(shù)的性質(zhì).2.理解和掌握二項式系數(shù)的性質(zhì),并會求解與二項式系數(shù)有關(guān)的問題.德宏州民族第一中學學習目標n(a+b)n的展開式的二項式系數(shù)1234561112113311464115101051161520156111121133114641151010511615201561通過計算、填表，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？從表6.3-1可以發(fā)現(xiàn)，每一行中的系數(shù)具有對稱性．除此以外還有什么規(guī)律呢？為了便于發(fā)現(xiàn)規(guī)律，上表還可以寫成如圖6.3-1所示的形式．…………………………………………………………………二項式系數(shù)的性質(zhì)【問題思考】觀察以下圖形,發(fā)現(xiàn)規(guī)律:(a+b)n的展開式的二次項系數(shù),當n取正整數(shù)時可以表示成如下形式:圖①

圖②

(1)每一行中,與首末兩端等距離的二項式系數(shù)有怎樣的關(guān)系?(2)二項式系數(shù)的最大值有何規(guī)律?(3)第一行中各數(shù)之和為多少?第二、三、四、五行呢?由此你能得出怎樣的結(jié)論?提示:(1)相等.(2)當n=2,4,…時,中間一項最大,當n=3,5,…時中間兩項最大.(3)21,22,23,24,25.第n行各數(shù)之和為2n.觀察圖6.3-1，你還能發(fā)現(xiàn)哪些規(guī)律？7個孤立的點Orf(r)6361420f（r）n為奇數(shù)；如n=720103035On743f（r）rnO615201n為偶數(shù)；如n=61112113311464115101051161520156111121133114641151010511615201561……和為2481632643．各二項式系數(shù)的和【例1】

已知(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7.求:(1)a1+a2+…+a7;(2)a1+a3+a5+a7;(3)a0+a2+a4+a6.解:令x=1,則a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=-1,①令x=-1,則a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7=37.②變式訓練1：本例中條件不變,求|a0|+|a1|+|a2|+…+|a7|的值.解法一:(1-2x)7的展開式中,a0,a2,a4,a6大于零,而a1,a3,a5,a7小于零,故|a0|+|a1|+|a2|+…+|a7|=(a0+a2+a4+a6)-(a1+a3+a5+a7)=1

093+1

094=2

187.解法二:∵|a0|+|a1|+|a2|+…+|a7|是(1+2x)7展開式中各項的系數(shù)和,∴|a0|+|a1|+|a2|+…+|a7|=37=2

187.二項展開式中系數(shù)和的求法(1)對形如(ax+b)n,(ax2+bx+c)m(a,b,c∈R,m,n∈N*)的式子求其展開式的各項系數(shù)之和,常用賦值法,只需令x=1即可;對(ax+by)n(a,b∈R,n∈N*)的式子求其展開式各項系數(shù)之和,只需令x=y=1即可.【變式訓練2】

已知(2x-3)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,求:(1)a0+a1+a2+a3+a4;(2)(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2.解:(1)由(2x-3)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,令x=1,得(2-3)4=a0+a1+a2+a3+a4,故a0+a1+a2+a3+a4=1.(2)在(2x-3)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4中,令x=1,得(2-3)4=a0+a1+a2+a3+a4,①令x=-1,得(-2-3)4=a0-a1+a2-a3+a4.②故(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2=(a0-a1+a2-a3+a4)·(a0+a1+a2+a3+a4)=(-2-3)4(2-3)4=(2+3)4(2-3)4=625.(1)求二項式系數(shù)最大的項;(2)系數(shù)的絕對值最大的項是第幾項?變式訓練：在本例條件下求系數(shù)最大的項與系數(shù)最小的項.解:由本例(2)知,展開式中的第6項和第7項系數(shù)的絕對值最大,第6項的系數(shù)為負,第7項的系數(shù)為正.1.求二項式系數(shù)的最大項,根據(jù)二項式系數(shù)的性質(zhì)對(a+b)n中的n進行討論.(1)當n為奇數(shù)時,中間兩項的二項式系數(shù)最大.(2)當n為偶數(shù)時,中間一項的二項式系數(shù)最大.2.二項展開式中系數(shù)的最大項的求法,求二項展開式中系數(shù)的最大項與求二項式系數(shù)最大項是不同的,需要根據(jù)各項系數(shù)的正、負變化情況進行分析.如求(a+bx)n(a,b∈R)的展開式中系數(shù)的最大項,設二項展開式中各項系數(shù)分別為A0,A1,A2,…,An,且第r+1項最大,應用

解出r,即