2024年全國一卷數(shù)學(xué)新高考題型細(xì)分S13圓錐曲線解答題11

2024年全國一卷新高考題型細(xì)分S13——圓錐曲線大題11試卷主要是2024年全國一卷新高考地區(qū)真題、模擬題，合計202套。其中全國高考真題4套，廣東47套，山東22套，江蘇18套，浙江27套，福建15套，河北23套，湖北19套，湖南27套。題目設(shè)置有尾注答案，復(fù)制題干的時候，答案也會被復(fù)制過去，顯示在文檔的后面，雙擊尾注編號可以查看。方便老師備課選題。題型純粹按照個人經(jīng)驗進(jìn)行分類，沒有固定的標(biāo)準(zhǔn)。《圓錐曲線——大題》題目主要按長短順序排版，具體有：短，中，長，涉后導(dǎo)數(shù)等，大概206道題。每道題目后面標(biāo)注有類型和難度，方便老師備課選題。長2：（2024年湘J35湖師附一模）17.已知雙曲線的漸近線方程為，的半焦距為，且．

（1）求的標(biāo)準(zhǔn)方程．

（2）若為上的一點，且為圓外一點，過作圓的兩條切線（斜率都存在），與交于另一點與交于另一點，證明：

（?。┑男甭手e為定值；（【答案】（1）（2）（?。┳C明見解析；（ⅱ）證明見解析【解析】【分析】（1）利用漸近線方程可得，再由焦距為以及即可求得，，可得的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）（i）設(shè)切線方程為，利用直線和圓相切可得，再由韋達(dá)定理整理可得的斜率之積為定值，且定值為2；（ii）聯(lián)立直線與雙曲線方程，可得，同理可求出【答案】（1）（2）（?。┳C明見解析；（ⅱ）證明見解析【解析】【分析】（1）利用漸近線方程可得，再由焦距為以及即可求得，，可得的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）（i）設(shè)切線方程為，利用直線和圓相切可得，再由韋達(dá)定理整理可得的斜率之積為定值，且定值為2；（ii）聯(lián)立直線與雙曲線方程，可得，同理可求出，化簡得，所以，因此關(guān)于點對稱.【小問1詳解】因為的漸近線方程為，所以，則，所以，因為，所以，得.因為，所以，可得，所以，故的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問2詳解】證明：（i）設(shè)，如下圖所示：設(shè)過點的切線的斜率為，則切線方程為，即，所以，即，因此的斜率是上式中方程的兩根，即.又因為，所以所以的斜率之積為定值，且定值為.（ii）不妨設(shè)直線的斜率為，直線的斜率為，聯(lián)立，得.因為，所以，則，同理可得，所以.因為，所以，所以，得.因為都在上，所以或（舍去），所以存在定點，使得關(guān)于點對稱.【點睛】方法點睛：處理圓錐曲線中定點、定值時，經(jīng)常聯(lián)立直線和曲線方程利用韋達(dá)定理對表達(dá)式進(jìn)行整理化簡，便可得出結(jié)論.（2024年鄂J15十一校二聯(lián)考）18.已知橢圓的離心率為，，分別為橢圓的左頂點和上頂點，為左焦點，且的面積為．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：

（2）設(shè)橢圓的右頂點為、是橢圓上不與頂點重合的動點．

（i）若點，點在橢圓上且位于軸下方，直線交軸于點，設(shè)和的面積分別為，若，求點的坐標(biāo)：（【答案】（1）（2）（i）；（ii）證明見解析，【解析】【分析】（1）依題意可得，解得、、，即可得解；（2）（i）連接，由面積公式推導(dǎo)出，從而得到，即可求出的方程，聯(lián)立直線與橢圓方程，求出點坐標(biāo)；（ii）設(shè)直線的斜率為，的方程為，再求出直線的方程，聯(lián)立求出、點坐標(biāo)，從而求出的方程，即可求出點坐標(biāo)，再由斜率公式計算可得.【小問1詳解】由題意得，又，解得，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為【小問2詳解】（i）由（1）可得，連接，因為，，所以【答案】（1）（2）（i）；（ii）證明見解析，【解析】【分析】（1）依題意可得，解得、、，即可得解；（2）（i）連接，由面積公式推導(dǎo)出，從而得到，即可求出的方程，聯(lián)立直線與橢圓方程，求出點坐標(biāo)；（ii）設(shè)直線的斜率為，的方程為，再求出直線的方程，聯(lián)立求出、點坐標(biāo)，從而求出的方程，即可求出點坐標(biāo)，再由斜率公式計算可得.【小問1詳解】由題意得，又，解得，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為【小問2詳解】（i）由（1）可得，連接，因為，，所以，，，所以，所以直線的方程為，聯(lián)立，解得或（舍去），.（ii）設(shè)直線的斜率為，則直線的方程為：，又，，直線的方程為，由，解得，所以，由，得，由，則，所以，則，，依題意、不重合，所以，即，所以，直線的方程為，令即，解得，，，為定值.【點睛】方法點睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點坐標(biāo)為、；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時計算；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.（2024年鄂J12三校二模）19.已知橢圓C：短軸長為2，左、右焦點分別為，，過點的直線l與橢圓C交于M，N兩點，其中M，N分別在x軸上方和下方，，，直線與直線MO交于點，直線與直線NO交于點．

（1）若坐標(biāo)為，求橢圓C的方程；

（2）在（1）的條件下，過點并垂直于x軸的直線交C于點B，橢圓上不同的兩點A，D滿足，，成等差數(shù)列．求弦AD的中垂線的縱截距的取值范圍；(【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】【分析】（1）由橢圓的性質(zhì)可得，再由兩中線的交點為重心和重心的性質(zhì)得到點，代入橢圓方程可得即可；（2）由等差中項的性質(zhì)得到，再由弦長公式得到，然后分當(dāng)AB斜率存在時由點差法得到，再由點斜式寫出弦的中垂線方程，當(dāng)時，得到；當(dāng)AB斜率不存在時，此時AD：，；最后得到范圍；【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】【分析】（1）由橢圓的性質(zhì)可得，再由兩中線的交點為重心和重心的性質(zhì)得到點，代入橢圓方程可得即可；（2）由等差中項的性質(zhì)得到，再由弦長公式得到，然后分當(dāng)AB斜率存在時由點差法得到，再由點斜式寫出弦的中垂線方程，當(dāng)時，得到；當(dāng)AB斜率不存在時，此時AD：，；最后得到范圍；（3）解法一：根據(jù)重心性質(zhì)及面積公式得，，再結(jié)合已知不等式條件解不等式組可得，然后直曲聯(lián)立得到；轉(zhuǎn)化為對任意的t恒成立，解不等式即可；解法二：根據(jù)重心的性質(zhì)可得，再由幾何圖形的面積關(guān)系結(jié)合三角形的面積公式得到；，后同解法一.【小問1詳解】依題意，，故橢圓C：；易知點為的重心，則，故，代入橢圓方程得∴橢圓C的方程為；【小問2詳解】∵，，成等差數(shù)列，．∴．設(shè)，，AD中點．，由弦長公式，∵，∴，同理，代入可得，①當(dāng)AB斜率存在時兩式作差可得，，∴，∴弦AD的中垂線方程為，當(dāng)時，，即AD的中垂線的縱截距．∵在橢圓C內(nèi)，∴，得，且．②當(dāng)AB斜率不存在時，此時AD：，．∴綜上所述，即弦AD的中垂線的縱截距的取值范圍為．【小問3詳解】解法一：易知點，分別為，的重心，設(shè)，，設(shè)點，，則根據(jù)重心性質(zhì)及面積公式得，，而∴，∴，∴，，設(shè)直線l：，則聯(lián)立橢圓方程得消元化簡得，，，∴，，∴，∴對任意的t恒成立，即，故實數(shù)a的取值范圍為．解法二：易知點為重心，，∴，，，此時，設(shè)點，，，，則根據(jù)重心的性質(zhì)可得，∴，，，∴，；；而，∴，∴，；設(shè)直線l：，則聯(lián)立橢圓方程得消元化簡得，，，∴，，∴，∴對任意的t恒成立，即，故實數(shù)a的取值范圍為．【點睛】關(guān)鍵點點睛：（1）三角形重心分得線段長度比為；（2）當(dāng)求橢圓的中點弦或中點弦的垂直平分線時可用點差法較為容易.（2024年冀J10承德二模）19.已知動點與定點的距離和到定直線的距離的比為常數(shù)．其中，且，記點的軌跡為曲線．

（1）求的方程，并說明軌跡的形狀；（【答案】（1）答案見解析（2）①證明見解析；②存在；【解析】【分析】（1）設(shè)，由題意可得，結(jié)合橢圓、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程即可求解；（2）設(shè)點，其中且.（ⅰ）由可知三點共且，設(shè)：，聯(lián)立的方程，利用韋達(dá)定理表示，進(jìn)而表示出，結(jié)合（1）化簡計算即可；由橢圓的定義，由得，，進(jìn)而表示出，化簡計算即可；（ii）由（ⅰ）可知三點共線，且，設(shè)：，聯(lián)立的方程，利用韋達(dá)定理表示，計算化簡可得，結(jié)合由內(nèi)切圓性質(zhì)計算即可求解.【小問1詳解】設(shè)點，由題意可知，即，經(jīng)化簡，得的方程為，當(dāng)【答案】（1）答案見解析（2）①證明見解析；②存在；【解析】【分析】（1）設(shè)，由題意可得，結(jié)合橢圓、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程即可求解；（2）設(shè)點，其中且.（?。┯煽芍c共且，設(shè)：，聯(lián)立的方程，利用韋達(dá)定理表示，進(jìn)而表示出，結(jié)合（1）化簡計算即可；由橢圓的定義，由得，，進(jìn)而表示出，化簡計算即可；（ii）由（?。┛芍c共線，且，設(shè)：，聯(lián)立的方程，利用韋達(dá)定理表示，計算化簡可得，結(jié)合由內(nèi)切圓性質(zhì)計算即可求解.【小問1詳解】設(shè)點，由題意可知，即，經(jīng)化簡，得的方程為，當(dāng)時，曲線是焦點在軸上的橢圓；當(dāng)時，曲線是焦點在軸上的雙曲線．【小問2詳解】設(shè)點，其中且，（ⅰ）由（1）可知的方程為，因為，所以，因此，三點共線，且，（法一）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立的方程，得，則，由（1）可知，所以，所以為定值1；（法二）設(shè)，則有，解得，同理由，解得，所以，所以為定值1；由橢圓定義，得，，解得，同理可得，所以．因為，所以的周長為定值．（ⅱ）當(dāng)時，曲線的方程為，軌跡為雙曲線，根據(jù)（?。┑淖C明，同理可得三點共線，且，（法一）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立的方程，得，，（*）因為，所以，將（*）代入上式，化簡得，（法二）設(shè)，依條件有，解得，同理由，解得，所以．由雙曲線的定義，得，根據(jù)，解得，同理根據(jù)，解得，所以，由內(nèi)切圓性質(zhì)可知，，當(dāng)時，（常數(shù)）．因此，存在常數(shù)使得恒成立，且．【點睛】方法點睛：求定值問題常見的方法有兩種：(1)從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(guān)．(2)直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值．（2024年粵J100佛山禪城二調(diào)）19.已知以下事實：反比例函數(shù)（）的圖象是雙曲線，兩條坐標(biāo)軸是其兩條漸近線．

（1）（ⅰ）直接寫出函數(shù)的圖象的實軸長；（【答案】（1）（ⅰ）2；（ⅱ）．（2）存在，點A到直線距離的最大值為2，．【解析】【分析】（1）由題意結(jié)合雙曲線的性質(zhì)，即可求得答案；（2）方法一：設(shè)，，，設(shè)：，聯(lián)立雙曲線方程，可得根與系數(shù)的關(guān)系式，進(jìn)而求出兩點的縱坐標(biāo)，結(jié)合，即可求得參數(shù)之間的關(guān)系，代入，即可求得答案；方法二：設(shè)，，，，，利用，的方程求出，，的表達(dá)式，即可得的坐標(biāo)，從而求出的方程，可推出過定點，即可求得答案；方法三：設(shè)，，，，，可得，設(shè)：【答案】（1）（?。?；（ⅱ）．（2）存在，點A到直線距離的最大值為2，．【解析】【分析】（1）由題意結(jié)合雙曲線的性質(zhì)，即可求得答案；（2）方法一：設(shè)，，，設(shè)：，聯(lián)立雙曲線方程，可得根與系數(shù)的關(guān)系式，進(jìn)而求出兩點的縱坐標(biāo)，結(jié)合，即可求得參數(shù)之間的關(guān)系，代入，即可求得答案；方法二：設(shè)，，，，，利用，的方程求出，，的表達(dá)式，即可得的坐標(biāo)，從而求出的方程，可推出過定點，即可求得答案；方法三：設(shè)，，，，，可得，設(shè)：，聯(lián)立雙曲線方程化簡得出，變形后利用根與系數(shù)的關(guān)系可得出，求出n，即可推出過定點，即可求得答案..【小問1詳解】（ⅰ）由題意可知雙曲線的實軸在上，聯(lián)立，解得或，即雙曲線的兩頂點為，故實軸長為；

（ⅱ）將曲線繞原點順時針轉(zhuǎn)，得到曲線，曲線的方程為；【小問2詳解】方法一：設(shè)，，，顯然直線的斜率存在，設(shè)：，聯(lián)立：得，所以，，①，因：，令，則，同理，，②依題意得，③由①②③得，，所以，即或，若，則：過點A，不合題意；若，則：．所以，恒過，所以，．當(dāng)且僅當(dāng)，即時取得，此時方程為，結(jié)合，解得，，，綜上所述，點A到直線距離的最大值為2，此時圓的半徑為；方法二：設(shè)，，，，，則：，：，聯(lián)立，得，為此方程的一根，另外一根為，則，代入方程得，，同理可得，，即，，則，所以直線的方程為，所以直線過定點,所以．當(dāng)且僅當(dāng)，即時取得，解得,綜上所述，點A到直線距離的最大值為2，此時圓的半徑為；方法三：設(shè)，，，，，則，依題意，直線不過點A，可設(shè)：，曲線的方程改寫為，即，聯(lián)立直線的方程得，所以，若，則，代入直線方程，無解；故，兩邊同時除以得，則，得，在直線：中，令，則，所以，恒過，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取得，此時，符合題意，且方程為，解得，，，綜上所述，點A到直線距離的最大值為2，此時圓的半徑為．【點睛】難點點睛：本題考查雙曲線方程的求解以及直線和雙曲線位置關(guān)系的應(yīng)用，其中的難點是求解最值問題，解答時要注意利用直線方程和雙曲線方程的聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系式進(jìn)行化簡，難點就在于化簡的過程十分復(fù)雜，計算量大，并且基本上都是有關(guān)字母參數(shù)的運算，需要有較強的計算能力.（2024年湘J43長沙一中三模）19．已知雙曲線的左，右焦點分別為，雙曲線C的虛軸長為2，有一條漸近線方程為．如圖，點A是雙曲線C上位于第一象限內(nèi)的點，過點A作直線l與雙曲線的右支交于另外一點B，連接并延長交雙曲線左支于點P，連接與，其中l(wèi)垂直于的平分線m，垂足為D．

(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（19．(1)；(2)證明見解析；(3)3【分析】（1）根據(jù)虛軸長和漸近線求出即可；（2）設(shè)，則，記直線m的方向向量為，利用坐標(biāo)運算求解，整理即可得答案；（3）設(shè)出直線方程，和雙曲線聯(lián)立，利用弦長公式和點到直線的距離公式得到，然后利用基本不等式求的最值.【詳解】（1）因為虛軸長為2，即，所以．又因為有一條漸近線方程為，所以，所以雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；19．(1)；(2)證明見解析；(3)3【分析】（1）根據(jù)虛軸長和漸近線求出即可；（2）設(shè)，則，記直線m的方向向量為，利用坐標(biāo)運算求解，整理即可得答案；（3）設(shè)出直線方程，和雙曲線聯(lián)立，利用弦長公式和點到直線的距離公式得到，然后利用基本不等式求的最值.【詳解】（1）因為虛軸長為2，即，所以．又因為有一條漸近線方程為，所以，所以雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）由題意，點A與點P關(guān)于原點對稱．設(shè)，則．由題意可知直線m的斜率存在，設(shè)直線m的斜率為k，記直線m的方向向量為，又直線m為的平分線，則．因為，所以，同理，又，代入得，，化簡得．所以，即直線與直線m的斜率之積為定值；（3）由（2）可知．又，所以，將代入得，，所以．設(shè)直線m的方程為，將代入得，所以直線m的方程為．由點到直線距離公式得，．又直線的斜率為，設(shè)直線的方程為，將代入得，所以直線的方程為．將其與聯(lián)立得．設(shè)，則．由得，所以．所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以當(dāng)且僅當(dāng)時，的最小值為3．【點睛】方法點睛：圓錐曲線中的最值問題解決方法一般分兩種：一是幾何法，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來求最值；二是代數(shù)法，常將圓錐曲線的最值問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)或三角函數(shù)的最值問題，然后利用基本不等式、函數(shù)的單調(diào)性或三角函數(shù)的有界性等求最值．（2024年湘J46長沙一中二模）18．如圖，雙曲線的左?右焦點，分別為雙曲線的左?右頂點，過點的直線分別交雙曲線的左?右兩支于兩點，交雙曲線的右支于點（與點不重合），且與的周長之差為2.

(1)求雙曲線的方程；

(2)若直線交雙曲線的右支于兩點.(18．(1)(2)①3；②為定值4，理由見解析【分析】（1）設(shè)，根據(jù)題意，得到，且，聯(lián)立方程組，求得的值，即可求解；（2）①設(shè)，求得，結(jié)合，即可求解；②由（1）得直線的方程為，聯(lián)立方程組，得到，結(jié)合弦長公式，求得和，進(jìn)而化簡得到為定值.【詳解】（1）解：設(shè)，因為與的周長之差為，所以，即，又因為分別為雙曲線的左、右頂點，所以，聯(lián)立方程組，解得，所以，故雙曲線的方程為.（2）解：①由（1）知，雙曲線的方程為18．(1)(2)①3；②為定值4，理由見解析【分析】（1）設(shè)，根據(jù)題意，得到，且，聯(lián)立方程組，求得的值，即可求解；（2）①設(shè)，求得，結(jié)合，即可求解；②由（1）得直線的方程為，聯(lián)立方程組，得到，結(jié)合弦長公式，求得和，進(jìn)而化簡得到為定值.【詳解】（1）解：設(shè)，因為與的周長之差為，所以，即，又因為分別為雙曲線的左、右頂點，所以，聯(lián)立方程組，解得，所以，故雙曲線的方程為.（2）解：①由（1）知，雙曲線的方程為，設(shè)，則，可得，則.②為定值.理由如下：由（1）得直線的方程為，聯(lián)立方程組，整理得，設(shè)，則，因為位于雙曲線的左?右兩支，所以，即，可得，又因為，所以直線的方程為，根據(jù)雙曲線的對稱性，同理可得，所以，故為定值.【點睛】方法知識總結(jié)：解答圓錐曲線的定點、定值問題的策略：1、參數(shù)法：參數(shù)解決定點問題的思路：①引進(jìn)動點的坐標(biāo)或動直線中的參數(shù)表示變化量，即確定題目中核心變量（通常為變量）；②利用條件找到過定點的曲線之間的關(guān)系，得到關(guān)于與的等式，再研究變化量與參數(shù)何時沒有關(guān)系，得出定點的坐標(biāo)；2、由特殊到一般：由特殊到一般法求解定點問題時，常根據(jù)動點或動直線的特殊情況探索出定點，再證明該定點與變量無關(guān).3、若與面積有關(guān)的定值問題，一般用直接法求解，即先利用三角形的面積公式，（如果是其他的凸多邊形，可分割成若干個三角形分別求解），把要探求的幾何圖形的面積表示出來，然后利用題中的條件得到幾何圖形的面積表達(dá)式中的相關(guān)量之間的關(guān)系式，把這個關(guān)系式代入幾何圖形的面積表達(dá)式中，化簡即可求解.（2024年魯J32濰坊二模）18．已知雙曲線：的實軸長為，右焦點到一條漸近線的距離為1．

(1)求的方程；（18．(1)(2)(3)或或或【分析】（1）根據(jù)雙曲線的基本量關(guān)系，結(jié)合右焦點到一條漸近線的距離為1求解即可；（2）設(shè)直線，聯(lián)立雙曲線方程可得交點坐標(biāo)，再根據(jù)點到直線的距離結(jié)合弦長公式與三角形面積公式求解即可；（3）設(shè)，可得，再結(jié)合可得，進(jìn)而根據(jù)點到線的距離公式，結(jié)合雙曲線的方程求解即可.【詳解】（1）因為雙曲線實軸長為，故，，的一條漸近線方程為，則，故雙曲線的方程為.（2）由題意可知四邊形為平行四邊形，其面積，由題意可得直線的斜率存在，設(shè)直線，且，聯(lián)立，消去并整理得，因為直線與雙曲線相切，故，得，即，所以，直線方程為.設(shè)直線與的交點為，與的交點為，聯(lián)立，得，同理得，則，因為原點到直線的距離，所以，所以.（3）設(shè)，則，不妨設(shè)到直線的距離為：，同理18．(1)(2)(3)或或或【分析】（1）根據(jù)雙曲線的基本量關(guān)系，結(jié)合右焦點到一條漸近線的距離為1求解即可；（2）設(shè)直線，聯(lián)立雙曲線方程可得交點坐標(biāo)，再根據(jù)點到直線的距離結(jié)合弦長公式與三角形面積公式求解即可；（3）設(shè)，可得，再結(jié)合可得，進(jìn)而根據(jù)點到線的距離公式，結(jié)合雙曲線的方程求解即可.【詳解】（1）因為雙曲線實軸長為，故，，的一條漸近線方程為，則，故雙曲線的方程為.（2）由題意可知四邊形為平行四邊形，其面積，由題意可得直線的斜率存在，設(shè)直線，且，聯(lián)立，消去并整理得，因為直線與雙曲線相切，故，得，即，所以，直線方程為.設(shè)直線與的交點為，與的交點為，聯(lián)立，得，同理得，則，因為原點到直線的距離，所以，所以.（3）設(shè)，則，不妨設(shè)到直線的距離為：，同理，所以①又因為②，由①②解得或，當(dāng)時，解得，又，則，解得，同理有或或，所以存在點或或或滿足.【點睛】方法點睛：

（1）弦長公式；（2）設(shè)雙曲線上一點，則可得為定值（2024年浙J39紹興上虞調(diào)測）18．在平面直角坐標(biāo)系中，動點（）與定點的距離和到直線：的距離之比是常數(shù)．

(1)求動點的軌跡方程；（18．(1)(2)（i）；（ii）是，3【分析】（1）根據(jù)題意列出方程，化簡，即可求得答案；（2）（i）設(shè)，，，設(shè)直線方程為，聯(lián)立曲線C的方程，可得根與系數(shù)關(guān)系式，同理設(shè)直線方程為，化簡可得，即可求得答案；（ii）分別求出，的表達(dá)式，即可得到的表達(dá)式，化簡即可得結(jié)論.【詳解】（1）由題意可知，，化簡得，于是，動點的軌跡方程為．（2）（i）設(shè)，，，不妨假設(shè)在第一象限，則E在第四象限，由題意知的斜率存在且不為0，設(shè)直線方程為，代入可得，需滿足，所以，,直線方程為，代入，可得，，則，因為，，所以，即.同理，，18．(1)(2)（i）；（ii）是，3【分析】（1）根據(jù)題意列出方程，化簡，即可求得答案；（2）（i）設(shè)，，，設(shè)直線方程為，聯(lián)立曲線C的方程，可得根與系數(shù)關(guān)系式，同理設(shè)直線方程為，化簡可得，即可求得答案；（ii）分別求出，的表達(dá)式，即可得到的表達(dá)式，化簡即可得結(jié)論.【詳解】（1）由題意可知，，化簡得，于是，動點的軌跡方程為．（2）（i）設(shè)，，，不妨假設(shè)在第一象限，則E在第四象限，由題意知的斜率存在且不為0，設(shè)直線方程為，代入可得，需滿足，所以，,直線方程為，代入，可得，，則，因為，，所以，即.同理，，，即，所以，則關(guān)于x軸對稱，所以；（ii）.所以，.綜上，為定值．【點睛】易錯點點睛：解答此類直線和圓錐曲線的位置關(guān)系類題目，綜合性較強，難度較大，容易出錯的地方在于復(fù)雜的計算，并且基本都是字母參數(shù)的運算，因此要求計算時要十分細(xì)心.（2024年浙J36名校聯(lián)盟三聯(lián)考）18．已知橢圓的左、右焦點分別

為，焦距為，離心率為，直線與橢圓交于兩點

（其中點在軸上方，點在軸下方）.

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)如圖，將平面沿軸折疊，使軸正半軸和軸所確定的半平面（平面）與軸負(fù)半軸和軸所確定的半平面(平面)垂直.

①若折疊后，求的值;（18．(1)(2)①；②不存在【分析】（1）由焦距為，可得出c的值，再由離心率為和可得出a與b的值，從而求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）①聯(lián)立直線方程與橢圓方程，由直線和橢圓有兩個交點且兩個交點在x軸兩側(cè)，利用韋達(dá)定理求出m范圍，然后建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)條件，得出，即可得出m的值；②分別表示出折疊前間的距離和折疊后間的距離，根據(jù)題目中距離的比值列方程求解m，再判斷其是否滿足條件即可.【詳解】（1）由題意，解得：，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）折疊前設(shè)，聯(lián)立可得由直線與橢圓交于不同兩點，所以，解得，由韋達(dá)定理得：18．(1)(2)①；②不存在【分析】（1）由焦距為，可得出c的值，再由離心率為和可得出a與b的值，從而求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）①聯(lián)立直線方程與橢圓方程，由直線和橢圓有兩個交點且兩個交點在x軸兩側(cè)，利用韋達(dá)定理求出m范圍，然后建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)條件，得出，即可得出m的值；②分別表示出折疊前間的距離和折疊后間的距離，根據(jù)題目中距離的比值列方程求解m，再判斷其是否滿足條件即可.【詳解】（1）由題意，解得：，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）折疊前設(shè)，聯(lián)立可得由直線與橢圓交于不同兩點，所以，解得，由韋達(dá)定理得：，因為位于軸兩側(cè)，所以，化簡得，從而，以為坐標(biāo)原點，折疊后，分別以原軸負(fù)半軸，原軸，原軸正半軸所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則折疊后①折疊后，則，即，所以②折疊前，折疊后所以，解得，此時直線與橢圓無交點，故不存在，使折疊后的與折疊前的長度之比為.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解題的關(guān)鍵是找到折疊前后的聯(lián)系，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出點的坐標(biāo)，利用空間向量的知識求解.（2024年蘇J34航附二模）19．過拋物線外一點作拋物線的兩條切線，切點分別為A，B，我們稱為拋物線的阿基米德三角形，弦AB與拋物線所圍成的封閉圖形稱為相應(yīng)的“囧邊形”，且已知“囧邊形”的面積恰為相應(yīng)阿基米德三角形面積的三分之二．如圖，點是圓上的動點，是拋物線的阿基米德三角形，是拋物線的焦點，且．

(1)求拋物線的方程；

(2)利用題給的結(jié)論，求圖中“囧邊形”面積的取值范圍；（19．(1)(2)(3)證明見解析【分析】（1）根據(jù)圓的幾何性質(zhì)可知，據(jù)此求出可得解；（2）求出弦長及點到直線的距離，可得出面積，由點在圓上，可得面積取值范圍，再由“囧邊形”面積與面積關(guān)系得解；（3）求出過點切線方程，聯(lián)立可得橫坐標(biāo)，據(jù)此利用橫坐標(biāo)可得，即可得證.【詳解】（1）由題意得，，由，所以（2）設(shè)，聯(lián)立，，設(shè)方程的兩根為，則，由，所以，聯(lián)立直線可得，代入方程中，得，即，故的面積.19．(1)(2)(3)證明見解析【分析】（1）根據(jù)圓的幾何性質(zhì)可知，據(jù)此求出可得解；（2）求出弦長及點到直線的距離，可得出面積，由點在圓上，可得面積取值范圍，再由“囧邊形”面積與面積關(guān)系得解；（3）求出過點切線方程，聯(lián)立可得橫坐標(biāo)，據(jù)此利用橫坐標(biāo)可得，即可得證.【詳解】（1）由題意得，，由，所以（2）設(shè)，聯(lián)立，，設(shè)方程的兩根為，則，由，所以，聯(lián)立直線可得，代入方程中，得，即，故的面積.因為在圓上，所以且，于是，顯然此式在上單調(diào)遞增，故，也即，因此，由題干知“囧邊形”面積，所以“囧邊形”面積的取值范圍為.（3）由（2）知，,設(shè)，過的切線，即，過點切線交得，同理，因為，.所以，即.【點睛】關(guān)鍵點點睛：聯(lián)立直線與拋物線，根據(jù)韋達(dá)定理及弦長公式得出，再由切線相交得出點坐標(biāo)，求出三角形面積，再由點在圓上得出面積的范圍是求解“囧邊形”面積范圍的關(guān)鍵，第三問中利用直線上線段長度之比可化為橫坐標(biāo)（或縱坐標(biāo)）之比是解題的關(guān)鍵.（2024年鄂J27宜荊荊隨恩二模）19．已知橢圓的離心率為，，是C的左、右焦點，直線是其右準(zhǔn)線，P是l上的一動點，Q點在C上.

(1)求C的方程.（19．(1)(2)(3)證明見解析，【分析】（1）利用離心率和準(zhǔn)線方程建立a、c方程求解即可；（2）設(shè)，，利用斜率之積得，根據(jù)對稱性設(shè)，利用垂直的向量坐標(biāo)運算化簡得，結(jié)合化簡得，即可求解定點；（3）設(shè)，利用得及，結(jié)合點在橢圓上根據(jù)點的坐標(biāo)運算化簡得，即可證明.【詳解】（1）由題意，且，解得，，所以，，所以橢圓C的方程為；（2）設(shè)，，則，因為直線OQ、PQ的斜率之積為，所以，所以，根據(jù)對稱性可知定點T存在時一定在x軸上，設(shè)，則，19．(1)(2)(3)證明見解析，【分析】（1）利用離心率和準(zhǔn)線方程建立a、c方程求解即可；（2）設(shè)，，利用斜率之積得，根據(jù)對稱性設(shè)，利用垂直的向量坐標(biāo)運算化簡得，結(jié)合化簡得，即可求解定點；（3）設(shè)，利用得及，結(jié)合點在橢圓上根據(jù)點的坐標(biāo)運算化簡得，即可證明.【詳解】（1）由題意，且，解得，，所以，，所以橢圓C的方程為；（2）設(shè)，，則，因為直線OQ、PQ的斜率之積為，所以，所以，根據(jù)對稱性可知定點T存在時一定在x軸上，設(shè)，則，，因為恒成立，所以恒成立，所以恒成立，因為，所以，所以恒成立，所以恒成立，所以，即存在定點，滿足恒成立；（3）設(shè)，由可設(shè)，則，所以，所以①，②，③，④，①×②得，③×④得，因為，，所以相減得，即，所以，即，所以H恒在直線上.【點睛】思路點睛：本題考查直線與橢圓綜合應(yīng)用中的定點問題的求解，求解此類問題的基本思路如下：①假設(shè)直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，整理為關(guān)于或的一元二次方程的形式；②利用求得變量的取值范圍，得到韋達(dá)定理的形式；③利用韋達(dá)定理表