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山東省濟(jì)南市章丘市達(dá)標(biāo)名校2024-2025學(xué)年初三數(shù)學(xué)試題質(zhì)量檢測(cè)試題卷考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫(xiě)在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題(共10小題,每小題3分,共30分)1.在同一平面直角坐標(biāo)系中,一次函數(shù)y=kx﹣2k和二次函數(shù)y=﹣kx2+2x﹣4(k是常數(shù)且k≠0)的圖象可能是()A. B.C. D.2.在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)P(m,2m-2),則點(diǎn)P不可能在()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,A(1,2),B(1,-1),C(2,2),拋物線y=ax2(a≠0)經(jīng)過(guò)△ABC區(qū)域(包括邊界),則a的取值范圍是()A.
或
B.
或
C.
或D.4.如圖,先鋒村準(zhǔn)備在坡角為的山坡上栽樹(shù),要求相鄰兩樹(shù)之間的水平距離為米,那么這兩樹(shù)在坡面上的距離為()A. B. C.5cosα D.5.如圖,將△ABC沿著DE剪成一個(gè)小三角形ADE和一個(gè)四邊形D'E'CB,若DE∥BC,四邊形D'E'CB各邊的長(zhǎng)度如圖所示,則剪出的小三角形ADE應(yīng)是()A. B. C. D.6.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線y=k1x+2(k1≠0)與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)B,與反比例函數(shù)y=在第二象限內(nèi)的圖象交于點(diǎn)C,連接OC,若S△OBC=1,tan∠BOC=,則k2的值是()A.3 B.﹣ C.﹣3 D.﹣67.如圖,△ABC中,AB=AC=15,AD平分∠BAC,點(diǎn)E為AC的中點(diǎn),連接DE,若△CDE的周長(zhǎng)為21,則BC的長(zhǎng)為()A.16 B.14 C.12 D.68.如圖,將△OAB繞O點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△OCD,若OA=4,∠AOB=35°,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()A.∠BDO=60° B.∠BOC=25° C.OC=4 D.BD=49.下列計(jì)算正確的是()A. B. C. D.10.下列命題中,正確的是()A.菱形的對(duì)角線相等B.平行四邊形既是軸對(duì)稱圖形,又是中心對(duì)稱圖形C.正方形的對(duì)角線不能相等D.正方形的對(duì)角線相等且互相垂直二、填空題(本大題共6個(gè)小題,每小題3分,共18分)11.如圖,菱形ABCD的面積為120cm2,正方形AECF的面積為50cm2,則菱形的邊長(zhǎng)____cm.12.Rt△ABC的邊AB=5,AC=4,BC=3,矩形DEFG的四個(gè)頂點(diǎn)都在Rt△ABC的邊上,當(dāng)矩形DEFG的面積最大時(shí),其對(duì)角線的長(zhǎng)為_(kāi)______.13.我們知道:四邊形具有不穩(wěn)定性.如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,矩形ABCD的邊AB在x軸上,,,邊AD長(zhǎng)為5.現(xiàn)固定邊AB,“推”矩形使點(diǎn)D落在y軸的正半軸上(落點(diǎn)記為),相應(yīng)地,點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)______.14.一個(gè)n邊形的每個(gè)內(nèi)角都為144°,則邊數(shù)n為_(kāi)_____.15.某?!鞍僮兡Х健鄙鐖F(tuán)為組織同學(xué)們參加學(xué)??萍脊?jié)的“最強(qiáng)大腦”大賽,準(zhǔn)備購(gòu)買(mǎi)A,B兩款魔方.社長(zhǎng)發(fā)現(xiàn)若購(gòu)買(mǎi)2個(gè)A款魔方和6個(gè)B款魔方共需170元,購(gòu)買(mǎi)3個(gè)A款魔方和購(gòu)買(mǎi)8個(gè)B款魔方所需費(fèi)用相同.求每款魔方的單價(jià).設(shè)A款魔方的單價(jià)為x元,B款魔方的單價(jià)為y元,依題意可列方程組為_(kāi)______.16.如圖,A、B是雙曲線y=上的兩點(diǎn),過(guò)A點(diǎn)作AC⊥x軸,交OB于D點(diǎn),垂足為C.若D為OB的中點(diǎn),△ADO的面積為3,則k的值為_(kāi)____.三、解答題(共8題,共72分)17.(8分)如圖,在四邊形ABCD中,E是AB的中點(diǎn),AD//EC,∠AED=∠B.求證:△AED≌△EBC;當(dāng)AB=6時(shí),求CD的長(zhǎng).18.(8分)(1)計(jì)算:()﹣1+﹣(π﹣2018)0﹣4cos30°(2)解不等式組:,并把它的解集在數(shù)軸上表示出來(lái).19.(8分)如圖,在△ABC中,AB=AC=4,∠A=36°.在AC邊上確定點(diǎn)D,使得△ABD與△BCD都是等腰三角形,并求BC的長(zhǎng)(要求:尺規(guī)作圖,保留作圖痕跡,不寫(xiě)作法)20.(8分)在陽(yáng)光體育活動(dòng)時(shí)間,小亮、小瑩、小芳和大剛到學(xué)校乒乓球室打乒乓球,當(dāng)時(shí)只有一副空球桌,他們只能選兩人打第一場(chǎng).(1)如果確定小亮打第一場(chǎng),再?gòu)钠溆嗳酥须S機(jī)選取一人打第一場(chǎng),求恰好選中大剛的概率;(2)如果確定小亮做裁判,用“手心、手背”的方法決定其余三人哪兩人打第一場(chǎng).游戲規(guī)則是:三人同時(shí)伸“手心、手背”中的一種手勢(shì),如果恰好有兩人伸出的手勢(shì)相同,那么這兩人上場(chǎng),否則重新開(kāi)始,這三人伸出“手心”或“手背”都是隨機(jī)的,請(qǐng)用畫(huà)樹(shù)狀圖的方法求小瑩和小芳打第一場(chǎng)的概率.21.(8分)如圖,△ABC中,∠A=90°,AB=AC=4,D是BC邊上一點(diǎn),將點(diǎn)D繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到點(diǎn)E,連接CE.(1)當(dāng)點(diǎn)E在BC邊上時(shí),畫(huà)出圖形并求出∠BAD的度數(shù);(2)當(dāng)△CDE為等腰三角形時(shí),求∠BAD的度數(shù);(3)在點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,求CE的最小值.(參考數(shù)值:sin75°=,cos75°=,tan75°=)22.(10分)根據(jù)圖中給出的信息,解答下列問(wèn)題:放入一個(gè)小球水面升高,,放入一個(gè)大球水面升高;如果要使水面上升到50,應(yīng)放入大球、小球各多少個(gè)?23.(12分)觀察下列各式:①②③由此歸納出一般規(guī)律__________.24.小明、小剛和小紅打算各自隨機(jī)選擇本周日的上午或下午去揚(yáng)州馬可波羅花世界游玩.小明和小剛都在本周日上午去游玩的概率為_(kāi)_______;求他們?nèi)嗽谕粋€(gè)半天去游玩的概率.
參考答案一、選擇題(共10小題,每小題3分,共30分)1、C【解析】
根據(jù)一次函數(shù)與二次函數(shù)的圖象的性質(zhì),求出k的取值范圍,再逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】解:A、由一次函數(shù)圖象可知,k>0,∴﹣k<0,∴二次函數(shù)的圖象開(kāi)口應(yīng)該向下,故A選項(xiàng)不合題意;B、由一次函數(shù)圖象可知,k>0,∴﹣k<0,-=>0,∴二次函數(shù)的圖象開(kāi)口向下,且對(duì)稱軸在x軸的正半軸,故B選項(xiàng)不合題意;C、由一次函數(shù)圖象可知,k<0,∴﹣k>0,-=<0,,∴二次函數(shù)的圖象開(kāi)口向上,且對(duì)稱軸在x軸的負(fù)半軸,一次函數(shù)必經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,0),當(dāng)x=2時(shí),二次函數(shù)值y=﹣4k>0,故C選項(xiàng)符合題意;D、由一次函數(shù)圖象可知,k<0,∴﹣k>0,-=<0,,∴二次函數(shù)的圖象開(kāi)口向上,且對(duì)稱軸在x軸的負(fù)半軸,一次函數(shù)必經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,0),當(dāng)x=2時(shí),二次函數(shù)值y=﹣4k>0,故D選項(xiàng)不合題意;故選:C.本題考查一次函數(shù)與二次函數(shù)的圖象和性質(zhì),解決此題的關(guān)鍵是熟記圖象的性質(zhì),此外,還要主要二次函數(shù)的對(duì)稱軸、兩圖象的交點(diǎn)的位置等.2、B【解析】
根據(jù)坐標(biāo)平面內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)特征逐項(xiàng)分析即可.【詳解】A.若點(diǎn)P(m,2m-2)在第一象限,則有:m>02m-2>0解之得m>1,∴點(diǎn)P可能在第一象限;B.若點(diǎn)P(m,2m-2)在第二象限,則有:m<02m-2>0解之得不等式組無(wú)解,∴點(diǎn)P不可能在第二象限;C.若點(diǎn)P(m,2m-2)在第三象限,則有:m<02m-2<0解之得m<1,∴點(diǎn)P可能在第三象限;D.若點(diǎn)P(m,2m-2)在第四象限,則有:m>02m-2<0解之得0<m<1,∴點(diǎn)P可能在第四象限;故選B.本題考查了不等式組的解法,坐標(biāo)平面內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)特征,第一象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)特征為(+,+),第二象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)特征為(-,+),第三象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)特征為(-,-),第四象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)特征為(+,-),x軸上的點(diǎn)縱坐標(biāo)為0,y軸上的點(diǎn)橫坐標(biāo)為0.3、B【解析】試題解析:如圖所示:分兩種情況進(jìn)行討論:當(dāng)時(shí),拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí),拋物線的開(kāi)口最小,取得最大值拋物線經(jīng)過(guò)△ABC區(qū)域(包括邊界),的取值范圍是:當(dāng)時(shí),拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí),拋物線的開(kāi)口最小,取得最小值拋物線經(jīng)過(guò)△ABC區(qū)域(包括邊界),的取值范圍是:故選B.點(diǎn)睛:二次函數(shù)二次項(xiàng)系數(shù)決定了拋物線開(kāi)口的方向和開(kāi)口的大小,開(kāi)口向上,開(kāi)口向下.的絕對(duì)值越大,開(kāi)口越小.4、D【解析】
利用所給的角的余弦值求解即可.【詳解】∵BC=5米,∠CBA=∠α,∴AB==.故選D.本題主要考查學(xué)生對(duì)坡度、坡角的理解及運(yùn)用.5、C【解析】
利用相似三角形的性質(zhì)即可判斷.【詳解】設(shè)AD=x,AE=y(tǒng),∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,∴,∴,∴x=9,y=12,故選:C.考查平行線的性質(zhì),相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí),解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí),屬于中考??碱}型.6、C【解析】
如圖,作CH⊥y軸于H.通過(guò)解直角三角形求出點(diǎn)C坐標(biāo)即可解決問(wèn)題.【詳解】解:如圖,作CH⊥y軸于H.由題意B(0,2),∵∴CH=1,∵tan∠BOC=∴OH=3,∴C(﹣1,3),把點(diǎn)C(﹣1,3)代入,得到k2=﹣3,故選C.本題考查反比例函數(shù)于一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題,銳角三角函數(shù)等知識(shí),解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線,構(gòu)造直角三角形解決問(wèn)題,屬于中考??碱}型.7、C【解析】
先根據(jù)等腰三角形三線合一知D為BC中點(diǎn),由點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)知DE為△ABC中位線,故△ABC的周長(zhǎng)是△CDE的周長(zhǎng)的兩倍,由此可求出BC的值.【詳解】∵AB=AC=15,AD平分∠BAC,∴D為BC中點(diǎn),∵點(diǎn)E為AC的中點(diǎn),∴DE為△ABC中位線,∴DE=AB,∴△ABC的周長(zhǎng)是△CDE的周長(zhǎng)的兩倍,由此可求出BC的值.∴AB+AC+BC=42,∴BC=42-15-15=12,故選C.此題主要考查三角形的中位線定理,解題的關(guān)鍵是熟知等腰三角形的三線合一定理.8、D【解析】
由△OAB繞O點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△OCD知∠AOC=∠BOD=60°,AO=CO=4、BO=DO,據(jù)此可判斷C;由△AOC、△BOD是等邊三角形可判斷A選項(xiàng);由∠AOB=35°,∠AOC=60°可判斷B選項(xiàng),據(jù)此可得答案.【詳解】解:∵△OAB繞O點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△OCD,
∴∠AOC=∠BOD=60°,AO=CO=4、BO=DO,故C選項(xiàng)正確;
則△AOC、△BOD是等邊三角形,∴∠BDO=60°,故A選項(xiàng)正確;
∵∠AOB=35°,∠AOC=60°,∴∠BOC=∠AOC-∠AOB=60°-35°=25°,故B選項(xiàng)正確.
故選D.本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),解題的關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì):①對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等.②對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角.③旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等及等邊三角形的判定和性質(zhì).9、A【解析】
原式各項(xiàng)計(jì)算得到結(jié)果,即可做出判斷.【詳解】A、原式=,正確;
B、原式不能合并,錯(cuò)誤;
C、原式=,錯(cuò)誤;
D、原式=2,錯(cuò)誤.
故選A.此題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算,熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵.10、D【解析】
根據(jù)菱形,平行四邊形,正方形的性質(zhì)定理判斷即可.【詳解】A.菱形的對(duì)角線不一定相等,A錯(cuò)誤;B.平行四邊形不是軸對(duì)稱圖形,是中心對(duì)稱圖形,B錯(cuò)誤;C.正方形的對(duì)角線相等,C錯(cuò)誤;D.正方形的對(duì)角線相等且互相垂直,D正確;故選:D.本題考查的是命題的真假判斷,正確的命題叫真命題,錯(cuò)誤的命題叫做假命題.判斷命題的真假關(guān)鍵是要熟悉課本中的性質(zhì)定理.二、填空題(本大題共6個(gè)小題,每小題3分,共18分)11、13【解析】試題解析:因?yàn)檎叫蜛ECF的面積為50cm2,所以因?yàn)榱庑蜛BCD的面積為120cm2,所以所以菱形的邊長(zhǎng)故答案為13.12、或【解析】
分兩種情形畫(huà)出圖形分別求解即可解決問(wèn)題【詳解】情況1:如圖1中,四邊形DEFG是△ABC的內(nèi)接矩形,設(shè)DE=CF=x,則BF=3-x∵EF∥AC,∴=∴=∴EF=(3-x)∴S矩形DEFG=x?(3-x)=﹣(x-)2+3∴x=時(shí),矩形的面積最大,最大值為3,此時(shí)對(duì)角線=.情況2:如圖2中,四邊形DEFG是△ABC的內(nèi)接矩形,設(shè)DE=GF=x,作CH⊥AB于H,交DG于T.則CH=,CT=﹣x,∵DG∥AB,∴△CDG∽△CAB,∴∴∴DG=5﹣x,∴S矩形DEFG=x(5﹣x)=﹣(x﹣)2+3,∴x=時(shí),矩形的面積最大為3,此時(shí)對(duì)角線==∴矩形面積的最大值為3,此時(shí)對(duì)角線的長(zhǎng)為或故答案為或本題考查相似三角形的應(yīng)用、矩形的性質(zhì)、二次函數(shù)的最值等知識(shí),解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問(wèn)題13、【解析】分析:根據(jù)勾股定理,可得,根據(jù)平行四邊形的性質(zhì),可得答案.詳解:由勾股定理得:=,即(0,4).矩形ABCD的邊AB在x軸上,∴四邊形是平行四邊形,A=B,=AB=4-(-3)=7,與的縱坐標(biāo)相等,∴(7,4),故答案為(7,4).點(diǎn)睛:本題考查了多邊形,利用平行四邊形的性質(zhì)得出A=B,=AB=4-(-3)=7是解題的關(guān)鍵.14、10【解析】
解:因?yàn)檎噙呅蔚拿總€(gè)內(nèi)角都相等,每個(gè)外角都相等,根據(jù)相鄰兩個(gè)內(nèi)角和外角關(guān)系互補(bǔ),可以求出這個(gè)多邊形的每個(gè)外角等于36°,因?yàn)槎噙呅蔚耐饨呛褪?60°,所以這個(gè)多邊形的邊數(shù)等于360°÷36°=10,故答案為:1015、【解析】分析:設(shè)A款魔方的單價(jià)為x元,B魔方單價(jià)為y元,根據(jù)“購(gòu)買(mǎi)兩個(gè)A款魔方和6個(gè)B款魔方共需170元,購(gòu)買(mǎi)3個(gè)A款魔方和購(gòu)買(mǎi)8個(gè)B款魔方所需費(fèi)用相同”,即可得出關(guān)于x,y的二元一次方程組,此題得解.解:設(shè)A魔方的單價(jià)為x元,B款魔方的單價(jià)為y元,根據(jù)題意得:故答案為點(diǎn)睛:本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用,找準(zhǔn)等量關(guān)系,正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵.16、1.【解析】過(guò)點(diǎn)B作BE⊥x軸于點(diǎn)E,根據(jù)D為OB的中點(diǎn)可知CD是△OBE的中位線,即CD=BE,設(shè)A(x,),則B(2x,),故CD=,AD=﹣,再由△ADO的面積為1求出k的值即可得出結(jié)論.解:如圖所示,過(guò)點(diǎn)B作BE⊥x軸于點(diǎn)E,∵D為OB的中點(diǎn),∴CD是△OBE的中位線,即CD=BE.設(shè)A(x,),則B(2x,),CD=,AD=﹣,∵△ADO的面積為1,∴AD?OC=3,(﹣)?x=3,解得k=1,故答案為1.三、解答題(共8題,共72分)17、(1)證明見(jiàn)解析;(2)CD=3【解析】分析:(1)根據(jù)二直線平行同位角相等得出∠A=∠BEC,根據(jù)中點(diǎn)的定義得出AE=BE,然后由ASA判斷出△AED≌△EBC;(2)根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等得出AD=EC,然后根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形得出四邊形AECD是平行四邊形,根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊相等得出答案.詳解:(1)證明:∵AD∥EC∴∠A=∠BEC∵E是AB中點(diǎn),∴AE=BE∵∠AED=∠B∴△AED≌△EBC(2)解:∵△AED≌△EBC∴AD=EC∵AD∥EC∴四邊形AECD是平行四邊形∴CD=AE∵AB=6∴CD=AB=3點(diǎn)睛:本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)等知識(shí),解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問(wèn)題,屬于中考常考題型.18、(1)-3;(2).【解析】分析:(1)代入30°角的余弦函數(shù)值,結(jié)合零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義及二次根式的相關(guān)運(yùn)算法則計(jì)算即可;(2)按照解一元一次不等式組的一般步驟解答,并把解集規(guī)范的表示到數(shù)軸上即可.(1)原式===-3.(2)解不等式①得:,解不等式②得:,∴不等式組的解集為:不等式組的解集在數(shù)軸上表示:點(diǎn)睛:熟記零指數(shù)冪的意義:,(,為正整數(shù))即30°角的余弦函數(shù)值是本題解題的關(guān)鍵.19、【解析】
作BD平分∠ABC交AC于D,則△ABD、△BCD、△ABC均為等腰三角形,依據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得出BC的長(zhǎng).【詳解】如圖所示,作BD平分∠ABC交AC于D,則△ABD、△BCD、△ABC均為等腰三角形,∵∠A=∠CBD=36°,∠C=∠C,∴△ABC∽△BDC,∴,設(shè)BC=BD=AD=x,則CD=4﹣x,∵BC2=AC×CD,∴x2=4×(4﹣x),解得x1=,x2=(舍去),∴BC的長(zhǎng).本題主要考查了復(fù)雜作圖以及相似三角形的判定與性質(zhì),解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì),結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖,逐步操作.20、(1)(2)【解析】
(1)由小亮打第一場(chǎng),再?gòu)钠溆嗳酥须S機(jī)選取一人打第一場(chǎng),求出恰好選中大剛的概率即可;(2)畫(huà)樹(shù)狀圖得出所有等可能的情況數(shù),找出小瑩和小芳伸“手心”或“手背”恰好相同的情況數(shù),即可求出所求的概率.【詳解】解:(1)∵確定小亮打第一場(chǎng),∴再?gòu)男‖?,小芳和大剛中隨機(jī)選取一人打第一場(chǎng),恰好選中大剛的概率為;(2)列表如下:所有等可能的情況有8種,其中小瑩和小芳伸“手心”或“手背”恰好相同且與大剛不同的結(jié)果有2個(gè),則小瑩與小芳打第一場(chǎng)的概率為.本題主要考查了列表法與樹(shù)狀圖法;概率公式.21、(1)∠BAD=15°;(2)∠BAC=45°或∠BAD=60°;(3)CE=.【解析】
(1)如圖1中,當(dāng)點(diǎn)E在BC上時(shí).只要證明△BAD≌△CAE,即可推出∠BAD=∠CAE=(90°-60°)=15°;(2)分兩種情形求解①如圖2中,當(dāng)BD=DC時(shí),易知AD=CD=DE,此時(shí)△DEC是等腰三角形.②如圖3中,當(dāng)CD=CE時(shí),△DEC是等腰三角形;(3)如圖4中,當(dāng)E在BC上時(shí),E記為E′,D記為D′,連接EE′.作CM⊥EE′于M,E′N(xiāo)⊥AC于N,DE交AE′于O.首先確定點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡是直線EE′(過(guò)點(diǎn)E與BC成60°角的直線上),可得EC的最小值即為線段CM的長(zhǎng)(垂線段最短).【詳解】解:(1)如圖1中,當(dāng)點(diǎn)E在BC上時(shí).
∵AD=AE,∠DAE=60°,∴△ADE是等邊三角形,∴∠ADE=∠AED=60°,∴∠ADB=∠AEC=120°,∵AB=AC,∠BAC=90°,∴∠B=∠C=45°,在△ABD和△ACE中,∠B=∠C,∠ADB=∠AEC,AB=AC,∴△BAD≌△CAE,∴∠BAD=∠CAE=(90°-60°)=15°.(2)①如圖2中,當(dāng)BD=DC時(shí),易知AD=CD=DE,此時(shí)△DEC是等腰三角形,∠BAD=∠BAC=45°.
②如圖3中,當(dāng)CD=CE時(shí),△DEC是等腰三角形.∵AD=AE,∴AC垂直平分線段DE,∴∠ACD=∠ACE=45°,∴∠DCE=90°,∴∠EDC=∠CED=45°,∵∠B=45°,∴∠EDC=∠B,∴DE∥AB,∴∠BAD=∠ADE=60°.
(3)如圖4中,當(dāng)E在BC上時(shí),E記為E′,D記為D′,連接EE′.作CM⊥EE′于M,E′N(xiāo)⊥AC于N,DE交AE′于O.
∵∠AOE=∠DOE′,∠AE′D=∠AEO,∴△AOE∽△DOE′,∴AO:OD=EO:OE',∴AO:EO=OD:OE',∵∠AOD=∠EOE′,∴△AOD∽△EOE′,∴∠EE′O=∠ADO=60°,∴點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡是直線EE′(過(guò)點(diǎn)E與BC成60°角的直線上),∴EC的最小值即為線段CM的長(zhǎng)(垂線段最短),設(shè)E′N(xiāo)=CN=a,則AN=4-a,在Rt△ANE′中,tan75°=AN:NE',∴2+=,∴a=2-,∴CE′=CN=2-.在Rt△CE′M中,CM=CE′?cos30°=,∴CE的最小值
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