2024-2025學(xué)年福建省三明一中高二（上）月考數(shù)學(xué)試卷（8月份）（含答案）

第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年福建省三明一中高二（上）8月月考數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.如圖，在長(zhǎng)方體OABC?O1A1B1C1中，OA=4，OC=6，OO1=2A.(2,6,2)

B.(3,4,2)

C.(4,6,2)

D.(6,2,1)2.若{a,b,A.a,a+2b,b B.a3.下列說法不正確的是(

)A.若直線l垂直于平面α，則直線l的任意一個(gè)方向向量都是平面α的一個(gè)法向量

B.若n是平面α的一個(gè)法向量，則n與平面α內(nèi)任意一條直線的方向向量都垂直

C.0是任意一個(gè)平面的一個(gè)法向量

D.一個(gè)平面的法向量是不唯一的4.如圖，在正三棱柱ABC?A1B1C1中，點(diǎn)M為棱AB的中點(diǎn)，點(diǎn)N為上底面A1B1A.MN=16CA?16CB+5.空間向量a=(1,0,1)在b=(0,1,1)上的投影向量為(

)A.(12,0,12) B.(6.由四個(gè)棱長(zhǎng)為1的正方體組合成的正四棱柱ABCD?A1B1C1D1(如圖所示)，點(diǎn)A.1

B.2

C.4

D.87.已知A(?1,?1,?1)，直線l過原點(diǎn)且平行于a=(0,1,2)，則A到l的距離為(

)A.255 B.1 C.8.已知一對(duì)不共線的向量a，b的夾角為θ，定義a×b為一個(gè)向量，其模長(zhǎng)為|a×b|=|a|?|b|sinθ，其方向同時(shí)與向量a，b垂直(如圖1所示).在平行六面體OACB?O′A′C′B′中A.S△OAB=12|OA×OB|

B.當(dāng)∠AOB∈(0,π2)時(shí)，|OA×二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.設(shè)直線l1，l2的方向向量分別為u1,u2，平面α，βA.若l1⊥l2，則u1?u2=0 B.若l1⊥α，則u1?n10.關(guān)于空間向量，以下說法正確的是(

)A.若a?b>0，則向量a，b的夾角是銳角

B.空間中的三個(gè)向量，若有兩個(gè)向量共線，則這三個(gè)向量一定共面

C.若對(duì)空間中任意一點(diǎn)O，有OP=112OA+14OB+11.在四面體A?BCD中，已知AB=CD=2，AC=AD=BC=BD=2，則(

)A.直線AC與DB所成的角為120°

B.直線AD與平面ABC所成角的正弦值為217

C.平面ABC與平面ABD夾角的余弦值為57

D.若E，F(xiàn)分別是AB，CD上的動(dòng)點(diǎn)，則三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知向量a=(2,3,?2)，b=(2,?m,?1)，且a⊥b，則m=13.已知直線l與平面α垂直，直線l的一個(gè)方向向量為u=(?92,3,z)，向量v=(3,?2,1)為平面α的法向量，則14.正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為4，E，F(xiàn)分別為AD，B1C1上的點(diǎn)，AE=C1F=1，P，Q分別為BB1，C1四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

如圖，在空間四邊形ABCD中，F(xiàn)，M，G分別是BD，BC，CD的中點(diǎn)，化簡(jiǎn)下列各式：

(1)AB+12(BC+BD)16.(本小題15分)

已知空間三點(diǎn)A(?2,0,2)，B(?1,1,2)，C(?3,0,4)，設(shè)a=AB，b=AC．

(1)若ka+b與ka?2b互相垂直，求實(shí)數(shù)k的值；17.(本小題15分)

如圖，在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，AB=AD=AA1=1，∠A18.(本小題17分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，平面PDC⊥平面ABCD，AD⊥DC，AB//DC，AB=12CD=AD=1，M為棱PC的中點(diǎn)．

(1)證明：BM//平面PAD；

(2)若PC=5，PD=1．

(ⅰ)求平面PDM與平面BDM夾角的余弦值；

(ⅱ)在線段PA上是否存在點(diǎn)Q，使得點(diǎn)Q到平面BDM的距離是219.(本小題17分)

在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，已知向量n=(a,b,c)，點(diǎn)P0(x0,y0,z0).若直線l以n為方向向量且經(jīng)過點(diǎn)P0，則直線l的標(biāo)準(zhǔn)式方程可表示為x?x0a=y?y0b=z?z0c(abc≠0)；若平面α以n為法向量且經(jīng)過點(diǎn)P0，則平面α的點(diǎn)法式方程可表示為a(x?x0)+b(y?y0)+c(z?z0)=0，一般式方程可表示為ax+by+cz+d=0．

(1)證明：向量n=(a,b,c)是平面α：ax+by+cz+d=0的法向量；

(2)若平面α1：x+2y?1=0，平面β1：2y?z+1=0，直線l為平面參考答案1.A

2.C

3.C

4.B

5.C

6.A

7.C

8.C

9.ACD

10.BC

11.BCD

12.2

13.?314.689π1615.解：(1)由于G是CD邊的中點(diǎn)，

所以AB+12(BC+BD)=AB+BG=AG．

(2)由于M是BC邊的中點(diǎn)，

所以AG?116.解：(1)a=AB=(1,1,0)，b=AC=(?1,0,2)，

ka+b=(k?1,k,2)，ka?2b=(k+2,k,?4)，

ka+b與ka?2b互相垂直，

則(ka+b)?(ka?2b)=(k?1)(k+2)+k17.(1)解：在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，

AC1=AB+BC+CC1=AD+AB+AA1，

由AB=AD=AA1=1，∠BAA1=∠BAD=∠DAA1=60°，

得AD?AB=AB?AA1=AD?AA1=1×1×1218.(1)證明：取PD的中點(diǎn)N，連接AN，MN，

∵M(jìn)為棱PC的中點(diǎn)，∴MN//CD，MN=12CD，

∵AB//CD，AB=12CD，∴AB//MN，AB=MN，

∴四邊形ABMN是平行四邊形，∴BM/?/AN，

又BM?平面PAD，MN?平面PAD，

∴BM//平面PAD．

(2)解：∵PC=5，PD=1，CD=2，∴PC2=PD2+CD2，即PD⊥CD，

∵平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD=CD，PD?平面PDC，

∴PD⊥平面ABCD，

又AD，CD?平面ABCD，∴PD⊥AD，PD⊥CD，

而AD⊥CD，

故以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DP所在直線分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則P(0,0,1)，D(0,0,0)，A(1,0,0)，C(0,2,0)，B(1,1,0)，

∵M(jìn)為棱PC的中點(diǎn)，∴M(0,1,12)，

(ⅰ)DM=(0,1,12)，DB=(1,1,0)，

設(shè)平面BDM的法向量為n=(x,y,z)，則n?DM=y+12z=0n?DB=x+y=0，

令z=2，則y=?1，x=1，∴n=(1,?1,2)，

易知平面PDM的一個(gè)法向量為DA=(1,0,0)，

∴cos<n，DA>=n?DA|n|?|DA|=11×6=66，

∴19.解：(1)證明：取平面ax+by+cz+d=0內(nèi)的任意兩點(diǎn)A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，

則ax1+by1+cz1+d=0,ax2+by2+cz2+d=0,兩式相減得，a(x2?x1)+b(